Bài tập định thức ma trận có lời giải năm 2024

Uploaded by

Hoang Anh

0% found this document useful (0 votes)

1K views

8 pages

Original Title

[123doc] - bai-tap-ma-tran-co-loi-giai.pdf

Copyright

© © All Rights Reserved

Available Formats

PDF, TXT or read online from Scribd

Share this document

Did you find this document useful?

Is this content inappropriate?

0% found this document useful (0 votes)

1K views8 pages

(123doc) - Bai-Tap-Ma-Tran-Co-Loi-Giai PDF

Uploaded by

Hoang Anh

Jump to Page

You are on page 1of 8

Search inside document

Reward Your Curiosity

Everything you want to read.

Anytime. Anywhere. Any device.

No Commitment. Cancel anytime.

• 1. SỐ BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2 Lời giải một số bài tập trong tài liệu này dùng để tham khảo. Có một số bài tập do một số sinh viên giải. Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù hợp và đơn giản hơn. Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt BÀI TẬP VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN Bài 1: Tính hạng của ma trận: 1) A = 2 -4 3 1 0 1 -2 1 -4 2 0 1 -1 3 1 1 -7 4 -4 5 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h1¾«¾h2® 1 -2 1 -4 2 2 -4 3 1 0 0 1 -1 3 1 1 -7 4 -4 5 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-2)+h2 ¾h¾1(-¾1)+¾h4® 1 -2 1 -4 2 0 0 1 9 -4 0 1 -1 3 1 0 -5 3 0 3 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h¾2«¾h3® 1 -2 1 -4 2 0 1 -1 3 1 0 0 1 9 -4 0 -5 3 0 3 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h¾2(5¾)+h¾4® 1 -2 1 -4 2 0 1 -1 3 1 0 0 1 9 -4 0 0 -2 15 8 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h¾3(2¾)+h4¾® 1 -2 1 -4 2 0 1 -1 3 1 0 0 1 9 -4 0 0 0 33 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Þr(A) = 4 2) A = 0 2 -4 -1 -4 5 3 1 7 0 5 -10 2 3 0 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø ¾h¾1«h¾2® -1 -4 5 0 2 -4 3 1 7 0 5 -10 2 3 0 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø h1(3)+h3 h1(2)+h4 ¾¾¾¾® -1 -4 5 0 2 -4 0 -11 22 0 5 -10 0 -5 10 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø h2 1 2 æ è ç ö ø ÷ ¾¾¾® -1 -4 5 0 1 -2 0 -11 22 0 5 -10 0 -5 10 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø h2(11)+h3 h2(-5)+h4 h2(5)+h5 ¾¾¾¾® -1 -4 5 0 1 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø Þr(A) = 2 1
• 2. 2 -1 3 -2 4 4 -2 5 1 7 2 -1 1 8 2 æ çç è ö ÷÷ ø h1(-2)+h2 ¾h¾1(-1¾)+¾h3® 2 -1 3 -2 4 0 0 -1 5 -1 0 0 -2 10 -2 æ çç è ö ÷÷ ø ¾h¾2(-2¾)+¾h3® 2 -1 3 -2 4 0 0 -1 5 -1 0 0 0 0 0 æ çç è ö ÷÷ ø Þr(A) = 2 3) A = 1 3 5 -1 2 -1 -5 4 5 1 1 7 7 7 9 -1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-2)+h2 h1(-5)+h3 h1(-7)+h4 ¾¾¾¾® 1 3 5 -1 0 -7 -15 6 0 -14 -24 12 0 -14 -26 6 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2(-2)+h3 h2(-2)+h4 ¾¾¾¾® 1 3 5 -1 0 -7 -15 6 0 0 6 0 0 0 4 -6 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h3 1 6 æ è ç ö ø ÷ ¾¾¾® 1 3 5 -1 0 -7 -15 6 0 0 1 0 0 0 4 -6 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h4(-4)+h4 ¾¾¾¾® 1 3 5 -1 0 -7 -15 6 0 0 1 0 0 0 0 -6 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Þr(A) = 4 4) A = 3 -1 3 2 5 5 -3 2 3 4 1 -3 -5 0 7 7 -5 1 4 1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h1¾«¾h3® 1 -3 -5 0 7 5 -3 2 3 4 3 -1 3 2 5 7 -5 1 4 1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-5)+h2 h1(-3)+h3 h1(-7)+h4 ¾¾¾¾® 1 -3 -5 0 7 0 12 27 3 -31 0 8 18 2 -16 0 16 36 4 -48 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h3 1 2 æ è ç ö ø ÷ «h2 ¾¾¾¾® 1 -3 -5 0 7 0 4 9 1 -8 0 12 27 3 -31 0 16 36 4 -48 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2(-3)+h3 h2(-4)+h4 ¾¾¾¾® 1 -3 -5 0 7 0 4 9 1 -8 0 0 0 0 -7 0 0 0 0 -16 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h3 -16 7 æ è ç ö ø ÷ + h4 ¾¾¾¾¾® 1 -3 -5 0 7 0 4 9 1 -8 0 0 0 0 -7 0 0 0 0 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Þr(A) = 3 5) 2
• 3. 2 1 5 -1 1 0 4 -2 1 2 1 5 -2 1 -1 -2 2 -6 1 -3 -1 -8 1 -1 1 2 -3 7 -2 æ ççççççç è ö ÷÷÷÷÷÷÷ ø ¾h¾1«h¾2® 1 0 4 -2 1 2 2 1 5 -1 2 1 5 -2 1 -1 -2 2 -6 1 -3 -1 -8 1 -1 1 2 -3 7 -2 æ ççççççç è ö ÷÷÷÷÷÷÷ ø h1(-2)+h2 h1(-2)+h3 h1+h4 h1(3)+h5 h1(-1)+h6 ¾¾¾¾® 1 0 4 -2 1 0 2 -7 9 -3 0 1 -3 2 -1 0 -2 6 -8 2 0 -1 4 -5 2 0 2 -7 9 -3 æ ççççççç è ö ÷÷÷÷÷÷÷ ø ¾h¾2«¾h3® 1 0 4 -2 1 0 1 -3 2 -1 0 2 -7 9 -3 0 -2 6 -8 2 0 -1 4 -5 2 0 2 -7 9 -3 æ ççççççç è ö ÷÷÷÷÷÷÷ ø h2(-2)+h3 h2(2)+h4 h2+h5 h2(-2)+h6 ¾¾¾¾® 1 0 4 -2 1 0 1 -3 2 -1 0 0 -1 3 -1 0 0 0 -4 0 0 0 1 -3 1 0 0 -1 3 -1 æ ççççççç è ö ÷÷÷÷÷÷÷ ø h3+h5 h3(-1)+h6 ¾¾¾¾® 1 0 4 -2 1 0 1 -3 2 -1 0 0 -1 3 -1 0 0 0 -4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 æ ççççççç è ö ÷÷÷÷÷÷÷ Þr(A) = 4 ø 6) A = 1 -1 2 3 4 2 1 -1 2 0 -1 2 1 1 3 1 5 -8 -5 -12 3 -7 8 9 13 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø h1(-2)+h2 h1+h3 h1(-1)+h4 h1(-3)+h5 ¾¾¾¾® 1 -1 2 3 4 0 3 -5 -4 -8 0 1 1 3 7 0 6 -10 -8 -16 0 -4 2 0 1 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø ¾h¾2«¾h3® 1 -1 2 3 4 0 1 1 3 7 0 3 -5 -4 -8 0 6 -10 -8 -16 0 -4 2 0 1 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø h2(-3)+h3 h2(-6)+h4 h2(4)+h5 ¾¾¾¾® 1 -1 2 3 4 0 1 1 3 7 0 0 -8 -13 -29 0 0 -16 -26 -58 0 0 6 12 29 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø h3(-1)+h4 ¾h¾3+h¾5 ¾® 1 -1 2 3 4 0 1 1 3 7 0 0 -8 -13 -29 0 0 0 0 0 0 0 -2 -1 0 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø ¾h¾5(-¾4)+h¾3® 1 -1 2 3 4 0 1 1 3 7 0 0 0 -9 -29 0 0 0 0 0 0 0 -2 -1 0 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø 3
• 4. 2 3 4 0 1 1 3 7 0 0 -2 -1 0 0 0 0 -9 -29 0 0 0 0 0 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø Þr(A) = 4 7) A = -3 2 -7 8 -1 0 5 -8 4 -2 2 0 1 0 3 7 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h¾1«h¾2® -1 0 5 -8 -3 2 -7 8 4 -2 2 0 1 0 3 7 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-3)+h2 h1(4)+h3 h1+h4 ¾¾¾¾® -1 0 5 -8 0 2 -22 32 0 -2 22 -32 0 0 8 -1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h¾2(-¾1)+h¾3® -1 0 5 -8 0 2 -22 32 0 0 0 0 0 0 8 -1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h¾3«¾h4® -1 0 5 -8 0 2 -22 32 0 0 8 -1 0 0 0 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Þr(A) = 3 8) A = -1 3 3 -4 4 -7 -2 1 -3 5 1 0 -2 3 0 1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(4)+h2 h1(-3)+h3 h1(-2)+h4 ¾¾¾¾® -1 3 3 -4 0 5 10 -15 0 -4 -8 12 0 -3 -6 9 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2 1 5 æ è ç ö ø ÷ h3 1 4 æ è ç ö ø ÷ ¾¾¾® h4 1 3 æ è ç ö ø ÷ -1 3 3 -4 0 1 2 -3 0 -1 -2 3 0 -1 -2 3 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2+h3 h2+h4 ¾¾¾® -1 3 3 -4 0 1 2 -3 0 0 0 0 0 0 0 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Þr(A) = 2 9) A = 1 3 -1 6 7 1 -3 10 17 1 -7 22 3 4 -2 10 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-7)+h2 h1(-17)+h3 h1(-3)+h4 ¾¾¾¾® 1 3 -1 6 0 -20 4 -32 0 -50 10 -80 0 -5 1 -8 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2 1 4 æ è ç ö ø ÷ ¾¾¾® h3 1 10 æ è ç ö ø ÷ 1 3 -1 6 0 -5 1 -8 0 -5 1 -8 0 -5 1 -8 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2(-1)+h3 h2(-1)h4 ¾¾¾¾® 1 3 -1 6 0 -5 1 -8 0 0 0 0 0 0 0 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Þr(A) = 2 10) 4
• 5. 1 10 3 2 0 4 -1 16 4 52 9 8 -1 6 -7 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h¾1«h¾2® 2 0 4 -1 0 1 10 3 16 4 52 9 8 -1 6 -7 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-8)+h3 h1(-4)+h4 ¾¾¾¾® 2 0 4 -1 0 1 10 3 0 4 20 17 0 -1 -10 -3 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2(-4)+h3 h2+h4 ¾¾¾¾® 2 0 4 -1 0 1 10 3 0 0 -20 5 0 0 0 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Þr(A) = 3 Bài 2: Biện luận theo tham số l hạng của các ma trận: 1) A = 3 1 1 4 l 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h2¾«¾h4® 3 1 1 4 2 2 4 1 1 7 17 3 l 4 10 1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾c1¾«c¾4® 4 1 1 3 1 2 4 2 3 7 17 1 1 4 10 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h1¾«¾h2® 1 2 4 2 4 1 1 3 3 7 17 1 1 4 10 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-4)+h2 h1(-3)+h3 h1(-1)+h4 ¾¾¾¾® 1 2 4 2 0 -7 -15 -5 0 1 5 -5 0 2 6 l - 2 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h2¾«¾h3® 1 2 4 2 0 1 5 -5 0 -7 -15 -5 0 2 6 l - 2 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2(7)+h3 h2(-2)+h4 ¾¾¾¾® 1 2 4 2 0 1 5 -5 0 0 20 -40 0 0 -4 l + 8 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h3 1 5 æ è ç ö ø ÷ + h4 ¾¾¾¾® 1 2 4 2 0 1 5 -5 0 0 20 -40 0 0 0 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Vậy : - Nếu l = 0 thì r(A) = 3 - Nếu l ¹ 0 thì r(A) = 4 2) A = 3 1 1 4 l 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h2¾«¾h4® 3 1 1 4 2 2 4 3 1 7 17 3 l 4 10 1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾c1¾«c¾4® 4 1 1 3 3 2 4 2 3 7 17 1 1 4 10 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø 5
• 6. 1 3 2 3 4 2 7 3 17 1 4 1 10 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-2)+h2 h1(-7)+h3 h1(-4)+h4 ¾¾¾¾® 1 4 1 3 0 -5 2 -4 0 -25 10 -20 0 -15 6 l -12 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2(-5)+h3 h2(-3)+h4 ¾¾¾¾® 1 4 1 3 0 -5 2 -4 0 0 0 0 0 0 0 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h3¾«¾h4® 1 4 1 3 0 -5 2 -4 0 0 0 l 0 0 0 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Vậy: - Nếu l = 0 thì r(A) = 2 - Nếu l ¹ 0 thì r(A) = 3 3) A = 4 1 3 3 0 6 10 2 1 4 7 2 6 l -8 2 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾C¾2«¾C4® 4 3 3 1 0 2 10 6 1 2 7 4 6 2 -8 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h1¾«¾h3® 1 2 7 4 0 2 10 6 4 3 3 1 6 2 -8 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-4)+h3 h1(-6)+h4 ¾¾¾¾® 1 2 7 4 0 2 10 6 0 -5 -25 -15 0 -10 -50 l - 24 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2 1 2 æ è ç ö ø ÷ ¾¾¾® 1 2 7 4 0 1 5 3 0 -5 -25 -15 0 -10 -50 l - 24 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2(5)+h3 h2(10)+h4 ¾¾¾¾® 1 2 7 4 0 1 5 3 0 0 0 0 0 0 0 l + 6 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h3¾«¾h4® 1 2 7 4 0 -1 -5 -3 0 0 0 l + 6 0 0 0 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Vậy: - Khi l + 6 = 0Ûl = -6 thì r(A) = 2 - Khi l + 6 ¹ 0Ûl ¹ -6 thì r(A) = 3 4) A = -3 9 14 1 0 6 10 2 1 4 7 2 3 l 1 2 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ¾C¾2«¾C4® ø -3 1 14 9 0 2 10 6 1 2 7 4 3 2 1 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h1¾«¾h3® 1 2 7 4 0 2 10 6 -3 1 14 9 3 2 1 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(3)+h3 h1(-3)+h4 ¾¾¾¾® 1 2 7 4 0 2 10 6 0 7 35 21 0 -4 -20 l -12 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2 1 2 æ è ç ö ø ÷ ¾¾¾® 1 2 7 4 0 1 5 3 0 7 35 21 0 -4 -20 l -12 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø 6
• 7. 1 2 7 4 0 1 5 3 0 0 0 0 0 0 0 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h3¾«¾h4® 1 2 7 4 0 1 5 3 0 0 0 l 0 0 0 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Vậy : - Nếu l = 0 thì r(A) = 2 - Nếu l ¹ 0 thì r(A) = 3 7
• 8. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN Bài 1: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trân sau: 1) A = 3 4 5 7 æ è ç ö ø ÷ Ta có: ( A I ) = 3 4 1 0 5 7 0 1 æ è ç ö ø ÷ h1 -5 3 æ è ç ö ø ÷ + h2 ¾¾¾¾® 3 4 1 0 0 1 3 - 5 3 1 æ ççç è ö ÷÷÷ ø h1 1 3 4 ¾h¾2(3)¾® 1 æ è ç ö ø ÷ 3 1 3 0 0 1 -5 3 æ ççç è ö ÷÷÷ ø h2 -4 ¾¾¾¾® 3 1 0 7 -4 æ è ç ö ø ÷ +h1 0 1 -5 3 æ è ç ö ø ÷ ÞA-1 = 7 -4 -5 3 æ è ç ö ø ÷ 2) A = 1 -2 4 -9 æ è ç ö ø ÷ Ta có: A-1 = 1 -2 4 -9 æ è ç ö ø ÷ -1 = 1 ad -bc d -b -c a æ è ç ö ø ÷ = 1 1.(-9) - (-2).4 -9 2 -4 1 æ è ç ö ø ÷ = 9 -2 4 -1 æ è ç ö ø ÷ 3) A = 3 -4 5 2 -3 1 3 -5 -1 æ çç è ö ÷÷ ø Ta có: ( A I ) = 3 -4 5 1 0 0 2 -3 1 0 1 0 3 -5 -1 0 0 1 æ çç è ö ÷÷ ø ¾h2¾(-1¾)+h¾1® çç ö 1 -1 4 1 -1 0 2 -3 1 0 1 0 3 -5 -1 0 0 1 æ è ÷÷ ø h1(-2)+h2 h1(-3)+h3 ¾¾¾¾® 1 -1 4 1 -1 0 0 -1 -7 -2 3 0 0 -2 -13 -3 3 1 æ çç è ö ÷÷ ø ¾h2¾(-2¾)+h¾3® 1 -1 4 1 -1 0 0 -1 -7 -2 3 0 0 0 1 1 -3 1 æ çç è ö ÷÷ ø ¾h2¾(-1¾®) 1 -1 4 1 -1 0 0 1 7 2 -3 0 0 0 1 1 -3 1 æ çç è ö ÷÷ ø h3(-7)+h2 h3(-4)+h1 ¾¾¾¾® 1 -1 0 -3 11 -4 0 1 0 -5 18 -7 0 0 1 1 -3 1 æ çç è ö ÷÷ ø ¾h2¾+h¾1® çç ö 1 0 0 -8 29 -11 0 1 0 -5 18 -7 0 0 1 1 -3 1 æ è ÷÷ ø 8
• 9. A là ma trận khả nghịch và A-1 = 8 29 11 ö ÷ ÷ ÷ ø æ ç ç ç è - - - - 5 18 7 - 1 3 1 4) A = 2 7 3 3 9 4 1 5 3 æ çç è ö ÷÷ ø Ta có: ( A I ) = 2 7 3 1 0 0 3 9 4 0 1 0 1 5 3 0 0 1 æ çç è ö ÷÷ ø ¾h3¾«h¾1® 1 5 3 0 0 1 3 9 4 0 1 0 2 7 3 1 0 0 æ çç è ö ÷÷ ø h1(-3)+h2 h1(-2)+h3 ¾¾¾¾® 1 5 3 0 0 1 0 -6 -5 0 1 -3 0 -3 -3 1 0 -2 æ çç è ö ÷÷ ø ¾h3¾«h¾2® 1 5 3 0 0 1 0 -3 -3 1 0 -2 0 -6 -5 0 1 -3 æ çç è ö ÷÷ ø ¾h2¾(-2¾)+h¾3® 1 5 3 0 0 1 0 -3 -3 1 0 -2 0 0 1 -2 1 1 æ çç è ö ÷÷ ø h2 -1 3 æ è ç ö ø ÷ ¾¾¾® 1 5 3 0 0 1 0 1 1 - 1 3 0 2 3 0 0 1 -2 1 1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h3(-1)+h2 h3(-3)+h1 ¾¾¾¾® 1 5 0 6 -3 -2 0 1 0 5 3 -1 - 1 3 0 0 1 -2 1 1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h2¾(-5¾)+h¾1® 1 0 0 - 7 3 2 - 1 3 0 1 0 5 3 -1 - 1 3 0 0 1 -2 1 1 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø ÞA-1 = - 7 3 2 - 1 3 5 3 -1 - 1 3 -2 1 1 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø 5) A = 1 2 2 2 1 -2 2 -2 1 æ çç è ö ÷÷ ø Ta có: 9
• 10. 1 0 0 1 2 2 1 0 0 2 1 2 0 1 0 0 3 6 2 1 0 2 2 1 0 0 1 0 6 3 2 0 1 æ ö ç ¸¾¾¾¾®ç ( ) æ ö = - ( ) ç ¸ ç - - - ¸ ¸ çè - ø¸ èç - - - ø¸ ( ) 1 2 2 1 2 3 2 1 1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0 3 0 3 6 2 1 0 0 1 2 2 1 0 3 1 2 2 3 9 3 3 0 0 9 2 2 1 2 2 1 0 0 1 9 9 9 h h h h h h h h A - + - + æ- ö çè ø¸ æ ö - + çè ø¸ æ ö ç ¸ æ ö ç ¸ ¾¾¾¾®ç - - - ¸¾¾¾®ç - ¸ ç ¸ ç ¸ çè - ø¸ ç ¸ ç - ¸ è ø 1 2 0 5 4 2 1 0 0 1 2 2 æ - ö æ ö ç ¸ ç ¸ ç 9 9 9 ¸ ç 9 9 9 ¸ ( ) ( ) ( ) h - + h h - + h h - + h 3 2 2 3 2 1 2 2 1 0 1 0 2 1 2 0 1 0 2 1 2 ¾¾¾¾®ç - ¸¾¾¾¾®ç - ¸ ç ¸ ç ¸ 9 9 9 9 9 9 ç ¸ ç ¸ çç 0 0 1 2 - 2 1 ¸¸ çç 0 0 1 2 - 2 1 ¸¸ è 9 9 9 ø è 9 9 9 ø 1 1 2 2 9 9 9 2 1 2 9 9 9 2 2 1 9 9 9 A- æ ö ç ¸ ç ¸ Þ = ç - ¸ ç ¸ ç ¸ çç - ¸¸ è ø Bài 2 Giải các phương trình ma trận sau 1) 1 2 3 5 3 4 5 9 X æ ö æ ö ç ¸ = ç ¸ è ø è ø Đặt 1 2 3 5 A B æ ö æ ö = ç ; = è 3 4 ¸ ç ¸ ø è 5 9 ø Ta có: AX = BÛ X = A-1B 1 1 1 2 4 2 2 1 1 1 3 4 1.4 2.3 3 1 3 1 2 2 d b 2 1 3 5 1 1 3 1 5 9 2 3 2 2 A ad bc c a X - - - - æ - ö æ ö æ ö æ ö ç ¸ = ç ¸ = ç ¸= ç ¸= ç - ¸ è ø - è- ø - è- ø è ø æ - ö - - ç ¸æ ö æ ö Þ = ç - ¸ç ¸= ç ¸ è ø è ø è ø 2) 3 2 1 2 5 4 5 6 X æ - ö æ - ö ç ¸= ç ¸ è - ø è- ø 10
• 11. - 2 ö æ - 1 2 ö = ç ¸ = - è- ç ¸ è ø ø A ; B 5 4 5 6 Ta có: XA = BÛ X = BA-1 1 1 3 2 4 2 2 1 1 1 5 4 3.( 4) 5.( 2) 5 3 5 3 2 2 d b 2 1 1 2 3 2 5 3 5 6 5 4 2 2 A ad bc c a X - - - - - æ - ö æ ö æ ö æ ö ç ¸ = ç ¸ = ç ¸= ç ¸= ç ¸ è - ø - è - ø - - - è - ø - è ø æ - ö - - ç ¸æ ö æ ö Þ = ç ¸ç ¸= ç ¸ - è- ø è - ø è ø æ 1 2 - 3 ö æ 1 - 3 0 ö 3) ç ç 3 2 - 4 ¸ ¸ X = ç ç 10 2 7 ¸ ¸ çè 2 - 1 0 ø¸ èç 10 7 8 ø¸ Giải: Đặt æ 1 2 - 3 ö æ 1 - 3 0 ö = ç ç 3 2 - 4 ¸ ç ¸ ; = ç 10 2 7 ¸ ¸ çè 2 - 1 0 ø¸ èç 10 7 8 ø¸ A B Ta có: AX = BÛ X = A-1B Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có: 1 4 3 2 8 6 5 7 5 4 A- æ - - ö = ç - - ¸ ç ¸ çè - - ø¸ Suy ra: 4 3 2 1 3 0 6 4 5 8 6 5 10 2 7 2 1 2 7 5 4 10 7 8 3 3 3 X æ - - öæ - ö æ ö = ç - - ¸ç ¸= ç ¸ ç ¸ç ¸ ç ¸ çè - - ø¸èç ø¸ èç ø¸ 4) 5 3 1 8 3 0 1 3 2 5 9 0 5 2 1 2 15 0 X æ ö æ - ö ç - - ¸= ç - ¸ ç ¸ ç ¸ çè- ø¸ èç - ø¸ Đặt æ 5 3 1 ö æ - 8 3 0 ö = ç ç 1 - 3 - 2 ¸ ç- ¸ ; = ç 5 9 0 ¸ ¸ çè - 5 2 1 ø¸ èç- 2 15 0 ø¸ A B Ta có: XA = BÛ X = BA-1 Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có: 11
• 12. 3 19 19 19 9 10 11 19 19 19 13 25 18 19 19 19 A- æ - - ö ç ¸ ç ¸ = ç ¸ ç ¸ ç ¸ çç - - - ¸¸ è ø Suy ra: 1 1 1 3 8 3 0 19 19 19 1 2 3 5 9 0 9 10 11 4 5 6 19 19 19 2 15 0 13 25 18 7 8 9 19 19 19 X BA- A æ - - ö ç ¸ æ - öç ¸ æ ö = = = ç - ¸ç ¸= ç ¸ ç ¸ç ¸ ç ¸ çè - ø¸ç ¸ èç ø¸ çç - - - ¸¸ è ø æ 3 - 1 ö 5 6 14 16 5) ç ¸ X æ ö æ ö 5 - 2 ç ¸= ç ¸ è ø è 7 8 ø è 9 10 ø Đặt æ 3 - 1 ö æ 5 6 ö æ 14 16 ö = ç ¸ = - ç ¸ = ç ¸ è ø è ø è ø A ; B ; C 5 2 7 8 9 10 Ta có: AXB = C Û X = A-1CB-1 1 1 1 1 3 1 2 1 5 2 5 3 5 6 4 3 7 8 7 5 2 2 A B - - - - æ - ö æ - ö = ç ¸ = ç ¸ è - ø è - ø æ - ö æ ö ç ¸ = ç ¸ = ç ¸ è ø - è ø Suy ra: 2 1 14 16 4 3 19 22 4 3 1 2 5 3 9 10 7 5 43 50 7 5 3 4 2 2 2 2 X - æ - ö æ - ö æ öæ öç ¸ æ öç ¸ æ ö = ç ¸ç ¸ç ¸= ç ¸ç ¸= ç ¸ è - øè ø - è ø - è ø è ø è ø 12
• 13. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 1) x x x x x x x x x + + = ìï 7 2 3 15 1 2 3 5 3 2 15 10 11 5 36 - + = 1 2 3 î - + = 1 2 3 íï Giải: Ta có: ( ) 2( 1) 1 1( 2) 2 æ ö æ ö æ ö = ç - ¸¾¾¾¾®ç - ¸¾¾¾¾®ç - ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ çè - ø¸ èç - ø¸ èç - ø¸ 7 2 3 15 2 5 1 0 2 5 1 0 5 3 2 15 h h 5 3 2 15 h h 1 13 0 15 h h 10 11 5 36 0 5 1 6 0 5 1 6 1 13 0 15 1 13 0 15 2 5 1 0 0 31 1 30 0 5 1 6 0 5 1 6 A B - + - + - + 2( 2) 3 æ - ö æ - ö ¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾®ç - ¸ ç ¸ ç ¸ h « h h - + h h 1 2 1( 2) 2 3 çè - ø¸ èç - ø¸ (6) 2 2(5) 3 1 13 0 15 0 1 7 6 0 5 1 6 1 13 0 15 0 1 7 6 0 0 36 36 h h h + + æ - ö ¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ çè - ø¸ æ - ö ¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ çè ø¸ Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: x x x x x x x x ì - = ì = ï + = Ûï = - í í ï = ï = î î 13 15 2 7 6 1 1 2 1 2 3 2 36 36 1 3 3 2) x x x x x x x x x + - = ìï 2 2 10 1 2 3 3 2 2 1 5 4 3 4 + + = 1 2 3 î + + = 1 2 3 íï Giải: Ta có: ( ) 1( 1) 2 æ 2 1 - 2 10 ö æ 2 1 - 2 10 ö æ 1 1 4 - 9 ö ç ¸¾¾¾¾®ç h - + h = 3 2 2 1 h 1( - 2) + h 3 1 1 4 - 9 ¸¾¾¾®ç h 1 « h 2 ¸ ç ¸ ç ¸ ç 2 1 - 2 10 ¸ çè 5 4 3 4 ø¸ èç 1 2 7 - 16 ø¸ èç 1 2 7 - 16 ø¸ æ - ö æ - ö 1 1 4 9 1 1 4 9 0 1 10 28 0 1 10 28 0 1 3 7 0 0 7 21 A B h - + h h - + h h + h 1( 2) 2 1( 1) 2 2 3 ¾¾¾¾®ç - - ¸¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ ç ¸¸ çè - ø¸ èç - ø Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: 13
• 14. x x x x x x ì + + 4 = - 9 = 1 ï- 1 2 3 ì 1 í - 10 = 28 Û ï í = 2 2 3 2 ï- î = ï î = - 7 21 3 3 3 3) x x x x x x x x x + - = ìï 2 3 1 2 3 + - = íï î + + = 2 5 4 5 1 2 3 3 4 2 12 1 2 3 Giải: Ta có: ( ) 1( 2) 2 2(2) 3 æ 1 2 - 1 3 ö æ 1 2 - 1 3 ö æ 1 2 - 1 3 ö = ç ç 2 5 - 4 5 ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 0 1 - 2 - 1 ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 0 1 - 2 - 1 ¸ ¸ çè 3 4 2 12 ø¸ èç 0 - 2 5 3 ø¸ èç 0 0 1 1 ø¸ A B h - + h h + h h 1( - 3) + h 3 Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: x x x x x x x x x ì + - = ì = ï - = - Ûï = í í ï = ï = î î 2 3 2 2 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 2 3 3 4) x x x x x x x x x + - = ìï 2 3 1 1 2 3 5 2 6 5 3 4 7 + - = 1 2 3 î - - = 1 2 3 íï Giải: Ta có: ( ) 3( 1) 1 1( 1) 2 æ 2 1 - 3 1 ö æ - 1 2 1 - 6 ö æ- 1 2 1 - 6 ö = ç 5 2 - 6 5 ¸¾¾¾¾®ç- h h ç ¸ ç 1 4 2 - 9 ¸¾¾¾¾®ç h h ¸ h h ¸ 0 2 1 - 3 h h ç ¸ çè 3 - 1 - 4 7 ø¸ èç 3 - 1 - 4 7 ø¸ èç 0 5 - 1 - 11 ø¸ A B - + - + - + + 3( 2) 2 1(3) 3 æ - - ö æ - - ö æ- - ö ¸¾¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ø çè ¸ø 1 2 1 6 1 2 1 6 0 2 1 3 0 1 3 5 0 1 3 5 0 2 1 3 ¾¾¾¾®ç h 2( - 2) + h 3 - ¸¾¾¾®ç h 2 « h 3 ç ¸ - - çè - - ø¸ è - 2( 2) 3 1 2 1 6 0 1 3 5 0 0 7 7 h - +h Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: x x x x x x x x x ì- + + = - ì = ï - = - Ûï = - í í ï = ï = î î 2 6 3 3 5 2 1 2 3 1 2 3 2 7 7 1 3 3 5) x x x x x x x x x + - = ìï + - = íï î + - = 2 2 8 1 2 3 3 2 4 15 1 2 3 5 4 1 1 2 3 14
• 15. ( A B ) 2( - 1) + 1 1(3) + 2 2( 2) 3 1( 1) 3 2 3 2 1 2 8 1 1 2 7 1 1 2 7 3 2 4 15 h h 3 2 4 15 h h 0 1 2 6 h h h h 5 4 1 1 1 0 7 29 0 1 5 22 1 1 2 7 0 1 2 6 0 0 7 28 h h - + - + + æ - ö æ- - - ö æ- - - ö = ç - ¸¾¾¾¾®ç - ¸¾¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ çè - ø¸ èç- - ø¸ èç - ø¸ æ- - - ö ¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ çè - ø¸ Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: x x x x x x x x x ì- - + 2 = - 7 ì = 1 ï- 1 2 3 1 í + = - Ûï í = - 2 3 2 ï = - ï î î = - 2 6 2 7 28 4 3 3 6) x x x x x x x x x + - = ìï 2 3 1 1 2 3 + - = íï î + - = 2 5 8 4 1 2 3 3 8 13 7 1 2 3 Giải: Ta có: ( ) 1( 2) 2 2( 2) 3 æ 1 2 - 3 1 ö æ 1 2 - 3 1 ö æ 1 2 - 3 1 ö = ç 2 5 - 8 4 ¸¾¾¾¾®ç 0 1 - 2 2 ¸¾¾¾¾®ç ç ¸ ç ¸ ç 0 1 - 2 2 ¸ ¸ çè 3 8 - 13 7 ø¸ èç 0 2 - 4 4 ø¸ èç 0 0 0 0 ø¸ A B h - + h h - + h h 1( - 3) + h 3 Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: ì + - = ï ï í Ûí = + Ûí = + Î î - = ï ï î tuøy î = ( ) x x x t ì = - 3 - ì = - 3 - 1 3 1 1 2 3 2 3 2 2 3 3 3 2 3 1 2 2 2 2 2 2 ý x x x x x x t t R x x x x t Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 1) x x x x x x x x x x x x x x x x + - + = ìï 2 2 4 1 2 3 4 4 3 2 6 8 5 3 4 12 3 3 2 2 6 + - + = 1 2 3 4 ïí + - + = 1 2 3 4 î + - + = 1 2 3 4 Giải: Ta ïï có: 15
• 16. ) ( ) æ - ö æ - ö ç - ¸ ç - - ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç - ¸ ç - - ¸ ç - ¸ ç - ¸ è ø è ø 2 2 1 1 4 h1 - 2 + h2 2 2 1 1 4 h1 - 4 + h3 4 3 1 2 6 h1 3 çè æ- ö+ h4 0 1 1 0 2 2 ø¸ 8 5 3 4 12 0 3 1 0 4 3 3 2 2 6 0 0 1/ 2 1/ 2 0 2 2 1 1 4 2 2 1 1 4 0 1 1 0 2 0 1 1 0 2 0 0 2 0 2 0 0 0 1/ 2 1/ 2 0 A B æ - ö - ç ¸ ¾¾¾¾®ç h2( - 3) + h3 - - ¸¾¾¾¾® h3( - 1/4) + h4 - - ç - ¸ ç - ¸ è ø æ ö ç ¸ ç ¸ ç 0 - 2 0 2 ¸ ç ¸ è 0 0 0 1/ 2 - 1/ 2 ø Khi đó (1) Û ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x ì + - + = ï - + = - ïïí 2 2 4 1 1 2 3 4 2 3 - = - 3 4 2 2 2 2 3 1 1 4 2 2 x x x x ïï ï = - î Từ (4) 4 Þ x = -1 Thế 4 x = -1 vào (3) 3 Þ x = -1 Thế x3 vào (2) ta được: 2 x =1 Thế x3, x2, x4 vào (1) ta được: 1 x =1 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 1 2 3 4 1 1 1 1 x x x x = ìï = ïí = - ïï î = - hay (1, 1, -1, -1) 2) x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = ìï 2 3 11 5 2 1 2 3 4 + + + = ïí 5 2 1 1 2 3 4 + + + = - ïï î + + + = - 2 3 2 3 1 2 3 4 3 4 3 1 2 3 4 Giải: Ta có: 2 3 11 5 2 1 1 5 2 1 1 1 5 2 1 2 3 11 5 2 æ ö æ ö ç ¸ ç ¸ = ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç - ¸ ç - ¸ ç - ¸ ç - ¸ è ø è ø ( A / B ) h1 « h2 2 1 3 2 3 2 1 3 2 3 1 1 3 4 3 1 1 3 4 3 16
• 17. ) ( ) h1 2 h2 h1 2 h3 h1 1 h4 h2 h3 h3 h4 h3(-3) h4 1 1 5 2 1 1 1 5 2 1 1 1 5 2 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 7 2 5 0 0 6 1 5 0 0 2 2 4 0 0 2 2 4 0 0 2 2 4 0 0 6 1 5 1 1 5 2 1 0 1 1 1 0 0 0 2 2 4 0 0 0 7 7 - + - + - + + « + æ ö æ ö æ ö ç ¸ ç ¸ ç ¸ ¾¾¾¾® ç ¸¾¾¾® ç ¸¾¾¾® ç ¸ ç - - - - ¸ ç - - - ¸ ç - - ¸ ç - - ¸ ç - - ¸ ç - - - ¸ è ø è ø è ø æ ö çç ¾¾¾¾® ç - - ç - è ¸¸¸¸ø Suy ra: (2) Û + + + = ìï 5 2 1 (1) 1 2 3 4 + + = 2 3 4 ïí - + = - 3 4 î - = 4 ïï 0 (2) 2 2 4 (3) 7 7 (4) x x x x x x x x x x Từ (4) 4 Þ x = -1 Thế 4 x = -1 vào (3) 3 Þ x =1 Thế x3, x4 vào (2) ta được: 2 x = 0 Thế x3, x2, x4 vào (1) ta được: 1 x = -2 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: ì ï ï í ï ï î = - x 2 = 1 x 0 = 2 x 1 = - 3 x 1 4 hay (-2, 0, 1, -1) + + + = íï î + + + = ( ) h2(-1) h1 3) x x x x x x x x x x x x + + + = ìï 2 7 3 6 1 2 3 4 3 5 2 2 4 1 2 3 4 9 4 7 2 1 2 3 4 æ 2 7 3 1 6 ö æ- 1 2 1 - 1 2 ö = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸ çè ø¸ èç ø¸ A B + / 3 5 2 2 4 3 5 2 2 4 9 4 1 7 2 9 4 1 7 2 æ- - ö æ- - ö 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 0 11 5 1 10 0 11 5 1 10 0 22 10 2 20 0 0 0 0 0 h1(3)+h2 h1(3)+h3 h2(-2) h3 ¾¾¾¾®ç - ¸¾¾¾¾®ç + ¸ ç ¸ ç - ¸ çè - ø¸ èç ø¸ Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi phöông trình: 17
• 18. x - + + - = ìí î + - = 2 2 (1) 11 x 5 x x 10 (2) x = x + x - x x x x x x x x (2) : 11 5 10 (1) 2 11 5 10 2 9 4 8 ( ) 1 2 3 4 2 3 4 4 2 3 Û - + + - + - = Û = - - + 1 2 3 2 3 1 2 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: x x x x x x x x =- - + ìïïíïï î = + - 9 4 8 1 2 3 x t s x t = + ìï ï = í " Î = ïï î = + - tuøy yù tuøy yù hay ( ) 2 2 4 2 3 11 5 10 1 2 3 4 -9 - 4 8 , 11 5 10 t s R x s x t s 4) - + + = î + - - = Ta có: ( íï ) x x x x x x x x x x x x - + + = ìï 3 5 2 4 2 1 2 3 4 7 4 3 5 1 2 3 4 5 7 4 6 3 1 2 3 4 æ - ö æ - ö = ç - ¸¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ ç ¸ çè - - ø¸ èç - - ø¸ æ - - ö æ - - ö A B + ( ) ( ) ¾¾¾®ç - ¸¾¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ ç ¸ ( ) h1(-2) h2 1 3 2 1 2 1 5 3 2 1 3 3 5 2 4 2 3 5 2 4 2 / 7 4 1 3 5 1 6 3 5 1 5 7 4 6 3 5 7 4 6 3 1 6 3 5 1 1 6 3 5 1 h h 3 5 2 4 2 0 23 11 19 1 5 7 4 6 3 0 23 11 19 2 1 6 3 5 1 0 23 11 19 1 h h h h h h - + « - + - + çè - - ø¸ èç - - ø¸ - - æ ö ç ¸ ç ¸ çè - ø¸ ¾¾¾¾® - - 0 0 0 0 1 Suy ra: (4) Û + - - = ìï - + + = - íï î = - 6 3 5 0 23 11 19 1 1 2 3 4 2 3 4 0 1 x x x x x x x Þ hệ vô nghiệm 5) x x x x x x x x x x x x x x - + - = ìï 2 1 1 2 3 4 2 3 2 3 3 3 2 2 5 6 - - = ïí 1 2 4 1 3 4 - + = - î + - + = - 1 2 3 4 ïï 18
• 19. 2 - 1 1 - 1 1 ö æ 0 0 1 2 - 1 ö ç h 2( - 1) + h 3 ç 2 - 1 0 - 3 2 ¸ ç ¸ ¸¾¾¾¾®ç h 2( - 1) + h 4 2 - 1 0 - 3 2 h 2( - 1) + h 1 ¸ ç 3 0 - 1 1 - 3 ¸ ç 1 1 - 1 4 - 5 ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è 3 2 - 2 5 - 6 ø è 0 3 - 2 8 - 8 ø æ - - ö - ç - - ¸ - - ¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç - ¸ 1 1 1 4 5 1 1 1 4 2 1 0 3 2 0 3 2 11 0 0 1 2 1 0 0 1 2 0 3 2 8 8 0 3 A B h « h h - + h 1 3 1( 2) 2 çç ¸¸ è - - ø - 2 4 5 12 1 2 8 8 1 1 1 4 5 0 3 2 11 12 0 0 1 2 1 0 0 0 3 4 h +h æ - ö ç ¸ ç ¸ ç - ¸ çç ¸¸ è - ø æ - - ö ç - - ¸ ¾¾¾®ç ¸ ç - ¸ çç ¸¸ è - ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: = 1 ìï ïî ì + - + = - ï 1 2 3 4 ï = 2 ï - + - = 2 3 4 Ûí ï æ - ö í ï + = - = 3 è ç ¸ 3 4 ï ø îï - = ï 4 = - 4 0 4 5 2 3 2 11 12 5 5 4 0,2, , 2 1 3 3 3 3 4 4 3 x x x x x x x x x x hay x x x x 6) x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = ìï 2 3 4 11 1 2 3 4 + + + = ïí 2 3 4 12 1 2 3 4 3 4 2 13 4 2 3 14 + + + = 1 2 3 4 î + + + = 1 2 3 4 ïï Giaûi æ 1 2 3 4 11 ö æ 1 2 3 4 11 ö ç 2 3 4 1 12 ¸ ç h - + h 0 - 1 - 2 - 7 - 10 ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç h - + h ¸ ç 3 4 1 2 13 ¸ h - + h ç 0 - 2 - 8 - 10 - 20 ¸ çç è 4 1 2 3 14 ¸¸ çç ø è 0 - 7 - 10 - 13 - 30 ¸¸ ø ( ) 1( 2) 2 1( 3) 3 1( 4) 4 æ ö ç - - - - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾ ® ç - ¸ 1 2 3 4 11 0 1 2 7 10 0 0 4 4 0 0 0 4 36 40 A B æ ö ç - - - - ¸ ¾ ç ¸ ç - ¸ çç ¸¸ è ø h - + h h + h h - + h 2( 2) 3 3 4 2( 7) 4 çç ¸¸ è ø 1 2 3 4 11 0 1 2 7 10 0 0 4 4 0 0 0 0 40 40 Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: 19
• 20. x x x x ì + + + = ì = ï - - - = - ï = ï Ûï í - + = í = ï ï îï = ïî = 2 3 4 11 2 1 2 3 4 1 x x x x 2 7 10 1 2 3 4 2 3 4 3 4 4 2,1,1,1 4 4 0 1 40 40 1 hay x x x x x 7) x x x x - + - = ìï 2 3 4 4 1 2 3 4 x x x - = - ïí + 3 2 3 4 x x x + - = ïï î - + + = - 3 3 1 7 3 3 1 2 4 x x x 2 3 4 Giaûi æ 1 - 2 3 - 4 4 ö æ 1 - 2 3 - 4 4 ö ç 0 1 - 1 1 - 3 ¸ ç 0 1 - 1 1 - 3 ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 1 3 0 - 3 1 ¸ ç 0 5 - 3 1 - 3 ¸ çç è 0 - 7 3 1 - 3 ¸¸ çç ø è 0 - 7 3 1 - 3 ¸¸ ø ( A B ) h 1( - 1) + h 3 æ - - ö - - ç - - ¸ - - ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç - ¸ - æ ö ç ¸ ç ¸ ç ¸ çç ¸¸ è ø 1 2 3 4 4 1 2 3 4 4 0 1 1 1 3 0 1 1 1 0 0 2 4 12 0 0 2 4 0 0 4 8 24 0 0 0 0 h - + h h + h h + h 2( 5) 3 3(2) 4 2(7) 4 çç ¸¸ è - - ø 3 12 0 Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: ì - + - = ï ï ï ï = + ï = + í - + = - Ûí Ûí Î ï ï = + ï = + î - = ï ï î tuøy yù î = ( ) ì = - ì = - 8 8 1 1 1 2 3 4 2 4 2 2 3 4 3 4 3 3 4 4 4 2 3 4 4 3 3 3 2 6 2 6 2 4 12 x x x x x x x x x t x x x t R x x x t x x x x t 8) x x x x x x x x x x x x + + + = ìï 3 4 2 3 1 2 3 4 6 8 2 5 7 9 12 3 10 13 + + + = 1 2 3 4 î + + + = 1 2 3 4 íï Giaûi ( ) 1( 2) 2 2( 4) 3 æ 3 4 1 2 3 ö æ 3 4 1 2 3 ö æ 3 4 1 2 3 ö = ç ç 6 8 2 5 7 ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 0 0 0 1 1 ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 0 0 0 1 1 ¸ ¸ çè 9 12 3 10 13 ø¸ èç 0 0 0 4 4 ø¸ èç 0 0 0 0 0 ø¸ A B h - + h h - + h h 1( - 3) + h 3 Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: 20
• 21. - ï ì + + + = ï ï = í Ûí = Ûí Î î = ï ï = ( ) x t s ì = - - 1 3 1 2 1 2 3 4 2 4 4 3 î 1 2 î ï = 4 1 3 4 1 3 4 3 4 2 3 1 , 1 1 x x x x x x x x t x t s R x x s x x ,x tuøy yù 9) x x x x x x x x x x x x - + + = ìï 9 3 5 6 4 1 2 3 4 6 2 3 4 5 3 3 14 8 - + + = 1 2 3 4 î - + + = - 1 2 3 4 íï Giaûi ( ) 3 1 1( 2) 2 æ - ö æ - - ö æ - - ö = ç - ¸¾¾¾®ç - ¸¾¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ çè - - ø¸ èç - ø¸ èç - - ø¸ A B « - + 1( 3) 3 2 1 æ - - ö - 3 3 4 3 1 4 9 3 5 6 4 3 1 3 14 8 3 1 3 14 8 6 2 3 4 5 h h 6 2 3 4 5 h h 0 0 3 24 21 h h 3 1 3 14 8 9 3 5 6 4 0 0 4 36 28 3 1 3 14 8 3 1 3 0 0 1 8 7 0 0 1 9 7 h h h h - + æ- ö çè ø¸ + æ ö çè ø¸ ¾¾¾®ç - ¸¾¾¾® ç ¸ çè - - ø¸ æ 14 - 8 ö ç 0 0 1 8 - 7 ¸ ç ¸ çè 0 0 0 - 1 0 ø¸ Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: ì = + ì = + ì - + + = - ï ï ï ïï ïï í + = - Ûí Ûí = Î ï = ï = - ï = - î ï ï ( ) 1 13 1 13 x x x t 1 2 1 3 3 14 8 3 3 3 3 1 2 3 4 x tuøy yù 3 4 2 2 4 3 3 4 4 8 7 0 7 7 0 0 x x x x x x x t t R x x x x x îï = îï = 10) x x x x x x x x x x x x x x x - - + = ìï 3 2 5 3 1 2 3 4 2 3 5 3 - + + = - 1 2 3 4 ïí + - = - ïï î - - + = 2 4 3 1 2 4 1 2 3 4 4 9 22 Giaûi æ 3 - 2 - 5 1 3 ö æ 1 2 0 - 4 - 3 ö ç 2 - 3 1 5 - 3 ¸ ç ç ¸¾¾¾®ç 2 - 3 1 5 - 3 ¸ = ¸ ç 1 2 0 - 4 - 3 ¸ ç 3 - 2 - 5 1 3 ¸ çç è 1 - 1 - 4 9 22 ¸¸ çç ¸¸ ø è 1 - 1 - 4 9 22 ø ( A B ) h 1 « h 3 æ - - ö ç - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç - - ¸ æ - - ö ç - ¸ ç ¸ ç - - ¸ çç ¸¸ è ø 1 2 0 4 3 1 0 7 1 13 3 0 8 5 13 12 0 3 4 13 25 h - + h h - + h h - + h h - + h h - + h 1( 2) 2 1( 3) 3 3( 1) 2 1( 1) 4 3( 1) 4 çç ¸¸ è - - ø 2 0 4 3 0 1 6 0 9 0 8 5 13 12 0 5 1 0 13 21
• 22. ö æ - - ö ç - ¸ ç - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾¾®ç ¸ ç - ¸ ç - ¸ 1 2 0 4 3 1 2 0 4 3 0 1 6 0 9 4 1 3 0 1 6 0 9 0 0 43 13 60 0 0 1 0 2 0 0 29 0 58 0 0 43 13 60 æ ö« + çè ø¸ - + h h h h h h 2(8) 3 29 2( 5) 4 çç ¸¸ çç ¸¸ è - ø è - ø æ - - ö ç ¸ ¾¾¾¾®ç - 3(43) 4 ¸ ç - ¸ 1 2 0 4 3 0 1 6 0 9 0 0 1 0 2 0 0 0 13 26 h +h çç ¸¸ è ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: x x x x x x x x x x x ì - - = - ì = ï + = - ï = ï Ûï í- = í = - ï ï îï = ïî = 2 4 3 1 6 9 3 2 2 1 2 4 1 2 3 2 3 3 13 26 2 4 4 11) x x x x x x x x x x x x x x x mx + - - = ìï 6 4 6 1 2 3 4 - - - = ïí 3 6 4 2 1 2 3 4 2 3 9 2 6 3 2 3 7 + + + = 1 2 3 4 î + + + = - 1 2 3 4 ïï Giaûi æ - - ö æ - - ö ç - - - ¸ ç - - ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç - ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è - ø è - - ø æ - - ö ç - - ¸ ¾¾¾®ç ¸¾¾ ® ç - ¸ 1 1 6 4 6 1 1 6 4 6 3 1 6 4 2 h h 0 4 12 8 16 h h 2 3 9 2 6 h h 0 1 21 10 6 3 2 3 8 7 0 1 21 20 25 1 1 6 4 6 0 1 3 2 4 0 1 21 10 6 0 1 21 20 25 ( ) 1( 3) 2 1( 2) 3 1( 3) 4 æ - - ö ç - - ¸ ¾¾ ç ¸ ç - ¸ 2 1 4 2 3 2( 1) 4 h h h h h A B - + - + - + æ ö çè ø¸ + - + çç ¸¸ è - - ø 1 1 6 4 6 0 1 3 2 4 0 0 24 12 10 0 0 18 18 21 çç ¸¸ è - ø æ - - ö æ - - ö ç - - ¸ ç - - ¸ ¾¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç - ¸ ç - ¸ 1 1 6 4 6 1 1 6 4 6 0 1 3 2 4 0 1 3 2 4 0 0 6 6 7 0 0 6 6 7 0 0 12 6 5 0 0 0 6 9 4 1 3 1 3 2 3( 2) 4 æ ö« æ ö çè ø¸ èç ø¸ - + h h h h çç ¸¸ çç ¸¸ è - ø è - ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: 22
• 23. 1 2 3 4 2 2 3 4 3 3 4 4 4 0 6 4 3 2 3 2 4 1 6 6 7 3 6 9 3 2 x x x x x x x x x x x x x x ì + - - = - = ï ï ï + + = - ï í Ûí = ï + = - ï îï- = ï = - ïî 12) x x x x x x x x x x x x x x - + - = ìï 2 1 1 2 3 4 2 3 2 3 3 2 2 2 5 6 - - = 1 2 4 ïí - + = - 1 3 4 î + - + = - 1 2 3 4 ïï Giaûi æ - - ö æ - - ö ç - - ¸ ç - - ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç - - ¸ ç - - ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è - - ø è - - ø æ - - ö - ç - - ¸ - - ¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç - - ¸ - - ( ) 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 3 2 h 1( - 1) + h 2 0 0 1 2 1 h 1( - 1) + h 3 3 0 1 1 3 h 1( - 1) + h 4 1 1 2 2 4 2 2 2 5 6 0 3 3 6 7 1 1 2 2 4 1 1 2 2 0 0 1 2 1 ( ) 0 0 1 2 12 1 1 1 1 0 3 5 5 0 3 3 6 7 0 A B h « h h - + h 1 3 2 2 çç ¸¸ è - - ø + « 3 4 2 3 ( ) 3 2 4 4 1 9 3 3 6 7 1 1 2 2 4 1 1 2 2 4 0 0 1 2 1 0 3 5 5 9 0 3 5 5 9 0 0 1 2 1 0 0 2 1 2 0 0 2 1 2 1 1 2 2 4 0 3 5 5 9 0 0 1 2 1 0 0 0 3 4 h h h h h + h æ - ö ç ¸ ç ¸ ç ¸ çç ¸¸ è - - ø æ - - ö æ - - ö ç - - ¸ ç - - ¸ ¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç - - ¸ ç - - ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è ø è ø æ - - ö ç - - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸ ç - - ¸ çç ¸¸ è - ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: = 1 ìï 1 2 3 4 2 2 3 4 3 3 4 4 4 0 2 2 4 2 3 5 5 9 5 2 1 3 3 4 4 3 x x x x x x x x x x x x x x ì + - + = - = ï ï ï- + - = ï í Ûí = ï- - = ï îï- = ï = - ïî 23
• 24. x x x x x x x x x x x x x x + - + = ìï 3 5 3 2 12 1 2 3 4 4 2 5 3 27 7 8 5 40 6 4 5 3 41 - + + = 1 2 3 4 ïí + - + = 1 2 3 4 î + + + = 1 2 3 4 ïï Giaûi æ - ö æ - ö ç - ¸ ç - ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç - ¸ ç - ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è ø è - - ø æ - ö - ç - ¸ ¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç - ¸ 3 5 3 2 12 3 5 3 2 12 4 2 5 3 27 h h 1 7 8 1 15 h h 7 8 1 5 40 h h 1 2 5 1 16 6 4 5 3 41 0 6 11 117 1 2 5 1 16 1 2 5 1 7 8 1 15 3 5 3 2 12 0 6 11 117 ( ) 1( 1) 2 1( 2) 3 1( 2) 4 h h h h 1 3 1( 1) 2 h h 1( 3) 3 A B - + - + - + « - + - + çç ¸¸ è - - ø + « - + 2(2) 3 2 4 2( 1) 4 æ ö æ - ö ç ¸ ç - - ¸ 2 3 ç ¸¾¾¾®ç ¸ 2( 5) 4 ç - - ¸ ç ¸ çç è - - ¸¸ çç ¸¸ ø è - - ø æ - ö æ - ö ç ¾¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ ¸¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ ç - ¸ 1 16 0 5 3 0 1 0 11 18 1 36 0 6 11 1 17 1 2 5 1 16 1 2 5 1 16 0 5 3 0 1 0 1 8 1 18 0 1 12 1 38 0 1 12 1 38 0 1 8 1 18 0 5 3 0 1 1 2 5 1 0 1 8 1 0 0 h h h h h h h + h h - + h æ ö ç - - ¸ ç ¸ ç - - - ¸ çç ¸¸ è - - ø æ - ö æ - ö ç - - ¸ ç - - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç - - - ¸ ç - - - ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è - - ø è - - ø - - - ¾¾¾¾® - ( ) 16 1 2 5 1 16 18 3 1 0 1 8 1 18 2 h 4 2 20 0 0 2 1 10 0 0 37 5 91 0 0 37 5 91 1 2 5 1 16 1 2 5 1 16 0 1 8 1 18 0 1 8 1 18 0 0 2 1 10 0 0 1 23 89 0 0 1 23 89 0 0 2 1 10 h h h h 3 18 4 3 4 æ - ö ç - - ¸ ¾¾¾¾®ç h ¸ ç - ¸ æ- ö çè ø¸ + « çç ¸¸ çç ¸¸ è - ø è ø 3(2) 4 1 2 5 1 16 0 1 8 1 18 0 0 1 23 89 0 0 0 47 188 +h çç ¸¸ è ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: x x x x x x x x x x x x x x ì - + + = ì = ï- + - = ï = ï Ûï í- + = í = ï ï îï = ïî = 2 5 16 1 8 18 2 23 89 3 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 3 47 188 4 4 4 24
• 25. x x x x x x x x + + + = ìï 4 4 5 5 0 1 2 3 4 2 3 10 + - = 1 3 4 ïí + - = - ïï î + = 5 10 1 2 3 x x 3 2 1 2 3 Giaûi Ta coù: æ 4 4 5 5 0 ö æ 1 1 - 5 0 - 10 ö ç 2 0 3 - 1 10 ¸ ç ç ¸¾¾¾®ç 2 0 3 - 1 10 ¸ = ¸ ç 1 1 - 5 0 - 10 ¸ ç 4 4 5 5 0 ¸ çç è 0 3 2 0 1 ¸¸ çç ø è 0 3 2 0 1 ¸¸ ø ( A B ) h 1 « h 3 æ - - ö æ - - ç - - ¸ ç - ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ç ¸ ç 1 1 5 0 10 1 1 5 0 10 0 2 13 1 30 0 1 15 1 31 0 0 25 5 40 0 0 25 5 40 0 3 2 0 1 0 3 2 0 1 h - + h h + h h - + h 1( 2) 2 4 2 1( 4) 3 çç ¸¸ çç è ø è 1 1 5 0 10 1 1 5 0 10 0 1 15 1 31 h 3 1 0 1 15 1 31 0 0 25 5 40 0 0 5 1 8 0 0 43 3 92 0 0 43 3 92 1 1 5 0 10 1 0 1 15 1 31 0 0 5 1 8 0 0 2 12 20 h h 2( 3) 4 5 4 1 3 h h h h 3(9) 4 2 æ ö - + çè ø¸ æ ö« + çè ø¸ ö ¸¸¸¸¸ø æ - - ö æ - - ö ç - ¸ ç - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è - - ø è - - ø æ - - ö ç - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç ¸ çç ¸¸ è - ø 3( 5) 4 1 5 0 10 0 1 15 1 31 0 0 1 6 10 0 0 5 1 8 1 1 5 0 10 0 1 15 1 31 0 0 1 6 10 0 0 0 29 58 h - +h æ - - ö ç - ¸ ç ¸ ç - ¸ çç ¸¸ è ø æ - - ö ç - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸ ç - ¸ çç ¸¸ è - ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: x x x x x x x x x x x ì + - 5 = - 10 ì = 1 ï 1 2 3 ï 1 ï + - = = - í Ûï ï + = - í ï = îï- = ïî = - 15 31 1 6 10 2 29 58 2 2 3 4 2 3 4 3 x x 4 4 25
• 26. x x x x x x x x x x x x x x - + + = ìï 2 3 2 4 1 2 3 4 3 3 3 2 6 3 2 6 3 3 6 + + + = 1 2 3 4 ïí - - - = 1 2 3 4 î - + - = 1 2 3 4 ïï Giải: ( ) 2( 1) 1 æ 2 - 1 3 2 4 ö æ- 1 - 4 0 0 - 2 ö ç 3 3 3 2 6 ¸ ç 3 3 3 2 6 ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 3 - 1 - 1 - 2 6 ¸ ç 0 - 4 - 4 - 4 0 ¸ çç è 3 - 1 3 - 1 6 ¸¸ çç ¸¸ ø è 0 - 4 0 - 3 0 ø h - + h A B h - + h h - + h 2( 1) 3 2( 1) 4 æ - - - ö æ - - - ö ç - ¸ ç ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾¾®ç ¸ ç - - - ¸ ç - ¸ 1 4 0 0 2 1 4 0 0 2 0 9 3 2 0 3 1 2 0 1 1 1 0 0 4 4 4 0 0 9 3 2 0 0 0 4 1 0 0 0 4 1 0 1 4 0 0 2 1 4 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 12 11 0 0 0 4 1 0 0 4 1 0 0 0 12 æ- ö« + çè ø¸ - + h h h h h h 1(3) 2 4 3( 1) 4 çç ¸¸ çç ¸¸ è ø è ø æ- - - ö - - ç ¸ ¾¾¾¾®ç h 2(9) + h 3 ¸¾¾¾® h 4 « h 3 ç ¸ çç ¸¸ è ø 3( 3) 4 2 0 0 11 0 1 4 0 0 2 0 1 1 1 0 0 0 4 1 0 0 0 0 8 0 h - +h æ - ö ç ¸ ç ¸ ç ¸ çç ¸¸ è ø æ- - - ö ç ¸ ¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ çç ¸¸ è ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: x x x x x x x x x x x x ì- - = - ì = ï + + = ï = ï Ûï í + = í = ï ï îï = ïî = 4 2 2 1 2 1 2 3 4 2 3 4 3 0 0 4 0 0 8 0 0 4 4 16) x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = ìï 2 3 1 1 2 3 4 - - - = - ïí 3 2 4 1 2 3 4 2 3 6 + - - = - 1 2 3 4 î + + - = - 1 2 3 4 ïï 2 3 4 Giải: 26
• 27. ö ç - - - - ¸ ç - - - - ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç - - - ¸ ç - - - ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è - - ø è - - ø 1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 3 1 1 2 4 h h 0 4 7 11 7 h h 2 3 1 1 6 h h 0 1 5 7 8 1 2 3 1 4 0 1 1 4 5 1 1 2 3 1 1 1 2 0 1 5 7 8 0 4 7 11 7 0 1 1 4 5 ( ) 1( 3) 2 1( 2) 3 1( 1) 4 æ ö ç ¾¾¾®ç - - - ¸ h 2 h 3 ¸¾¾¾¾® h 2(4) h 3 ç - - - - ¸ h 2( 1) h 3 A B - + - + - + « + - + çç ¸¸ è - - ø æ 3 1 ö ç ç 0 1 - 5 - 7 - 8 ¸ ¸ ç 0 0 - 27 - 39 - 39 ¸ çç è 0 0 6 3 3 ¸¸ ø æ ö æ ö 1 ç ¸ ç ¸ ¾¾¾®ç 3 - - - ¸¾¾¾¾®ç - - - 3 4( 5) 3 ¸ ç ¸ ç - ¸ 4 1 3 1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 0 1 5 7 8 0 1 5 7 8 0 0 9 13 13 0 0 1 8 8 0 0 2 1 1 0 0 2 1 1 h h h h æ- ö çè ø¸ - + æ ö çè ø¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è ø è ø æ ö ç ¸ ¾¾¾¾®ç - - - 3(2) 4 ¸ ç - ¸ 1 1 2 3 1 0 1 5 7 8 0 0 1 8 8 0 0 0 17 17 h +h çç ¸¸ è ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: x x x x x x x x x x x x x x ì + + + = - ì = - ï - - = - ï = - ï Ûï í- + = í = ï ï îï = ïî = 2 3 2 1 1 2 3 4 1 5 7 8 1 8 8 0 2 3 4 2 3 4 3 17 17 1 4 4 17) x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = ìï 2 3 4 5 1 2 3 4 + + + = ïí 2 2 3 1 1 2 3 4 3 2 2 1 4 3 2 5 + + + = 1 2 3 4 î + + + = - 1 2 3 4 ïï Giải: ( ) 1( 2) 2 æ 1 2 3 4 5 ö æ 1 2 3 4 5 ö ç ç 2 1 2 3 1 ¸ ç ¸¾¾¾¾®ç h - + h 0 - 3 - 4 - 5 - 9 ¸ = h 1( - 3) + h 3 ¸ ç 3 2 1 2 1 ¸ h 1( - 4) + h 4 ç 0 - 4 - 8 - 10 - 14 ¸ çç è 4 3 2 1 - 5 ¸¸ çç ø è 0 - 5 - 10 - 15 - 25 ¸¸ ø æ ö ç ¸ 1 2 3 4 5 0 1 4 5 5 0 4 8 10 14 0 1 2 5 11 A B ¾¾¾¾®ç ¸ ç - - - - ¸ h - + h h + h h - + h h + 3( 1) 2 2(4) 3 3( 1) 3 2 çç ¸¸ è - - - - ø 4 1 2 3 4 5 0 1 4 5 5 0 0 8 10 6 0 0 2 0 6 h æ ö ç ¸ ¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ çç ¸¸ è - ø 27
• 28. ö ç ¸ ç ¸ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0 1 4 5 5 0 1 4 5 5 0 0 2 0 6 0 0 2 0 6 0 0 8 10 6 0 0 0 10 30 ¾¾¾®ç h 3 «h 4 ¸¾¾¾¾®ç h 3( - 4) +h 4 ¸ ç - ¸ ç - ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è ø è ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: x x x x x x x x x x x x x ì + + + = ì = - ï + + = ï = ï Ûï í = - í = - ï ï îï = ïî = 2 3 4 5 2 4 5 5 2 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 6 3 3 3 10 30 3 4 4 18) x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = 1 2 3 4 ìï + + + = 1 2 3 4 ïí + + + = 1 2 3 4 î + + + = 1 2 3 4 ïï 2 2 3 4 2 2 3 5 9 2 2 7 2 Giải: ( ) 1( 1) 2 æ ö æ ö æ ö ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸¾¾¾¾®ç h h = h 1( 2) h 3 ¸¾¾¾¾®ç h 2( 1) h 3 ¸ ç ¸ h 1( 1) h 4 ç - ¸ ç - ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è ø è ø è ø A B 3( 1) 4 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 3 4 2 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 2 3 5 9 2 0 1 3 7 2 0 0 1 4 2 1 1 2 7 2 0 0 1 6 0 0 0 1 6 0 1 1 1 1 2 0 1 2 3 0 0 0 1 4 2 0 0 0 2 2 h h - + - + - + - + - + æ ö ç ¸ ¾¾¾¾®ç ¸ ç - ¸ ççè ¸¸ ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: x x x x x x x x x x x x x x ì + + + = ì = - ï + + = ï = ï Ûï í + = - í = - ï ï îï = ïî = 2 2 1 2 3 4 1 2 3 0 9 4 2 6 2 3 4 2 3 4 3 2 2 1 4 4 Bài 3: Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau: 28
• 29. ïí + - = 2x x 4x 0 1 2 3 + - = 3x 5x 7x 0 1 2 3 - - = 4x 5x 6x 0 1 2 3 æ 2 1 - 4 0 ö æ 1 11 - 5 0 ö æ 1 11 - 11 0 ö = ç - ¸¾¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç - ¸ ç - ¸ çè - - ø¸ èç - - ø¸ èç - ø¸ ( ) h1(-3)+h2 A B h3(-1) + h2 + h1 h1(-4)+h3 / 3 5 7 0 3 5 7 0 0 28 8 0 -49 28 4 5 6 0 4 5 6 0 0 49 14 0 h2 h3 1 11 11 0 0 28 8 0 0 0 0 0 + æ ö ç ¸ è ø æ - ö ¾¾¾¾¾®ç - ¸ ç ¸ çè ø¸ Ta có: (1) Û î í ì + - = 28x 8x 0 (2) x 11x 11x 0 (1) 1 2 3 - + = 2 3 28 8 Từ (2) Þ x = x 3 2 11 11 28 55 x = - x + æç ö¸x = x è ø Thế x3 vào (1), ta được: 1 2 2 2 8 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: ì ï ï í ï ï î x = 55 1 2 = 2 2 28 x 8 x x 2 x3 tuyøy ù 2) ì ï ï í ï ï î + + = 3x 5x 2x 0 1 2 3 + + = 4x 7x 5x 0 1 2 3 + - = x x 4x 0 1 2 3 + + = 2x 9x 6x 0 1 2 3 29
• 30. - ö æ - ö ç ¸ ç ¸ ç ¸ = ç ¸¾¾«¾¾®ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç - ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ è ø è ø è ø 3 5 2 0 1 1 4 0 1 1 4 0 4 7 5 0 1 3 4 7 5 0 0 3 21 0 / A B h h ( ) ( ) ( ) ( ) h1 4 h2 h1 3 h3 h1 2 h4 1 1 4 0 3 5 2 0 0 2 14 0 2 9 6 0 2 9 6 0 0 7 14 0 1 1 4 0 0 1 7 0 0 1 7 0 0 1 2 0 2 1 , 3 1 , 4 1 2 3 2 7 h h h h - + - + - + æ ö æ ö æ ö çè ø¸ èç ø¸ èç ø¸ æ - ö ç ¸ ¾¾¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸ è ø ( ) ( ) h æ - ö æ - ö ç ¸ ç ¸ - 1 + 3 - + « 1 1 4 0 1 1 4 0 0 1 7 0 0 1 7 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 ¾¾¾¾®ç h 2 1 h 4 ¸¾¾¾®ç h 3 h 4 ¸ ç ¸ ç - ¸ ç - ¸ ç ¸ è ø è ø Ta có: (2) Û + - = ìï 4 0 7 0 0 5 0 1 2 3 + = Þ = = = 2 3 1 2 3 î - = 3 íï x x x x x x x x x 3) x x x x x x x x x x x x - + + = ìï 2 3 7 0 1 2 3 4 4 2 7 5 0 2 5 0 - + + = 1 2 3 4 î - + - = 1 2 3 4 íï Giaûi ( ) 1( 2) 2 2(2) 3 æ 2 - 1 3 7 0 ö æ 2 - 1 3 7 0 ö æ 2 - 1 3 7 0 ö = ç 4 - 2 7 5 0 ¸¾¾¾¾®ç ç ¸ ç 0 0 1 - 9 0 ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 0 0 1 - 9 0 ¸ ¸ çè 2 - 1 1 - 5 0 ø¸ èç 0 0 - 2 - 12 0 ø¸ èç 0 0 0 6 0 ø¸ A B h - + h h + h h 1( - 1) + h 3 Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: ì - + + = ï ï ï ï = ï = í - = Ûí Ûí Î ï ï = ï = î = ï ï î tuøy yù î = ( ) x x x t ì = 2 ì = 2 1 1 1 2 3 4 3 2 3 4 4 3 4 1 4 2 3 7 0 0 2 9 0 0 0 0 0 x x x x x x t x x t R x x x x x 4) x x x x x x x x x x x x x x x x + + - = ìï 2 4 3 0 1 2 3 4 + + - = ïí 3 5 6 4 0 1 2 3 4 4 5 2 3 0 3 8 24 19 0 + - + = 1 2 3 4 î + + - = 1 2 3 4 Giaûi ïï 30
• 31. æ - ö ç - ¸ ç - - ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç - ¸ ç - - ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è - ø è - ø ( ( 3) 2 A B ) ( 4) 3 ( 3) 4 æ - ö ç ¸ ¾¾¾¾®ç - - 2( 3) 3 ¸ 2(2) 3 ç ¸ 1 2 4 3 0 1 2 4 3 0 3 5 6 4 0 0 1 6 5 0 4 5 2 3 0 0 3 18 15 0 3 8 24 19 0 0 2 12 10 0 1 2 4 3 0 0 1 6 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h h h h h h h h h h - + - + - + - + + çç ¸¸ è ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: ì = - ï ì + + - = ï ï = - + í Ûí = - + Ûí Î î - - + = ï ï = ( ) ì = - 1 1 3 4 1 2 3 4 2 2 3 4 2 3 4 3 î 3 4 î ï = 4 8 7 8 7 2 4 3 0 6 5 6 5 , 6 5 0 x t s x x x x x x x x t s x x x t s R x x x x t x x s ,x tuøy yù BÀI TẬP VỀ ĐỊNH THỨC Bài 1 Tính các định thức cấp 2: 5 2 = 5.3 – 7.2 = 15 – 14 = 1 1) D = 7 3 3 2 2) D = 8 5 = 3.5 – 8.2 = 15 – 16 = -1 n 1 n 3) D = n n - 1 + = (n+1)(n-1) – n2 = n2 - 1 - n2 = -1 a - a cos sin 4) D = a a sin cos = cos2 a+sin2 a = 1 Bài 2: Tính các định thức cấp 3: 2 1 3 1) D = 5 3 2 1 4 3 = 18+2+60-9-16-15 = 40 2) D = 3 2 1 2 5 3 3 4 2 = 30+18+8-15-36-8 = -3 3) D = - 4 3 5 - 3 2 8 - - 1 7 5 = 40-24-105+10+224-45=100 31
• 32. - 3 2 4 - 4 1 2 - 5 2 3 =-9-20-32+20+12+24= -5 5) D = 1 1 1 1 2 3 1 3 6 = 12 + 3 + 3 – 2 – 9 – 6 = 1 6) a b b c c a a b c D b c a c a b = = acb + bac + cba - c3 - a3 -b3 = 3abc - c3 - a3 - b3 7) D = 0 a 0 b c d 0 e 0 = 0 8) a x x a x D x b x x b x x c x x = = abc + x3 + x3 - bx2 - ax2 - cx2 = abc - 2x3 - x2 ( a + b + c) 9) a + x x x a + x x D = x b + x x x b + x x x c + x x x ( ) ( ) ( ) 3 3 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) a x b x c x x x x b x x a x x c x ab ax bx x c x x x bx x x a x x c x abc abx acx ax bcx bx cx x x x bx x x a x x c x abc abx acx bcx = + + + + + - + - + - + = + + + 2 + + 3 + 3 - 2 - 3 - 2 - 3 - 2 - 3 = + + + + + + + + + - - - - - - = + + + 2 2 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 32
• 33. a b c b c b c a b c a c a ( ) 1 1 1 1 3 2 1 10) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 2 c c c D c a b c a b a b b c c a a b a b c c a a b b c c a a b c a b c a a b + + + + + + = + + + + + + + + + = + + = + + ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ Bài 3 Tính các định thức: h D a M b M c M d M 1) 3 3 1 31 32 33 34 2 3 4 1 4 2 3 2 ( 1) a b c d 3 1 4 3 + - - = - éë - + - ûù - ‡ˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ * 31 M = - 3 4 1 - 2 3 2 - 1 4 3 = -27 -8 -8 + 3 +24 + 24 = 8 * 32 M = 2 4 1 4 3 2 3 4 3 = 18 + 24 + 16 – 9 – 16 – 48 = -15 * 33 M = - 2 3 1 - 4 2 2 - 3 1 3 = -12 – 18 – 4 + 6 +4 +36 = 12 * 34 M = - 2 3 4 - 4 2 3 - 3 1 4 = -16 -27 – 16 + 24 + 6 +48 = 19 Vậy: D = 8a+15b+12c-19d 2) ( ) 2 2 1 21 22 23 24 5 2 1 4 4 3 1 2 3 2 4 5 4 c a b D a M b M c M d M c d + - - = - éë - + - ùû - - ‡ˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ * 12 M = - 4 4 3 - 2 3 2 - 4 5 4 = -48 – 32 – 30 + 36 + 40 + 32 = -2 * 22 M = - 5 2 1 - 2 3 2 - 4 5 4 = -60 -16 – 10 + 12 + 50 +16 = -8 33
• 34. = - 5 2 1 - 4 4 3 - 4 5 4 = -80 – 24 – 20 + 16 + 75 + 32 = -1 * 42 M = - 5 2 1 - 4 4 3 - 2 3 2 = -40 -12 – 12 + 8 + 45 + 16 = 5 Vậy: D = - (-2a + 8b – c - 5d) = 2a - 8b + c + 5d 3) 4 4 1 ( ) = ‡ˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ - + - = ´ = 44 3 0 5 3 0 0 0 2 ( 1) 0 0 1 2 3 1 2 0 0 0 h a a b D d M d b abcd c c d = ‡ˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ - + = - ´ = 4) 4 4 1 41 1 0 2 0 2 2 0 0 ( 1) 0 0 3 4 5 4 5 0 0 0 h a a b D d M d b abcd c c d Bài 4 Tính các định thức sau: 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 1 1 1 0 - 2 0 0 h - + h D h - + h h - + h 1( 1) 2 1( 1) 3 1( 1) 4 ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ †ˆˆ = = ´ - ´ - ´ - = - 1 ( 2) ( 2) ( 2) 8 - - 1 1 1 1 0 0 2 0 1 1 1 - 1 0 0 0 - 2 2) 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 3 h h D « - + - + = - - ( ) c c h h 1 2 1( 1) 3 1( 1) 4 - - = - ´ - - - = - + + = - ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ †ˆˆ 3) 34
• 35. 2 5 1 2 1 5 2 2 1 5 2 2 3 7 1 4 1 7 3 4 0 2 1 6 3 9 2 7 2 9 3 7 0 1 1 3 4 6 1 2 1 6 4 2 0 1 2 0 2 1 6 2 1 1 1 1 3 1 1 - - - - - = - - - - - - - - - - ( ) + 1 2 « - + 1 3 1( 2) 3 1( 1) 4 1 2 0 1 2 3 12 6 12 3 h h c c h h D h - + h = - ´ - - - - = - + - - = ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ 4) - - - - 3 3 5 8 1 0 0 2 1 0 0 2 3 2 4 6 3 2 4 6 ( ) ( ) 0 2 4 12 2 5 7 5 2 5 7 5 ( ) 0 5 7 9 4 3 5 6 4 3 5 6 0 3 5 14 2 4 12 1 2 6 1 2 1 5 7 9 1 2 5 7 9 5 7 - - - - - = ‡ˆ ˆˆ ˆˆ + ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ+ ˆ ˆˆ †ˆˆ - - - - - - ( ) ( ) - + 1 3 2 4 1 1 2 3 1 4 4 3 5 14 3 5 14 3 5 2 98 54 150 126 45 140 2 9 h h h h h h D h - + h - - - - - - - = - ´ - - = - ´ ´ - - - - - - = - + + - - - = - ´ - = 18 5) - - - - = 3 9 3 6 1 4 0 4 5 8 2 7 1 3 1 5 4 5 3 2 4 5 3 2 7 8 4 5 3 3 1 3 h h h h h h D ++ 3 1 3 2 3( 1) 4 ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ - - - - + - - - - - - - - - h + h h - + h h - + h 1 2 1( 4) 3 1( 3) 4 1 4 0 4 7 1 9 7 1 0 7 1 9 1 21 3 18 21 3 0 21 3 18 15 1 15 15 1 0 15 1 15 ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ 315 270 189 405 126 315 18 - - - = - - - - - - - - - - - - - - - - = - + - - + = 6) 35
• 36. 1 2 1 0 1 1 2 1( 1) 3 1 4 1 5 1( 2) 2 1( 1) 3 1 1 2 1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 2 0 1 1 1 2 1 0 1 0 2 0 1 1 1 0 2 1 4 1 0 1 0 2 0 0 2 1 4 1 2 0 3 1 1 1 1 1 0 1 2 0 3 1 1 2 1 2 3 1 2 3 0 2 3 1 1 2 1 4 2 1 0 2 1 4 1 2 4 1 2 0 1 2 4 8 1 h h h h h h h h h h D - + + + - + - + - - - - - - = - = ´ - - - - - - - - - - - = ´ - - - - - - = - ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ †ˆˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ 2 - 4 +1-16 + 24 =1 7) ‡ˆ ˆˆ h ˆˆ ˆh ˆ †ˆ D « 1 3 1( 4) 4 1( 19) 5 2 0 0 5 0 0 1 3 18 6 2 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 1 3 18 6 2 0 0 5 0 0 4 17 9 15 2 4 17 9 15 2 19 20 24 3 5 19 20 24 3 5 1 3 18 6 2 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 1 5 63 9 6 0 5 63 9 6 37 318 117 33 0 37 318 117 33 h h h h h - + - + - - - = - - - - - - - - = - ´ - - - - - - - - - - ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆ ˆ† + M 2 1 - - éë- ùû = - ´ - 22 ˆ ˆˆ ( ) - - 2 2 0 2 2 ( 1) 5 5 5 9 6 5 9 - - - 37 117 33 37 117 = - - - + - = - ´ = - 5 594 444 1404 330 5 36 180 8) 36
• 37. 2 1 4 10 1 2 1 4 10 1 3 2 5 3 0 5 1 1 7 h h D - + 1( 1) 2 5 1 1 7 5 3 7 9 0 5 3 7 9 0 5 3 7 9 1 0 2 3 7 0 0 2 3 7 0 0 2 3 7 0 0 3 15 0 0 0 3 15 0 0 0 3 15 5 1 1 7 5 1 1 7 0 2 6 16 0 2 6 16 0 2 3 7 0 0 3 9 0 0 3 15 0 0 3 15 h - + h h - + h h + h 1( 1) 2 2( 1) 3 3 4 - - = = ´ - - - - ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ ‡ˆ ˆ ˆ ˆ† 5 1 1 7 0 2 6 16 0 0 3 9 0 0 0 6 5 2 ( 3) 6 180 - - - = ´ ´ - ´ = - ˆ ˆ ˆ ˆ 9) 7 3 2 6 7 3 2 6 1 12 2 3 8 9 4 9 h 1( 1) h 2 h 1( 1) h 3 1 12 2 3 h 1 h 2 7 3 2 6 7 2 7 3 h 1( 1) h 4 0 5 5 3 0 5 5 3 5 3 3 4 2 6 1 2 2 6 1 2 1( 7) 2 1(2) 4 ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ †ˆˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ †ˆ 1 12 2 3 87 12 15 0 87 12 15 1 5 5 3 0 5 5 3 0 30 5 4 h h h h D - + - + « - + - + + - - - = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = - ´ - - - - - ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ ( ) 29 4 5 29 4 3 5 5 3 5 5 30 5 4 30 5 4 30 5 3 580 360 125 750 435 80 3 ( 50) 150 - - - = - ´ - - - - - - = - - + - + - = - ´ - = 37
• 38. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KRAMER Giải hệ phương trình bằng phương pháp Kramer: 1) x x x x x + = - ìï 2 1 1 3 + + = íï î + = 4 2 7 5 5 1 2 3 x x 2 3 Ta có: * D = 2 0 1 1 4 2 0 5 1 = 8 + 5 – 20 = -7 * Dx1 = -1 0 1 7 4 2 5 5 1 = - 4 + 35 – 20 + 10 = 21 * Dx2 = 2 -1 1 1 7 2 0 5 1 = 14 + 5 – 20 +1 = 0 * Dx3 = 2 0 -1 1 4 7 0 5 5 = 40 – 5 -70 = -35 Vì D ¹ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất: ì ï ï ï í ï ï ï î 21 Dx = = - = - 0 Dx = = - = Dx = = - - = 5 35 7 D x 0 7 D x 3 7 D x 3 3 2 2 1 1 2) ì ïî ïí - + = x x 3x 6 1 2 3 - = - 4x 5x 13 2 3 - = 3x 2x 1 1 3 Ta có: * D = - 1 1 3 - 0 4 5 - 3 0 2 = - 8 +15 – 36 = -29 38
• 39. 6 1 3 - - 13 4 5 - 1 0 2 = - 48 +5 -12 + 26 = -29 * Dx2 = 1 6 3 - - = 26 – 90 + 117 +5 = 58 0 13 5 - 3 1 2 * Dx3 = - 1 1 6 - 0 4 13 3 0 1 = 4 + 39 – 72 = -29 Vì D ¹ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất: ì ï ï ï í ï ï ï î Dx = = - 29 58 x Dx = = - = - = Dx = = - - = - 1 29 29 D x 2 29 D 1 29 D x 3 3 2 2 1 1 3) x x x + - = ìï 4 2 2 3 5 8 1 2 3 x x x - - = - 2 3 4 ïí x x x x x - = ïï î - - = Ta có: 2 5 1 3 2 3 0 1 2 4 - - 1 4 1 0 1 4 1 0 h h 1( 2) 3 h h 1( 1) 4 2 3 5 2 3 0 2 3 5 0 2 3 5 1 8 1 0 8 1 2 0 1 0 0 8 1 0 6 1 3 6 1 1 2 0 3 0 6 1 3 6 40 30 72 76 D - + - + - - - - - - - = ====== = ´ - - - - - - - - - - - = - + - + = - - - 2 4 1 0 1 4 2 0 1 4 2 0 8 2 3 5 3 2 8 5 0 10 14 5 5 0 1 0 1 0 5 0 0 4 3 0 0 2 0 3 0 2 0 3 0 2 0 3 10 14 5 10 14 - - - - - - ( ) - - - = ====- =====- - - ( ) - ( ) 1 1 3 h1 3 h2 h1 1 h3 c c 1 4 3 0 4 3 2 0 3 2 0 90 30 168 228 x D « - + - + - - - - - - - - - - - = - ´ - - - - - = - - + = - 39
• 40. 2 1 0 1 2 1 0 ( ) ( ) x D 2 h1 2 h3 h1 1 h4 8 3 5 8 3 0 8 3 5 0 8 3 5 1 1 1 0 1 1 2 5 1 0 0 1 1 0 2 1 3 2 1 1 0 0 3 0 2 1 3 24 5 10 9 0 - + - + - - - - - - - - - - - = ====== = ´ - - - - - - - = - - - = 1 4 2 0 1 4 2 0 ( ) ( ) 3 h1 2 h3 h1 1 h4 2 8 5 2 8 0 2 8 5 0 2 8 5 1 8 1 0 8 1 2 0 5 0 0 8 1 0 6 2 3 6 2 1 2 0 3 0 6 2 3 6 80 30 192 76 x D - + - + - - - - - - - = ====== = ´ - - - - - - - - - - - - - = - - - + = - - 1 4 1 2 1 4 1 2 ( ) ( ) 4 h1 2 h3 h1 1 h4 2 3 8 2 3 0 2 3 8 0 2 3 8 1 8 1 1 8 1 2 0 1 5 0 8 1 1 6 1 2 6 1 1 2 0 0 0 6 1 2 4 18 64 48 2 48 76 x D - + - + - - - - - - - = ====== = ´ - - - - - - - - - - = - + + - - + = Vì D ¹ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất: ì = 1 = = 1 ïïï = 2 = = 2 ïíï = 3 = = 3 4 4 228 3 76 0 0 76 (3,0,1,1) 76 1 76 76 1 76 x Dx D x Dx D hay x Dx D x Dx D ïïï = = = î 4) x x x x x x - + = ìï 3 2 1 3 4 - - = ïí 2 0 1 2 4 x x x x x - + = ïï î - = Ta có: 2 5 2 5 2 3 4 3 4 2 4 - - 1 0 3 1 1 0 3 1 h h 1( 2) 2 1 6 3 2 1 0 1 0 1 6 3 1 2 5 2 0 2 5 2 0 2 5 2 3 0 1 0 3 0 1 0 3 0 1 5 36 – 45 12 2 D - + - - - - - - = ====== = ´ - - - - - - = - + + = - 40
• 41. 2 0 3 1 1 0 3 2 1 0 3 2 0 - 1 0 - 1 - 1 - 1 0 0 ( ) 0 - 1 - 3 2 = ======- ======- 5 2 5 2 2 2 5 5 0 2 1 1 4 3 0 1 1 3 0 4 0 3 3 6 1 3 2 1 2 1 1 6 9 12 6 3 36 0 ( ) 1 h1 h2 1 4 h1 2 h3 h1 h4 3 3 6 c c x D + « - + + - - - - - - - = - ´ = - - - - - - + = - - - x D h h 2 1 2 3 1 1 2 3 1 4 6 3 2 0 0 1 0 4 6 3 1( 2) 2 1 5 5 2 0 5 5 2 0 5 5 2 4 0 1 0 4 0 1 0 4 0 1 20 48 – 60 30 2 - - - - - = - + = ´ - - - - - - = - + + = - x D 3 1 0 2 1 1 0 2 1 h - + h 1( 2) 2 1 4 3 2 1 0 1 0 1 4 3 1 2 5 2 0 2 5 2 0 2 5 2 3 4 1 0 3 4 1 0 3 4 1 5 – 24 – 24 45 8 – 8 2 - - - - - - - - = ====== = ´ - - - = + + = x D 4 - - 1 0 3 2 1 0 3 2 h - + h 1( 2) 2 1 6 4 2 1 0 0 0 1 6 4 1 2 5 5 0 2 5 5 0 2 5 5 3 0 4 0 3 0 4 0 3 0 4 20 90 60 48 2 - - - - - = ====== = ´ - - - = + - - = Vì D ¹ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất: ì ï ï ï ï í ï ï ï ï î 0 x Dx = = - = Dx = = - 2 = - 2 Dx = = - = - 2 x Dx = = - = - 1 2 D 1 2 D x 1 2 D x 0 2 D 4 4 3 3 2 2 1 1 41
• 42. LUAÄN THEO THAM SOÁ Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän: x x x x x x x x x x x x x x x l x + + + = ìï 3 2 5 4 3 1 2 3 4 2 3 6 8 5 + + + = 1 2 3 4 ïí - - - = - ïï 6 9 20 11 1 2 3 4 4 + + 4 + = 2 1 2 3 G 4 iaûi: ( ) 1 î3 æ 3 2 5 4 3 ö æ 1 - 6 - 9 - 20 - 11 ö ç 2 3 6 8 5 ¸ ç 2 3 6 8 5 ¸ = ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç 1 - 6 - 9 - 20 - 11 ¸ ç 3 2 5 4 3 ¸ ç è 4 1 4 l 2 ¸ ç ø è 4 1 4 l 2 ¸ ø æ - - - - ö - - ç ¸ 1 6 9 20 11 1 6 0 15 24 48 27 0 20 32 64 36 0 25 40 80 46 A B 1( 2) 2 2 1 1( 3) 3 3 1( 4) 4 3 1 ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾® 4 h h h h h h h h h h l « - + æ ö - + çè ø¸ - + æ ö çè ø¸ ç ¸ ç + ¸ è ø h - + h h « h h - + h 2( 1) 3 3 4 2( 5) 4 x x x x 1 2 3 4 x x x 2 3 4 9 20 11 0 5 8 16 9 0 5 8 16 9 0 25 40 80 46 1 6 9 20 11 1 6 9 20 11 0 5 8 16 9 0 5 8 16 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6 9 20 11 ìïíï (1) 5 8 16 9 l l l æ - - ö ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç + ¸ è ø æ - - - - ö æ - - - - ö ç ¸ ç ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ è ø è ø - - - = - Û + + = ( ) î = 4 1 2 l l l 1) 0 : (2) 5 3 4 (2) 1 l l 1 3 4 5 1 9 8 16 1 l l l l 1 6 9 20 11 1 2 3 4 2) 0 : (3) 15 24 48 27 : 2 3 4 0 1 x x t x t Khi t R x t x x x x x Khi l x x x ì = - ´ + - ïï ï = - ´ - + + ¹ Ûï Î íï = ïï = ïî - - - = - ìï = Û + + = íï î = he ävo ânghieäm Baøi 2: Cho heä phöông trình: 42
• 43. x x x x x x x x x mx x x x - + + = ìï 2 3 4 5 1 2 3 4 4 2 5 6 7 6 3 7 8 9 - + + = 1 2 3 4 ïí - + + = 1 2 3 4 î - + + ïï = 4 9 10 11 1 2 3 4 a) Tìm m ñeå heä phöông trình coù nghieäm b) Giaûi heä phöông trình khi m = 10 Giaûi: a) Ta coù: æ 2 - 1 3 4 5 ö æ - 1 4 3 2 5 ö ç ç 4 - 2 5 6 7 ¸ ç ¸¾¾¾¾®ç - 2 6 5 4 7 ¸ = ¸ ç 6 - 3 7 8 9 ¸ ç - 3 8 7 6 9 ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è - ø è - ø ( ) c 1 c 4 c 1 m m 4 9 10 11 4 10 9 11 1 4 3 4 5 1 4 0 2 1 0 3 0 4 2 0 6 0 6 3 8 9 A B æ - ö - ç ¸ ¾¾¾¾®ç h 1( 2) h 2 - - - h 1( 3) h 3 ¸¾¾¾¾® h 2( 2) h 3 h 1( 4) h 4 ç - - - ¸ h 2( 3) h 4 m « « - + - + - + - + - + çç ¸¸ è - - - - ø 3 4 3 4 5 0 2 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 1 4 3 4 5 0 2 1 0 3 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 h h m m « æ ö ç - - - ¸ ç ¸ ç ¸ çç ¸¸ è - ø æ - ö ç - - - ¸ ¾¾¾®ç ¸ ç - ¸ çç ¸¸ è ø Ta thaáy: "mÎR : r ( A B) = r ( A) < 4 . Suy ra heä coù nghieäm vôùi moïi giaù trò cuûa m b) Giaûi heä khi m = 10: Bieán ñoåi sô caáp treân haøng ta coù: ( ) æ 2 - 1 3 4 5 ö æ 2 - 1 3 4 5 ö ç 4 - 2 5 6 7 ¸ ç ¸ = ç ¸® ®ç 0 1 - 6 - 10 - 14 ¸ ç 6 - 3 7 8 9 ¸ ç 0 0 - 2 - 4 - 6 ¸ ç 10 - 4 9 10 11 ¸ ç è ø è 0 0 0 0 0 ¸ ø ì - + + = ï ï ï = - Ûí - - = - Û í Î ï ï = - î- - = - ï î = ( ) / ... ì = 1 1 2 3 4 2 2 3 4 3 3 4 4 0 2 3 4 5 4 2 (1) 6 10 14 3 2 2 4 6 A B x x x x x x t x x x t R x t x x x t Baøi 3 Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau theo tham soá l : 43
• 44. ) ì + x + x + x = ï 1 1 1 2 3 l x x x x x x + + + = íï l l 1 1 2 3 ( ) 2 + + + = îG iaûi: Ta coù l l 1 1 2 3 + + + + 1 1 1 3 3 3 1 1 1 1 1 1 ‡ˆ ˆˆ h 3 ˆˆ + h ˆˆ 2 + ˆh ˆ 1 †ˆ 1 1 1 ( 3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + 1 1 1 3 0 0 3 0 0 ( ) ( ) h h h h 1( 1) 2 2 1( 1) 3 D l l l l l l l l l l l l l l l l - + - + + + + + = + ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ 1 1 1 1 1 1 1 1 ‡ˆ ˆˆ h ˆˆ ˆˆ ˆˆ h ˆˆ†ˆ D - l + x h - + h 1( ) 2 1( ) 3 2 2 = l l + - l = ´ 1 1 0 1 1 1 1 2 l 2 2 2 l - - l - l + l + 1 1 l l + - l - l + l + l l l l l l l l l l l l l 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 = - + + - - - = - + + - + + - = - + = - l l + + ‡ˆ ˆˆ ˆ« ˆ ˆˆ†ˆ = - ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ - + - + + + + + - - - = - ´ - - - - ( ) ( ) ( ) ( ) = - éë - - - - - - - ùû = - éë- - + + + - - ùû = - = - ( ) 2 1 3 2 2 - - 1( 1) 2 1( ( 1)) 3 2 2 2 2 - - - - 2 2 3 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 0 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 c c x h h h h D l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l + + 1 1 1 1 1 1 1 1 ‡ˆ ˆˆ c ˆ« ˆ c ˆˆ†ˆ 1 1 1 1 1 1 = + - + 1 1 1 ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ - + + - + ( ) ( ) ( ) 3 1 2 2 2 2 1( ( 1)) 2 2 1( 1) 3 2 2 2 2 3 2 2 1 0 2 1 1 1 0 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 x h h h h D l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l - - - - - - - = - ´ - - - - + - = ´ - = éë + - + ùû = + - - Ta thaáy: 44
• 45. (1) ( ) 2 3 = + 3 ¹ 0 Ûí î ¹ 0 D l l l l Khi ñoù heä coù nghieäm duy nhaát: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ì - - ï = = = 2 2 1 1 2 + + ï - - í = 2 = = 2 + 2 + 3 ï = + 2 - - 3 ïï ïï = 3 2 2 3 3 2 1 2 1 3 3 2 1 3 x Dx D x Dx D x Dx D l l l l l l l l l l l l l l l l l + ïî l l (2) Neáu l = -3 thì 1 3(2 9) 21 0 x D = - = - ¹ : Heä voâ nghieäm (3) Neáu l = 0 thì heä trôû thaønh: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 0 0 x x x x x x x x x + + = ìï + + = íï + + = îHeä voâ nghieäm Baøi 4 Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau theo tham soá l : x x x x x x x x x x x x x x x x l - + + = ìï 5 3 2 4 3 1 2 3 4 4 2 3 7 1 8 6 5 9 7 3 7 17 - + + = 1 2 3 4 ïí - - - = 1 2 3 4 ïï G - + + = 1 2 3 4 iaûi ( ) 2( 1) î1 æ 5 - 3 2 4 3 ö æ 1 - 1 - 1 - 3 2 ö ç 4 - 2 3 7 1 ¸ ç 4 - 2 3 7 1 ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç h h ¸ ç 8 - 6 - 1 - 5 9 ¸ h 2( 2) h 3 ç ¸ h 2( 1) h 4 ç 0 - 2 - 7 - 19 7 ¸ ç ¸ è 7 - 3 7 17 l ø è 3 - 1 4 10 l - 1 ø æ - - - ö ç - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾ 1 1 1 3 2 0 2 7 19 7 0 2 7 19 7 0 2 7 19 7 A B h h h h h h h h 1( 4) 2 2 3 1( 3) 4 2( 1) 4 l - + - + - + - + + - + - + ç - - - ¸ ç - ¸ è ø 4 3 1 1 1 3 2 0 2 7 19 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 3 2 0 2 7 19 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h h l l « æ - - - ö ç - ¸ ¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸ è ø æ - - - ö ç - ¸ ¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸ è ø Heä phöông trình töông ñöông vôùi heä: 45
• 46. x 3 2 1 2 3 4 x x x 2 7 19 7 2 3 4 0 l - - - = ìï + + = - íï î = Ta thaáy: (1) Khi l ¹ 0 thì heä voâ nghieäm (2) Khi l = 0 thì heä trôû thaønh: x x x x - - - = ìí î + + = - 3 2 (1) 1 2 3 4 x x x x x x 2 7 19 7 (2) 2 3 4 (2) : = - 7 - 19 - 7 2 3 4 2 2 (1) Û x + 7 x + 19 x + 7 - x - 3 x = 2 Û x = - 5 x - 13 x - 5 1 3 4 3 4 1 3 4 2 2 2 2 Vaäy nghieäm cuûa heä khi ñoù laø: ì x = - x - x - 1 3 4 ïïï x x x x x = - - - 2 3 4 3 4 íïïïî 5 13 5 2 2 7 19 7 2 2 , tuøy yù Baøi 5 Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau theo tham soá l x x x x x x x x x x x x x x x l x + + + = ìï 3 2 5 4 3 1 2 3 4 2 3 6 8 5 + + + = 1 2 3 4 ïí - - - = - ïï 6 9 20 11 1 2 3 4 4 + + 4 + = 2 1 2 3 G 4 iải Ta có: ( ) 3 î1 æ 3 2 5 4 3 ö æ 1 - 6 - 9 - 20 - 11 ö ç 2 3 6 8 5 ¸ ç ç ¸¾¾¾®ç 2 3 6 8 5 ¸ = h h ¸ ç 1 - 6 - 9 - 20 - 11 ¸ ç 3 2 5 4 3 ¸ çç 4 1 4 l 2 ¸¸ çç è ø è 4 1 4 l 2 ¸¸ ø æ - - - - ö - - ç ¸ æ - - ö ç ¸ ç ¸ ç ¸ çç ¸¸ è + ø 1 6 9 20 11 1 6 0 15 24 48 27 0 20 32 64 36 0 25 40 80 46 A B 1( 2) 2 3 1 2 1( 3) 3 4 1( 4) 4 h h h h h h h h l « - + æ ö« - + çè ø¸ - + ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç ¸ çç ¸¸ è + ø 9 20 11 0 5 8 16 9 0 15 24 48 27 0 25 40 l 80 46 46
• 47. - - ö æ - - - - ö ç ¸ ç ¸ 1 6 9 20 11 1 6 9 20 11 0 5 8 16 9 0 5 8 16 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸ h 2( - 3) + h 3 h 3 « h 4 h 2( - 5) + h 4 l çç ¸¸ çç ¸¸ è l ø è ø Khi đó: (1) Nếu l ¹ 0 thì r ( A B) = r ( A) = 3 < 4 : hệ có vô số nghiệm (tìm nghiệm như bài trên) (2) Nếu l = 0 thì : ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 r A B r A B r A r A = ïüýÞ ¹ = ïþ : hệ vô nghiệm Baøi 6 Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau theo tham soá l ( ) ( ) ì + + + = + x x x l l l 1 3 x x x x x x l l l 1 3 ( ) 2 1 2 3 3 2 1 2 3 4 3 l l l 1 3 1 2 3 ïï + + + = + íï îï + + + = + Giaûi Ta coù: + + + + 1 1 1 3 3 3 1 1 1 1 1 1 ‡ˆ ˆˆ h 3 ˆˆ + h ˆ2 ˆ + ˆh ˆ 1 †ˆ 1 1 1 ( 3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + 1 1 1 3 0 0 3 0 0 ( ) ( ) h h h h 1( 1) 2 2 1( 1) 3 D l l l l l l l l l l l l l l l l - + - + + + + + = + ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ ( ) ( ) ( ) l + l l l + l l l l l l l l l l l l l l l l l l 3 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 ( 3 ) 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 = + + = + + = + + + + + + + 1 1 1 ( ) ( ) + - = + ´ 3 0 1 1 3 1 - - + + 0 1 1 ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ - + - + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 2 2 4 3 3 2 1 1 1( ) 2 1( ) 3 2 2 2 2 - - - + + 1 1 = + éë- + + - - - ùû = + - + + - + + - 2 2 2 2 3 3 1 1 1 3 1 1 x h h h h D l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l (l 3) l 3 2l l 2 (l 3) ( 2 l 2 ) éë ùû = + éë- + ùû = + - 47
• 48. ) ( ) l l l l l l l + + + + + 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 ( 3 ) 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 = + = + = + l l l l l l l l l l l l l l l + + + + + l l + + 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ‡ˆ ˆˆ ˆ« ˆ ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ - ˆˆ + ˆˆ ˆˆ†ˆ - + - + - - l l l l l l l ( ) 2 2 3 2 2 4 3 3 2 1 3 1( 1) 2 3 1 1 3 0 1 1( ( 1)) 3 2 2 2 1 1 0 1 2 1 2 2 3 1 1 2 x c c h h h h D l l l l l l l l l l l l l l - + + + - - - - - - = - + ´ - - - - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = - + éë - - 2 - - 2 - - - ùû = - + éë- - + + + - - ùû = - + - + = + - 3 1 2 1 3 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 1 l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l ( ) ( ) ( ) l l l l l l l + + + + + 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 ( 3 ) 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 = + + = + + = + + l l l l l l l l l l l + l l l + l 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ‡ˆ ˆˆ ˆ« ˆ ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ - ˆˆ + ˆˆ ˆˆ + ˆˆ†ˆ 3 1 1 3 0 2 1 1 1 0 1 2 1 ( ) ( ) 3 2 3 2 2 4 3 3 2 1 2 1( ( 1)) 2 2 1( 1) 3 2 2 2 2 3 1 3 2 1 x c c h h h h D l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l - + + - + + - + - - - - - - - - = - + ´ = + - - + - 2 1 1 l 2 - 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = l 2 l + éë l + l 2 - + ùû = l 2 l + l 3 + l 2 - l - Ta thaáy: 3 2 1 1 3 2 1 (1) Khi: ì ¹ 0 í Þ ¹ î ¹ - 0 3 D l l . Suy ra heä coù nghieäm duy nhaát: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ì 2 + 3 2 - 2 ï = = = - 1 2 1 2 + ï 2 + - í = 2 = = - 2 + 2 ï + 2 3 + 2 - - 3 ï = = ( ) = 3 + 2 - - 3 î + ïï 2 ïï 2 3 3 2 1 2 1 3 3 2 1 2 1 3 x Dx D x Dx D x Dx D l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l (2) Khi é = 0 ê Þ = ë = - 0 3 D l l vaø 1 2 3 0 x x x D = D = D = suy ra heä coù voâ soá nghieäm 48