Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+{{m}^{2}} \right|$ có đúng 5 điểm cực trị? Lời giải Xét hàm số $f\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+{{m}^{2}},$ hàm số đã cho trở thành $y=\left| f\left( x \right) \right|.$ Số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ bằng số cực trị của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cộng với số giao điểm của đồ thị $y=f\left( x \right)$ với trục hoành (không tính các điểm tiếp xúc). Từ bảng biến thiên ta được điều kiện để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị là $\left[ \begin{aligned} & {{m}^{2}}-32<0\le {{m}^{2}}-5 \\ & {{m}^{2}}\le 0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & -4\sqrt{2}<m\le -\sqrt{5} \\ & \sqrt{5}\le m<4\sqrt{2} \\ & m=0 \\ \end{aligned} \right.$ Do $m\in \mathbb{Z}$ nên ta được tập các giá trị của $m$ là $\left\{ -5;-4;-3;0;3;4;5 \right\}.$ Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa yêu cầu của bài toán. Đáp án B.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = - {x^4} + 6{x^2} + mx\) có ba điểm cực trị?
Lời giải tham khảo: Đáp án đúng: B Ta có: \(y' = - 4{x^3} + 12x + m\). Xét phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 12x + m = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\) Cho \(\begin{array}{l} g'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow 12{x^2} - 12 = 0\\ \Leftrightarrow x = \pm 1 \end{array}\) adsense A. \(17\). B. \(15\). C. \(3\). D. \(7\). Lời giải: Chọn B Ta có: \(y’ = – 4{x^3} + 12x + m\). Xét phương trình \(y’ = 0 \Leftrightarrow – 4{x^3} + 12x + m = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\). adsense Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình \(\left( 1 \right)\) phải có 3 nghiệm phân biệt. Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = 4{x^3} – 12x\). Xét hàm số \(g\left( x \right) = 4{x^3} – 12x\) có \(g’\left( x \right) = 12{x^2} – 12\). Cho \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} – 12 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\). Bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\)  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình \(\left( 1 \right)\) có 3 nghiệm phân biệt khi \( – 8 < m < 8\). Chọn B Ta có: y'=−4x3+12x+m. Xét phương trình y'=0⇔−4x3+12x+m=0 1. Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình (1) phải có 3 nghiệm phân biệt. Ta có: 1⇔m=4x3−12x. Xét hàm số gx=4x3−12x có g'x=12x2−12. Cho g'x=0⇔12x2−12=0⇔x=±1. Bảng biến thiên của gx Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi −8<m<8. Do m∈ℤ⇒m∈−7,−6,−5,...,5,6,7. Vậy có 15 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu đề bài. |
