Các bài toán min max nâng cao toán 10 năm 2024

Tài liệu gồm 172 trang, tổng hợp lý thuyết, các dạng toán và bài tập tự luận + trắc nghiệm chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, từ cơ bản đến nâng cao, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 12 tham khảo khi học chương trình môn Toán 12.

Nội dung chính Show

A. Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Các khái niệm về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
3. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập D bất kì
B. Giải SGK Toán 12 Bài 3
C. Giải SBT Toán 12 Bài 3
D. Bài tập trắc nghiệm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

BÀI 3. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ.

LÝ THUYẾT. II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. + Dạng 1. Tìm max – min trên đoạn bằng hàm số cụ thể, bảng biến thiên, đồ thị hàm số cho trên đoạn và khoảng. + Dạng 2. Tìm max – min bằng phương pháp đổi biến. + Dạng 3. Một số bài toán có chứa tham số. + Dạng 4. Phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết bài toán tìm điều kiện của tham số m sao cho phương trình f(x;m) = 0 có nghiệm (có ứng dụng GTLN – GTNN). + Dạng 7. Phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết bài toán tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x thuộc k (có ứng dụng GTLN – GTNN). + Dạng 8. Bài toán thực tế. III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 1. Bài tập trắc nghiệm trích từ đề tham khảo và đề chính thức của bộ giáo dục từ năm 2017 đến nay. 2. Bài tập trắc nghiệm mức độ 5 – 6 điểm. + Dạng 1. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua đồ thị, bảng biến thiên. + Dạng 2. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn. + Dạng 3. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a;b). 3. Bài tập trắc nghiệm mức độ 7 – 8 điểm. + Dạng. Định m để GTLN – GTNN của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước. 4. Bài tập trắc nghiệm mức độ 9 – 10 điểm. + Dạng 1. Định m để GTLN – GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước. + Dạng 2. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất hàm ẩn, hàm hợp. + Dạng 3. Ứng dụng GTLN – GTNN giải bài toán thực tế. + Dạng 4. Dùng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Toán 10 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Bộ tài liệu hướng dẫn chi tiết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, tìm tham số để thỏa mãn điều kiện cho trước ... được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác
300 câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12 (Có đáp án)
Bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số và điểm uốn (Có đáp án)
Bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số
Câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Cực trị của hàm số

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 12, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 12 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 12. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

A. Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Các khái niệm về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Định lý: Cho hàm số ) xác định trên tập D.

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ) trên tập D nếu %5Cle%20M) với mọi x thuộc D và tồn tại sao cho %5Cle%20M). Kí hiệu: )

Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số ) trên tập D nếu %5Cge%20m) với mọi x thuộc D và tồn tại sao cho %5Cge%20m). Kí hiệu: )

Hay nói cách khác:

![M=\underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\Leftrightarrow \left{ \begin{matrix} f\left( x \right)\le M,\forall x\in D \ \exists {{x}{0}}\in D,f\left( {{x}{0}} \right)=M \ \end{matrix} \right.](https://https://i0.wp.com/https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=M%3D%5Cunderset%7Bx%5Cin%20D%7D%7B%5Cmathop%7B%5Cmax%20%7D%7D%5C%2Cf%5Cleft(%20x%20%5Cright)%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%0Af%5Cleft(%20x%20%5Cright)%5Cle%20M%2C%5Cforall%20x%5Cin%20D%20%5C%5C%0A%0A%5Cexists%20%7B%7Bx%7D_%7B0%7D%7D%5Cin%20D%2Cf%5Cleft(%20%7B%7Bx%7D_%7B0%7D%7D%20%5Cright)%3DM%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.)
![m=\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\Leftrightarrow \left{ \begin{matrix} f\left( x \right)\ge m,\forall x\in D \ \exists {{x}{0}}\in D,f\left( {{x}{0}} \right)=m \ \end{matrix} \right.](https://https://i0.wp.com/https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=m%3D%5Cunderset%7Bx%5Cin%20D%7D%7B%5Cmathop%7B%5Cmin%20%7D%7D%5C%2Cf%5Cleft(%20x%20%5Cright)%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%0Af%5Cleft(%20x%20%5Cright)%5Cge%20m%2C%5Cforall%20x%5Cin%20D%20%5C%5C%0A%0A%5Cexists%20%7B%7Bx%7D_%7B0%7D%7D%5Cin%20D%2Cf%5Cleft(%20%7B%7Bx%7D_%7B0%7D%7D%20%5Cright)%3Dm%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.)

2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Bước 1: Tìm tập xác định (nếu đề bài không cho sẵn)

Bước 2: Tính ) và giải phương trình %3D0%5CRightarrow%20%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B3%7D%7D%2C.....)

Bước 3: Tính %2Cf%5Cleft(%20%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%20%5Cright)%2Cf%5Cleft(%20%7B%7Bx%7D_%7B3%7D%7D%20%5Cright)%2C....) và %2Cf%5Cleft(%20b%20%5Cright))

Bước 4: So sánh và kết luận.

Ví dụ 1: Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Khi đó tổng có giá trị bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Tập xác định

![y'=0\Rightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0 \ x=2 \ \end{matrix} \right.](https://https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=y%27%3D0%5CRightarrow%203%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D-6x%3D0%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%0Ax%3D0%20%5C%5C%0A%0Ax%3D2%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.)

%3D1%2Cf%5Cleft(%201%20%5Cright)%3D-1%2Cf%5Cleft(%202%20%5Cright)%3D-3)

Dễ thấy %3Df%5Cleft(%200%20%5Cright)%3D1)

%3Df%5Cleft(%202%20%5Cright)%3D-3). Vậy chọn đáp án D

Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác %3D%5Csin%20x%2B%5Ccos%20x%2B%5Csin%20x.%5Ccos%20x) trên đoạn

%7D%7D%5C%2C%3D%5Csqrt%7B2%7D%2C%5Cunderset%7B%5Cleft%5B%200%2C%5Cpi%20%5Cright%5D%7D%7B%5Cmathop%7B%5Cmin%20f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%7D%5C%2C%3D-1)

%7D%7D%5C%2C%3D3%2C%5Cunderset%7B%5Cleft%5B%200%2C%5Cpi%20%5Cright%5D%7D%7B%5Cmathop%7B%5Cmin%20f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%7D%5C%2C%3D-3)

%7D%7D%5C%2C%3D%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5Cunderset%7B%5Cleft%5B%200%2C%5Cpi%20%5Cright%5D%7D%7B%5Cmathop%7B%5Cmin%20f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%7D%5C%2C%3D-1)

%7D%7D%5C%2C%3D%5Csqrt%7B2%7D%2C%5Cunderset%7B%5Cleft%5B%200%2C%5Cpi%20%5Cright%5D%7D%7B%5Cmathop%7B%5Cmin%20f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%7D%5C%2C%3D-%5Csqrt%7B2%7D)

Hướng dẫn giải

Đặt )

Vì

Ta có: %7D%5E%7B2%7D%7D%3D%7B%7B%5Csin%20%7D%5E%7B2%7D%7Dx%2Bco%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7Dx%2B2%5Csin%20x.%5Ccos%20x%3D1%2B2%5Csin%20x.%5Ccos%20x)

%3Dg%5Cleft(%20t%20%5Cright)%3Dt%2B%5Cfrac%7B%7B%7Bt%7D%5E%7B2%7D%7D-1%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B%7B%7Bt%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B2%7D%2Bt-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)

%3Dt%2B1%2Cg%27%5Cleft(%20t%20%5Cright)%3D0%5CLeftrightarrow%20t%3D-1)

%3D-1%2Cg%5Cleft(%20%5Csqrt%7B2%7D%20%5Cright)%3D%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)

%7D%7D%5C%2C%3D%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5Cunderset%7B%5Cleft%5B%200%2C%5Cpi%20%5Cright%5D%7D%7B%5Cmathop%7B%5Cmin%20f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%7D%5C%2C%3D-1)

Chọn đáp án C

3. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập D bất kì

Bước 1: Tìm tập xác định (Nếu đề bài không cho sẵn tìm trên miền nào)

Bước 2: Tính ) và giải phương trình %3D0%5CRightarrow%20%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B3%7D%7D%2C.....)

Bước 3: Lập bảng biến thiên

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

4. Quy tắc tìm điều kiện của tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước

Cho hàm số ) xác định và liên tục trên một đoạn

Bước 1: Tính ) và giải phương trình %3D0%5CRightarrow%20%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B3%7D%7D%2C.....)

Bước 2: Tính %2Cf%5Cleft(%20%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%20%5Cright)%2Cf%5Cleft(%20%7B%7Bx%7D_%7B3%7D%7D%20%5Cright)%2C....) và %2Cf%5Cleft(%20b%20%5Cright))

Bước 3: Biện luận theo tham số để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn

Bước 4: Thay điều kiện bài cho để tìm m

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số %3D%5Cfrac%7B2%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%2B7x%2B23%7D%7B%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%2B2x%2B10%7D)

Hướng dẫn giải

Dễ thấy nên hàm số xác định trên toàn trục số.

Gọi m là một giá trị tùy ý của hàm số, khi đó phương trình

![\begin{align} & \frac{2{{x}^{{2}}+7x+23}{{{x}}{2}}+2x+10}=m \ & \Leftrightarrow 2{{x}^{{2}}+7x+23=m\left( {{x}}{2}}+2x+10 \right) \ & \Leftrightarrow \left( m-2 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-7 \right)x+10m-23=0 \ \end{align}](https://https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20%5Cfrac%7B2%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%2B7x%2B23%7D%7B%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%2B2x%2B10%7D%3Dm%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%202%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%2B7x%2B23%3Dm%5Cleft(%20%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%2B2x%2B10%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft(%20m-2%20%5Cright)%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cleft(%202m-7%20%5Cright)x%2B10m-23%3D0%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D)

Ta xét hai trường hợp sau:

TH1: Nếu phương trình trở thành vậy phương trình có nghiệm khi

TH2: Nếu khi đó phương trình bậc 2 có nghiệm khi và chỉ khi:

![\begin{align} & \Delta ={{\left( 2m-7 \right)}^{2}}-4\left( m-2 \right)\left( 10m-23 \right)\ge 0 \ & \Leftrightarrow -36m+144m-135\ge 0 \ & \Rightarrow \frac{3}{2}\le m\le \frac{5}{2}\ne 2 \ & \Rightarrow \max f\left( x \right)=\frac{5}{2},\min f\left( x \right)=\frac{3}{2} \ \end{align}](https://https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20%5CDelta%20%3D%7B%7B%5Cleft(%202m-7%20%5Cright)%7D%5E%7B2%7D%7D-4%5Cleft(%20m-2%20%5Cright)%5Cleft(%2010m-23%20%5Cright)%5Cge%200%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20-36m%2B144m-135%5Cge%200%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CRightarrow%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cle%20m%5Cle%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5Cne%202%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CRightarrow%20%5Cmax%20f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%2C%5Cmin%20f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D)

B. Giải SGK Toán 12 Bài 3

Trong Sách giáo khoa Toán lớp 12, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 12. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Giải bài tập trang 24 SGK Giải tích lớp 12: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

C. Giải SBT Toán 12 Bài 3

Sách bài tập Toán 12 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Giải bài tập SBT Toán 12 bài 3

D. Bài tập trắc nghiệm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Để ôn tập lại kiến thức cũng như rèn luyện nâng cao hơn về bài tập của bài Hàm số này, VnDoc xin gửi tới các bạn học sinh Tài liệu Tìm GTLN, GTNN của hàm số do VnDoc biên soạn. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu sâu hơn và nắm rõ hơn lý thuyết cũng như bài tập của bài học này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Trắc nghiệm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số (Có đáp án)

----

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Toán 10 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

mẹo hay