Cho mặt phẳng (α). Nếu vectơ n→≠0→ và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì n→ là vectơ pháp tuyến (VTPT) của (α). Chú ý: +) Nếu n→ là một VTPT của mặt phẳng (α) thì kn→ (k≠0) cũng là một VTPT của mặt phẳng (α). +) Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó. +) Nếu u→, v→ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α) thì n→=[u→, v→] là một VTPT của (α). 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng Phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 với A2+B2+C2≠0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Nhận xét: +) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một VTPT là n→=(A; B; C). +) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ n→ =(A; B; C) khác 0→ làm VTPT là: A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0. +) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn α:xa+yb+zc=1. Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) với abc≠0. II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Phương pháp giải: Cho mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó mặt phẳng (α) có một VTPT là n→=(A; B; C). Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 4y + 5 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
Hướng dẫn giải: Ta có (P): 2x – 4y + 5 = 0 có một vectơ pháp tuyến là n→=2; −4; 0=−12−1; 2; 0. Vậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n1→=−1; 2; 0. Chọn B. Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng khi đã biết một điểm đi qua và vectơ pháp tuyến Phương pháp giải: Cho mặt phẳng α đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ n→=(A; B; C) làm vectơ pháp tuyến. Khi đó phương trình mặt phẳng α là A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A (2; 0; -2) và nhận n→=1 ; 2 ; 3 làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là
Hướng dẫn giải: Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 1(x – 2) + 2(y – 0) + 3[z – (-2)] = 0 ⇔x + 2y + 3z + 4 = 0. Chọn A. Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng α đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) cho trước. Phương pháp giải: +) Mặt phẳng α song song với mặt phẳng (P) cho trước nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng α chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). +) Từ đó viết phương trình mặt phẳng α đi qua M và có vectơ pháp tuyến là nα→=nP→. Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Q) đi qua điểm A (1; 2; -1) và song song với α: 3x + 4y – z + 1 = 0 có phương trình là
Hướng dẫn giải: α có một vectơ pháp tuyến là nα→=3; 4; −1. Do Q//α⇒nQ→=3;4;−1 Vì (Q) đi qua A (1; 2; -1) nên phương trình mặt phẳng (Q) là: 3(x – 1) + 4(y – 2) – 1(z + 1) = 0 ⇔3x + 4y – z – 12 = 0 Chọn A. Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng α đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). Phương pháp giải: Gọi nα→, nP→, nQ→ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng α, (P), (Q). Vì mặt phẳng α vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên ta có nα→⊥nP→nα→⊥nQ→⇒nα→=nP→, nQ→ Từ đó viết phương trình mặt phẳng α đi qua M và có vectơ pháp tuyến là nα→ đã tính phía trên. Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 và (Q): 5x – 4y + 3z + 1 = 0. Gọi (R) là mặt phẳng đi qua gốc toạ độ O và vuông góc với cả (P) và (Q). Khi đó phương trình mặt phẳng (R) là
Hướng dẫn giải: Gọi n1→, n2→, n3→ lần lượt là véctơ pháp tuyến của (P), (Q), (R). Theo bài ra ta có n1→=3;−2;2, n2→=5;−4;3. Vì mặt phẳng (R) vuông góc với cả (P) và (Q) nên ta có: n3→⊥n1→n3→⊥n2→⇒n3→=n1→,n2→=2;1;−2 Vì (R) là mặt phẳng đi qua gốc toạ độ O (0; 0; 0) nên phương trình mặt phẳng (R) là: 2(x – 0) + 1(y – 0) – 2(z – 0) = 0 ⇔2x + y – 2z = 0 Chọn B. Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng α đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). Phương pháp giải: Gọi nα→, nP→ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng α và mặt phẳng (P). Vì mặt phẳng α đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) nên ta có: nα→⊥nP→nα→⊥AB→⇒nα→=nP→, AB→ Từ đó viết phương trình mặt phẳng α đi qua A (hoặc B) và có vectơ pháp tuyến là nα→ đã tính phía trên. Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua A (2; -1; 4), B (3; 2; -1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + y + 2z – 3 = 0. Khi đó mặt phẳng (P) có phương trình là
Hướng dẫn giải: Ta có: AB→=(1;3;−5), vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là nQ→=(1;1;2). Mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) nhận AB→,nQ→=(11;−7;−2) làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình: 11(x – 2) – 7(y + 1) – 2(z – 4) = 0 ⇔11x – 7y – 2z – 21 = 0. Chọn C. Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng α đi qua ba điểm A, B, C cho trước. Phương pháp giải: Gọi nα→ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng α. Vì mặt phẳng α đi qua A, B, C nên ta có nα→⊥AB→nα→⊥AC→⇒nα→=AB→, AC→ Từ đó viết phương trình mặt phẳng α đi qua A (hoặc B, hoặc C) và có vectơ pháp tuyến là nα→ đã tính phía trên. Ví dụ 6: Cho M (0; 3; -5), N (1; 0; 6), E (-4; 3; 0). Phương trình mặt phẳng (MNE) là:
Hướng dẫn giải: Ta có MN→=1 ; −3 ; 11, ME→=−4 ; 0 ; 5 nên MN→ , ME→=−15 ; −49 ; −12=−15 ; 49 ; 12 Suy ra phương trình mặt phẳng (MNE) có một vectơ pháp tuyến là n→=15 ; 49 ; 12. Vì mặt phẳng (MNE) đi qua N (1; 0; 6) nên phương trình mặt phẳng (MNE) là 15(x – 1) + 49(y – 0) + 12(z – 6) = 0 ⇔15x + 49y + 12z – 87 = 0 Chọn A. Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng α đi qua ba điểm A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) abc≠0 . (Phương trình đoạn chắn). Phương pháp giải: Nếu mặt phẳng α đi qua ba điểm A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) abc≠0 thì phương trình α có dạng α:xa+yb+zc=1 Ví dụ 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A (-3; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0; -2) là
Hướng dẫn giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua 3 điểm A (-3; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0; -2), khi đó phương trình mặt phẳng (P) là: x-3+y4+z−2=1 Chọn D. Dạng 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm A, B, mặt phẳng (P) qua điểm A, B và tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng φ. Viết phương trình mặt phẳng (P). Phương pháp giải: + Gọi phương trình của mặt phẳng (P) là ax + by + cz + d = 0a2+b2+c2>0. + Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là n→P=a;b;c,nQ→. + Mặt phẳng (P) qua A, B nên tọa độ A, B lần lượt thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P) tìm được hai mối liên hệ giữa a, b, c, d. + Áp dụng điều kiện về góc giữa hai mặt phẳng cosφ=cosnP→;nQ→=nP→.nQ→nP→.nQ→, tìm được mối liên hệ giữa a, b, c, d, khử điều kiện để tìm được mối liên hệ giữa a, b (hoặc b, c; a, c). + Từ mối liên hệ giữa a, b ta chọn a để tìm b rồi suy ra phương trình mặt phẳng (P). Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 0; 0) và N (0; 0; -1), mặt phẳng (P) qua điểm M, N và tạo với mặt phẳng (Q): x – y – 4 = 0 một góc bằng 450. Phương trình mặt phẳng (P) là
Hướng dẫn giải: Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là n→P=a;b;c,nQ→. Suy ra nQ→1;−1;0. + Gọi phương trình của mặt phẳng (P) là ax + by + cz + d = 0 a2+b2+c2>0. + (P) qua M (1; 0; 0) ⇒ a + d = 0 (1) (P) qua N (0; 0; -1) ⇒ -c + d = 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra a + c = 0 hay c = -a + (P) hợp với (Q) góc 450  Với a = 0⇒c = 0, chọn b = 1 ta được phương trình (P): y = 0. Với a = -2b chọn b = -1 suy ra a = 2, phương trình mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 2 = 0. Chọn A. Dạng 9: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A, B, C. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng d. Phương pháp giải: + Gọi phương trình của mặt phẳng (P) là ax + by + cz + d = 0 a2+b2+c2>0. + Mặt phẳng (P) qua A, B nên tọa độ A, B lần lượt thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P) tìm được hai mối liên hệ giữa a, b, c, d. + Áp dụng điều kiện về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng dC;P=axC+byC+czC+da2+b2+c2=d tìm được mối liên hệ giữa a, b, c, d; khử điều kiện để tìm được mối liên hệ giữa a, b (hoặc b, c; a, c). |
