Đề cuối kì 2 lớp 7 môn Toán năm 2023 - THPT Chuyên Hà Nội Amsterdam Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ hai đường cao BM và CN (M ∈ CA,N ∈ AB). Trên tia đối của các tia BM và CN lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho BP= AC và CQ=AB.
 Dethihocki.com Website:tailieumontoan SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017. MÔN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ 1 Bài 1. Cho các đa thức: 3 3 2 2 A = x + y − 2 xy + 3 x y + xy − y + x− 1 B = 2 x 3 + y 3 − 3 x y 2 + xy 2 + xy − 2 y + x− 5 a) Rút gọn các đa thức A + B; A − B. b) Tính giá trị của đa thức A khi x = − 1 ; 2 3 y − =. Bài 2. Cho các đa thức: ( ) 2 M x = x − 2 ; ( ) 3 N x = − x − x.
( )( ) N x M x có giá trị là số nguyên. Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A ; A < 90 °. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Kẻ đường cao AF của tam giác ACD ; AC cắt BF tại G. a) Chứng minh rằng: F là trung điểm của DC và G là trọng tâm của tam giác BDC. Chứng minh BD = 6 AG.
thẳng AF , CH , DK đồng quy. c) KF cắt AD tại I. Biết góc BAC = 45 °. So sánh độ dài các đoạn thẳng: CH , HI và ID. Bài 4. Cho đa thức f ( x ) thỏa mãn: f ( x + 1 ) = f ( x)+ 1 với x bất kì và f ( 0 )= 1. Tìmf ( x ). HẾT Website:tailieumontoan ⇒ x= 0 hoặc x 2 + 1 = 0. ⇒ x= 0 hoặc x 2 = − 1 (vô lý) Vậy x = 0. b) Ta có x 2 ≥ 0 với mọi x. 2 x − 2 ≥ − 2 với mọi x. Vậy giá trị nhỏ nhất của M ( x )là − 2 khi x = 0.
( )( ) 3 2 2 3 2 2 N x x x x x M x x x − − = = − − − − Xét x = 0 thì ( )( ) 3 2 N x M x = ∉ . Loại x = 0. Xét x ≠ 0 thì ( )( ) 3 2 2 3 3 2 2 2 N x x x x x x M x x x x x − − = = − − = − − − − − Để ( )( ) N x M x có giá trị là số nguyên thì 3 2 x x ∈ − . { } 2 2 3 x x 1;1;3; 3 x x − ⇒ − ∈ − − . Do { } 2 x x 1; 1; 2; 2 x ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ − − Thử lại ta nhận x ∈ {1; 2; −1; − 2 }Vậy x ∈ {1; 2; −1; − 2 }thì( )( ) N x M x có giá trị là số nguyên. Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A ; A < 90 °. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Kẻ đường cao AF của tam giác ACD ; AC cắt BF tại G. a) Chứng minh rằng: F là trung điểm của DC và G là trọng tâm của tam giác BDC. Chứng minh BD = 6 AG.
thẳng AF , CH , DK đồng quy. c) KF cắt AD tại I. Biết góc BAC = 45 °. So sánh độ dài các đoạn thẳng: CH , HI và ID. Lời giải Website:tailieumontoan a) Vì ∆ABC cân tại A (giả thiết) ⇒ AB = AC (tính chất tam giác cân) mà AB = AD (giả thiết) ⇒ AD =AC ⇒ ∆ ADC cân tại A (dấu hiệu nhận biết) Xét ∆ADC cân tại A có AF là đường cao (giả thiết) ⇒ AF cũng đồng thời là đường trung tuyến của ∆ADC (tính chất tam giác cân) ⇒ F là trung điểm của DC (đpcm). Xét ∆BDC có: CA là đường trung tuyến (vì A là trung điểm BD ) BF là đường trung tuyến (vì F là trung điểm DC ) Mà CA ∩ BF ={G } ⇒ Glà trọng tâm ∆BCD (đpcm).
Xét ∆MCD có: CK và DH là hai đường cao cắt nhau tại A ⇒ Alà trực tâm của ∆MCD ⇒ MA ⊥DC Mà AF ⊥ DC(giả thiết) ⇒ M, A , F thẳng hàng 45 ° G H M K I F D B C A Website:tailieumontoan Có BAC = KAD(2 góc đối đỉnh) mà BAC = 45 ° ⇒ KAD= 45 ° ⇒ ∆ KAD vuông cân tại K ⇒ KDI = 45 ° Xét ∆KID có IKD = 67,5° ; KDI = 45 °. ⇒ KID = 180 ° − 67,5 ° − 45 ° = 67,5° ⇒ IKD =KID ⇒ ∆ KID cân tại D ⇒ DK =DI ∆ AHC = ∆AKD (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ HC =KD mà KD = DI (chứng minh trên) ⇒ HC =DI ∆ AHC vuông cân tại H ⇒ HC =AH mà AH < HI nên HC <HI Vậy HC = DI < HI. Bài 4. Cho đa thức f ( x ) thỏa mãn: f ( x + 1 ) = f ( x)+ 1 với x bất kì và f ( 0 )= 1. Tìmf ( x ). Lời giải f ( ) 1 = f ( 0 + 1 ) = f( 0 )+ 1 = 1 + 1 = 2f ( 2 ) = f ( 1 + 1 ) = f( ) 1 + 1 = 2 + 1 = 3f ( ) 3 = f ( 2 + 1 ) = f( 2 ) + 1 = 3 + 1 = 4 ............................................. f ( x) = f ( x − 1 + 1 ) = f ( x − 1 ) + 1 = x+ 1Vậy f ( x ) = x+ 1. HẾT Website:tailieumontoan SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017. MÔN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ 2 ####### Bài 5. Cho các đa thức: f ( x ) = x 4 + 2 x 3 − 4 x 2 − 3 x+ 10 ; g ( x ) = − x 4 + x 2 − 2 x+ 1. ####### a) Tìm đa thức A x( )biết A x( ) = f ( x ) + g ( x). ####### b) Tìm đa thức B x( )biết B x( ) + g ( x ) = f ( x). ####### c) Chứng minh đa thức f ( x )có nghiệm là: − 2. ####### d) Tìm giá trị lớn nhất của g ( x ). ####### Bài 6. Cho đa thức f ( x ) = ax 2 + bx + c thỏa mãn f ( ) 1 = f( − 1 )
####### b) Chứng minh f ( m) = f ( − m)với m bất kì. Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A , B > C. Kẻ đường cao AH. a) So sánh AB với AC ; HB với HC. b) Trên HC lấy điểm M sao cho HM = HA, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với BC , đường thẳng này cắt AC tại N. Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ N xuống AH. So sánh AH và KN. c) Chứng minh tam giác ABN vuông cân. d) Gọi I là trung điểm của BN. Tính AHI. ####### Bài 8. Cho ba số x , y , z thỏa mãn: x 3 = z ( y − z). Biết trong ba số đó một có số âm, một số dương và một số bằng 0. Hỏi số nào âm, số nào dương và số nào bằng 0? HẾT Website:tailieumontoan ⇒ g ( x) ≤ 3 , ∀ ∈x . Đẳng thức xảy ra khi x = − 1. Vậy giá trị lớn nhất của g ( x )là g ( − 1 ) = 3 khi x = − 1. ####### Bài 2. Cho đa thức f ( x ) = ax 2 + bx + c thỏa mãn f ( ) 1 = f( − 1 )
####### b) Chứng minh f ( m) = f ( − m)với m bất kì. Lời giải a) Ta có: ####### ( ) f 1 = a 2 + b + c = a + b + c. ####### ( ) ( ) ( ) 2 f − 1 = a. − 1 + b. − 1 + c = a − b + c. ####### Vì f ( ) 1 = f( − 1 )nên: a + b + c = a − b + c ⇔ 2 b= 0 ⇔ b= 0.
####### ( ) f m = a m. 2 + b m. + c = a m. 2 + c(vì b = 0 ) ####### ( ) ( ) ( ) 2 f − m = a. −m + b. −m + c = a m. + c (vì b = 0 ). ####### Vậy f ( m) = f ( − m)với m bất kì. Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A , B > C. Kẻ đường cao AH. a) So sánh AB với AC ; HB với HC. b) Trên HC lấy điểm M sao cho HM = HA, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với BC , đường thẳng này cắt AC tại N. Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ N xuống AH. So sánh AH và KN. c) Chứng minh tam giác ABN vuông cân. d) Gọi I là trung điểm của BN. Tính AHI. Lời giải Website:tailieumontoan a) +) Trong ∆ABC có B > C (giả thiết) nên AC > AB. +) ∆ABH vuông tại H có B + BAH = 90 ° mà BAH + CAH = 90 ° ( BAC = 90 ° )nênB = HAC. ∆ AHC vuông tại H có C + CAH = 90 ° mà BAH + CAH = 90 ° ( BAC = 90 °) nênC = HAB. Vì B = HAC; C = HAB; AC > ABnên B > HAB; HAC > C. Trong ∆ABH có B > HABnên BH < AH. Trong ∆AHC có HAC > Cnên HC > AH. Ta thấy BH < AH; HC > AH nên BH < HC. b) Nối KM Vì KH //MN // NK AH NK MH MH AH ⊥ ⇒ ⊥ (định lý). Vì // HC AH NM AH MN HC ⊥ ⇒ ⊥ mà KN ⊥ AH nên KN ⊥ MN hay MNK = 90 °. Xét hai tam giác vuông ∆HKM và ∆NMK có KHM = KNM( = 90 °) ; KM cạnh chung; HMK = MKN (Vì HM / /KN ) Do đó ∆HKM = ∆NMK (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra KN = HM; MN = HK (cạnh tương ứng). Vì AH = HM (giả thiết); KN = HM nên AH = KN (đpcm) c) Xét hai tam giác vuông ∆ABH và ∆NAK có KHN = AHB ( = 90 °) ; AH = KN (Chứng minh trên); BAH = ANK(Chứng minh trên); Do đó ∆ABH = ∆NAK (g – c – g) I K N B H M A C Website:tailieumontoan SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017. MÔN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ 3 Bài 9. Cho các đa thức: A = 2 x 4 + 2 x 3 − x+ 5 ; B = 5 x 4 − x 3 + 3 x 2 + 1 ; C = 3 x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 + x− 3. a) Tính A − B − C.
Bài 10. Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
2 x + 6 + 2 x − 3 62 − 5 x + 3 x− 3. Bài 11. Tìm x biết: a) x + 5 − 4 = 3.
2 12 2015 2015 0 x x x x
Website:tailieumontoan HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MÔN TOÁN 7 (2016 – 2017) Bài 1. Cho các đa thức: 4 3 A = 2 x + 2 x − x+ 5 ; 4 3 2 B = 5 x − x + 3 x + 1 ; 4 3 2 C = 3 x − 4 x + 6 x + x− 3. a) Tính A − B − C.
Lời giải a) A − B − C = 2 x 4 + 2 x 3 − x + 5 − ( 5 x 4 − x 3 + 3 x 2 + 1 ) − ( 3 x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 + x− 3 )( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 3 3 3 2 2 = 2 x − 5 x − 3 x + 2 x + x + 4 x + − 3 x − 6 x + − x − x + 5 − 1 + 3 = − 6 x 4 + 7 x 3 − 9 x 2 − 2 x+ 7. b) ( ) ( ) ( ) ( )f x = A − 2 B + C = 2 x 4 + 2 x 3 − x + 5 − 2 5 x 4 − x 3 + 3 x 2 + 1 + 3 x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 + x− 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 3 3 3 2 2 = 2 x − 10 x + 3 x + 2 x + 2 x − 4 x + − 6 x + 6 x + − x + x + 5 − 2 − 3 = − 5 x 4. Ta có: f ( x ) = 0 ⇔ − 5 x 4 = 0 ⇔ x= 0.Vậy đa thức f ( x ) = A − 2 B + C có nghiệm x = 0. Bài 2. Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
2 x + 6 + 2 x − 3 62 − 5 x + 3 x− 3. Lời giải
( )\= 4 x 2 + 8 xy − 3 xy − 6 y 2 − 2 2 x 2 − 6 xy + xy − 3 y 2 − 15 xy+ 30 ( ) ( ) ( )2 2 2 2 = 4 x − 4 x + 8 xy − 3 xy + 12 xy − 2 xy − 15 xy + − 6 y + 6 y + 30 = 30. Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.
2 2 x + 6 + 2 x − 3 − 5 x + 3 x− 3 Website:tailieumontoan Trường hợp 2: ( ) 10 x − 2015 = 1 x − 2015 = 1 hoặc x − 2015 = − 1 x = 2016 hoặc x = 2014. Vậy x = 2015 hoặc x = 2016 hoặc x = 2014. Bài 4. Trong kì thi thợ giỏi của một xí nghiệp, ba người thợ Tài, Trí, Đức được xí nghiệp thưởng 10 triệu đồng. Số tiền được phân chia theo tỉ lệ số sản phẩm mà mỗi người đạt được. Biết số sản phẩm của Tài bằng 5 3 so với số sản phẩm của Trí, số sản phẩm của Đức bằng 25% tổng số sản phẩm của hai người kia. Tính số tiền mỗi người thợ được thưởng. Lời giải Gọi số tiền thưởng của ba người thợ tên Tài, Trí, Đức lần lượt là x , y , z ( x y z, , > 0 ).Theo bài ra: x + y + z= 10 ( ) 1. Vì số tiền được phân chia tỉ lệ theo số sản phẩm mà người đó làm nên ta có: Số sản phẩm của Tài bằng 5 3 so với số sản phẩm của Trí, suy ra 5 3 x = y. ( 2 ) Số sản phẩm của Đức bằng 25% tổng số sản phẩm của hai người kia, suy ra z = 25% ( x + y). Ta có: 1 5 1 8 2 . 4 3 4 3 3 z y y y y = + = = . ( ) 3Thay ( 2 ) , ( ) 3 vào ( ) 1 ta có: 5 2 10 3 3 y + y + y=. 10 10 3 3 ⇔ y = ⇔ y= (thỏa mãn). Từ đó ta có x = 5 , z = 2. Vậy số tiền thưởng của Tài là 5 triệu; số tiền thưởng của Trí là 3 triệu; số tiền thưởng của Đức là 2 triệu. Bài 5. Cho tam giác ∆ABC vuông cân tại A , M là trung điểm của BC. Lấy điểm D bất kì trên đoạn BM. Gọi H và I thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng Website:tailieumontoan a) AI = BH. b) BH 2 + CI 2 có giá trị không đổi. c) Đường thẳng DN vuông góc với AC. d) ∆HMI vuông cân, IM là phân giác của góc CIH. Lời giải a) Ta có: BAH = ICA(cùng phụ với IAC ). Chứng minh được ∆ABH = ∆CAI (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ AI = BH (2 cạnh tương ứng). b) Ta có: AI = BH ⇒ BH 2 +CI 2 = AI 2 +CI 2 Xét tam giác vuông AIC có: AI 2 + CI 2 = AC 2 (không đổi) ⇒ đpcm. c) Xét tam giác vuông cân ∆ABC có AM là đường trung tuyến đồng thời sẽ là đường cao trong tam giác ∆ABC nên AM ⊥ BC. Xét tam giác ∆ADC có: AM ⊥ DC(chứng minh trên), CI ⊥ AD(chứng minh trên), AM ∩ CI ={ N} ⇒ N là trực tâm ∆ADC. ⇒ AC ⊥ DN(tính chất trực tâm) ⇒ đpcm. d) Chứng minh ∆HMI vuông cân: 1 1 3 2 1 MNIHCBADWebsite:tailieumontoan SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2019-2020. MÔN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ 4 Bài 14. Cho hai đa thức: ( ) f x = 3 x 3 − 4 x 4 − 2 x 3 + 3 x 2 + 5 x − 3 + 4 x 4 − 3 x ( ) 3 5 3 1 2 11 2 3 9 3 5 2 2 g x = x − x + x − x + + x + x − x
biến rồi tìm bậc, hệ số tự do và hệ số cao nhất của các đa thức đó.
1 2 g .
Bài 15. Tìm nghiệm của các đa thức sau: ####### a) ( ) 1 2 2 4 3 2 2 3 A x x x = − + − ####### . b) ( ) 1 1 2 4 3 3 B x x x = − − .
2 2 2 3 1 2 1 x x f x x − + = + và đa thức ( ) ( 2 )1 1 2 2 g x x x = − + . Tính giá trị của biểu thức f ( x )với x là nghiệm của đa thức g ( x ). Bài 17. Cho ∆ABC có AB > AC, trung tuyến CM. Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD = MC. a) Chứng minh AD = CBvà AD //BC. b) Chứng minh AC + CB > 2 CM. c) Gọi K là điểm trên đoạn AM sao cho AK = 2 KM, CK cắt AD tại N. Chứng minh N là trung điểm của AD. d) Gọi I là giao điểm của BN với CD. Chứng minh 6 CD MI =. Bài 18. Cho đa thức ( ) ( )2 2017 f x = 1 − 5 x + 3 x. Tính tổng tất cả các hệ số của đa thức f ( x )sau khi đã phá ngoặc. HẾT Website:tailieumontoan HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ II TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM ĐỀ SỐ 1 - MÔN TOÁN 7 (2018 – 2019) Bài 1. Cho hai đa thức: ( ) 3 4 3 2 4 f x = 3 x − 4 x − 2 x + 3 x + 5 x − 3 + 4 x − 3 x ( ) 3 5 3 1 2 11 2 3 9 3 5 2 2 g x = x − x + x − x + + x + x − x
biến rồi tìm bậc, hệ số tự do và hệ số cao nhất của các đa thức đó.
1 2 g .
Lời giải
3 4 3 2 4 f x = 3 x − 4 x − 2 x + 3 x + 5 x − 3 + 4 x − 3 x ( ) ( ) ( )\= − 4 x 4 + 4 x 4 + 3 x 3 − 2 x 3 + 3 x 2 + 5 x − 3 x − 3 3 2 = x + 3 x + 2 x− 3. Bậc của f ( x) là 3. Hệ số tự do: − 3. Hệ số cao nhất: 1. ( ) 3 5 3 1 2 11 2 3 9 3 5 2 2 g x = x − x + x − x + + x + x − x ( ) ( ) ( )5 5 3 3 1 2 11 3 3 2 9 2 2 = x − x + − x + x + x + − x + x + 3 1 2 11 8 2 2 = x + x + x+. Bậc của g ( x ): 3. Hệ số tự do: 11 2 . Hệ số cao nhất: 1.
3 2 f − 1 = − 1 + 3. − 1 + 2. − 1 − 3 = − + 1 3 − 2 − 3 = − 3 3 2 1 1 1 1 1 11 1 1 11 39 . 8. 4 2 2 2 2 2 2 8 8 2 4 g = + + + = + + + = |
