Các dạng phương trình lượng giác lớp 11

Trong chương trình toán THPT, các em sẽ được làm quen với dạng bài về phương trình lượng giác thường gặp. Bài viết dưới đây Vuihoc.vn sẽ tổng hợp đầy đủ về phương trình lượng giác thường gặp cùng ví dụ minh họa giúp các em hiểu bài nhanh hơn.

Phương trình bậc nhất với một số hàm số lượng giác có dạng phương trình như sau: 

at+b=0

Trong đó:  a,b: hằng số (a≠0)

                  t: một trong các hàm số lượng giác

Phương trình lượng giác dạng asinx+bcosx=c, trong đó có a,b,c cùng thuộc R, $a^{2}+b^{2}\neq 0$ là phương trình bậc nhất với sin⁡x và cos⁡x.

Ta xét:

+ Nếu $a^{2}+b^{2}< c^{2}$ thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu $a^{2}+b^{2}\geqslant c^{2}$, để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp các bước sau.

Với phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác sinx và cosx, ta xét phương trình asinx+bcosx=c

Lúc này:

+ Ta chia 2 vế của phương trình cho $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

+ Gọi $\alpha$ là góc lượng giác được tạo ra bởi chiều dương của trục hoành với vectơ $\vec{OM}=(a,b)$, phương trình trở thành:

$sin(x+\alpha )=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ (1)

Điều kiện phương trình có nghiệm:

$\left | \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |\leqslant 1 \Rightarrow \left | c \right |\leqslant \sqrt{a^{2}+b^{2}} \Rightarrow c^{2}\leqslant a^{2}+b^{2}$

Suy ra được điều kiện để phương trình asinx +bcosx = c có nghiệm

Công thức đặc biệt:

• sin⁡x+cos⁡x=0

 ⇔x= –π4+kπ (k∈Z).

• sin⁡x–cos⁡x=0

 ⇔x=π4+kπ

Ví dụ: Hãy giải phương trình sau: (1+$\sqrt{3}$)sinx + (1-$\sqrt{3}$)cosx=2

Giải: 

2. Phương trình bậc hai một số hàm lượng giác 

Dạng 1: $asin^{2}x+bsinx+c$ (a≠0;a,b,c∈R)

Phương pháp giải: 

Đặt:

• t=sin⁡x, với điều kiện |t|≤1, sau đó đưa phương trình $asin^{2}x+bsinx+c$ về phương trình bậc hai theo t.
• Giải phương trình tìm ra t, chú ý kết hợp điều kiện của t rồi tìm x.

Dạng 2: $acos^{2}x+bcosx+c$, (a≠0; a,b,c∈R).

Phương pháp giải: Đặt t=cos⁡x, điều kiện |t|≤1

• Đưa phương trình $acos^{2}x+bcosx+c$ về phương trình bậc hai theo t.
• Giải phương trình ra tìm t, chú ý kết hợp điều kiện của t rồi tìm x.

Dạng 3: $atan^{2}x+btanx+c$ (a≠0; a,b,c∈R).

Phương pháp giải: Điều kiện cos⁡x≠0

 ⇔x≠π2+kπ (k∈Z).

• Đặt t=tan⁡x (t∈R), đưa phương trình $atan^{2}x+btanx+c$ về phương trình bậc hai theo t. Chú ý rằng khi tìm được nghiệm x cần thử lại vào điều kiện xem có thoả mãn hay không.

Dạng 4: $acot^{2}x+bcotx+c$ (a≠0; a,b,c∈R).

Phương pháp giải: Điều kiện sin⁡x≠0 ⇔x≠kπ (k∈Z).

• Đặt t=cot⁡x (t∈R), ta đưa phương trình $acot^{2}x+bcotx+c$ về phương trình bậc hai theo ẩn t

• Giải ra t rồi tìm x, chú ý khi tìm được nghiệm cần thử lại vào điều kiện xem có thoả mãn hay không.

Ví dụ: Hãy giải phương trình $2cos^{2}x-3cosx+1$

Giải:

3. Phương trình lượng giác thuần bậc hai đối với sinx và cosx

Phương trình thuần nhất bậc hai với sin⁡x và cos⁡x là phương trình có dạng: $asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=d$, trong đó có: a,b,c,d cùng thuộc R.

Phương pháp giải:

Ta chia từng vế của phương trình cho một trong ba $sin^{2}x$, $cos^{2}x$ hoặc sin⁡x.cos⁡x. Ví dụ nếu ta chia cho $cos^{2}x$ ta làm theo các bước sau:

• Cho: cos⁡x=0 ⇔x=2 + kπ (k∈Z) xem nó có phải là nghiệm của phương trình $asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=d$ không?

• Với cos⁡x≠0, chia cả hai vế cho $cos^{2}x$, lúc này phương trình $asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=d$ trở thành: $atan^{2}x+btanx+c=d(1+tan2x)$

 ⇔ $(a-d)tan^{2}x+btanx+c-d=0$.

Ta xét thấy, phương trình có dạng bậc hai theo tan.

Ví dụ: Hãy giải phương trình $2\sqrt{3}cos^{2}x+6sinxcosx=3+\sqrt{3}$

4. Phương trình đối xứng với sinx và cosx

Phương trình đối xứng với sin⁡x và cos⁡x là phương trình dạng a(sin⁡x+cos⁡x)+bsin⁡xcos⁡x+c=0, với a,b,c thuộc R.

Phương pháp giải:

Do: $(sinx+cosx)^{2}$

= 1+2sin⁡x.cos⁡x nên ta đặt:

t=sin⁡x+cos⁡x= $\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4}) = 2cosz(\frac{\pi }{4}-x)$

Điều kiện |t|≤2.

Nên sin⁡x.cos⁡x = $\frac{t^{2}-1}{2}$ và phương trình a(sin⁡x+cos⁡x)+bsin⁡xcos⁡x+c=0 được viết lại là $bt^{2}+2at-(b+2c)=0$

Ví dụ: Giải pt sin⁡x+cos⁡x–2sin⁡x.cos⁡x+1=0

Giải:

5. Phương trình lượng giác dạng thuận nghịch

Ta có dạng phương trình thuận nghịch là:

$A(f^{2}(x)+\frac{k^{2}}{f^{2}(x)})+B(f(x)+\frac{k}{f(x)})+C=0$ (1)

Hoặc $A(a^{2}tan^{2}x+b^{2}cot^{2}x)+B(atanx+bcotx)+C=0$ (2)

Giải: 

• Đối với (1): Đặt t=f(x) + $\frac{k}{f(x)}$

• Đối với (2): Đặt t=a tanx + b cotx

Ví dụ: Giải phương trình $\frac{3}{cos^{2}x}+3cot^{2}x+4(tanx+cotx)-1=0$

Giải: 

6. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx là phương trình có dạng:

$asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=d$

Trong đó: x là một ẩn số

                a,b,c,d là hệ số  

Giải:

Lúc này phương trình có dạng:

$asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=a$

$\Leftrightarrow asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}=asin^{2}x+acos^{2}x$

$\Leftrightarrow bsinx.cosx+(c-a)cos^{2}x=0$

$\Leftrightarrow cosx\left [ bsinx+(c-a)cosx \right ]=0$

$\Leftrightarrow cosx=0$ hoặc $[ bsinx+(c-a)cosx \right ]=0$

Trường hợp 2: $a\neq d$

$\Leftrightarrow asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=dsin^{2}x+dcos^{2}x$

$\Leftrightarrow (a-d)sin^{2}x+bsinxcosx+(c-d)cos^{2}x=0$

Có thể thấy cosx=0 không phải là nghiệm phương trình, ta chia cả 2 vế cho cos^{2}x ta được:

$(a-d)tan^{2}x+btanx+c-d=0$

Ví dụ: Giải phương trình: $6sin^{2}x+14sinxcosx-4(1+cos2x)=6$

Giải:

PT $\Leftrightarrow 3(1-cos2x)+7 sin2x-4(1+cos2x)=6$ $\Leftrightarrow 7sin2x-7cos2x=7$ $\Leftrightarrow sin2x-cos2x=1$ $\Leftrightarrow sin(2x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

Bài viết trên đã tổng hợp lý thuyết cũng như các dạng toán về phương trình lượng giác thường gặp. Hy vọng rằng các em sẽ tiếp thu bài học dễ dàng hơn và giải bài tập thật thành thạo. Truy cập ngay nền tảng học online Vuihoc.vn để để ôn tập nhiều hơn về các dạng toán khác nhé! Chúc các bạn ôn tập hiệu quả.

>> Xem thêm: 

Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,39,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,128,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,101,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,266,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,16,Đề cương ôn tập,38,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,952,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,16,Đề thi học kì,130,Đề thi học sinh giỏi,123,Đề thi THỬ Đại học,385,Đề thi thử môn Toán,51,Đề thi Tốt nghiệp,43,Đề tuyển sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,216,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,8,File word Toán,33,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,190,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,17,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,354,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,200,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,106,Hình học phẳng,88,Học bổng - du học,12,IMO,12,Khái niệm Toán học,64,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,55,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,26,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,289,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,7,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,12,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,9,Số học,56,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,37,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,77,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,132,Toán 11,173,Toán 12,373,Toán 9,66,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,16,Toán Tiểu học,5,Tổ hợp,36,Trắc nghiệm Toán,220,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,271,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,