Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 9

Bài: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm tám chữ số phân biệt sao cho tổng của tám số này chia hết cho 9?
Các bác giúp em với ạ, em cảm ơn

Mình gợi ý thôi nha Ta thấy: $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$ chia hết cho $9$ Vậy yêu cầu thỏa mãn khi ta bỏ đi 2 chữ số có tổng chia hết cho $9$ trong tổ hợp 10 chữ số trên

Bây giờ thì dễ hơn rồi nhé

Reactions: An Đăng Gia and Hieupq03

Lời giải của GV Vungoi.vn

Đặt $m = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \,\,\left( {{a_i} \in A,\,\,{a_i} \ne {a_j}\,\,\forall i;j = \overline {1;8} } \right)$.

Do ${a_i} \in A,$ các ${a_i} \ne {a_j}\,\,\forall i;j = \overline {1;8} $ nên $\sum\limits_{i = 1}^8 {{a_i}} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$.

Do đó $m\,\, \vdots \,\,9$. Mà $m\,\, \vdots \,\,1111\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow m\,\, \vdots \,\,9999.$

Đặt $p = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} ;\,\,\,q = \overline {{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} $ ta có:

$\begin{array}{l}m = p{.10^4} + q = 9999.p + \left( {p + q} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,9999 \Rightarrow \left( {p + q} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,9999\\Do\,\,0 < p,\,\,q < 9999 \Rightarrow 0 < p + q < 2.9999\end{array}$

Mà $\left( {p + q} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,9999 \Rightarrow p + q = 9999 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} + {a_5} = 9\\{a_2} + {a_6} = 9\\{a_3} + {a_7} = 9\\{a_4} + {a_8} = 9\end{array} \right.$.

Có 4 cặp có tổng bằng 9 là $\left( {1;8} \right);\,\,\left( {2;7} \right);\,\,\left( {3;6} \right);\,\,\left( {4;5} \right)$.

Suy ra có:

+) 8 cách chọn ${a_1}$, ứng với mỗi cách chọn ${a_1}$ có 1 cách chọn ${a_5}$.

+) 6 cách chọn ${a_2}\,\,\left( { \ne {a_1},\,\, \ne {a_5}} \right)$, ứng với mỗi cách chọn ${a_2}$ có 1 cách chọn ${a_6}$.

+) 4 cách chọn ${a_3}\,\,\left( { \ne {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_5},\,\,{a_6}} \right)$, ứng với mỗi cách chọn ${a_3}$ có 1 cách chọn ${a_7}$.

+) 2 cách chọn ${a_4}\,\,\left( { \ne {a_1};\,\,{a_2};\,\,{a_3};\,\,{a_5};\,\,{a_6};\,\,{a_7}} \right)$, ứng với mỗi cách chọn ${a_4}$ có 1 cách chọn ${a_8}$.

Áp dụng quy tắc nhân, có tất cả $8.6.4.2 = 384$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Ta có 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 chia hết cho 9.

Do đó số gồm 8 chữ số phân biệt chia hết cho 9 thì số đó phải không chữ 2 trong 10 chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 và có tổng chia hết cho 9.

Ta có 5 cặp số thỏa mãn: 0;9;1;8;2;7;3;6;4;5.

Gọi số có 8 chữ số là a1a2a3a4a5a6a7a8¯

Trường hợp 1: Số được lập không chứa cặp số {0;9}. Khi đó có 8! Số thỏa mãn.

Trường hợp 2: Số được lập không chứa một trong 4 cặp số 1;8;2;7;3;6;4;5.

Với mỗi số không chứa 1 trong 4 cặp trên, ta có 7.7! số được tạo ra thỏa mãn bài toán.

Do đó số các số gồm 8 chữ số phân biệt không chứa một trong 4 cặp số trên là: 7.7!.4

Vậy số các số gồm 8 chữ số phân biệt chia hết cho 8 là: 8!+7.7!.4=181440 số.