§1. CÁC ĐỊNH NGHĨA KIẾN THỨC CĂN BẢN Khái niệm vectơ Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hương Định nghĩa: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ bằng nhau Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu ã = b. Vectơ - không Với một điểm A bặt kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là ÃÁ và gọi là vectơ-không (õ). PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Cho ba vectơ a, b , c đều khác vectơ 0 . Cảc khẳng định sau đúng hay sai? Nếu hai vectơ a, b cùng phương với c thì a và b cùng phương. Nếu a, b cùng ngược hướng với c thì a và b cùng hướng. ‘7’tđ lèi Nếu a, b cùng phương với c thì a và b cùng phương. Mệnh đề đúng. Nếu a, b cùng ngược hướng với C thì a và b cùng hướng. Mệnh đề đúng. Trong hình dưới hãy chỉ ra các vectơ củng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau. *7nẦ iài Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Ta có: Các vectơ cùng phương: a và b cùng phương; u, V cùng phương; X , y, w và z cùng phương. Các vectơ cùng hướng: a và b cùng hướng: c) Các vectơ ngược hướng: X , y và z cùng hướng. u và V ngược hướng; w và X ngược hướng; w và y ngược hướng; w và z ngược hướng, d) Các vectơ bằng nhau: X và y . D c Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình binh hành khi và chỉ khi AB = DC . ABCD là hình bình hành thì AB = DC và AB, DC cùng hướng. Khi đó Ãẽ = DC . Ngược lại: nếu AB = DC thì AB = DC và AB // DC do đó ABCD là hình bình hành. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm o. Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương với OA ; Tìm các vectơ bằng vectơ AB . (ỹ-ứíi Các vectơ khác OA cùng phương với nó là: DA, ÃD, BC, CB, Ãõ, ÕD, DO, FE, ẼF Các vectơ bằng AB : oc, ED, FO'. c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Chứng minh: BD = HC. Gọi K là trung điểm của AH và I là trung điểm của BC. Chứng minh: OK = IH và OI = KH . dẪn: Chứng minh các tứ giác BDCH và KOIH là hình bình hành. Cho hình vuông ABCD tâm o. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai trong các điểm A, B, c, D, o. Hãy tìm các vectơ bằng với vectơ AB, oc. Hãy tìm các vectơ có độ dài bằng độ dài các vectơ AC, AB, oc. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vẽ AD = GC và DE = GB. Chứng minh GE = õ. ‘ĨVcábi? eiẫtt: Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác. Bài 1: Các định nghĩaBài 1 (trang 7 SGK Hình học 10)
Lời giải
Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 10
Bài 1 trang 7 sgk toán hình học lớp 10 Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\) đều khác vec tơ \(\overrightarrow{0}\). Các khẳng định sau đây đúng hay sai? a) Nếu hai vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) cùng phương với \(\overrightarrow{c}\) thì \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) cùng phương. b) Nếu \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) cùng ngược hướng với \(\overrightarrow{c}\) thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng . Giải a) Gọi theo thứ tự \({\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}\) là giá của các vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\) \(\overrightarrow{a}\) cùng phương với \(\overrightarrow{c}\) \( \Rightarrow {\Delta _1}//{\Delta _3}\) ( hoặc \({\Delta _1} \equiv {\Delta _3}\)) (1) \(\overrightarrow{b}\) cùng phương với \(\overrightarrow{c}\) \(\Rightarrow {\Delta _2}//{\Delta _3}\) ( hoặc \({\Delta _2} \equiv {\Delta _3}\) ) (2) Từ (1), (2) suy ra \({\Delta _1}//{\Delta _2}\) ( hoặc \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2}\) ), theo định nghĩa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) cùng phương. Vậy câu a) đúng. b) Đúng. Bài 2 trang 7 sgk hình học lớp 10 Trong hình 1.4, hãy chỉ ra các vec tơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau.  Giải - Các vectơ cùng phương: \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\); \(\overrightarrow{x}\), \(\overrightarrow{y}\), \(\overrightarrow{z}\) và \(\overrightarrow{w}\); \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\). - Các vectơ cùng hướng: \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\); \(\overrightarrow{x}\), \(\overrightarrow{y}\), \(\overrightarrow{z}\) - Các vectơ ngược hướng: \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\); \(\overrightarrow{z}\) và \(\overrightarrow{w}\); \(\overrightarrow{y}\) và \(\overrightarrow{w}\); \(\overrightarrow{x}\) và \(\overrightarrow{w}\). - Các vectơ bằng nhau: \(\overrightarrow{x}\) = \(\overrightarrow{y}\). Bài 3 trang 7 sgk hình học lớp 10 Cho tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\). Giải Ta chứng minh hai mệnh đề: *) Khi \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\) thì \(ABCD\) là hình bình hành. Thật vậy, theo định nghĩa của vec tơ bằng nhau thì: \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\) ⇔ \(\left | \overrightarrow{AB} \right |\) = \(\left | \overrightarrow{DC} \right |\) và \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng suy ra \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng phương, suy ra giá của chúng song song với nhau, hay \(AB // DC\) (1) Ta lại có \(\left | \overrightarrow{AB} \right |\) = \(\left | \overrightarrow{DC} \right |\) suy ra \(AB = DC\) (2) Từ (1) và (2), theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tứ giác \(ABCD\) có một cặp cạnh song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. *) Khi \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\) Khi \(ABCD\) là hình bình hành thì \(AB // CD\). Dễ thấy, từ đây ta suy ra hai vec tơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) cùng hướng (3) Mặt khác \(AB = CD\) suy ra \(\left | \overrightarrow{AB} \right |\) = \(\left | \overrightarrow{CD} \right |\) (4) Từ (3) và (4) suy ra \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\). Bài 4 trang 7 sgk hình học lớp 10 Cho lục giác đều \(ABCDEF\) có tâm \(O\). a) Tìm các vec to khác \(\overrightarrow{0}\)và cùng phương với \(\overrightarrow{OA}\) b) Tìm các véc tơ bằng véc tơ \(\overrightarrow{AB}\) Giải a) Các vec tơ cùng phương với vec tơ \(\overrightarrow{OA}\): \(\overrightarrow{BC}\); \(\overrightarrow{CB}\); \(\overrightarrow{EF}\); \(\overrightarrow{DO}\); \(\overrightarrow{OD}\); \(\overrightarrow{DA}\); \(\overrightarrow{AD}\); \(\overrightarrow{FE}\) và \(\overrightarrow{AO}\). b) Các véc tơ bằng véc tơ \(\overrightarrow{AB}\): \(\overrightarrow{ED}\); \(\overrightarrow{FO}\); \(\overrightarrow{OC}\). Giaibaitap.me Page 2
Bài 1 trang 12 sgk hình học lớp 10 Cho đoạn thẳng \(AB\) và điểm \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\) sao cho \(AM > MB\). Vẽ các vectơ \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{MA}\)- \(\overrightarrow{MB}\) Giải Trên đoạn thẳng \(AB\) ta lấy điểm \(M'\) để có \(\overrightarrow{AM'}\)= \(\overrightarrow{MB}\)
Như vậy \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MB}\)= \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{AM'}\) = \(\overrightarrow{MM'}\) ( quy tắc 3 điểm) Vậy vec tơ \(\overrightarrow{MM'}\) chính là vec tơ tổng của \(\overrightarrow{MA}\) và \(\overrightarrow{MB}\) \(\overrightarrow{MM'}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MB}\) . Ta lại có \(\overrightarrow{MA}\) - \(\overrightarrow{MB}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + (- \(\overrightarrow{MB}\)) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{MA}\) - \(\overrightarrow{MB}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{BM}\) (vectơ đối) Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có \(\overrightarrow{MA}\) +\(\overrightarrow{BM}\) = \(\overrightarrow{BM}\) + \(\overrightarrow{MA}\) = \(\overrightarrow{BA}\) (quy tắc 3 điểm) Vậy \(\overrightarrow{MA}\) - \(\overrightarrow{MB}\) = \(\overrightarrow{BA}\) Bài 2 trang 12 sgk hình học lớp 10 Cho hình bình hành \(ABCD\) và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{MD}\). Giải Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ: \(\overrightarrow{MA}\) = \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{BA}\) \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MD}\) + \(\overrightarrow{DC}\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MB}\) +\(\overrightarrow{MD}\)+ (\(\overrightarrow{BA}\) +\(\overrightarrow{DC}\)) \(ABCD\) là hình bình hành nên hai vec tơ \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{DC}\) là hai vec tơ đối nhau nên: \(\overrightarrow{BA}\) +\(\overrightarrow{DC}\) = \(\overrightarrow{0}\) Suy ra \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{MD}\). Cách 2. Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ \(\overrightarrow{AB}\)= \(\overrightarrow{MB}\) - \(\overrightarrow{MA}\) \(\overrightarrow{CD}\) = \(\overrightarrow{MD}\) - \(\overrightarrow{MC}\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{CD}\) = (\(\overrightarrow{MB}\) +\(\overrightarrow{MD}\)) - (\(\overrightarrow{MA}\) +\(\overrightarrow{MC}\)). \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) là hai vec tơ đối nhau, cho ta: \(\overrightarrow{AB}\) +\(\overrightarrow{CD}\) = \(\overrightarrow{0}\) Suy ra: \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{MD}\). Bài 3 trang 12 sgk hình học lớp 10 Chứng minh rằng đối với tứ giác \(ABCD\) bất kì ta luôn có a) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}= \overrightarrow{0}\); b) \(\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}\). Giải a) Theo quy tắc 3 điểm của tổng vec tơ, ta có \(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}\); \(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}= \overrightarrow{CA}\) Như vậy \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{DA}= ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}) = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}\) mà \(\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\). Vậy \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{DA}= \overrightarrow{0}\) b) Theo quy tắc 3 điểm của hiệu vec tơ, ta có \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{DB}\) (1) \(\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DB}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{CB} -\overrightarrow{CD}\). Bài 4 trang 12 sgk hình học lớp 10 Cho tam giác \(ABC\). Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành \(ABIJ, BCPQ, CARS\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}= \overrightarrow{0}\) Giải Ta xét tổng: \(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{JI} +\overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PS}+ \overrightarrow{SR} = \overrightarrow{RR}= \overrightarrow{0}\)(1) Mặt khác, ta có \(ABIJ, BCPQ\) và \(CARS\) là các hình bình hành nên: \(\overrightarrow{JI}\) = \(\overrightarrow{AB}\) \(\overrightarrow{QP}\) = \(\overrightarrow{BC}\) \(\overrightarrow{SR}\) = \(\overrightarrow{CA}\) \(\Rightarrow \overrightarrow{JI}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}= \overrightarrow{AA}= \overrightarrow{0}\)(2) Từ (1) và (2) suy ra : \(\overrightarrow{RJ}\) + \(\overrightarrow{IQ}\) + \(\overrightarrow{PS}\)= \(\overrightarrow{0}\) (đpcm) Giaibaitap.me Page 3
Page 4
Page 5
Bài 1 trang 17 sgk toán hình học lớp 10 Cho hình bình hành \(ABCD\). Chứng mỉnh rằng: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD}= 2\overrightarrow{AC}\). Giải \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{AC}\) Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AC}\) (quy tắc hình bình hành của tổng) \(\Rightarrow \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AC} =2\overrightarrow{AC}\) Bài 2 trang 17 sgk hình học lớp 10 Cho \(AK\) và \(BM\) là hai trung tuyến của tam giác \(ABC\). Hãy phân tích các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AC} \) theo hai vectơ sau \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AK} ,\overrightarrow v = \overrightarrow {BM} \) Giải Gọi \(G\) là giao điểm của \(AK, BM\) thì \(G\) là trọng tâm của tam giác. Ta có : \(\eqalign{ & \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow {AK} \Rightarrow \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow u \cr & \overrightarrow {GB} = - \overrightarrow {BG} = - {2 \over 3}\overrightarrow {BM} = - {2 \over 3}\overrightarrow v \cr} \) Theo quy tắc \(3\) điểm đối với tổng vec tơ: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} \Rightarrow \overrightarrow {AB} = {2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v = {2 \over 3}(\overrightarrow u - \overrightarrow v )\) \(AK\) là trung tuyến thuộc cạnh \(BC\) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AK} \Rightarrow {2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow u \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = {4 \over 3}\overrightarrow u + {2 \over 3}\overrightarrow v \Rightarrow \overrightarrow {CA} = - {4 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v \) \(BM\) là trung tuyến thuộc đỉnh \(B\) nên \(\eqalign{ & \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM} \Rightarrow - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v \cr & \Rightarrow \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v + {2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v = {2 \over 3}\overrightarrow u + {4 \over 3}\overrightarrow v \cr} \) Bài 3 trang 17 sgk hình học lớp 10 Trên đường thẳng chứa cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\) lấy một điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow v = \overrightarrow {AC} \) Giải Trước hết ta có \(\eqalign{ & \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \Rightarrow \overrightarrow {MB} = 3.(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} ) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {BC} \cr & \Rightarrow - 2\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {BC} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {BM} = {3 \over 2}\overrightarrow {BC} \cr} \) mà \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \) nên \(\overrightarrow {BM} = {3 \over 2}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )\) Theo quy tắc \(3\) điểm, ta có \(\eqalign{ & \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + {3 \over 2}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = - {1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {3 \over 2}\overrightarrow {AC} \cr &\text{ Hay } \overrightarrow {AM} = - {1 \over 2}\overrightarrow u + {3 \over 2}\overrightarrow v \cr} \) Bài 4 trang 17 sgk hình học lớp 10 Gọi \(AM\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\) và \(D\) là trung điểm của đạn \(AM\). Chứng minh rằng: a) \(2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \) b) \(2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OD} \), với \(O\) là điểm tùy ý. Giải
a) Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên: Ta có: \(\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {DM} \) Mặt khác, do \(D\) là trung điểm của đoạn \(AM\) nên \(\overrightarrow {DM} = - \overrightarrow {DA} \) Khi đó: \(2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {DA} + 2\overrightarrow {DM} = 2\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DM} } \right) = \overrightarrow 0 \) b) Ta có: \(\eqalign{ & 2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OD} \cr & \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OD} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OD} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0 \cr & \Leftrightarrow 2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \cr} \) (Đúng theo câu a) Vậy: \(2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OD} \), với \(O\) là điểm tùy ý Giaibaitap.me Page 6
Bài 5 trang 17 sgk hình học lớp 10 Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(CD\) của tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng: \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \) Giải \(N\) là trung điểm của \(CD\): \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \) (1) Theo quy tắc 3 điểm, ta có: \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} \) (2) \(\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} \) (3) Từ (1), (2), (3) ta có: \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} \) \(= \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \) Chứng minh tương tự, ta có: \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \) Bài 6 trang 17 sgk hình học lớp 10 Cho hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Tìm điểm \(K\) sao cho \(3\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}\). Giải Ta có: \(3\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}\)\( \Rightarrow 3\overrightarrow{KA}= -2 \overrightarrow{KB}\) \( \Rightarrow \overrightarrow{KA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{KB}\) Đẳng thức này chứng tỏ hi vec tơ \(\overrightarrow{KA},\overrightarrow{KB}\) là hai véc tơ ngược hướng, do đó \(K\) thuộc đoạn \(AB\) Ta lại có: \(\left | \overrightarrow{KA} \right |= \frac{2}{3}\left | \overrightarrow{KB} \right |\)\( \Rightarrow KA = \frac{2}{3} KB\) Vậy \(K\) là điểm chia trong đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(\frac{2}{3}\). Bài 7 trang 17 sgk hình học lớp 10 Cho tam giác \(ABC\). Tìm điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) Giải Gọi \(D\) là trung điểm của cạnh \(AB\), ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MD} \) Đẳng thức đã cho trở thành: \(2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) \(\Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) Đẳng thức này chứng tỏ \(M\) là trung điểm của \(CD\) Bài 8 trang 17 sgk hình học lớp 10 Cho lục giác \(ABCDEF\). Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm. Giải \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \) Tương tự ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CE} \cr & \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\overrightarrow {EA} \cr} \) \(\eqalign{ & \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right) = {1 \over 2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 (1) \cr & \cr} \) Gọi \(G\) là trong tâm của tam giác \(MPR\), ta có: \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} = \overrightarrow 0 (2)\) Mặt khác : \(\eqalign{ & \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GN} \cr & \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GQ} \cr & \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GS} \cr} \) \(\Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} } \right) + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} (3)\) Từ (1),(2), (3) suy ra: \(\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \) Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(NQS\) Bài 9 trang 17 sgk hình học lớp 10 Cho tam giác đều \(ABC\) có trọng tâm \(O\) và \(M\) là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi \(D,E,F\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) đến \(BC, AC, AB\). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = {3 \over 2}\overrightarrow {MO} \) Giải
Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác A1B1 // AB; A2C2 // AC; B2C1 // BC. Dễ thấy các tam giác MB1C2; MA1C1;MA2B2 đều là các tam giác đều. Ta lại có MD Ta có 2 Tương tự: 2 2 => 2( Tứ giác là hình bình hành nên
Tương tự:
=> 2( vì O là trọng tâm bất kì của tam giác và M là một điểm bất kì nên
Cuối cùng ta có: 2( => Giaibaitap.me Page 7
Page 8
Bài 5 trang 27 sgk hình học lớp 10 Trong các mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \((x_0; y_0)\) a) Tìm tọa độ điểm \(A\) đối xứng với \(M\) qua trục \(Ox\); b) Tìm tọa độ điểm \(B\) đối xứng với \(M\) qua trục \(Oy\); c) Tìm tọa độ điểm \(C\) đối xứng với \(M\) qua gốc \(O\). Giải a) Hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành thì có hoành độ bằng nhau và tung độ đối nhau. \({M}({x_0};{y_0}) \Rightarrow {A}({x_0}; - {y_0})\) b) Hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung thì có tung độ bằng nhau còn hoành độ thì đối nhau. \({M}({x_0};{y_0}) \Rightarrow {B}( - {x_0};{y_0})\) c) Hai điểm đối xứng nhau qua gốc \(O\) thì các tọa độ tương ứng đối nhau. \(M({x_0};{y_0}) \Rightarrow C( - {x_0}; - {y_0})\) Bài 6 trang 27 sgk hình học lớp 10 Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A(-1; -2), B(3;2), C(4;-1)\). Tìm tọa độ điểm \(D.\) Giải Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}\) Gọi \((x; y)\) là tọa độ của \(D\) thì \(\overrightarrow{CD} = (x-4; y+1)\) \(\overrightarrow{BA}= (-4;-4)\) \(\overrightarrow{CD}\) = \(\overrightarrow{BA}\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x-4 = -4\\ y+1 = -4 \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x=0\\ y=-5 \end{matrix}\right.\) Vậy điểm \(D(0;-5)\) là điểm cần tìm. Bài 7 trang 27 sgk hình học lớp 10 Các điểm \(A'(-4; 1), B'(2;4), C'(2, -2)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, CA\) và \(AB\) của tam giác \(ABC\). Tính tọa độ đỉnh của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau. Giải
\(A'\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên \(-4 = \frac{1}{2} (x_B+ x_C)\) \(\Rightarrow {x_B} + {x_C} = - 8\) (1) Tương tự ta có \({x_A} + {x_C} = 4\) (2) \({x_B} + {x_A} = 4\) (3) Giải hệ (1), (2) và (3) ta được: \(\left\{ \matrix{ {x_A} = 8 \hfill \cr {x_B} = - 4 \hfill \cr x{}_C = - 4 \hfill \cr} \right.\) Tương tự ta tính được: \(\left\{ \matrix{ {y_A} = 1 \hfill \cr {y_B} = - 5 \hfill \cr y{}_C = 7 \hfill \cr} \right.\) Gọi \(G({x_G};y{}_G)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) Khi đó ta có: $$\left\{ \matrix{ {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {{8 - 4 - 4} \over 3} = 0 \hfill \cr {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + y{}_C} \over 3} = {{1 - 5 + 7} \over 3} = {1} \hfill \cr} \right.$$ Vậy \(G(0;1)\) (*) Gọi \(G'({x_{G'}};y{}_{G'})\) là trong tâm của tam giác \(A'B'C'\) Khi đó ta có: $$\left\{ \matrix{ {x_{G'}} = {{{x_{A'}} + {x_{B'}} + {x_{C'}}} \over 3} = {{ - 4 + 2 + 2} \over 3} = 0 \hfill \cr {y_{G'}} = {{{y_{A'}} + {y_{B'}} + y{}_{C'}} \over 3} = {{1 + 4 - 2} \over 3} = 1 \hfill \cr} \right.$$ Vậy \(G'(0;1)\) (2*) Từ (*) và (2*) ta thấy \(G \equiv G'\) Vậy trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau. Bài 8 trang 27 sgk hình học lớp 10 Cho \(\overrightarrow{a}= (2; -2)\), \(\overrightarrow{b} = (1; 4)\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow{c} = (5; 0)\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) Giải Giả sử ta phân tích được \(\overrightarrow{c}\) theo \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) tức là có hai số \(m, n\) để \(\overrightarrow{c}= m.\overrightarrow{a} + n.\overrightarrow{b}\) cho ta \(\overrightarrow{c}= (2m+n; -2m+4n)\) Vì \(\overrightarrow{c} =(0;5)\) nên ta có hệ: \(\left\{\begin{matrix} 2m+n=5\\ -2m+4n=0 \end{matrix}\right.\) Vậy \(\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) Giaibaitap.me Page 9
Page 10
Page 11
Câu 7 trang 28 SGK Hình học 10 Cho sáu điểm \(M, N, P, Q, R, S\) bất kì. Chứng minh rằng : \(\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {RQ} \) Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SP} \cr & \overrightarrow {NQ} = \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} \cr & \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RQ} + \overrightarrow {QS} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = (\overrightarrow {MS} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {RQ} ) + (\overrightarrow {SP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QS} ) \cr} \) Vì \(\overrightarrow {SP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QS} = \overrightarrow {SS} = \overrightarrow 0 \) Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Câu 8 trang 28 SGK Hình học 10 Cho tam giác \(OAB\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(OA\) và \(OB\). Tìm các số \(m, n\) sao cho: a) \(\overrightarrow {OM} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \) b) \(\overrightarrow {AN} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \) c) \(\overrightarrow {MN} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \) d) \(\overrightarrow {MB} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \) Trả lời:
a) Ta có: \(\overrightarrow {OM} = {1 \over 2}\overrightarrow {OA} \) Do đó: \(m = {1 \over 2};n = 0\) b) Ta có: vì \(N\) là trung điểm \(OB\) \(\eqalign{ & 2\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AB} \cr & \Rightarrow 2\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \cr & \Rightarrow 2\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {OA} + {1 \over 2}\overrightarrow {OB} \cr} \) Vậy \(m = - 1;n = {1 \over 2}\) c) \(\eqalign{ & \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} ) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - {1 \over 2}\overrightarrow {OA} + {1 \over 2}\overrightarrow {OB} \cr} \) Vậy \(m = - {1 \over 2},n = {1 \over 2}\) d) Ta có: \(\eqalign{ & 2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BO} \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} \cr & \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} \Rightarrow 2\overrightarrow {MB} = - \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MB} = - {1 \over 2}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \cr} \) Vậy \(m = - {1 \over 2},n = 1\) Câu 9 trang 28 SGK Hình học 10 Chứng minh rằng nếu \(G\) và \(G’\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(A’B’C’\) bất kì thì: \(3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \) Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} \cr & \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {B'G'} \cr & \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'G'} \cr & \Rightarrow 3\overrightarrow {GG'} = (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) + (\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} ) + (\overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} )(1) \cr} \) \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) (2) \(G’\) là trọng tâm của tam giác \(A’B’C’\) nên: \(\eqalign{ & \overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} = \overrightarrow 0 \cr} \) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \) Câu 10 trang 28 SGK Hình học 10 Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), các khẳng định sau đúng hay sai? a) Hai vectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau b) Vecto \(\overrightarrow a \) cùng phương với \(\overrightarrow i \) nếu a có hoành độ bằng 0 c) Vecto \(\overrightarrow i \) có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với \(\overrightarrow j \) Trả lời: a) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho vectơ \(\overrightarrow a = (a_1;a_2)\) và vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow a \) là vectơ \(\overrightarrow b = - \overrightarrow a =(-a_1;-a_2)\) Vậy khẳng định hai vectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau là đúng. b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), vectơ \(\overrightarrow i (1; 0)\). Vecto \(\overrightarrow a ≠ 0\) cùng phương với vecto \(\overrightarrow i \) khi \(\overrightarrow a = k\overrightarrow i \) với \(k ∈\mathbb R\). Suy ra: \(\overrightarrow a = (k; 0)\) với \(k ≠ 0\). Vậy khẳng định vectơ \(a≠ 0\) cùng phương với vectơ nếu có hoành độ bằng \(0\) là sai. c) Trong mặt phẳng \(Oxy\) có vectơ \((0; 1)\) Vectơ \(\overrightarrow a \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow j \) khi \(\overrightarrow a = k \overrightarrow j \) với \(k ∈\mathbb R\). Suy ra: \(\overrightarrow a = (0;k)\) với \(k ∈\mathbb R\). Vậy khẳng định Vectơ \(\overrightarrow a \) có hoành độ bằng \(0\) thì cùng phương với \(\overrightarrow j \) là đúng. Giaibaitap.me Page 12
Page 13
Page 14
Page 15
Page 16
Page 17
Page 18
Page 19
Page 20
Page 21
Page 22
Page 23
Page 24
Bài 1 trang 45 sgk hình học 10 Cho tam giác vuông cân \(ABC\) có \(AB = AC = a\). Tính các tích vô hướng \(\vec{AB}.\vec{AC}\), \(\vec{AC}.\vec{CB}\). Giải \(\vec{AB} ⊥\vec{AC}\Rightarrow \vec{AB}.\vec{AC} = 0\) \(\vec{AC}.\vec{CB} =- \vec{CA}\). \(\vec{CB}\) Ta có: \(CB= a\sqrt2\); \(\widehat{C} = 45^0\) Vậy \(\vec{AC}.\vec{CB} = -\vec{CA}. \vec{CB}= -|\vec{CA}|. |\vec{CB}|. cos45^0\) \(= - a.a\sqrt 2 .{{\sqrt 2 } \over 2} = - {a^2}\) Bài 2 trang 45 sgk hình học 10 Cho ba điểm \(O, A, B\) thẳng hàng biết \(OA = a, OB = b\). tính tích vô hướng của \(\vec{OA}\).\(\vec{OB}\) trong \(2\) trường hợp a) Điểm \(O\) nằm ngoài đoạn \(AB\) b) Điểm \(O\) nằm trong đoạn \(AB\) Giải
a) Khi \(O\) nằm ngoài đoạn \(AB\) thì hai vec tơ \(\vec{OA}\) và \(\vec{OB}\) cùng hướng và góc \((\vec{OA}, \vec{OB}) = 0^0\) \(\cos(\vec{OA}, \vec{OB}) = 1\) nên \(\vec{OA}.\vec{OB} = a.b\) b) Khi \(O\) nằm ngoài trong đoạn \(AB\) thì hai vectơ \(\vec{OA}\) và \(\vec{OB}\) ngược hướng và góc (\(\vec{OA}, \vec{OB}) = 180^0\) \(\cos(\vec{OA}, \vec{OB}) = -1\) nên \(\vec{OA}.\vec{OB} = -a.b\) Bài 3 trang 45 sgk hình học 10 Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(M\) và \(N\) là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung \(AM\) và \(BN\) cắt nhau tại \(I\). a) Chứng minh \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\); B) Hãy dùng câu a) để tính \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\) theo \(R\) Giải Ta có : \(\left( {\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right) = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {MB} \) Mặt khác: \(\overrightarrow {AI} \bot \overrightarrow {MB} \) nên \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {MB} = 0\) Từ đó: \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} \) Ta có: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BI} \left( {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NA} } \right) = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {NA} \) Mặt khác: \(\overrightarrow {BI} \bot \overrightarrow {NA} \) nên \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {NA} = 0\) Từ đó: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \) b) \(\eqalign{ & \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right) \cr & = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr} \) Bài 4 trang 45 sgk hình học 10 Trên mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A(1; 3), B(4;2)\) a) Tìm tọa độ điểm \(D\) nằm trên trục \(Ox\) sao cho \(DA = DB\); b) Tính chu vi tam giác \(OAB\); c) Chứng tỏ rằng \(OA\) vuông góc với \(AB\) và từ đó tính diện tích tam giác \(OAB\) Giải a) \(D\) nằm trên trục \(Ox\) nên tọa độ của \(D\) là \((x; 0)\). Ta có : \(\eqalign{ & DA = DB \cr & \Leftrightarrow D{A^2} = D{B^2} \cr & \Leftrightarrow {(1 - x)^2} + {3^2} = {(4 - x)^2} + {2^2} \cr & \Leftrightarrow 1 - 2x + {x^2} + 9 = 16 - 8x + {x^2} + 4 \cr & \Leftrightarrow 6x = 10 \cr & \Leftrightarrow x = {5 \over 3} \cr & \Rightarrow D\left( {{5 \over 3};0} \right) \cr} \) b) \(\eqalign{ & O{A^2} = {1^2} + {3^3} = 10 \Rightarrow OA = \sqrt {10} \cr & O{B^2} = {4^2} + {2^2} = 20 \Rightarrow OB = 2\sqrt 5 \cr & A{B^2} = {(4 - 1)^2} + {(2 - 3)^2} = 10 \Rightarrow AB = \sqrt {10} \cr} \) Chu vi tam giác \(OAB\) là: \(\sqrt {10} + 2\sqrt 5 + \sqrt {10} \) c) Ta có \(\vec{OA}= (1; 3)\) \(\vec{AB} = (3; -1)\) \(\vec{OA} .\vec{AB} = 1.3 + 3.(-1) = 0 \Rightarrow \vec{OA}\) ⊥ \(\vec{AB}\) \({S_{OAB}}=\frac{1}{2}|\vec{OA}| .|\vec{AB}| =5\) (đvdt) Giaibaitap.me Page 25
Page 26
|
