- 1. Bài tập Tích phân Trang 1 TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu 1. x I dx x x 2 2 2 1 7 12 = - + ò · I dx x x 2 1 16 9 1 4 3 æ ö = + -ç ÷ - -è øò = ( )x x x 2 116ln 4 9ln 3+ - - - = 1 25ln2 16ln3+ - . Câu 2. dx I x x 2 5 3 1 = + ò · Ta có: x xx x x x3 2 3 2 1 1 1 ( 1) 1 = - + + + + Þ I x x x 2 2 21 1 3 1 3 ln ln( 1) ln2 ln5 2 2 2 812 é ù = - - + + = - + +ê ú ë û Câu 3. x I dx x x x 5 2 3 2 4 3 1 2 5 6 + = - - + ò · I 2 4 13 7 14 ln ln ln2 3 3 15 6 5 = - + + Dạng 2: Đổi biến số Câu 4. x I dx x 2 4 ( 1) (2 1) - = + ò · Ta có: x x f x x x 2 1 1 1 ( ) . . 3 2 1 2 1 ¢æ ö æ ö- - = ç ÷ ç ÷ + +è ø è ø Þ x I C x 3 1 1 9 2 1 æ ö- = +ç ÷ +è ø Câu 5. ( ) ( ) x I dx x 991 101 0 7 1 2 1 - = + ò · ( ) x dx x x I d x x xx 99 991 1 2 0 0 7 1 1 7 1 7 1 2 1 9 2 1 2 12 1 æ ö æ ö æ ö- - - = =ç ÷ ç ÷ ç ÷ + + +è ø è ø è ø+ ò ò x x 100 1001 1 7 1 11 2 1 09 100 2 1 900 æ ö- é ù= × = ë - ûç ÷ +è ø Câu 6. x I dx x 1 2 2 0 5 ( 4) = + ò · Đặt t x2 4= + Þ I 1 8 = Câu 7. I dx x x 4 3 4 1 1 ( 1) = + ò · Đặt t x2 = Þ t I dt t t 3 2 1 1 1 1 3 ln 2 4 21 æ ö = - =ç ÷ +è ø ò Câu 8. dx I x x 3 6 2 1 (1 ) = + ò
- 2. phân Trần Sĩ Tùng Trang 2 · Đặt : x t 1 = Þ t I dt t t dt t t 3 163 4 2 2 2 1 3 3 1 1 1 1 æ ö = - = - + -ç ÷ + +è ø ò ò = 117 41 3 135 12 p- + Câu 9. dx I x x 2 10 2 1 .( 1) = + ò · x dx I x x 2 4 5 10 2 1 . .( 1) = + ò . Đặt t x5 = Þ dt I t t 32 2 2 1 1 5 ( 1) = + ò Câu 10. x I dx x 1 7 2 5 0 (1 ) = + ò · Đặt t x dt xdx2 1 2= + Þ = Þ t I dt t 2 3 5 5 1 1 ( 1) 1 1 . 2 4 2 - = =ò Câu 11. x I dx x x 2 7 7 1 1 (1 ) - = + ò · x x I dx x x 2 7 6 7 7 1 (1 ). .(1 ) - = + ò . Đặt t x7 = Þ t I dt t t 128 1 1 1 7 (1 ) - = +ò Câu 12. x I dx x 2 2001 2 1002 1 . (1 ) = + ò · x I dx dx x x x x 2 22004 3 2 1002 1002 1 1 3 2 1 . . (1 ) 1 1 = = + æ ö +ç ÷ è ø ò ò . Đặt t dt dx x x2 3 1 2 1= + Þ = - . Cách 2: Ta có: x xdx I x x 1 2000 2 2000 2 2 0 1 .2 2 (1 ) (1 ) = + + ò . Đặt t x dt xdx2 1 2= + Þ = Þ t I dt d t tt t 10002 21000 1000 2 1001 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 2 2 2002.2 æ ö æ ö- = = - - =ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò Câu 13. I x x dx 1 5 3 6 0 (1 )= -ò · Đặt dt t t t x dt x dx dx I t t dt x 1 7 8 3 2 6 2 0 1 1 1 1 3 (1 ) 3 3 7 8 1683 æ ö- = - Þ = - Þ = Þ = - = - =ç ÷ è øò Câu 14. xdx I x 1 0 3 ( 1) = + ò · Ta có: x x x x x x 2 3 3 3 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) - -+ - = = + - + + + I x x dx 1 2 3 0 1 ( 1) ( 1) 8 - -é ùÞ = + - + =ë ûò Câu 15. x I dx x 2 2 4 1 1 1 + = + ò · Ta có: x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 11 + + = + + . Đặt t x dt dx x x2 1 1 1 æ ö = - Þ = +ç ÷ è ø Þ dt I dt t tt 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 22 æ ö = = -ç ÷ - +- è ø ò ò t t 3/ 21 2 1 2 1 .ln ln 12 2 2 2 2 2 1 æ ö- - = = ç ÷ ç ÷+ +è ø
- 3. Bài tập Tích phân Trang 3 Câu 16. x I dx x 2 2 4 1 1 1 - = + ò · Ta có: x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 11 - - = + + . Đặt t x dt dx x x2 1 1 1 æ ö = + Þ = -ç ÷ è ø Þ dt I t 5 2 2 2 2 = - + ò . Đặt du t u dt u2 2 tan 2 cos = Þ = ; u u u u1 2 5 5 tan 2 arctan2; tan arctan 2 2 = Þ = = Þ = Þ u u I du u u 2 1 2 1 2 2 2 5 ( ) arctan arctan2 2 2 2 2 æ ö = = - = -ç ÷ è ø ò Câu 17. x I dx x 1 4 6 0 1 1 + = + ò · Ta có: x x x x x x x x x x x x x x x x 4 4 2 2 4 2 2 2 6 6 2 4 2 6 2 6 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1 + - + + - + = = + = + + + + - + + + + Þ d x I dx dx x x 1 1 3 2 3 2 0 0 1 1 ( ) 1 3 4 3 4 31 ( ) 1 p p p = + = + = + + ò ò Câu 18. x I dx x x 2 2 3 1 1- = + ò · Ta có: xI dx x x 2 2 1 1 1 1 - = + ò . Đặt t x x 1 = + Þ I 4 ln 5 = Câu 19. xdx I x x 1 4 2 0 1 = + + ò . · Đặt t x2 = Þ dt dt I t t t 1 1 2 22 0 0 1 1 2 2 6 31 1 3 2 2 p = = = + + æ öæ ö + + ç ÷ç ÷ è ø è ø ò ò Câu 20. x I dx x x 1 5 22 4 2 1 1 1 + + = - + ò · Ta có: x x x x x x 2 2 4 2 2 2 1 1 1 11 1 + + = - + + - . Đặt t x dt dx x x2 1 1 1 æ ö = - Þ = +ç ÷ è ø Þ dt I t 1 2 0 1 = + ò . Đặt du t u dt u2 tan cos = Þ = Þ I du 4 0 4 p p = =ò Câu 21. x I dx x 3 23 4 0 1 = - ò · x I dx dx x x x x 3 3 23 3 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 ln(2 3) 2 4 12( 1)( 1) 1 1 pæ ö = = + = - +ç ÷ - + - +è ø ò ò
- 4. phân Trần Sĩ Tùng Trang 4 TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 Câu 1. x I dx x x2 3 9 1 = + - ò · x I dx x x x dx x dx x x dx x x 2 2 2 2 (3 9 1) 3 9 1 3 9 1 = = - - = - - + - ò ò ò ò + I x dx x C2 3 1 13= = +ò + I x x dx2 2 9 1= -ò x d x x C 3 2 2 2 2 2 1 1 9 1 (9 1) (9 1) 18 27 = - - = - +ò Þ I x x C 3 2 321 (9 1) 27 = - + + Câu 2. x x I dx x x 2 1 + = + ò · x x dx x x 2 1 + + ò x x dx dx x x x x 2 1 1 = + + + ò ò . + x I dx x x 2 1 1 = + ò . Đặt t= x x t x x2 1 1+ Û - = x t3 2 2 ( 1)Û = - x dx t t dt2 24 ( 1) 3 Û = - Þ t dt t t C2 34 4 4 ( 1) 3 9 3 - = - +ò = ( )x x x x C 3 1 4 4 1 1 9 3 + - + + + x I dx x x 2 1 = + ò = d x x x x 2 (1 ) 3 1 + + ò = x x C2 4 1 3 + + Vậy: ( )I x x C 3 4 1 9 = + + Câu 3. x I dx x 4 0 2 1 1 2 1 + = + + ò · Đặt t x2 1= + . I = t dt t 3 2 1 2 ln2 1 = + +ò . Câu 4. dx I x x 6 2 2 1 4 1 = + + + ò · Đặt t x4 1= + . I 3 1 ln 2 12 = - Câu 5. I x x dx 1 3 2 0 1= -ò · Đặt: t x2 1= - Þ ( )I t t dt 1 2 4 0 2 15 = - =ò . Câu 6. x I dx x 1 0 1 1 + = + ò · Đặt t x= Þ dx t dt2 .= . I = t t dt t 1 3 0 2 1 + +ò = t t dt t 1 2 0 2 2 2 1 æ ö - + -ç ÷ +è øò = 11 4ln2 3 - . Câu 7. x I dx x x 3 0 3 3 1 3 - = + + + ò
- 5. Bài tập Tích phân Trang 5 · Đặt t x tdu dx1 2= + Þ = Þ t t I dt t dt dt tt t 2 2 23 2 1 1 1 2 8 1 (2 6) 6 13 2 - = = - + ++ + ò ò ò 3 3 6ln 2 = - + Câu 8. I x x dx 0 3 1 1 - = +ò · Đặt t t t x t x dx t dt I t dt 1 1 7 4 3 2 33 00 9 1 1 3 3( 1) 3 7 4 28 æ ö = + Þ = + Þ = Þ = - = - = -ç ÷ è øò Câu 9. x I dx x x 5 2 1 1 3 1 + = + ò · Đặt tdt t x dx 2 3 1 3 = + Þ = Þ t tdt I t t 2 2 4 2 2 1 1 3 2 . 31 . 3 æ ö- +ç ÷ ç ÷ è ø= - ò dt t dt t 4 4 2 2 2 2 2 ( 1) 2 9 1 = - + - ò ò t t t t 3 4 4 2 1 1 100 9 ln ln . 9 3 1 27 52 2 æ ö - = - + = +ç ÷ +è ø Câu 10. x x I dx x 3 2 0 2 1 1 + - = + ò · Đặt x t x t2 1 1+ = Û = - Þ dx tdt2= Þ t t t I tdt t t dt t t 2 2 22 2 2 5 4 2 3 11 1 2( 1) ( 1) 1 4 54 2 2 (2 3 ) 2 5 5 æ ö- + - - = = - = - =ç ÷ è øò ò Câu 11. x dx I x x 1 2 0 2 ( 1) 1 = + + ò · Đặt t x t x tdt dx2 1 1 2= + Þ = + Þ = t t I tdt t dt t t tt 222 22 2 3 3 11 1 ( 1) 1 1 16 11 2 .2 2 2 2 3 3 æ öæ ö- - Þ = = - = - - =ç ÷ç ÷ è ø è ø ò ò Câu 12. ( ) x I dx x 4 2 0 1 1 1 2 + = + + ò · Đặt dx t x dt dx t dt x 1 1 2 ( 1) 1 2 = + + Þ = Þ = - + và t t x 2 2 2 - = Ta có: I = t t t t t t dt dt t dt tt t t 4 4 42 3 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 2 3 2 2 2 æ ö- + - - + - = = - + -ç ÷ è ø ò ò ò = t t t t 2 1 2 3 4ln 2 2 æ ö - + +ç ÷ ç ÷ è ø = 1 2ln2 4 - Câu 13. x I dx x 8 2 3 1 1 - = + ò
- 6. phân Trần Sĩ Tùng Trang 6 · x I dx x x 8 2 2 3 1 1 1 æ ö = -ç ÷ç ÷ + +è ø ò = ( )x x x 8 2 2 3 1 ln 1 é ù + - + +ë û = ( ) ( )1 ln 3 2 ln 8 3+ + - + Câu 14. I x x x dx 1 3 2 0 ( 1) 2= - -ò · I x x x dx x x x x x dx 1 1 3 2 2 2 0 0 ( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)= - - = - + - -ò ò . Đặt t x x2 2= - Þ I 2 15 = - . Câu 15. x x x I dx x x 2 3 2 2 0 2 3 1 - + = - + ò · x x x I dx x x 2 2 2 0 ( )(2 1) 1 - - = - + ò . Đặt t x x2 1= - + I t dt 3 2 1 4 2 ( 1) 3 Þ = - =ò . Câu 16. x dx I x 2 3 3 2 0 4 = + ò · Đặt t x x t xdx t dt 3 2 2 3 2 4 4 2 3= + Þ = - Þ = Þ I t t dt 3 2 4 3 4 3 3 8 ( 4 ) 4 2 2 2 5 æ ö = - = - +ç ÷ è ø ò Câu 17. dx I x x 1 2 11 1- = + + + ò · Ta có: x x x x I dx dx xx x 1 12 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2(1 ) (1 )- - + - + + - + = = + - + ò ò x dx dx x x 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2- - æ ö + = + -ç ÷ è ø ò ò + I dx x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln | 1 2 2 - - æ ö é ù= + = + =ç ÷ ë û è ø ò + x I dx x 1 2 2 1 1 2- + = ò . Đặt t x t x tdt xdx2 2 2 1 1 2 2= + Þ = + Þ = Þ I2= t dt t 2 2 2 2 0 2( 1) = - ò Vậy: I 1= . Cách 2: Đặt t x x2 1= + + . Câu 18. ( )x x I dx x 1 3 31 4 1 3 - = ò · Ta có: I dx x x 1 1 3 2 3 1 3 1 1 1 . æ ö = -ç ÷ è ø ò . Đặt t x2 1 1= - Þ I 6= . Câu 19. x I dx x 2 2 1 4 - = ò · Ta có: x I xdx x 2 2 2 1 4 - = ò . Đặt t = x t x tdt xdx2 2 2 4 4- Þ = - Þ = - Þ I = t tdt t t dt dt t tt t t 00 0 02 2 2 2 33 3 3 ( ) 4 2 (1 ) ln 24 4 4 æ ö- - = = + = +ç ÷ +- - - è ø ò ò ò = 2 3 3 ln 2 3 æ ö- ç ÷- + ç ÷+è ø
- 7. Bài tập Tích phân Trang 7 Câu 20. x I dx x x 2 5 2 2 2 ( 1) 5 = + + ò · Đặt t x2 5= + Þ dt I t 5 2 3 1 15 ln 4 74 = = - ò . Câu 21. x I dx x x 27 3 2 1 2- = + ò · Đặt t x6 = Þ t t I dt dt tt t t t 3 33 2 2 2 1 1 2 2 2 1 5 5 1 ( 1) 1 1 é ù- = = - + -ê ú + + +ë û ò ò 2 5 5 3 1 ln 3 12 pæ ö = - + -ç ÷ è ø Câu 22. I dx x x 1 2 0 1 1 = + + ò · Đặt t x x x2 1= + + + Þ dt I t t 1 3 1 3 1 1 2 3 2 3 ln(2 1) ln 2 1 3 + + + = = + = +ò Câu 23. x I dx x x 3 2 2 2 0 (1 1 ) (2 1 ) = + + + + ò · Đặt x t2 1+ + = Þ I t dt t t 4 2 3 42 36 4 2 16 12 42ln 3 æ ö = - + - = - +ç ÷ è ø ò Câu 24. x I dx x x x x 3 2 0 2( 1) 2 1 1 = + + + + + ò · Đặt t x 1= + Þ t t dt I t dt t t 2 22 2 2 2 1 1 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) - = = - + ò ò t 2 3 1 2 2 ( 1) 3 3 = - = Câu 25. x x x I dx x 32 2 3 4 1 2011- + = ò · Ta có: xI dx dx M N x x 3 2 2 2 22 3 3 1 1 1 1 2011 - = + = +ò ò xM dx x 3 2 2 2 3 1 1 1- = ò . Đặt t x 3 2 1 1= - Þ M t dt 3 7 32 3 0 3 21 7 2 128 - = - = -ò N dx x dx x x 2 22 2 2 2 3 3 2 1 1 1 2011 2011 14077 2011 162 - é ù = = = - =ê ú ë û ò ò Þ I 3 14077 21 7 16 128 = - . Câu 26. dx I x x 1 33 3 0 (1 ). 1 = + + ò · Đặt t x 3 3 1= + Þ t dt I dt t t t t 3 3 2 22 2 2 1 14 3 2 33 3.( 1) .( 1) = = - - ò ò
- 8. phân Trần Sĩ Tùng Trang 8 dt dt t dt t tt t tt 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 4 1 1 1 3 342 3 33 1 1 11 1. 1 - æ ö -ç ÷ è ø= = = é ù æ öæ ö ç ÷ê úç ÷ è øè øë û ò ò ò Đặt dt u du t t3 4 1 3 1= - Þ = Þ u u I du u du u 1 11 12 1 2 2 1 22 23 3 3 3 3 0 0 0 0 1 1 1 13 3 3 2 3 - - æ ö ç ÷ = = = = =ç ÷ ç ÷ç ÷ è ø ò ò Câu 27. x I dx x x x 2 2 4 23 1 1 = æ ö - +ç ÷ è ø ò · Đặt t x2 1= + Þ t I dt t 3 2 2 2 2 ( 1) 2 - = - ò = t t dt t dt dt t t 3 3 34 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 19 2 4 2 ln 3 4 4 22 2 æ ö- + + = + = + ç ÷ ç ÷ - è ø ò ò ò Dạng 2: Đổi biến số dạng 2 Câu 28. ( )x I x x dx x 1 0 1 2 ln 1 1 æ ö-ç ÷= - +ç ÷+è ø ò · Tính x H dx x 1 0 1 1 - = + ò . Đặt x t tcos ; 0; 2 pé ù = Îê ú ë û Þ H 2 2 p = - · Tính K x x dx 1 0 2 ln(1 )= +ò . Đặt u x dv xdx ln(1 ) 2 ì = + í =î Þ K 1 2 = Câu 29. I x x x dx 2 5 2 2 2 ( ) 4 - = + -ò · I = x x x dx 2 5 2 2 2 ( ) 4 - + -ò = x x dx 2 5 2 2 4 - -ò + x x dx 2 2 2 2 4 - -ò = A + B. + Tính A = x x dx 2 5 2 2 4 - -ò . Đặt t x= - . Tính được: A = 0. + Tính B = x x dx 2 2 2 2 4 - -ò . Đặt x t2sin= . Tính được: B = 2p . Vậy: I 2p= .
- 9. Bài tập Tích phân Trang 9 Câu 30. ( )x dx I x 2 2 4 1 3 4 2 - - = ò · Ta có: x I dx dx x x 2 2 2 4 4 1 1 3 4 2 2 - = -ò ò . + Tính I1 = dx x 2 4 1 3 2 ò = x dx 2 4 1 3 7 2 16 - =ò . + Tính x I dx x 2 2 2 4 1 4 2 - = ò . Đặt x t dx tdt2sin 2cos= Þ = . Þ tdt I t dt t d t t t 22 2 2 2 2 2 4 2 6 6 6 1 cos 1 1 1 3 cot cot . (cot ) 8 8 8 8sin sin p p p p p p æ ö = = = - =ç ÷ è ø ò ò ò Vậy: ( )I 1 7 2 3 16 = - . Câu 31. x dx I x 1 2 6 0 4 = - ò · Đặt t x dt x dx3 2 3= Þ = Þ dt I t 1 2 0 1 3 4 = - ò . Đặt t u u dt udu2sin , 0; 2cos 2 pé ù = Î Þ =ê úë û Þ I dt 6 0 1 3 18 p p = =ò . Câu 32. x I dx x 2 0 2 2 - = +ò · Đặt x t dx tdt2cos 2sin= Þ = - Þ t I dt 2 2 0 4 sin 2 2 p p= = -ò . Câu 33. x dx I x x 1 2 2 0 3 2 = + - ò · Ta có: x dx I x 1 2 2 2 0 2 ( 1) = - - ò . Đặt x t1 2cos- = . Þ t t I dt t 22 2 2 3 (1 2cos ) 2sin 4 (2cos ) p p + = - - ò = ( )t t dt 2 3 2 3 4cos 2cos2 p p + +ò = 3 3 4 2 2 p + - Câu 34. x x dx 1 2 2 0 1 2 1- -ò · Đặt x tsin= Þ I t t tdt 6 0 3 1 (cos sin )cos 12 8 8 p p = - = + -ò
- 10. phân Trần Sĩ Tùng Trang 10 Dạng 3: Tích phân từng phần Câu 35. I x dx 3 2 2 1= -ò · Đặt x du dxu x xdv dx v x 2 21 1 ì ì =ï ï= - Þí í -=ïî ï =î x I x x x dx x dx x x 3 3 2 2 2 2 2 2 3 1 1 . 5 2 1 2 1 1 é ù Þ = - - = - - +ê ú ê ú- -ë û ò ò dx x dx x 3 3 2 2 2 2 5 2 1 1 = - - - - ò ò I x x2 3 2 5 2 ln 1= - - + - Þ ( )I 5 2 1 ln 2 1 ln2 2 4 = - + + Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x t 1 cos = vì [ ]2;3 1;1é ùÏ -ë û
- 11. Bài tập Tích phân Trang 11 TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác Câu 1. x x I dx x x 2 8cos sin2 3 sin cos - - = -ò · ( )x x x I dx x x x x dx x x 2 (sin cos ) 4cos2 sin cos 4(sin cos sin cos - + é ù= = - - +ë û-ò ò x x C3cos 5sin= - + . Câu 2. x x x I dx x cot tan 2tan2 sin4 - - = ò · Ta có: x x x x I dx dx dx C x x xx2 2cot2 2tan2 2cot 4 cos4 1 2 sin4 sin4 2sin4sin 4 - = = = = - +ò ò ò Câu 3. x I dx x x 2 cos 8 sin2 cos2 2 pæ ö +ç ÷ è ø= + + ò · Ta có: x I dx x 1 cos 2 1 4 2 2 1 sin 2 4 p p æ ö + +ç ÷ è ø= æ ö + +ç ÷ è ø ò x dx dx x x x 2 cos 2 1 4 2 2 1 sin 2 sin cos4 8 8 p p p p æ ö æ öç ÷+ç ÷ç ÷è ø= +ç ÷æ ö é ùæ ö æ öç ÷+ +ç ÷ + + +ç ÷ ç ÷ê ú ÷è øç è ø è øë û øè ò ò x dx dx x x2 cos 2 1 14 2 32 2 1 sin 2 sin 4 8 p p p æ öæ ö +ç ç ÷ ÷ è øç ÷= + æ ö æ öç ÷ + + +ç ÷ ç ÷ ÷ç è ø è ø øè ò ò x x C 1 3 ln 1 sin 2 cot 4 84 2 p pæ öæ ö æ ö = + + - + +ç ÷ç ÷ ç ÷÷ç è ø è øøè Câu 4. dx I x x 3 2 3sin cos p p = + - ò · dx I x 3 1 2 1 cos 3 p p p = æ ö - +ç ÷ è ø ò = dx I x2 3 1 4 2sin 2 6 p p p = æ ö +ç ÷ è ø ò = 1 4 3 . Câu 5. I dx x 6 0 1 2sin 3 p = - ò · Ta có: I dx dx x x 6 6 0 0 1 1 1 2 2 sin sin sin sin 3 3 p p p p = = - - ò ò
- 12. phân Trần Sĩ Tùng Trang 12 x x dx dx x x x 6 6 0 0 coscos 2 6 2 63 sin sin 2cos .sin 3 2 6 2 6 p p p pp p p p æ öæ ö æ ö + - -ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è øè ø= = æ ö æ ö - + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò x x dx dx x x 6 6 0 0 cos sin 2 6 2 61 1 2 2 sin cos 2 6 2 6 p pp p p p æ ö æ ö - +ç ÷ ç ÷ è ø è ø= + æ ö æ ö - +ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò x x 6 6 0 0 ln sin ln cos ..... 2 6 2 6 p p p pæ ö æ ö = - - + =ç ÷ ç ÷ è ø è ø Câu 6. I x x x x dx 2 4 4 6 6 0 (sin cos )(sin cos ) p = + +ò . · Ta có: x x x x4 4 6 6 (sin cos )(sin cos )+ + x x 33 7 3 cos4 cos8 64 16 64 = + + Þ I 33 128 p= . Câu 7. I x x x dx 2 4 4 0 cos2 (sin cos ) p = +ò · I x x dx x d x 2 2 2 2 0 0 1 1 1 cos2 1 sin 2 1 sin 2 (sin2 ) 0 2 2 2 p p æ ö æ ö = - = - =ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò Câu 8. I x x dx 2 3 2 0 (cos 1)cos . p = -ò · A = ( )xdx x d x 2 2 2 5 2 0 0 cos 1 sin (sin ) p p = -ò ò = 8 15 B = x dx x dx 2 2 2 0 0 1 cos . (1 cos2 ). 2 p p = +ò ò = 4 p Vậy I = 8 15 – 4 p . Câu 9. 2 2 0 I cos cos2x xdx p = ò · I x xdx x xdx x x dx 2 2 2 2 0 0 0 1 1 cos cos2 (1 cos2 )cos2 (1 2cos2 cos4 ) 2 4 p p p = = + = + +ò ò ò x x x 2 0 1 1 ( sin2 sin4 ) 4 4 8 p p = + + = Câu 10. x I dx x 3 2 0 4sin 1 cos p = +ò
- 13. Bài tập Tích phân Trang 13 · x x x x x x x x x x 3 3 2 4sin 4sin (1 cos ) 4sin 4sin cos 4sin 2sin2 1 cos sin - = = - = - + I x x dx2 0 (4sin 2sin2 ) 2 p Þ = - =ò Câu 11. I xdx 2 0 1 sin p = +ò · x x x x I dx dx 22 2 0 0 sin cos sin cos 2 2 2 2 p p æ ö = + = +ç ÷ è øò ò x dx 2 0 2 sin 2 4 p pæ ö = +ç ÷ è øò x x dx dx 3 22 30 2 2 sin sin 2 4 2 4 p p p p p é ù ê úæ ö æ ö = + - +ê úç ÷ ç ÷ è ø è øê ú ê úë û ò ò 4 2= Câu 12. dx I x 4 6 0 cos p = ò · Ta có: I x x d x 4 2 4 0 28 (1 2tan tan ) (tan ) 15 p = + + =ò . Dạng 2: Đổi biến số dạng 1 Câu 13. xdx I x x sin2 3 4sin cos2 = + -ò · Ta có: x x I dx x x2 2sin cos 2sin 4sin 2 = + + ò . Đặt t xsin= Þ I x C x 1 ln sin 1 sin 1 = + + + + Câu 14. dx I x x3 5 sin .cos = ò · ò ò== xx dx xxx dx I 23233 cos.2sin 8 cos.cos.sin Đặt t xtan= . I t t t dt x x x C t x 3 3 4 2 2 3 1 3 1 3 tan tan 3ln tan 4 2 2tan -æ ö = + + + = + + - +ç ÷ è øò Chú ý: t x t2 2 sin2 1 = + . Câu 15. dx I x x3 sin .cos = ò · dx dx I x x x x x2 2 2 sin .cos .cos sin2 .cos = =ò ò . Đặt t xtan= dx t dt x x t2 2 2 ; sin2 cos 1 Þ = = + dt t I dt t t t 2 2 1 2 2 1 + Þ = = + ò ò t x t dt t C x C t 2 2 1 tan ( ) ln ln tan 2 2 = + = + + = + +ò
- 14. phân Trần Sĩ Tùng Trang 14 Câu 16. x x I xdx x 2011 2011 2009 5 sin sin cot sin - = ò · Ta có: xxI xdx xdx x x 2011 2011 22 4 4 1 1 cotsin cot cot sin sin - - = =ò ò Đặt t xcot= Þ I t tdt t t C 2 4024 8046 22011 2011 20112011 2011 t (1 ) 4024 8046 = + = + +ò = x x C 4024 8046 2011 20112011 2011 cot cot 4024 8046 + + Câu 17. x x I dx x 2 0 sin2 .cos 1 cos p = +ò · Ta có: x x I dx x 22 0 sin .cos 2 1 cos p = +ò . Đặt t x1 cos= + Þ t I dt t 2 2 1 ( 1) 2 2ln2 1 - = = -ò Câu 18. I x xdx 3 2 0 sin tan p = ò · Ta có: x x x I x dx dx x x 23 3 2 0 0 sin (1 cos )sin sin . cos cos p p - = =ò ò . Đặt t xcos= Þ u I du u 1 22 1 1 3 ln2 8 - = - = -ò Câu 19. I x x dx2 2 sin (2 1 cos2 ) p p = - +ò · Ta có: I xdx x xdx H K2 2 2 2 2sin sin 1 cos2 p p p p = - + = +ò ò + H xdx x dx2 2 2 2sin (1 cos2 ) 2 2 p p p p p p p= = - = - =ò ò + K x x x xdx2 2 2 2 2 sin 2cos 2 sin cos p p p p = = -ò ò xd x2 2 2 2 sin (sin ) 3 p p = - =ò I 2 2 3 p Þ = -
- 15. Bài tập Tích phân Trang 15 Câu 20. dx I x x 3 2 4 4 sin .cos p p = ò · dx I x x 3 2 2 4 4. sin 2 .cos p p = ò . Đặt t xtan= Þ dx dt x2 cos = . t dt t I t dt t tt t 3 3 32 2 3 2 2 2 11 1 (1 ) 1 1 8 3 4 2 2 3 3 æ öæ ö+ - = = + + = - + + =ç ÷ç ÷ è øè ø ò ò Câu 21. ( ) 2 2 0 sin 2 2 sin x I dx x p = + ò · Ta có: x x x I dx dx x x 2 2 2 2 0 0 sin2 sin cos 2 (2 sin ) (2 sin ) p p = = + + ò ò . Đặt t x2 sin= + . Þ t I dt dt t t tt t 33 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ln æ ö æ ö- = = - = +ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò 3 2 2ln 2 3 = - Câu 22. x I dx x 6 0 sin cos2 p = ò · x x I dx dx x x 6 6 2 0 0 sin sin cos2 2cos 1 p p = = - ò ò . Đặt t x dt xdxcos sin= Þ = - Đổi cận: x t x t 3 0 1; 6 2 p = Þ = = Þ = Ta được t I dt tt 3 1 2 2 31 2 1 1 2 2 ln 2 2 2 22 1 - = - = +- ò = 1 3 2 2 ln 2 2 5 2 6 - - Câu 23. x I e x x dx 22 sin 3 0 .sin .cos . p = ò · Đặt t x2 sin= Þ I = t e t dt 1 0 1 (1 ) 2 -ò = e 1 1 2 - . Câu 24. I x x dx 2 12sin sin 2 6 p p = × +ò · Đặt t xcos= . I 3 ( 2) 16 p= + Câu 25. x I dx x x 4 6 6 0 sin4 sin cos p = + ò
- 16. phân Trần Sĩ Tùng Trang 16 · x I dx x 4 20 sin4 3 1 sin 2 4 p = - ò . Đặt t x23 1 sin 2 4 = - Þ I = dt t 1 4 1 2 1 3 æ ö -ç ÷ è ø ò = t 1 1 4 4 2 3 3 = . Câu 26. ( ) x I dx x x 2 3 0 sin sin 3 cos p = + ò · Ta có: x x xsin 3 cos 2cos 6 pæ ö + = -ç ÷ è ø ; x xsin sin 6 6 p pæ öæ ö = - +ç ÷ç ÷ è øè ø = x x 3 1 sin cos 2 6 2 6 p pæ ö æ ö - + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Þ I = x dx dx x x 2 2 3 20 0 sin 63 1 16 16 cos cos 6 6 p pp p p æ ö -ç ÷ è ø + æ ö æ ö - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò = 3 6 Câu 27. x x I dx x 24 2 3 sin 1 cos cos p p - - = ò · x x I x dx x dx x x 4 4 2 2 2 3 3 sin sin 1 cos . sin cos cos p p p p - - = - =ò ò x x x dx x dx x x 0 4 2 2 0 3 sin sin sin sin cos cos p p - - = +ò ò = x x dx dx x x 0 2 24 2 2 0 3 sin sin cos cos p p - - +ò ò 7 3 1 12 p = - - . Câu 28. I dx x x 6 0 1 sin 3 cos p = + ò · I dx x x 6 0 1 sin 3 cos p = + ò = dx x 6 0 1 1 2 sin 3 p pæ ö +ç ÷ è ø ò = x dx x 6 20 sin 1 3 2 1 cos 3 p p p æ ö +ç ÷ è ø æ ö - +ç ÷ è ø ò . Đặt t x dt x dxcos sin 3 3 p pæ ö æ ö = + Þ = - +ç ÷ ç ÷ è ø è ø Þ I dt t 1 2 2 0 1 1 1 ln3 2 41 = = - ò Câu 29. I x xdx 2 2 0 1 3sin2 2cos p = - +ò
- 17. Bài tập Tích phân Trang 17 · I x x dx 2 0 sin 3 cos p = -ò = I x x dx x x dx 3 2 0 3 sin 3 cos sin 3 cos p p p = - + -ò ò 3 3= - Câu 30. xdx I x x 2 3 0 sin (sin cos ) p = + ò · Đặt x t dx dt 2 p = - Þ = - Þ tdt xdx I t t x x 2 2 3 3 0 0 cos cos (sin cos ) (sin cos ) p p = = + + ò ò Þ dx dx 2I x x x x 2 2 4 2 2 00 0 1 1 cot( ) 1 2 2 4(sin cos ) sin ( ) 4 p p p p p = = = - + = + + ò ò Þ I 1 2 = Câu 31. x x I dx x x 2 3 0 7sin 5cos (sin cos ) p - = + ò · Xét: ( ) ( ) xdx xdx I I x x x x 2 2 1 23 3 0 0 sin cos ; sin cos sin cos p p = = + + ò ò . Đặt x t 2 p = - . Ta chứng minh được I1 = I2 Tính I1 + I2 = ( ) dx dx x x x x 2 2 2 20 0 1 tan( ) 122 4sin cos 02cos ( ) 4 p p pp p = = - = + - ò ò Þ I I1 2 1 2 = = Þ I I I1 27 –5 1= = . Câu 32. x x I dx x x 2 3 0 3sin 2cos (sin cos ) p - = + ò · Đặt x t dx dt 2 p = - Þ = - Þ t t x x I dt dx t t x x 2 2 3 3 0 0 3cos 2sin 3cos 2sin (cos sin ) (cos sin ) p p - - = = + + ò ò Þ x x x x I I I dx dx dx x x x x x x 2 2 2 3 3 2 0 0 0 3sin 2cos 3cos 2sin 1 2 1 (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) p p p - - = + = + = = + + + ò ò ò Þ I 1 2 = . Câu 33. x x I dx x2 0 sin 1 cos p = + ò · Đặt t t t x t dx dt I dt dt I t t2 2 0 0 ( )sin sin 1 cos 1 cos p p p p p - = - Þ = - Þ = = - + + ò ò
- 18. phân Trần Sĩ Tùng Trang 18 t d t I dt I t t 2 2 2 0 0 sin (cos ) 2 4 4 81 cos 1 cos p p p p p p p p æ ö Þ = = - = + Þ =ç ÷ è ø+ + ò ò Câu 34. x x I dx x x 42 3 3 0 cos sin cos sin p = + ò · Đặt x t dx dt 2 p = - Þ = - Þ t t x x I dt dx t t x x 0 4 42 3 3 3 3 0 2 sin cos sin cos cos sin cos sin p p = - = + + ò ò Þ x x x x x x x x I dx dx xdx x x x x 4 4 3 32 2 2 3 3 3 3 0 0 0 cos sin sin cos sin cos (sin cos ) 1 1 2 sin2 2 2sin cos sin cos p p p + + = = = = + + ò ò ò Þ I 1 4 = . Câu 35. I x dx x 2 2 2 0 1 tan (cos ) cos (sin ) p é ù = -ê ú ê úë û ò · Đặt x t dx dt 2 p = - Þ = - Þ I t dt t 2 2 2 0 1 tan (sin ) cos (cos ) p é ù = -ê ú ê úë û ò x dx x 2 2 2 0 1 tan (sin ) cos (cos ) p é ù = -ê ú ê úë û ò Do đó: I x x dx x x 2 2 2 2 2 0 1 1 2 tan (cos ) tan (sin ) cos (sin ) cos (cos ) p é ù = + - -ê ú ê úë û ò = dt 2 0 2 p p=ò Þ I 2 p = . Câu 36. x x I dx x 4 0 cos sin 3 sin2 p - = - ò · Đặt u x xsin cos= + du I u 2 2 1 4 Þ = - ò . Đặt u t2sin= tdt I dt t 4 4 2 6 6 2cos 124 4sin p p p p p Þ = = = - ò ò . Câu 37. x I dx x x 3 2 0 sin cos 3 sin p = + ò · Đặt t x2 3 sin= + = x2 4 cos- . Ta có: x t2 2 cos 4= - và x x dt dx x2 sin cos 3 sin = + . I = x dx x x 3 2 0 sin . cos 3 sin p + ò = x x dx x x 3 2 2 0 sin .cos cos 3 sin p + ò = dt t 15 2 2 3 4 - ò = dt t t 15 2 3 1 1 1 4 2 2 æ ö -ç ÷ + -è ø ò
- 19. Bài tập Tích phân Trang 19 = t t 15 2 3 1 2 ln 4 2 + - = 1 15 4 3 2 ln ln 4 15 4 3 2 æ ö+ + ç ÷- ç ÷- -è ø = ( ) ( )( )1 ln 15 4 ln 3 2 2 + - + . Câu 38. x x x x I dx x x 2 3 3 2 3 ( sin )sin sin sin p p + + = + ò · x dx I dx xx 2 2 3 3 2 3 3 1 sinsin p p p p = + +ò ò . + Tính x I dx x 2 3 1 2 3 sin p p = ò . Đặt u x du dx dx dv v x x2 cot sin ì = ï ì = Þí í= = -îïî Þ I1 3 p = + Tính dx dx dx I = x x x 2 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 4 2 3 1 sin 1 cos 2cos 2 4 2 p p p p p pp p = = = - + æ ö æ ö + - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò ò Vậy: I 4 2 3 3 p = + - . Câu 39. x dx x x I 2 2 2 0 sin2 cos 4sin p + = ò · x x dx x I 2 2 0 2sin cos 3sin 1 p = + ò . Đặt u x2 3sin 1= + Þ udu du u I 2 2 1 1 2 2 23 3 3 = == ò ò Câu 40. x I dx x 6 0 tan 4 cos2 p pæ ö -ç ÷ è ø= ò · x x I dx dx x x 26 6 2 0 0 tan tan 14 cos2 (tan 1) p ppæ ö -ç ÷ +è ø= = - + ò ò . Đặt t x dt dx x dx x 2 2 1 tan (tan 1) cos = Þ = = + Þ dt I tt 1 1 3 3 2 00 1 1 3 1 2( 1) - = - = = ++ ò . Câu 41. x I dx x x 3 6 cot sin .sin 4 p p p = æ ö +ç ÷ è ø ò · x I dx x x 3 2 6 cot 2 sin (1 cot ) p p = + ò . Đặt x t1 cot+ = dx dt x2 1 sin Þ = - Þ ( )t I dt t t t 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 1 2 2 2 ln 2 ln 3 3 + + + + æ ö- = = - = -ç ÷ è ø ò
- 20. phân Trần Sĩ Tùng Trang 20 Câu 42. dx I x x 3 2 4 4 sin .cos p p = ò · Ta có: dx I x x 3 2 2 4 4. sin 2 .cos p p = ò . Đặt dt t x dx t2 tan 1 = Þ = + Þ t dt t I t dt t tt t 3 2 2 33 3(1 ) 1 1 8 3 42( 2 ) ( 2 ) 2 2 3 31 1 1 + - = = + + = - + + =ò ò Câu 43. x I dx x x x 4 2 0 sin 5sin .cos 2cos p = + ò · Ta có: x I dx x x x 4 2 2 0 tan 1 . 5tan 2(1 tan ) cos p = + + ò . Đặt t xtan= , Þ t I dt dt t tt t 1 1 2 0 0 1 2 1 1 2 ln3 ln2 3 2 2 1 2 32 5 2 æ ö = = - = -ç ÷ + ++ + è ø ò ò Câu 44. xdx x x x I 24 4 2 4 sin cos (tan 2tan 5) p p - - + = ò · Đặt dt t x dx t2 tan 1 = Þ = + Þ t dt dt I t t t t 21 1 2 2 1 1 2 2 ln 3 32 5 2 5- - = = + - - + - + ò ò Tính dt I t t 1 1 2 1 2 5- = - + ò . Đặt t u I du 0 1 4 1 1 tan 2 2 8p p - - = Þ = =ò . Vậy I 2 3 2 ln 3 8 p = + - . Câu 45. x I dx x 22 6 sin sin3 p p = ò . · x x I dx dx x x x 22 2 3 2 6 6 sin sin 3sin 4sin 4cos 1 p p p p = = - - ò ò Đặt t x dt xdxcos sin= Þ = - Þ dt dt I t t 3 0 2 2 203 2 1 1 ln(2 3) 14 44 1 4 = - = = - - - ò ò Câu 46. x x I dx x 2 4 sin cos 1 sin2 p p - = + ò
- 21. Bài tập Tích phân Trang 21 · Ta có: x x x x x1 sin2 sin cos sin cos+ = + = + (vì x ; 4 2 p pé ù Î ê úë û ) Þ x x I dx x x 2 4 sin cos sin cos p p - = +ò . Đặt t x x dt x x dxsin cos (cos sin )= + Þ = - I dt t t 22 11 1 1 ln ln2 2 Þ = = =ò Câu 47. I x x xdx 2 6 3 5 1 2 1 cos .sin .cos= -ò · Đặt t dt t x t x t dt x xdx dx x x 5 6 3 6 3 5 2 2 2 1 cos 1 cos 6 3cos sin cos sin = - Û = - Þ = Þ = t t I t t dt 1 1 7 13 6 6 00 12 2 (1 ) 2 7 13 91 æ ö Þ = - = - =ç ÷ è øò Câu 48. xdx I x x 4 2 0 tan cos 1 cos p = + ò · Ta có: xdx I x x 4 2 2 0 tan cos tan 2 p = + ò . Đặt 2 2 2 2 tan 2 tan 2 tan cos = + Þ = + Þ = x t x t x tdt dx x Þ 3 3 2 2 3 2= = = -ò ò tdt I dt t Câu 49. x I dx x x 2 3 0 cos2 (cos sin 3) p = - + ò · Đặt t x xcos sin 3= - + Þ t I dt t 4 3 2 3 1 32 - = = -ò . Câu 50. x I dx x x 4 2 4 0 sin4 cos . tan 1 p = + ò · Ta có: x I dx x x 4 4 4 0 sin4 sin cos p = + ò . Đặt t x x4 4 sin cos= + I dt 2 2 1 2 2 2Þ = - = -ò . Câu 51. x I dx x 4 2 0 sin4 1 cos p = + ò · Ta có: x x I dx x 24 2 0 2sin2 (2cos 1) 1 cos p - = + ò . Đặt t x2 cos= Þ t I dt t 1 2 1 2(2 1) 1 2 6ln 1 3 - = - = - +ò . Câu 52. x I dx x 6 0 tan( ) 4 cos2 p p - = ò
- 22. phân Trần Sĩ Tùng Trang 22 · Ta có: 26 2 0 tan 1 (tan 1) p + = - +ò x I dx x . Đặt t xtan= Þ 1 3 2 0 1 3 ( 1) 2 - = - = +ò dt I t . Câu 53. 36 0 tan cos2 p = ò x I dx x · Ta có: 3 36 6tan tan 2 2 2 2cos sin cos (1 tan )0 0 p p = =ò ò - - x x I dx dx x x x x . Đặt t xtan= Þ 3 33 1 1 2 ln 2 6 2 310 = = - -ò - t I dt t . Câu 54. x I dx x 2 0 cos 7 cos2 p = + ò · x dx I x 2 2 2 0 1 cos 2 6 22 sin p p = = - ò Câu 55. dx x x 3 4 3 5 4 sin .cos p p ò · Ta có: dx x x x 3 3 84 4 3 1 sin .cos cos p p ò dx xx 3 24 3 4 1 1 . costan p p = ò . Đặt t xtan= Þ ( )I t dt 33 84 1 4 3 1 - = = -ò Câu 56. 3 2 0 cos cos sin ( ) 1 cos x x x I x dx x p + + = +ò · Ta có: x x x x x I x dx x x dx dx J K x x 2 2 2 0 0 0 cos (1 cos ) sin .sin .cos . 1 cos 1 cos p p pæ ö+ + = = + = +ç ÷ ç ÷+ +è ø ò ò ò + Tính J x x dx 0 .cos . p = ò . Đặt u x du dx dv xdx v xcos sin ì ì= = Þí í= =î î J 2Þ = - + Tính x x K dx x2 0 .sin 1 cos p = + ò . Đặt x t dx dtp= - Þ = - t t t t x x K dt dt dx t t x2 2 2 0 0 0 ( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin 1 cos ( ) 1 cos 1 cos p p p p p p p p - - - - Þ = = = + - + + ò ò ò x x x x dx x dx K dx K x x x2 2 2 0 0 0 ( ).sin sin . sin . 2 21 cos 1 cos 1 cos p p p p p p + - Þ = = Þ = + + + ò ò ò
- 23. Bài tập Tích phân Trang 23 Đặt t xcos= dt K t 1 2 1 2 1 p - Þ = + ò , đặt t u dt u du2 tan (1 tan )= Þ = + u du K du u u 2 24 4 4 2 4 4 4 (1 tan ) . 2 2 2 41 tan p p p p p p p p p p - - - + Þ = = = = + ò ò Vậy I 2 2 4 p = - Câu 57. 2 2 6 cos I sin 3 cos p p = + ò x dx x x · Ta có: 2 2 2 6 sin cos sin 3 cos p p = + ò x x I dx x x . Đặt t x2 3 cos= + Þ ( )dt I t 15 2 2 3 1 ln( 15 4) ln( 3 2) 24 = = + - + - ò Dạng 3: Đổi biến số dạng 2 Câu 58. I x x dx 2 12sin sin . 2 6 p p = × +ò · Đặt x t t 3 cos sin , 0 2 2 pæ ö = £ £ç ÷ è ø Þ I = tdt 4 2 0 3 cos 2 p ò = 3 1 2 4 2 pæ ö +ç ÷ è ø . Câu 59. 2 2 2 0 3sin 4cos 3sin 4cos p + = +ò x x I dx x x · 2 2 2 2 2 2 0 0 0 3sin 4cos 3sin 4cos 3 cos 3 cos 3 cos p p p + = = + + + +ò ò ò x x x x I dx dx dx x x x 2 2 2 2 0 0 3sin 4cos 3 cos 4 sin p p = + + -ò ò x x dx dx x x + Tính 2 1 2 0 3sin 3 cos p = +ò x I dx x . Đặt cos sin= Þ = -t x dt xdx Þ 1 1 2 0 3 3 = +ò dt I t Đặt 2 3 tan 3(1 tan )= Þ = +t u dt u du Þ 26 1 2 0 3 3(1 tan ) 3 3(1 tan ) 6 p p+ = = +ò u du I u + Tính 2 2 2 0 4cos 4 sin p = -ò x I dx x . Đặt 1 1sin cos= Þ =t x dt xdx 1 1 2 12 10 4 ln3 4 = = -ò dt I dt t
- 24. phân Trần Sĩ Tùng Trang 24 Vậy: 3 ln3 6 p = +I Câu 60. x I dx x x 4 2 6 tan cos 1 cos p p = + ò · Ta có: x x I dx dx x xx x 4 4 2 2 2 26 6 tan tan 1 cos tan 2cos 1 cos p p p p = = ++ ò ò Đặt u x du dx x2 1 tan cos = Þ = Þ u I dx u 1 2 1 3 2 = + ò . Đặt u t u dt du u 2 2 2 2 = + Þ = + . I dt t 3 3 7 7 3 3 7 3 7 3 . 3 3 - Þ = = = - =ò Câu 61. x I dx x x 2 4 sin 4 2sin cos 3 p p pæ ö +ç ÷ è ø= -ò · Ta có: ( ) x x I dx x x 2 2 4 1 sin cos 2 sin cos 2 p p + = - - + ò . Đặt t x xsin cos= - Þ I dt t 1 2 0 1 1 2 2 = - + ò Đặt t u2 tan= Þ u I du u 1 arctan 22 2 0 1 2(1 tan ) 1 1 arctan 22 22tan 2 + = - = - + ò
- 25. Bài tập Tích phân Trang 25 Dạng 4: Tích phân từng phần Câu 62. x x I dx x 3 2 3 sin cos p p- = ò . · Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có: x dx I xd J x x x 3 33 3 3 3 1 4 , cos cos cos 3 p pp p p p p - - - æ ö = = - = -ç ÷ è ø ò ò với dx J x 3 3 cos p p - = ò Để tính J ta đặt t xsin .= Khi đó dx dt t J x tt 3 3 3 2 2 2 3 3 23 2 1 1 2 3 ln ln cos 2 1 2 31 p p - - - - - = = = - = - + +- ò ò Vậy I 4 2 3 ln . 3 2 3 p - = - + Câu 63. xx I e dx x 2 0 1 sin . 1 cos p æ ö+ = ç ÷ +è ø ò · Ta có: x x x x x xx 2 2 1 2sin cos1 sin 12 2 tan 1 cos 2 2cos 2cos 2 2 = = + + Þ x xe dx x I e dx x 2 2 20 0 tan 2 2cos 2 p p = +ò ò = e2 p Câu 64. ( ) x x I dx x 4 2 0 cos2 1 sin2 p = + ò · Đặt u x du dx x dv dx v xx 2 cos2 1 1 sin2(1 sin2 ) ì = ì = ï ï Þí í= = -ï ï îî Þ I x dx dx x x x 4 4 20 0 1 1 1 1 1 1 1 . . .4 2 1 sin2 2 1 sin2 16 2 20 cos 4 p p p p p æ ö = - + = - +ç ÷ + + æ öè ø -ç ÷ è ø ò ò ( )x 1 1 1 2 2 . tan . 0 14 16 2 4 16 2 2 4 162 0 p p p p pæ ö = - + - = - + + = -ç ÷ è ø
- 26. phân Trần Sĩ Tùng Trang 26 TP4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT Dạng 1: Đổi biến số Câu 1. x x e I dx e 2 1 = + ò · Đặt x x x t e e t e dx tdt2 2= Þ = Þ = . t I dt t 3 2 1 Þ = = +ò t t t t C3 22 2 2ln 1 3 - + - + + x x x x x e e e e e C 2 2 2ln 1 3 = - + - + + Câu 2. x x x x e I dx x e 2 ( ) - + = + ò · x x x x e I dx x e 2 ( ) - + = + ò = x x x xe x e dx xe .( 1) 1 + + ò . Đặt x t x e. 1= + Þ x x I xe xe C1 ln 1= + - + + . Câu 3. x dx I e2 9 = + ò · Đặt x t e2 9= + Þ dt t I C tt2 1 3 ln 6 39 - = = + +- ò x x e C e 2 2 1 9 3 ln 6 9 3 + - = + + + Câu 4. x x x x I dx ex e 2 2 2 1 ln(1 ) 2011 ln ( ) + + + = é ù+ë û ò · Ta có: x x I dx x x 2 2 2 ln( 1) 2011 ( 1) ln( 1) 1 é ù+ +ë û= é ù+ + +ë û ò . Đặt t x2 ln( 1) 1= + + Þ t I dt t 1 2010 2 + = ò t t C 1 1005ln 2 = + + = x x C2 21 1 ln( 1) 1005ln(ln( 1) 1) 2 2 + + + + + + Câu 5. e x x xe J dx x e x1 1 ( ln ) + = + ò · e x ee x x d e x e J e x ee x 11 ( ln ) 1 ln ln ln ln + + = = + = + ò Câu 6. x x x x x e e I dx e e e ln2 3 2 3 2 0 2 1 1 + - = + - + ò · x x x x x x x x x e e e e e e I dx e e e ln2 3 2 3 2 3 2 0 3 2 ( 1) 1 + - - + - + = + - + ò = x x x x x x e e e dx e e e ln2 3 2 3 2 0 3 2 1 1 æ ö+ - -ç ÷ ç ÷+ - +è ø ò = x x x e e e x3 2 ln2 ln2 ln( – 1) 0 0 + + - = ln11 – ln4 = 14 ln 4 Câu 7. ( )x dx I e 3ln2 2 30 2 = + ò · ( ) x x x e dx I e e 3ln2 3 2 0 33 2 = + ò . Đặt x x t e dt e dx3 31 3 = Þ = Þ I 3 3 1 ln 4 2 6 æ ö = -ç ÷ è ø
- 27. Bài tập Tích phân Trang 27 Câu 8. x I e dx ln2 3 0 1= -ò · Đặt x e t 3 1- = Þ t dt dx t 2 3 3 1 = + Þ I = dt t 1 3 0 1 3 1 1 æ ö -ç ÷ +è ø ò = dt t 1 3 0 3 3 1 - + ò . Tính dt I t 1 1 3 0 3 1 = + ò = t dt t t t 1 2 0 1 2 1 1 æ ö- +ç ÷ + - +è ø ò = ln2 3 p + Vậy: I 3 ln2 3 p = - - Câu 9. ( )x x x x x x e e dx I e e e e ln15 2 3ln2 24 1 5 3 1 15 - = + + - + - ò · Đặt x x t e t e2 1 1= + Þ - = x e dx tdt2Þ = . ( )t t dt I dt t t t t tt 4 42 4 2 3 3 3 (2 10 ) 3 7 2 2 3ln 2 7ln 2 2 24 æ ö- = = - - = - - - +ç ÷ - +- è ø ò ò 2 3ln2 7ln6 7ln5= - - + Câu 10. ln3 2 ln2 1 2 x x x e dx I e e = - + - ò · Đặt t = x e 2- Þ x e dx tdt2 2= Þ I = 2 t tdt t t 1 2 2 0 ( 2) 1 + + + ò = 2 t t dt t t 1 2 0 2 1 1 1 æ ö+ - +ç ÷ + +è ø ò = t dt 1 0 2 ( 1)-ò + d t t t t 1 2 2 0 ( 1) 2 1 + + + + ò = t t 1 2 0( 2 )- + t t 1 2 02ln( 1)+ + = 2ln3 1- . Câu 11. x x x x e e I dx e e ln3 3 2 0 2 4 3 1 - = - + ò · Đặt x x x x x x t e e t e e tdt e e dx3 2 2 3 2 3 2 4 3 4 3 2 (12 6 )= - Þ = - Þ = - x x tdt e e dx3 2 (2 ) 3 Þ - = tdt I dt t t 9 9 1 1 1 1 1 (1 ) 3 1 3 1 Þ = = - + +ò ò t t 9 1 1 8 ln5 ( ln 1) . 3 3 - = - + = Câu 12. ò -= 3 16 ln 3 8 ln 43 dxeI x · Đặt: x x t t e e 2 4 3 4 3 + = - Þ = tdt dx t2 2 4 Þ = + t dt I dt dt t t 2 3 2 3 2 32 2 2 2 2 2 2 2 8 4 4 Þ = = - + + ò ò ò ( ) I14 3 1 8= - - , với dt I t 2 3 1 2 2 4 = + ò Tính dt I t 2 3 1 2 2 4 = + ò . Đặt: t u u2tan , ; 2 2 p pæ ö = Î -ç ÷ è ø dt u du2 2(1 tan )Þ = +
- 28. phân Trần Sĩ Tùng Trang 28 I du 3 1 4 1 1 2 2 3 4 24 p p p p pæ ö Þ = = - =ç ÷ è ø ò . Vậy: I 4( 3 1) 3 p = - - Câu 13. x x e I dx e ln3 3 0 ( 1) = + ò · Đặt x x x x tdt t e t e tdt e dx dx e 2 2 1 1 2= + Û = + Û = Þ = tdt I t 2 3 2 2 2 1Þ = = -ò Câu 14. x x e I dx e ln5 2 ln2 1 = - ò · Đặt x x x tdt t t e t e dx I t d t e 2 2 3 2 2 11 2 20 1 1 2 ( 1) 2 3 3 æ ö = - Û = - Þ = Þ = + = + =ç ÷ è øò Câu 15. x I e dx ln2 0 1= -ò · Đặt x x x x td td t e t e tdt e dx dx e t 2 2 2 2 1 1 2 1 = - Þ = - Þ = Þ = = + t I dt dt t t 1 12 2 2 0 0 2 1 4 2 1 21 1 pæ ö - Þ = = - =ç ÷ + +è ø ò ò Câu 16. x x x x I dx 2 1 2 2 4 4 2 - - - = + - ò · Đặt x x t 2 2- = + Þ x x x x 2 4 4 2 (2 2 ) 4- - + - = + - Þ 1 81 ln 4ln 2 25 =I Câu 17. 1 0 6 9 3.6 2.4 = + +ò x x x x dx I · Ta có: x x x dx I 1 2 0 3 2 3 3 3 2 2 2 æ ö ç ÷ è ø= æ ö æ ö + +ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò . Đăt x t 3 2 æ ö = ç ÷ è ø . dt I t t 3 2 2 1 1 ln3 ln2 3 2 = - + + ò ln15 ln14 ln3 ln2 - = - Câu 18. e x I x x dx x x 2 1 ln 3 ln 1 ln æ ö = +ç ÷ +è ø ò · e e x I dx x xdx x x 2 1 1 ln 3 ln 1 ln = + + ò ò = 2(2 2) 3 - + e3 2 1 3 + = e3 5 2 2 2 3 - + Câu 19. e x x I dx x 3 2 1 ln 2 ln+ = ò
- 29. Bài tập Tích phân Trang 29 · Đặt t x2 2 ln= + Þ x dt dx x 2ln = Þ I tdt 3 3 2 1 2 = ò ( )33 4 43 3 2 8 = - Câu 20. e e dx I x x ex 2 ln .ln = ò · e e e e dx d x I x x x x x 2 2 (ln ) ln (1 ln ) ln (1 ln ) = = + +ò ò = e e d x x x 2 1 1 (ln ) ln 1 ln æ ö -ç ÷ +è ø ò = 2ln2 – ln3 Câu 21. x x x e I dx e e ln6 2 ln4 6 5- = + - ò · Đặt x t e= . I 2 9ln3 4ln2= + - Câu 22. e x I dx x x 3 2 2 1 log 1 3ln = + ò · e e e x x x xdx I dx dx xx x x x x 3 3 2 2 32 2 2 1 1 1 ln log ln2 1 ln . ln . ln 21 3ln 1 3ln 1 3ln æ ö ç ÷ è ø= = = + + + ò ò ò Đặt dx x t x t x tdt x 2 2 21 1 1 3ln ln ( 1) ln . 3 3 + = Þ = - Þ = . Suy ra I t t 2 3 3 3 1 1 1 4 39ln 2 27ln 2 æ ö = - =ç ÷ è ø . Câu 23. e x x x I dx x x1 ( 2)ln (1 ln ) + - = +ò · e e x dx dx x x1 1 ln 2 (1 ln ) - +ò ò = e x e dx x x1 ln 1 2 (1 ln ) - - +ò Tính J = e x dx x x1 ln (1 ln )+ò . Đặt t x1 ln= + Þ t J dt t 2 1 1 1 ln2 - = = -ò . Vậy: I e 3 2ln2= - + . Câu 24. e e x x x x I dx x x 3 2 2 2 2 ln ln 3 (1 ln ) - + = -ò · e e e e I dx xdx x x 3 3 2 2 1 3 2 ln (1 ln ) = - -ò ò e e3 2 3ln2 4 2= - - + . Câu 25. e x x I dx x 2 2 2 2 1 ln ln 1- + = ò · Đặt : dx t x dt x ln= Þ = Þ t t t t t t t t t I dt dt dt dt I I e e e e 2 2 2 1 2 1 20 0 0 1 2 1 1 1 1- + - - - = = = - + = +ò ò ò ò + t t t t t tdt dt dt dt I te ee e e e 11 1 1 1 1 0 0 0 00 1-æ öæ ö = - - = - - + - =ç ÷ç ÷ è ø è ø ò ò ò ò + t t t t t t tdt dt dt dt I te te ee e e e e 2 22 2 2 2 2 1 1 1 1 21 1 1 2- - = - = - + - = - = -ò ò ò ò
- 30. phân Trần Sĩ Tùng Trang 30 Vậy : e I e2 2( 1)- = Câu 26. 5 2 ln( 1 1) 1 1 - + = - + -ò x I dx x x · Đặt ( )t xln 1 1= - + Þ dx dt x x 2 1 1 = - + - Þ I dt ln3 2 2 ln2 2 ln 3 ln 2= = -ò . Câu 27. 3 3 1 ln 1 ln = + ò e x I dx x x · Đặt dx t x x t tdt x 2 1 ln 1 ln 2= + Þ + = Þ = và x t3 2 3 ln ( 1)= - Þ t t t t I dt = dt t t t dt t t t 2 2 22 3 6 4 2 5 3 1 1 1 ( 1) 3 3 1 1 ( 3 3 ) - - + - = = - + -ò ò ò 15 ln2 4 = - Câu 28. e x I dx x x1 3 2ln 1 2ln - = + ò · Đặt t x1 2ln= + Þ e I t dt2 1 (2 )= -ò = 3 524 - Câu 29. e x x I dx x 3 2 1 ln 2 ln+ = ò · Đặt t x2 2 ln= + Þ I 33 4 43 3 2 8 é ù= -ë û Câu 30. 1 1 ( ln ) + = +ò e x x xe I dx x e x · Đặt x t e xln= + Þ 1 ln + = e e I e .
- 31. Bài tập Tích phân Trang 31 Dạng 2: Tích phân từng phần Câu 31. inx I e xdx 2 s 0 .sin2 p = ò · inx I e x xdx 2 s 0 2 .sin cos p = ò . Đặt x x u x du xdx dv e xdx v esin sin sin cos cos ì ì= = Þí í = =î î x x x I xe e xdx e e 2 sin sin sin2 2 0 0 0 2sin .cos 2 2 2 p p p Þ = - = - =ò Câu 32. I x x x dx 1 2 0 ln( 1)= + +ò · Đặt x du dx u x x x x dv xdx x v 2 2 2 2 1 ln( 1) 1 2 ì + =ïì ï= + + + +Þí í =î ï = ïî x x x I x x dx x x 1 12 3 2 2 2 0 0 1 2 ln( 1) 2 2 1 + = + + - + + ò x dx x dx dx x x x x 1 1 1 2 2 0 0 0 1 1 1 2 1 3 ln3 (2 1) 2 2 4 41 1 + = - - + - + + + + ò ò ò 3 3 ln3 4 12 p = - Câu 33. x I dx x 8 3 ln 1 = + ò · Đặt u x dx du dx xdv v xx ln 2 11 ì ì= =ï ï Þí í= ï ï = ++ îî ( ) x I x x dx J x 88 3 3 1 2 1.ln 2 6ln8 4ln3 2 + Þ = + - = - -ò + Tính x J dx x 8 3 1+ = ò . Đặt t t t x J tdt dt dt t tt t 3 3 32 2 2 2 2 2 1 1 1 .2 2 2 1 11 1 æ ö = + Þ = = = + -ç ÷ - +- - è ø ò ò ò t t t 8 3 1 2 ln 2 ln3 ln2 1 æ ö- = + = + -ç ÷ +è ø Từ đó I 20ln2 6ln3 4= - - . Câu 34. e xx x x I e dx x 2 1 ln 1+ + = ò · e e e x x x e I xe dx xe dx dx x1 1 1 ln= + +ò ò ò . + Tính e ee x x x e I xe dx xe e dx e e11 1 1 ( 1)= = - = -ò ò +Tính e e ex xe x x ee e I e xdx e x dx e dx x x2 1 1 1 1 ln ln= = - = -ò ò ò . Vậy: e x e I I I dx x1 2 1 = + + ò = e e 1+ .
- 32. phân Trần Sĩ Tùng Trang 32 Câu 35. e x I x dx x x 2 1 ln ln 1 ln æ ö = +ç ÷ +è ø ò · Tính e x I dx x x 1 1 ln 1 ln = + ò . Đặt t x1 ln= + Þ I1 4 2 2 3 3 = - . + Tính e I xdx2 2 1 ln= ò . Lấy tích phân từng phần 2 lần được I e2 2= - . Vậy I e 2 2 2 3 3 = - - . Câu 36. 2 3 2 1 ln( 1)x I dx x + = ò · Đặt x duu x xdx dv vx x 2 2 3 2 2 ln( 1) 1 1 2 ì ì == + ïï ï +Þí í =ï ï = -î ïî . Do đó I = x dx x x x 22 2 2 1 2ln( 1) 12 ( 1) + - + + ò x dx x x 2 2 1 ln2 ln5 1 2 8 1 æ ö = - + -ç ÷ +è ø ò dx d x x x 2 2 2 2 1 1 ln2 ln5 1 ( 1) 2 8 2 1 + = - + - + ò ò x x2 2ln2 ln5 1 ln | | ln | 1| 2 8 2 1 æ ö = - + - +ç ÷ è ø = 5 2ln2 ln5 8 - Câu 37. x I = dx x 2 2 1 ln( 1)+ ò · Đặt dx u x du dxxdx I x dv x x x vx x 2 2 1 ln( 1) 1 321 ln( 1) 3ln2 ln3 1 1 ( 1) 2 ì ì = + =ïï +Û Þ = - + + = -í í= +ï ï = -î î ò Câu 38. x I x dx x 1 2 0 1 ln 1 æ ö+ = ç ÷ -è ø ò · Đặt du dxx u x x xdv xdx v 2 2 2 1 ln (1 ) 1 2 ì =ì + ïï ï= -Þí í- ï ï=î =ïî Þ x I x x dx x x 1 2 2 2 2 0 1 1 1 2 ln 2 2 1 10 é ù ê úæ ö æ ö+ ê ú= -ç ÷ ç ÷ -ê ú-è ø è ø ê úë û ò x dx dx x xx 1 1 22 2 2 0 0 ln3 ln3 1 ln3 1 1 2 1 ln 8 8 ( 1)( 1) 8 2 2 31 é ù = + = + + = + +ê ú- +- ë û ò ò Câu 39. I x x dx x 2 2 1 1 .ln æ ö = +ç ÷ è ø ò · Đặt u x x dv x dx2 1 ln ì æ ö = +ï ç ÷ í è ø ï =î Þ I 10 1 3ln3 ln2 3 6 = - + Câu 40. I x x dx 1 2 2.ln(1 ) 0 = +ò · Đặt u x dv x dx 2 2 ln(1 )ìï = + í =ïî Þ I 1 4 .ln2 3 9 6 p = + +
- 33. Bài tập Tích phân Trang 33 Câu 41. x I dx x 3 2 1 ln ( 1) = + ò · Đặt u x dx dv x 2 ln ( 1) ì = ï í = ï +î Þ I 1 3 ln3 ln 4 2 = - + Câu 42. 2 2 1 ln ( ln ) . 1 + + = +ò e x x x x e e x I dx e · Ta có: e e x x e I x dx dx H K e 2 2 1 1 ln . 1 = + = + + ò ò + e H x dx2 1 ln .= ò . Đặt: u x dv dx 2 lnì = í =î Þ e H e x dx e 1 2ln . 2= - = -ò + e x x e K dx e 2 1 1 = + ò . Đặt x t e 1= + Þ e e e e e t e I dt e e t e 1 2 1 1 1 ln 1 + + - + Þ = = - + + ò Vậy: e e e I e e 1 –2 ln 1 + = + + Câu 43. 2 1 1 2 1 ( 1 ) + = + -ò x x I x e dx x · Ta có: 2 31 1 1 1 2 2 1+ +æ ö = + - = +ç ÷ è øò ò x x x x I e dx x e dx H K x + Tính H theo phương pháp từng phần I1 = 2 21 1 5 2 1 1 2 2 1 3 2 + +æ ö = - - = -ç ÷ è øò x x x x H xe x e dx e K x 5 2 3 . 2 I eÞ = Câu 44. 4 2 0 ln( 9 )= + -òI x x dx · Đặt ( )u x x dv dx 2 ln 9 ìï = + -í =ïî Þ ( ) x I x x x dx x 4 4 2 20 0 ln 9 2 9 = + - + = + ò
- 34. phân Trần Sĩ Tùng Trang 34 TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ Câu 1. x x I x e dx x 3 1 4 2 0 1 æ ö = +ç ÷ç ÷ +è ø ò · x x I x e dx dx x 3 1 1 4 2 0 0 1 = + + ò ò . + Tính x I x e dx 3 1 2 1 0 = ò . Đặt t x3 = Þ t t I e dt e e 1 1 1 0 0 1 1 1 1 3 3 3 3 = = = -ò . + Tính x I dx x 1 4 2 0 1 = + ò . Đặt t x4 = Þ t I dt t 1 4 2 2 0 2 4 4 3 41 pæ ö = = - +ç ÷ è ø+ ò Vậy: I e 1 3 3 p= + - Câu 2. x x I x e dx x 2 2 3 1 4æ ö-ç ÷= - ç ÷ è ø ò · x I xe dx 2 1 = ò + x dx x 2 2 2 1 4 - ò . + Tính x I xe dx e 2 2 1 1 = =ò + Tính x I dx x 2 2 2 2 1 4 - = ò . Đặt x t2sin= , t 0; 2 pé ù Îê úë û . Þ t I dt t t t 22 2 2 2 6 6 cos ( cot ) sin p p p p = = - -ò = 3 3 p - Vậy: I e2 3 3 p = + - . Câu 3. ( )xx I e x x dx x 1 2 2 2 2 0 . 4 . 4 = - - - ò · x x I x e dx dx I I x 1 1 3 2 1 2 2 0 0 4 = - = + - ò ò + Tính x e I x e dx 1 2 2 1 0 1 4 + = =ò + Tính x I dx x 1 3 2 2 0 4 = - ò . Đặt t x2 4= - Þ I2 16 3 3 3 = - + Þ e I 2 61 3 3 4 12 = + - Câu 4. xx I e dx x 1 2 2 0 1 ( 1) + = + ò
- 35. Bài tập Tích phân Trang 35 · Đặt t x dx dt1= + Þ = t tt t I e dt e dt tt t 2 22 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1- -æ ö- + = = + -ç ÷ è ø ò ò = e e e e 2 2 1 1 2 æ ö - + - + =ç ÷ ç ÷ è ø Câu 5. x x e dx I x 2 3 3 1 2 0 . 1 + = + ò · Đặt t x dx tdt2 1= + Þ = Þ t I t e dt 2 2 1 ( 1)= -ò t t t e dt e J e e 2 2 2 1 2 ( ) 1 = - = - -ò + t t t t t t t J t e dt t e te dt e e te e dt e e te e 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 4 2 4 2( ) 1 1 1 æ ö ç ÷= = - = - - - = - - - ç ÷ è ø ò ò ò Vậy: I e2 = Câu 6. x x x I dx x 2 3 2 ln( 1) 1 + + = + ò · Ta có: x x x x x x x x f x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 ln( 1) ( 1) ln( 1) ( ) 1 1 1 1 + + - + = + = + - + + + + Þ F x f x dx x d x xdx d x2 2 21 1 ( ) ( ) ln( 1) ( 1) ln( 1) 2 2 = = + + + - +ò ò ò ò = x x x C2 2 2 21 1 1 ln ( 1) ln( 1) 4 2 2 + + - + + . Câu 7. ( )x x x I dx x 4 2 3 2 0 ln 9 3 9 + + - = + ò · ( ) ( )x x x x x x I dx dx dx I I x x x 4 4 42 3 2 3 1 2 2 2 2 0 0 0 ln 9 3 ln 9 3 3 9 9 9 + + - + + = = - = - + + + ò ò ò + Tính ( )x x I dx x 4 2 1 2 0 ln 9 9 + + = + ò . Đặt ( )x x u2 ln 9+ + = Þ du dx x2 1 9 = + Þ u I udu ln5 2 2 2 1 ln3 ln 5 ln 3ln5 ln32 2 - = = =ò + Tính x I dx x 4 3 2 2 0 9 = + ò . Đặt x v2 9+ = Þ x dv dx x v x 2 2 2 , 9 9 = = - + Þ u I u du u 5 3 2 2 3 445 ( 9) ( 9 ) 33 3 = - = - =ò Vậy ( )x x x I dx I I x 4 2 3 2 2 1 2 2 0 ln 9 3 ln 5 ln 3 3 44 29 + + - - = = - = - + ò . Câu 8. e x x x I dx x x 3 2 1 ( 1)ln 2 1 2 ln + + + = +ò · e e x I x dx dx x x 2 1 1 1 ln 2 ln + = + +ò ò . + e e x e x dx 3 3 2 11 1 3 3 - = =ò
- 36. phân Trần Sĩ Tùng Trang 36 + e e ex d x x dx x x x x x x 1 1 1 1 ln (2 ln ) ln 2 ln 2 ln 2 ln + + = = + + +ò ò e 2 ln 2 + = . Vậy: e e I 3 1 2 ln 3 2 - + = + . Câu 9. xx I e dx x 2 0 1 sin . 1 cos p + = +ò · x xe dx x I e dx x x 2 2 20 0 1 sin 2 1 cos cos 2 p p = + +ò ò + Tính x x x x x I e dx e dx xx 2 2 1 20 0 2sin .cossin 2 2 1 cos 2cos 2 p p = = +ò ò xx e dx 2 0 tan 2 p = ò + Tính x e dx I x 2 2 20 1 2 cos 2 p = ò . Đặt x xu e du e dx dx dv x vx2 tan 2cos 2 2 ì = ì =ï ï ï Þí í= =ï ï îïî Þ xx I e e dx 2 2 2 0 tan 2 p p = - ò Do đó: I I I e2 1 2 p = + = . Câu 10. x x I dx x 4 0 tan .ln(cos ) cos p = ò · Đặt t xcos= Þ dt xdxsin= - Þ t t I dt dt t t 1 12 2 2 11 2 ln ln = - =ò ò . Đặt u t dv dt t2 ln 1 ì = ï í = ïî Þ du dt t v t 1 1 ì =ï í ï = - î Þ I 2 2 1 ln2 2 = - - Câu 11. x x I dx e x 2 0 cos (1 sin2 ) p = + ò · x x I dx e x x 2 0 2 cos (sin cos ) p = + ò . Đặt x x x x x dxu du e e dx xdv v x xx x 2 cos (sin cos ) sin sin cos(sin cos ) ì ì - += =ï ïï ï Þí í ï ï= = ïï ++ îî x x x x x xdx xdx I x xe e e 2 22 0 0 0 cos sin sin sin . sin cos p pp Þ = + = + ò ò Đặt x x u x du xdx dx dv v e e 1 1 1 1 sin cos 1 ì ì= = ï ï Þ -í í= =ï ï î î Þ x x x xdx xdx I x e e e e 2 22 0 0 0 2 1 cos 1 cos sin . p pp p - - = + = +ò ò
- 37. Bài tập Tích phân Trang 37 Đặt x x u x du xdx dx dv v e e 2 2 1 1 cos sin 1 ì ì= = - ï ï Þ -í í= =ï ï î î x x xdx I x I I e e e e e 22 2 0 0 2 2 1 1 sin 1 cos . 1 2 1 pp p p p - - - - Þ = + - = + - Þ = - +ò e I 2 1 2 2 p- - Þ = + Câu 12. I x x dx 2 0 sin ln(1 sin ) p = +ò · Đặt x u x du dx xdv xdx v x 1 cos ln(1 sin ) 1 sinsin cos ì + ïì = + =Þí í +=î ï = -î Þ x x I x x x dx dx x dx x x 22 2 2 0 0 0 cos 1 sin cos .ln(1 sin ) cos . 0 (1 sin ) 12 1 sin 1 sin 2 0 p p p p p- = - + + = + = - = - + +ò ò ò Câu 13. x x x I dx 6 64 4 sin cos 6 1 p p - + = + ò · Đặt t x= - Þ dt dx= - Þ t x t x t t x x I dt dx 6 6 6 64 4 4 4 sin cos sin cos 6 6 6 1 6 1 p p p p - - + + = = + + ò ò Þ x x x x I dx x x dx 6 64 4 6 6 4 4 sin cos 2 (6 1) (sin cos ) 6 1 p p p p - - + = + = + + ò ò x dx 4 4 5 3 cos4 8 8 p p - æ ö = +ç ÷ è ø ò 5 16 p = I 5 32 p Þ = . Câu 14. x xdx I 46 6 sin 2 1 p p - - = + ò · Ta có: x x x x x x xdx xdx xdx I I I 04 4 46 6 1 2 0 6 6 2 sin 2 sin 2 sin 2 1 2 1 2 1 p p p p - - = = + = + + + + ò ò ò + Tính x x xdx I 0 4 1 6 2 sin 2 1p - = + ò . Đặt x t= - t t t x t t x I dt dt dx 0 0 04 4 4 1 6 6 6 2 sin ( ) sin sin 2 1 2 1 2 1p p p - - - Þ = - = = + + + ò ò ò x x x xdx xdx I xdx x dx 4 46 6 6 6 4 2 0 0 0 0 sin 2 sin 1 sin (1 cos2 ) 42 1 2 1 p p p p Þ = + = = - + + ò ò ò ò
- 38. phân Trần Sĩ Tùng Trang 38 x x dx 6 0 1 (3 4cos2 cos4 ) 8 p = - +ò 4 7 3 64 p - = Câu 15. e x I dx x x 3 3 1 ln 1 ln = + ò · Đặt dx t x x t tdt x 2 1 ln 1 ln 2= + Þ + = Þ = và x t3 2 3 ln ( 1)= - Þ t t t t I dt = dt t t t dt t t t 2 2 22 3 6 4 2 5 3 1 1 1 ( 1) 3 3 1 1 ( 3 3 ) - - + - = = - + -ò ò ò 15 ln2 4 = - Câu 16. 4 2 0 sin cos p = ò x x I dx x · Đặt u x du dx x dv dx v xx2 sin 1 coscos ì = ì = ï ï Þí í = =ï ï îî Þ x dx dx I x x x 4 44 0 0 0 2 cos cos 4 cos p pp p = - = -ò ò + dx xdx I x x 4 4 1 2 0 0 cos cos 1 sin p p = = - ò ò . Đặt t xsin= Þ dt I t 2 2 1 2 0 1 2 2 ln 2 2 21 + = = -- ò Vậy: 2 1 2 2 ln 4 2 2 2 p + = - - Câu 17. x x I dx x 2 3 4 cos sin p p = ò · Ta có x x x2 3 1 2cos sin sin ¢æ ö = -ç ÷ è ø . Đặt u x x dv dx x3 cos sin ì = ï í = ïî Þ du dx v x2 1 2sin ì = ï í = - ïî Þ I = x x 2 2 4 1 1 . 2 sin p p - + dx x x 2 2 2 4 4 1 1 1 ( ) cot 2 2 2 2 2sin p p p p p p = - - -ò = 1 2 . Câu 18. x x I dx x 4 3 0 sin cos p = ò · Đặt: u x du dx x dv dx v x x3 2 sin 1 cos 2.cos ì ì= = ï ï Þí í= = ï ïî î x dx I x x x 44 4 2 2 00 0 1 1 1 tan 2 4 2 4 22cos cos pp p p p Þ = - = - = -ò Câu 19. e I x dx 1 cos(ln ) p = ò · Đặt t t t x x e dx e dtln= Þ = Þ =
- 39. Bài tập Tích phân Trang 39 Þ t I e tdt 0 cos p = ò = e 1 ( 1) 2 p - + (dùng pp tích phân từng phần). Câu 20. x I e x xdx 22 sin 3 0 .sin .cos p = ò · Đặt t x2 sin= Þ t I e t dt e 1 0 1 1 (1 ) 2 2 = - =ò (dùng tích phân từng phần) Câu 21. I x dx 4 0 ln(1 tan ) p = +ò · Đặt t x 4 p = - Þ I t dt 4 0 ln 1 tan 4 p pæ öæ ö = + -ç ÷ç ÷ è øè ø ò = t dt t 4 0 1 tan ln 1 1 tan p æ ö- +ç ÷ +è ø ò = dt t 4 0 2 ln 1 tan p +ò = dt t dt 4 4 0 0 ln2 ln(1 tan ) p p - +ò ò = t I4 0.ln2 p - Þ I2 ln2 4 p = Þ I ln2 8 p = . Câu 22. 4 3 2 1 ln(5 ) . 5- + - = ò x x x I dx x · Ta có: 4 4 2 1 1 ln(5 ) 5 . - = + - = +ò ò x I dx x x dx K H x . + x K dx x 4 2 1 ln(5 )- = ò . Đặt u x dx dv x2 ln(5 )ì = - ï í = ïî Þ K 3 ln4 5 = + H= x x dx 4 1 5 .-ò . Đặt t x5= - Þ H 164 15 = Vậy: I 3 164 ln4 5 15 = + Câu 23. dx x xx I ò + + = 2 0 2 2sin1 )sin( p · Ta có: x x I dx dx H K x x 22 2 0 0 sin 1 sin2 1 sin2 p p = + = + + +ò ò + x x H dx dx x x 2 2 20 0 1 sin2 2cos 4 p p p = = + æ ö -ç ÷ è ø ò ò . Đặt: u x du dx dx dv v x x2 1 tan 2cos 2 4 4 p p ì = ì =ïï ï= æ öÞí í = -æ ö ç ÷ï ï-ç ÷ è øîï è øî x H x x 22 0 0 1 tan ln cos 2 4 2 4 4 pp p p pæ öæ ö æ ö Þ = - + - =ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø
- 40. phân Trần Sĩ Tùng Trang 40 + x K dx x 22 0 sin 1 sin2 p = +ò . Đặt t x 2 p = - Þ x K dx x 22 0 cos 1 sin2 p = +ò dx K x x 2 2 20 0 1 2 tan 1 2 4 2cos 4 p p p p æ ö Þ = = - =ç ÷ æ ö è ø-ç ÷ è ø ò K 1 2 Þ = Vậy, I H K 1 4 2 p = + = + . Câu 24. x x x x I dx x 3 2 0 (cos cos sin ) 1 cos p + + = + ò · Ta có: x x x x x I x dx x x dx dx J K x x 2 2 2 0 0 0 cos (1 cos ) sin .sin .cos . 1 cos 1 cos p p pæ ö+ + = = + = +ç ÷ ç ÷+ +è ø ò ò ò + Tính J x x dx 0 .cos . p = ò . Đặt u x dv xdxcos ì = í =î Þ J x x x dx x 0 0 0 ( .sin ) sin . 0 cos 2 p p p = - = + = -ò + Tính x x K dx x2 0 .sin 1 cos p = + ò . Đặt x t dx dtp= - Þ = - t t t t x x K dt dt dx t t x2 2 2 0 0 0 ( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin 1 cos ( ) 1 cos 1 cos p p p p p p p p - - - - Þ = = = + - + + ò ò ò x x x x dx x dx K dx K x x x2 2 2 0 0 0 ( ).sin sin . sin . 2 21 cos 1 cos 1 cos p p p p p p + - Þ = = Þ = + + + ò ò ò Đặt t x dt x dxcos sin .= Þ = - dt K t 1 2 1 2 1 p - Þ = + ò , đặt t u dt u du2 tan (1 tan )= Þ = + u du K du u u 2 24 4 4 2 4 4 4 (1 tan ) . 2 2 2 41 tan p p p p p p p p p p - - - + Þ = = = = + ò ò Vậy I 2 2 4 p = - Câu 25. x x x x I dx x x 2 3 2 3 ( sin )sin (1 sin )sin p p + + = + ò · Ta có: x x x x dx I dx dx H K xx x x 2 2 22 3 3 3 2 2 3 3 3 (1 sin ) sin 1 sin(1 sin )sin sin p p p p p p + + = = + = + ++ ò ò ò + x H dx x 2 3 2 3 sin p p = ò . Đặt u x du dx dx dv v x x2 cot sin ì = ï ì = Þí í= = -îïî Þ H 3 p = + dx dx dx K x x x 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 1 sin 1 cos 2cos 2 4 2 p p p p p pp p = = = = - + æ ö æ ö + - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò ò
- 41. Bài tập Tích phân Trang 41 Vậy I 3 2 3 p = + - Câu 26. I x x x dx 0 2 2 (2 ) ln(4 )é ù= - + +ë ûò · Ta có: I x x dx 2 0 (2 )= -ò + x dx 2 2 0 ln(4 )+ò = I I1 2+ + I x x dx x dx 2 2 2 1 0 0 (2 ) 1 ( 1) 2 p = - = - - =ò ò (sử dụng đổi biến: x t1 sin= + ) + x I x dx x x dx x 2 2 22 2 2 2 0 2 0 0 ln(4 ) ln(4 ) 2 4 = + = + - + ò ò (sử dụng tích phân từng phần) 6ln2 4p= + - (đổi biến x t2tan= ) Vậy: I I I1 2 3 4 6ln2 2 p = + = - + Câu 27. x x I dx x 2 3 0 sin 1 cos2 p + = +ò · Ta có: x x x x I dx dx dx H K x x x 2 2 3 3 3 0 0 2 0 2 sin sin 1 cos2 2cos 2cos p p p + = = + = + +ò ò ò + x x H dx dx x x 3 3 0 2 0 2 1 22cos cos p p = =ò ò . Đặt u x du dx dx dv v x x2 tan cos ì = ï ì = Þí í= =îïî H x x xdx x3 33 00 0 1 1 1 tan tan ln cos ln2 2 2 22 3 2 3 p pp p p é ù ê úÞ = - = + = - ë ûò + x K dx xdx x 2 23 3 0 2 0 sin 1 tan 22cos p p = =ò ò [ ]x x 3 0 1 1 tan 3 2 2 3 p pæ ö = - = -ç ÷ è ø Vậy: ( ) I H K 1 1 3 1 1 ln2 3 ( 3 ln2) 2 2 3 6 22 3 p p pæ ö - = + = - + - = + -ç ÷ è ø Câu 28. 8 ln 13 = ò + x I dx x · Đặt u x dx du dx xdv v xx ln 2 11 ì ì= =ï ï Þí í= ï ï = ++ îî x I x x dx x 88 3 3 1 2 1ln 2 + Þ = + - ò + Tính x J dx x 8 3 1+ = ò . Đặt t x 1= + Þ t dt J dt t t 3 32 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ln3 ln2 1 1 æ ö = = + = + -ç ÷ - -è ø ò ò I 6ln8 4ln3 2(2 ln3 ln2) 20ln2 6ln3 4Þ = - - + - = - - Câu 29. dxx x x I ò + = 2 1 3 2 ln 1 · Ta có: I xdx xx 2 3 1 1 1 ln æ ö = +ç ÷ è ø ò . Đặt u x dv dx xx3 ln 1 1 ( ) ì = ï í = + ïî
- 42. phân Trần Sĩ Tùng Trang 42 Þ I x x x dx xx x 2 2 4 51 1 1 1 1 ln ln ln 4 4 æ ö æ ö- - = + - +ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò = 21 63 1 ln2 ln 2 64 4 2 - + + Câu 30. I x x dx 3 0 1sin 1.= + +ò · Đặt t x 1= + Þ I t t tdt t tdt x xdx 2 2 2 2 2 1 1 1 .sin .2 2 sin 2 sin= = =ò ò ò Đặt du xdxu x v xdv xdx 2 42 cossin ì ì == Þí í = -= îî Þ I x x x xdx 22 2 1 1 2 cos 4 cos= - + ò Đặt u x du dx dv xdx v x 4 4 cos sin ì ì= = Þí í= =î î . Từ đó suy ra kết quả. Câu 31. e xx x x I e dx x 2 1 ln 1+ + = ò · Ta có: e e e x x x e I xe dx e xdx dx H K J x1 1 1 ln= + + = + +ò ò ò + e e x x e x e H xe dx xe e dx e e1 1 1 ( 1)= = - = -ò ò + e e ex xe x x e ee e K e xdx e x dx e dx e J x x1 1 1 1 ln ln= = - = - = -ò ò ò Vậy: e e e e I H K J e e e J J e1 1+ + = + + = - + - + = .
- 43. Bài tập Tích phân Trang 43 TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x f x x4 ( ) ( ) cos+ - = với mọi xÎR. Tính: I f x dx 2 2 ( ) p p- = ò . · Đặt x = –t Þ f x dx f t dt f t dt f x dx 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) p p p p p p p p - - - - = - - = - = -ò ò ò ò Þ f x dx f x f x dx xdx 2 2 2 4 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) cos p p p p p p- - - é ù= + - =ë ûò ò ò Þ I 3 16 p = Chú ý: x x x4 3 1 1 cos cos2 cos4 8 2 8 = + + . Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x f x x( ) ( ) 2 2cos2+ - = + , với mọi xÎR. Tính: I f x dx 3 2 3 2 ( ) p p- = ò . · Ta có : I f x dx f x dx f x dx 3 3 02 2 0 3 3 2 2 ( ) ( ) ( ) p p p p - - = = +ò ò ò (1) + Tính : I f x dx 0 1 3 2 ( ) p - = ò . Đặt x t dx dt= - Þ = - Þ I f t dt f x dx 3 3 2 2 1 0 0 ( ) ( ) p p = - = -ò ò Thay vào (1) ta được: ( )I f x f x dx x x dx 3 3 3 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) 2 1 cos2 2 cos p p p é ù= - + = + =ë ûò ò ò xdx xdx 3 2 2 0 2 2 cos cos p p p é ù ê ú = -ê ú ê ú ê úë û ò ò x x2 0 3 22 sin sin 6 2 p p p é ù ê ú = - =ê ú ê ú ê úë û Câu 3. x I dx x x 4 2 4 sin 1 p p - = + + ò
- 44. phân Trần Sĩ Tùng Trang 44 · I x xdx x xdx I I 4 4 2 1 2 4 4 1 sin sin p p p p - - = + - = -ò ò + Tính I x xdx 4 2 1 4 1 sin p p - = +ò . Sử dụng cách tính tích phân của hàm số lẻ, ta tính được I1 0= . + Tính I x xdx 4 2 4 sin p p - = ò . Dùng pp tích phân từng phần, ta tính được: I2 2 2 4 p= - + Suy ra: I 2 2 4 p= - . Câu 4. ( ) ( ) 5 2 3 2 1 1 1 x x e x x I dx e x x - + - = - + - ò · ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 2 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 - + - - + - + - - = = = + - + - - + - - + -ò ò ò ò x x x x x x x e x x e x x e x e x I dx dx dx dx e x x e x x e x x ( ) ( )5 5 2 2 5 2 1 2 1 3 2 1( 1 1) 1( 1 1) - - = + = + - - + - - +ò ò x x x x e x e x x dx dx x e x x e x Đặt ( )2 1 1 1 2 1 - = - + Þ = - x x e x t e x dt dx x 5 2 52 1 5 22 1 2 12 2 1 3 3 2ln 3 2ln 11 + + + + Þ = + Þ = + = + ++ ò e e e e I dt I t t ee Câu 5. x I dx x x x 24 2 0 ( sin cos ) p = + ò . · x x x I dx x x x x 4 2 0 cos . cos ( sin cos ) p = + ò . Đặt x u x x x dv dx x x x 2 cos cos ( sin cos ) ì =ïï í =ï +ïî Þ x x x du dx x v x x x 2 cos sin cos 1 sin cos ì + =ïï í -ï = ï +î Þ x dx I dx x x x x x 44 2 0 0 cos ( sin cos ) cos pp = - + + ò = 4 4 p p - + .
|
