Nội dung Text: Bài tập toán cao cấp-Chương 2 - Bài t p chương 2 Bài 2.1. Tính các đ nh th c c p 3 sau: 3 −2 −4 2 1 1 5 −2 ; 5 −1 ; 0 2 a) b) 1 −3 4 0 6 1 −2 −1 4 7 65 6 −3 −2 ; 1 21; c) d) 3 −2 1 4 1 2 1 2 3 20 1 4 −2 4 2 −3 . 3; e) g) 5 −1 0 53 1 Bài 2.2. Tính các đ nh th c c p 4 sau: 2 1 1x 3 1 1 1 1 2 1y 1 3 1 1 ; ; a) b) 1 1 2z 1 1 3 1 1 1 1t 1 1 1 3 1 111 1 2 3 4 1 234 2 3 4 1 c) ; d) ; 1 3 6 10 3 4 1 2 1 4 10 20 4 1 2 3 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 e) ; f) ; 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 111 1 0 a b 1 234 g) ; h) . 1 a 0 c 1 4 9 16 1 b c 0 1 8 27 64 Bài 2.3. Ch ng t r ng các giá tr đ nh th c sau b ng 0: ab a2 + b2 (a + b)2 a+b c 1 bc b2 + c2 (b + c)2 ; b+c a 1 ; a) b) ca c2 + a2 (c + a)2 c+a b 1 1
- x p ax + bp sin α cos α sin(α + θ) y q ay + bq ; sin β cos β sin(β + θ) ; c) d) z r az + br sin γ cos γ sin(γ + θ) 1 + 2a 2 a x a b c 1 1 + 2b 3 b x b c a 1 . e) ; f) 1 + 2c 4 c x c a b 1 1 + 2d 6 d x c+b b+a a+c 2 Bài 2.4. Cho A ∈ Mn (K ) và A có nhi u hơn n2 − n h s b ng 0. Ch ng minh r ng detA = 0. Bài 2.5. Cho A ∈ Mn (K ) và α ∈ K . Ch ng t r ng det(αA) = αn detA. Bài 2.6. Cho A ∈ Mn (K ), n l . Ch ng t r ng, n u A là ma tr n ph n x ng thì detA = 0. Bài 2.7. Tìm ma tr n ph h p c a các ma tr n sau: 3 −4 234 2 b) 0 −4 a) 5 6 7 ; 2 ; 1 −1 891 5 321 2 5 7 c) 4 5 2 ; d) 6 3 4 ; 5 −2 −3 214 1 1 1 1 3 −4 5 0 1 1 1 e) 2 −3 1 ; . f) 0 0 1 1 3 −5 −1 0 0 0 1 Bài 2.8. Cho A ∈ Mn (Z). Ch ng t r ng detA ∈ Z, đ ng th i n u A kh ngh ch thì A−1 ∈ Mn (Z) ⇔ |detA| = 1. Bài 2.9. Hãy tính các đ nh th c sau và cho bi t khi nào ma tr n tương ng kh ngh ch? 1 a2 a x + 2 2 x + 3 3x + 4 a 1 a2 ; 2x + 3 3x + 4 4x + 5 ; a) b) a2 a 1 3x + 5 5x + 8 10x + 17 2
- −1 a − b + c a − b b + 2c + 2a x x x −1 b − c + a b − c c + 2a + 2b ; x; c) d) x −1 c − a + b c − a a + 2b + 2c x a 1 1 1 0 a b c b 0 1 1 a 0 c b ; ; e) f) c 1 0 1 b c 0 a d 1 1 0 c b a 0 a a a a a x x b a b b b x a b x . g) ; h) a b c c x b a x a b c d b x x a Bài 2.10. Tìm ma tr n ngh ch đ o c a các ma tr n sau b ng cách áp d ng công th c đ nh th c: 234 123 a) 5 6 7 ; b) 2 3 4 ; 891 157 3 −4 2 321 c) 0 −4 2 ; d) 4 5 2 ; 1 −1 5 214 1 1 1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 ; f) 1 . e) 1 −1 1 −1 1 −1 0 0 1 −1 1 −1 −1 0 0 1 Bài 2.11. Tìm đi u ki n c a tham s đ các ma tr n sau kh ngh ch, sau đó tìm ma tr n ngh ch đ o tương ng c a nó: 1 a bc ab 1 a) 1 b ca ; b) 1 ab 1 ; 1 c ab 1b a 1 −3 2 c) 3 −7 m + 5 . −m 2m 1 Bài 2.12. Gi i các h phương trình sau b ng cách áp d ng quy t c Cramer. x1 + x2 − 2x3 = 6; 2x1 + 3x2 − 7x3 = 16; a) 5x1 + 2x2 + x3 = 16. 3
- 7x1 + 2x2 + 3x3 = 15; 5x1 − 3x2 + 2x3 = 15; b) 10x1 − 11x2 + 5x3 = 36. x1 + x2 + 2x3 = 1; 2x1 − x2 + 2x3 = 4; c) 4x1 + x2 + 4x3 = 2. 3x1 + 2x2 + x3 = 5; 2x1 + 3x2 + x3 = 1; d) 2x1 + x2 + 3x3 = 11. x1 + x2 + x3 + x4 = 2; x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 2; e) 2x1 + 3 x2 + 5 x3 + 9 x4 = 2; x1 + x2 + 2 x3 + 7 x4 = 2. 2x1 + x2 + 5 x3 + x4 = 5; − − 4x4 = −1; x1 + x2 3x3 f) − 3x1 + 6 x2 2x3 + x4 = 8; − 3x4 2x1 + 2 x2 + 2 x3 = 2. x1 + x2 + x3 + x4 = 5; x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 3; g) 4x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 7; 3x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 2. − x2 2x1 + 3 x3 + 2 x4 = 4; 3x1 + 3 x2 + 3 x3 + 2 x4 = 6; h) − x2 − x3 − 2x4 3x1 = 6; − x2 − x4 3x1 + 3 x3 = 6. Bài 2.13. Gi i và bi n lu n các h phương trình sau theo các tham s m ∈ K: mx1 + x2 + x3 = 1; x1 + mx2 + x3 = m; a) x2 + mx3 = m2 . x1 + ax1 + x2 + x3 = 4; x1 + bx2 + x3 = 3; b) x1 + 2 x2 + x3 = 4 . 4
- x1 + (m − 1)x2 − 3x3 = 1; 2x1 − 4x2 + (4m − 2)x3 = −1; c) 3x1 + (m + 1)x2 − 9x3 = 0. (2m + 1)x1 − mx2 + (m + 1)x3 = m − 1; (m − 2)x1 + (m − 1)x2 + (m − 2)x3 = m; d) (2m − 1)x1 + (m − 1)x2 + (2m − 1)x3 = m, (m + 2)x1 + 2x2 + x3 = m; (m − 5)x1 + (m − 2)x2 − 3x3 = 2m; e) (m + 5)x1 + 2x2 + (m + 3)x3 = 3m, mx1 + 2x2 + 2x3 = 2; 2x1 + mx2 + 2x3 = m; f) 2x1 + 2x2 + mx3 = m, (3m + 5)x1 + (m + 2)x2 + (m + 1)x3 = m; (4m + 5)x1 + (m + 2)x2 + (2m + 1)x3 = m; g) (3m + 5)x1 + (2m + 1)x2 + 2x3 = m, (m + 1)x1 + x2 + 2x3 = m; (m − 2)x1 + (m − 3)x2 + x3 = −m; h) 3x2 + (m − 1)x3 = 2m, (m + 2)x1 + (2m + 1)x1 + (m − 2)x2 + (m + 2)x3 = m − 1; (2m − 1)x1 + (2m − 5)x2 + mx3 = m − 1; k) (3m + 4)x1 + (m − 2)x2 + (2m + 5)x3 = m − 1. Bài 2.14. Cho h phương trình ph thu c vào các tham s a, b ∈ K: x1 + 2x2 + ax3 = 3; 3x1 − x2 − ax3 = 2; 2x1 + x2 + 3x3 = b. a) Xác đ nh a đ h có nghi m duy nh t. b) Xác đ nh a, b đ h có vô s nghi m và tìm nghi m tương ng. 5
|
