Bài tập có đáp án môn phương pháp tính iuh năm 2024

Danh mục: Điện - Điện tử

... Khoa TP. HCM 1BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI – PHẦN 1 MÔN KỸ THUẬT SỐ Bộ môn Điện tử Đại Học Bách Khoa TP.HCM Câu 1 Cho 3 số A, B, và C trong hệ thống số cơ số r, có các giá trị: A = ... TP. HCM 2Câu 3 a. Cho hàm F(A, B, C) có sơ đồ logic như hình vẽ. Xác định biểu thức của hàm F(A, B, C). Chứng minh F có thể thực hiện chỉ bằng 1 cổng logic duy nhất. ... cổng logic duy nhất. b. Cho 3 hàm F (A, B, C), G (A, B, C), và H (A, B, C) có quan hệ logic với nhau: F = G ⊕⊕⊕⊕ H Với hàm F (A, B, C) = ∏ (0, 2, 5) và G (A, B, C)= ∑...

• 4
• 14,966
• 557

KHOA: Khoa Học Cơ Bản Lớp: DH13VL 420300078504 Ngày Thi: 13/ 07 / 2019 (t 10-11) Thời gian làm bài: 50 phút ( Không kể thời gian phát đề).

Bài 1: (6 điểm) Cho phương trình: x 3 − 2 x 2 + 6 x− 5 = 0. (1) 1. Dùng phương pháp tiếp tuyến ( phương pháp Newton). Tìm nghiệm gần đúng

• 1. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 1 GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH ***Giải bài tập dựa trên: Sách Phương pháp tính Nguyễn Thành Long- Nguyễn Công Tâm- Lê Thị Phương Ngọc- Nguyễn Văn Ý NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM -2013*** Chương 1: SAI SỐ Câu 9: (Trần Đình Trọng) Ta có: a = 12,3075 là số gần đúng có 2 chữ số đáng nghi: => 2 0,5.10a - D £ ; 2 40,5.10 4,0626.10 12,3075 a a a d - -D = = = Chương 2: GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: a/ x3 +3x2 -3=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (-3,-2). Giải: Ta có: 2 2 3 2 3 log 1 log 10,97 10 b a n e - - - +é ù é ù = + = »ê ú ê úë û ë û
• 2. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 2 ( ) ( )3 3 0 , 2 1 0f f- = - < - = > 3 2 2,5 2 c - - = = ( ) ( )2,5 0f c f b c= - > Þ = Ta có bảng: n an bn 2 n n n a b c + = ( )nf c bn - an 0 -3 -2 -2,5 0,125 1 1 -3 -2,5 -2,75 -1,109375 0,5 2 -2,75 -2,5 -2,625 -0,416015625 0,25 3 -2,625 -2,5 -2,5625 -0,127197266 0,125 4 -2,5625 -2,5 -2,53125 0,003387451 0,0625 5 -2,5625 -2,53125 -2,546875 -0,060771942 0,03125 6 -2,546875 -2,53125 -2,5390625 -0,028410435 0,015625 7 -2,5390625 -2,53125 -2,53515625 -0,012441218 0,0078125 8 -2,53515625 -2,53125 -2,533203125 -0,004509337 0,00390625 9 -2,533203125 -2,53125 -2,532226563 -0,000556559 0,001953125 10 -2,532226563 -2,53125 -2,531738281 0,001416542 0,000976563 11 -2,532226563 -2,531738281 -2,531982422 0,000430265 0,000488281 Vậy: c =-2,531982422 là nghiệm của phương trình. b/ x3 -6x+2=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (2,3). Giải: Ta có: 2 2 3 1 log 1 log 11 10 b a n e - -é ù é ù = + = »ê ú ê úë û ë û ( ) ( )-2 0 , 11 0a bf f= < = >
• 3. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 3 Ta có bảng: n an bn 2 n n n a b c + = ( )nf c bn - an 0 2 3 2,5 2,625 1 1 2 2,5 2,25 -0,109375 0,5 2 2,25 2,5 2,375 1,146484375 0,25 3 2,25 2,375 2,3125 0,491455078 0,125 4 2,25 2,3125 2,28125 0,184356689 0,0625 5 2,25 2,28125 2,265625 0,035831451 0,03125 6 2,25 2,265625 2,2578125 -0,037185192 0,015625 7 2,2578125 2,265625 2,26171875 -0,000780404 0,0078125 8 2,26171875 2,265625 2,263671875 0,017499618 0,00390625 9 2,26171875 2,263671875 2,262695313 0,008353134 0,001953125 10 2,26171875 2,262695313 2,262207031 0,003784747 0,000976563 11 2,26171875 2,262207031 2,261962891 0,001501767 0,000488281 Vậy: c = 2,261962891 là nghiệm của phương trình. c/ 2x -5x-3=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (4,5). Giải: Ta có: 2 2 3 1 log 1 log 11 10 b a n e - -é ù é ù = + = »ê ú ê úë û ë û ( ) ( )-7 0 , 4 0f fa b= < = > Ta có bảng: n an bn 2 n n n a b c + = ( )nf c bn - an 0 4 5 4,5 -2,872583002 1 1 4,5 5 4,75 0,158685288 0,5
• 4. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 4 2 4,5 4,75 4,625 -1,449626793 0,25 3 4,625 4,75 4,6875 -0,669654689 0,125 4 4,6875 4,75 4,71875 -0,26166235 0,0625 5 4,71875 4,75 4,734375 -0,053049715 0,03125 6 4,734375 4,75 4,7421875 0,052425374 0,015625 7 4,734375 4,7421875 4,73828125 -0,000410008 0,0078125 8 4,73828125 4,7421875 4,740234375 0,025983191 0,00390625 9 4,73828125 4,740234375 4,739257813 0,012780472 0,001953125 10 4,73828125 4,739257813 4,738769531 0,006183703 0,000976563 11 4,73828125 4,738769531 4,738525391 0,002886465 0,000488281 Vậy: c =4,738525391 là nghiệm của phương trình. d/ x3 -x-1=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (1,2). Giải: Ta có: 2 2 3 1 log 1 log 11 10 b a n e - -é ù é ù = + = »ê ú ê úë û ë û ( ) ( )-1 0 , 5 0f fa b= < = > Ta có bảng: n an bn 2 n n n a b c + = ( )nf c bn - an 0 1 2 1,5 0,875 1 1 1 1,5 1,25 -0,296875 0,5 2 1,25 1,5 1,375 0,224609375 0,25 3 1,25 1,375 1,3125 -0,051513672 0,125 4 1,3125 1,375 1,34375 0,082611084 0,0625 5 1,3125 1,34375 1,328125 0,014575958 0,03125 6 1,3125 1,328125 1,3203125 -0,018710613 0,015625
• 5. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 5 7 1,3203125 1,328125 1,32421875 -0,002127945 0,0078125 8 1,32421875 1,328125 1,326171875 0,00620883 0,00390625 9 1,32421875 1,326171875 1,325195313 0,002036651 0,001953125 10 1,32421875 1,325195313 1,324707031 -4,65949.10-3 0,000976563 11 1,324707031 1,325195313 1,324951172 0,000994791 0,000488281 Vậy: c =1,324951172 là nghiệm của phương trình. e/ x3 -x-1=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (-0,8;-0,5). Giải: Ta có: 2 2 3 0,3 log 1 log 6 10 b a n e - -é ù é ù = + = »ê ú ê úë û ë û ( ) ( )0,486 >0 , -0,75<0af f b= = Ta có bảng: n an bn 2 n n n a b c + = ( )nf c bn - an 0 -0,8 -0,5 -0,65 -0,36 0,3 1 -0,8 -0,65 -0,725 -0,021 0,15 2 -0,8 -0,725 -0,7625 -0,2058 0,075 3 -0,7625 -0,725 -0,74375 -0,0866 0,02125 4 -0,74375 -0,725 -0,734375 0,0314 0,01875 5 -0,734375 -0,725 -0,7296875 4,88.10-3 9,375. 10-3 6 -0,7296875 -0,725 -0,7273375 8,18. 10-3 4,469. 10-3 Vậy: c =-0,7273375 là nghiệm của phương trình. Bài 2: a/ (Trần Đình Trọng)
• 6. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 6 3 2 3 3 0x x+ - = với sai số 10-4 trong khoảng phân ly nghiệm (-3,-2) · Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số ( ) 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 x x x x x x j = - Û = - Þ = - ( ) ( )3 2 ' 0, 3; 2 .x x x j - = ³ " Î - - Do đó là hàm tăng trên[-3,-2] Vậy: [ ] 8 9 3 ( 3) ( ) ( 2) 2, 3; 2 3 4 x xj j j - - - < = - £ £ - = < - " Î - - Mặt khác, ta có [ ] ( )3; 2 1 max ' 1 4x q xj Î - - = = < . Vậy hàm ( )xj thỏa mãn yêu cầu của phương pháp lặp. Chọn x0= 2 3 2,5 2 - + - = - . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp ( ) 1 1 2 3 3, 1,2,... n n nx x n x j - -= = - = Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số 1 1 1 , 1,2,... 1 3 n n n n n q x x x x x n q a - £ - = - = - Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây: n ( )1n nx xj -= 1 1 3 n nx x 1 -2,52 6,666.10-3 2 -2,52759 2,53. 10-3 3 -2,53042 9,433.10-3 4 -2,53147 3,5.10-4 5 -2,53186 1,3. 10-4 6 -2,53200 4,66667. 10-5
• 7. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 7 Vậy x6=2,53200 5 4,66667.10- ± là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số. b/ (Trần Đình Trọng) 3 6 2 0x x- + = với sai số 10-5 trong khoảng phân ly nghiệm (2,3) · Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số: Chọn [2,3] max '( ) 21 x M f x Î = = . Đặt: ( ) ( ) 3 3 6 2 27 2 21 21 f x x x x x x x x M j - + - + - = - = - = ( ) ( ) 2 3 27 ' 0, 2;3 . 21 x x xj - + = ³ " Î Do đó là hàm tăng trên[2,3] Vậy: [ ] 41 52 2 (2) ( ) (3) 3, 2;3 21 21 x xj j j< = £ £ = < " Î Mặt khác, ta có [ ] ( )2;3 5 max ' 1 7x q xj Î = = < . Vậy hàm ( )xj thỏa mãn yêu cầu của phương pháp lặp. Chọn x0= 2 3 2,5 2 + = . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp ( ) 3 1 1 1 27 1 , 1,2,... 21 n n n n x x x x nj - - - - + + = = = Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số 1 12,5 , 1,2,... 1 n n n n n q x x x x x n q a - £ - = - = - Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây: n ( )1n nx xj -= 12,5 n nx x 1 2,517857 0,0446425 2 2,524758 0,0172525
• 8. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 8 3 2,527364 6,515. 10-3 4 2,528339 2,4375. 10-3 5 2,528702 9,075.10-4 6 2,528838 3,4.10-4 7 2,528888 1,25.10-4 8 2,528906 4,5.10-5 9 2,528914 2.10-5 10 2,528916 5.10-6 Vậy x10=2,528916 6 5.10- ± là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số. c/(Trần Đình Trọng) 2 5 3 0x x- - = với sai số 10-4 trong khoảng phân ly nghiệm (4,5) · Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 3 log 5 3 log 5 3 x x x x x xj = + Û = + Þ = + ( ) ( ) ( ) 5 ' 0, 4;5 . 5 3 ln 2 x x x j = ³ " Î + Do đó là hàm tăng trên[4,5] Vậy: ( ) ( ) [ ]2 24 log 23 (4) ( ) (5) log 28 5, 4;5x xj j j< = £ £ = < " Î Mặt khác, ta có [ ] ( ) ( )4;5 5 max ' 0,3136 1 23ln 2x q xj Î = = » < . Vậy hàm ( )xj thỏa mãn yêu cầu của phương pháp lặp. Chọn x0= 4 5 4,5 2 + = . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp ( ) ( )1 2log 5 3 , 1,2,...n nx x x nj -= = + = Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số
• 9. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 9 1 10,4569 , 1,2,... 1 n n n n n q x x x x x n q a - £ - = - = - Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây: n ( )1n nx xj -= 10,4569 n nx x 1 4,67243 0,07878 2 4,72039 0,02191 3 4,73346 5,9397.10-3 4 4,73700 1,617426.10-3 5 4,73796 4,38624.10-4 6 4,73822 1,18794.10-4 7 4,73829 3,1983.10-5 Vậy x7= 5 4,73829 3,1983.10- ± là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số. d/ (Trần Đình Trọng) 3 1 0x x- - = với sai số 10-5 trong khoảng phân ly nghiệm (1,2) · Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số: Chọn [1,2] max '( ) 11 x M f x Î = = . Đặt: ( ) ( ) 3 3 1 12 1 11 11 f x x x x x x x x M j - + - + + = - = - = ( ) ( ) 2 3 12 ' 0, 1;2 . 11 x x xj - + = ³ " Î Do đó là hàm tăng trên[2,3] Vậy: [ ] 12 17 1 (1) ( ) (2) 2, 1;2 11 11 x xj j j< = £ £ = < " Î
• 10. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 10 Mặt khác, ta có [ ] ( )2;3 9 max ' 1 11x q xj Î = = < . Vậy hàm ( )xj thỏa mãn yêu cầu của phương pháp lặp. Chọn x0= 2 1 1,5 2 + = . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp ( ) 3 1 1 1 12 1 , 1,2,... 11 n n n n x x x x nj - - - - + + = = = Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số 1 11,5 , 1,2,... 1 n n n n n q x x x x x n q a - £ - = - = - Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây: n ( )1n nx xj -= 11,5 n nx x 1 1,420455 0,119318 2 1,379947 0,060762 3 1,357418 0,0337935 4 1,344351 0,0196005 5 1,336599 0,011628 6 1,331942 0,0069855 7 1,329122 0,00423 8 1,327408 0,002571 9 1,326362 0,001569 10 1,325724 0,000957 11 1,325334 0,000585 12 1,325095 0,0003585 13 1,324949 0,000219 14 1,324859 0,000135 15 1,324804 8,25.10-5 16 1,324771 4,95.10-5 17 1,32475 3,15.10-5
• 11. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 11 18 1,324738 1,8.10-5 19 1,32473 1,2.10-5 20 1,324725 7,5.10-6 Vậy x20=1,324725 6 7,5.10- ± là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số. Bài 3: b/ (Trần Đình Trọng) 3 2 0,2 0,2 1,2 0x x x- - - = trên (1; 1,5) với sai số ε = 0,003 Ta có: ( ) ( ) ( )2 ' 3 0,4 0,2; '' 6 0,4; ''' 6f x x x f x x f x= - - = - = ( ) ( ) ( ) '' 0 0,4 [1;1,5], ' 1,5 5,95; ' 1 2,4 f x x f f = Û = Ïìï í = =ïî Suy ra: ( ) ( ) 1 1,5 1 1,5 '( ) 0, [1;1,5] min ' 2,4 max '' 8,6 x x f x x m f x M f x £ £ £ £ ì > " Îï ï = =í ï ï = = î · Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số: Chọn x0=1,5(vì ( )(1,5) '' 0, [1;1,5]f f x x> " Î · Đánh giá sai số 1 1 43 , 1,2,... 2 24 n n n n n M x x x x x n m a - -- £ - = - = Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
• 12. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 12 n ( ) ( ) 1 1 1' n n n n f x x x f x - - - = - 2 1 43 24 n n nx x -D = - 0 1,5 1 1,260504 43/24(0,239496)2 =0,429097 2 1,203173 5,234.10-3 3 1,200010 1,79249.10-5 · Đến bước k =3 thì 2 1 43 24 n n nx x -D = - =1,79249.10-5 <0,003 thoả mãn yêu cầu bài toán. Vậy nghiệm của phương trình là: 5 1,791,2 249000 01 .1a - = ± c/(Trần Đình Trọng) 3 3 5 0x x+ + = với độ chính xác 10-2 Ta tìm được khoảng ly nghiệm: [-1,5;-1] Ta có: ( ) ( ) ( )2 ' 3 3; '' 6 ; ''' 6f x x f x x f x= + = = ( ) ( ) ( ) '' 0 0 [-1,5;-1], ' 1,5 9,45; ' 1 6 f x x f f = Û = Ïìï í - = - =ïî Suy ra: ( ) ( ) 1,5 1 1,5 1 '( ) 0, [-1,5;-1] min ' 6 max '' 9 x x f x x m f x M f x - £ £- - £ £- ì > " Îï ï = =í ï ï = = î · Kiểm tra (-1,5;-1) là khoảng ly nghiệm.
• 13. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 13 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) lien tuc tren [-1,5;-1] 1,5 1 2,875 0 ' 0, [-1,5;-1] f x f f f x x ì ï - - = - <í ï > " Îî · Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số: Chọn x0=-1,5(vì ( )( 1,5) '' 0, [-1,5;-1]f f x x- > " Î · Đánh giá sai số 1 1 3 , 1,2,... 2 4 n n n n n M x x x x x n m a - £ - = - = Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây: n ( ) ( ) 1 1 1' n n n n f x x x f x - - - = - 2 1 3 4 n n nx x -D = - 0 -1,5 1 -1,205128 0,065212 2 -1,155430 1,852.10-3 · Đến bước k =2 thì 2 1 3 4 n n nx x -D = - =1,852.10-3 <10-2 thoả mãn yêu cầu bài toán. Làm tròn số: x=-1,154172≈-1,154 Sai số làm tròn 2 4 2 1,72.10'x x - - = - Sai số cuối cùng: 3 2 2 4 3 2 1,72.10 2,024' ' 1,85 . .102 10nx x xa - - £ - + D £ + » Vậy nghiệm của phương trình là: 3 2,01 2,1 4.154 0a - - ±= d/(Trần Đình Trọng) 4 3 1 0x x+ + = với độ chính xác 10-2
• 14. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 14 Ta tìm được khoảng ly nghiệm: [-0,5;-0,25] Ta có: ( ) ( ) ( )3 2 ' 4 3; '' 12 ; ''' 24f x x f x x f x x= + = = ( ) ( ) ( ) '' 0 0 [-0,5;-0,25], ' 0,5 2,5; ' 0,25 2,9375 f x x f f = Û = Ïìï í - = - =ïî Suy ra: ( ) ( ) 0,5 0,25 0,5 0,25 '( ) 0, [-0,5;-0,25] min ' 2,5 max '' 0,75 x x f x x m f x M f x - £ £- - £ £- ì > " Îï ï = =í ï ï = = î · Kiểm tra (-0,5;-0,25) là khoảng ly nghiệm. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) lien tuc tren [-0,5;-0,25] 455 0,5 0,25 0 4096 ' 0, [-0,5;-0,2] f x f f f x x ì ï ï - - = - <í ï ï > " Îî · Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số: Chọn x0=-0,25(vì ( )( 0,25) '' 0, [-0,5;-0,25]f f x x- > " Î · Đánh giá sai số 1 1 3 , 1,2,... 2 2 n n n n n M x x x x x n m a - -- £ - = - = Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây: n ( ) ( ) 1 1 1' n n n n f x x x f x - - - = - 2 1 3 2 n n nx x -D = - 0 -0,25 1 -0,336436 0,011206
• 15. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 15 2 -0,337666 2,26935. 10-6 · Đến bước k =2 thì 2 1 3 2 n n nx x -D = - =2,26935. 10-6 <10-2 thoả mãn yêu cầu bài toán. Vậy nghiệm của phương trình là: 6 0,337666 2,26935.10a - - ±= e/(Trần Đình Trọng) 4 2 3 75 10000 0x x x- + - = với 5 chữ số chắc ( đáng tin)=> nD <0,5.10-4 · Ta tìm được khoảng ly nghiệm: [5;5,5] Ta có: ( ) ( ) ( )3 2 ' 4 6 75; '' 12 6 ; ''' 24f x x x f x x x f x x= - + = - = Suy ra: ( ) ( ) 5 5,5 5 5,5 '( ) 0, [5;5,5] min ' 545 max '' 357 x x f x x m f x M f x £ £ £ £ ì > " Îï ï = =í ï ï = = î · Kiểm tra (5;5,5) là khoảng ly nghiệm. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) lien tuc tren [ ] 5,5 5 0 ' 0 5;5,5 5;5,[ 5, ] f x f f f x x ì ï <í ï > " Îî · Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số: Chọn x0=5(vì ( )(5) '' 0, [5;5 ],5f f x x> " Î · Đánh giá sai số
• 16. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 16 1 1 357 , 1,2,... 2 1090 n n n n n M x x x x x n m a - -- £ - = - = Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây: n ( ) ( ) 1 1 1' n n n n f x x x f x - - - = - 2 1 357 1090 n n nx x -D = - 0 5 1 5,137615 7,875238.10-3 2 5,132780 3,605475. 10-8 · Đến bước k =3 thì 2 1 357 1090 n n nx x -D = - =3,605475. 10-8 <0,5.10-4 thoả mãn yêu cầu bài toán. Vậy nghiệm của phương trình là: 8 5,132780 3,605475.10a - ±=
• 17. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 17 Chương 3: GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1: e/(Trần Đình Trọng) A = 2 10 6 4 8 3 12 9 6 3 1 1 34 15 18 4 18 0 4 14 5 26 19 25 36 -é ù ê ú- - - ê ú ê ú- - ê ú ê ú ê ú-ë û ; b = 8 3 29 2 23 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú -ê ú ê úë û Ax = b ta có hệ phương trình: Lập bảng tính: HS của x1 HS của x2 HS của x3 HS của x4 HS của x5 Vế phải Phương trình 2 -3 -1 4 5 10 -12 1 18 26 -6 -9 -34 0 -19 4 6 15 4 25 8 3 18 14 36 8 3 29 -2 23 E1 E2 E3 E4 E5 1 0 0 0 5 3 16 -2 -3 -18 -43 12 2 12 21 -4 4 15 30 2 4 15 41 -18 E1 (2) =1/2 E1 E2 (2) = E2+3E1 (2) E3 (2) = E3+ E1 (2) E4 (2) = E4- 4E1 (2)
• 18. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 18 0 1 -4 15 16 3 E5 (2) = E5- 5E1 (2) 1 0 0 0 0 5 3 0 0 0 -3 -18 53 0 2 2 12 -43 4 11 4 15 -50 12 11 4 15 -39 -8 -2 E1 (2) E2 (2) E3 (3) = E3 (2) -16/3 E2 (2) E4 (3) = E4 (2) +2/3 E2 (2) E5 (3) = E5 (2) -1/3 E2 (2) 0 0 0 669/53 683/53 -50 E5 (4) = E5 (3) -2/53E3 (3) 0 0 0 0 5296/669 9262/669 E5 (5) = E5 (4) -212/669 E4 (3) 0 0 0 0 1 1,7488867 E5 (6) = 669/9262E5 (5) Từ bảng suy ra: 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 3 4 4 5 5 5 3 2 2,995468 298,165171 3 18 12 11,233006 66,009304 53 43 48,443353 6,794000 4 28,989641 7,247410 1,748867 1,748867 x x x x x x x x x x x x x x x x + - + = - = -ì ì ï ï- + = - =ï ïï ï - = Û =í í ï ï= - = - ï ï ï ï= =îî Bài 2: c/(Trần Đình Trọng) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 10 2 3 0 10 2 5 2 3 20 10 3 2 20 15 x x x x x x x x x x x x x x x x - - + =ì ï - - + =ï í + + - = -ï ï + + + =î với sai số ε=10-3 (C)
• 19. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 19 · Kiểm tra hệ có nghiệm duy nhất: Ta có det 10 1 2 3 1 10 1 2 39012 0 2 3 20 1 3 2 1 20 - -é ù ê ú- -ê ú = - ¹ ê ú- ê ú ë û Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất. · Biến đổi hệ (C) ta được: 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4 0 0,1 0,2 0,3 0,1 0 0,1 0,2 0,1 0,15 0 0,05 0,15 0,1 0,05 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = + - +ì ï = - + - -ï í = - - + +ï ï = - - - -î Đặt B= 0 0,1 0,2 0,3 0,1 0 0,1 0,2 0,2 0,3 0 0,1 0,3 0,2 0,1 0 -é ù ê ú- - -ê ú ê ú- - ê ú - - -ë û c=(0;5;-10;15)T , X=(x1,x2,x3). Khi đó ta có hệ (C) được viết dưới dạng: X=BX+c Ta có { }max 0,4;0,6;0,6 0,6 1B ¥ = = < vậy ma trận B thỏa điêu kiện hội tụ. · Chọn X(0) =c=(0;5;-10;15)T Tính X(1) , X(2) ,… theo công thức X(k+1) =B X(k) +c, k=0,1,2,3… Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)3 , 1,2,... 1 2 k k k k k B X X X X X k B a - -¥ ¥ ¥ ¥ ¥ - £ - = - = - Tính toán theo từng bước cùng với giải thích bên dưới bảng này, ta được kết quả:
• 20. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 20 k x1 (k) x2 (k) x3 (k) x4 (k) ( ) ( 1)3 2 k k X X - ¥ - 0 0 5 -10 15 1 3 3 -10 15 4,5 2 2,8 3,3 -10 14,5 0,75 3 2,68 3,38 -10,1 14,5 0,18 4 2,668 3,378 -10,1 14,53 0,018 5 2,6768 3,3708 -10,094 14,534 0,0132 6 2,67848 3,37028 -10,0932 14,5322 2,7.10-3 7 2,678048 3,370728 -10,0936 14,53172 7,2.10-4 Giải thích cột sai số(cột cuối): { }(1) (1) (0) (1) (0) 1 4 3 3 3 max max 3; 2;0;0 2 2 2 4,5i i i X X X X Xa ¥ ¥ £ £ - £ - = - = - = { }(2) (2) (1) (2) (1) 1 4 3 3 3 max max 0,2;0,3;0;0,5 2 2 0,7 2 5 i i i X X X X Xa ¥ ¥ £ £ - £ - = - = = { }(3) (3) (2) (3) (2) 1 4 3 3 3 max max 0,12;0,0 0, 8;0,1;0 1 2 2 2 8 i i i X X X X Xa ¥ ¥ £ £ - £ - = - = =
• 21. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 21 { } (4) (4) (3) (4) (3) 1 4 0,018 3 3 max 2 2 3 max 0,012;0,002;0;0,03 2 i i i X X X X Xa ¥ ¥ £ £ - £ - = - = = { } (5) (5) (4) (5) (4) 1 4 3 3 max 2 2 3 max 0,0088;0,0072;0,006;0,004 0,0132 2 i i i X X X X Xa ¥ ¥ £ £ - £ - = - = = { } (6) (6) (5) (6) (5) 1 4 3 3 3 max 2 2 3 max 0,00168;0,00052;0,0008;0,0018 2,7.10 2 i i i X X X X Xa ¥ ¥ £ £ - - £ - = - = = { } (7) (7) (6) (7) (6) 1 4 4 3 3 max 2 2 3 max 0,00043;0,00048;0,00036;0,00048 2 7,2.10 i i i X X X X Xa ¥ ¥ - £ £ - £ - = - = = · k=7 thì ε= 7,2.10-4 <10-3 Làm tròn số: (7) (7) (7) (7) 2 2 ( 1 1 3 7) (7) (7) (7) 4 3 4 2,678048 2,678 ' 3,370728 3,371 ' 10,0936 10,094 ' 14,53172 14,532 ' x x x x x x x x = » = = » = = ì - » - = = » = ï ï í ï ïî Sai số làm tròn ( )(7) (7 5) ' 4,8.10 ;0,00027;0,00044;0,00028XX - - = (7) (7) ' XX ¥ - =4,4.10-4 Từ cột cuối và dòng cuối của bảng, ta có: (7) (7) (6) 43 2 7,2.10X X Xa ¥ ¥ - - £ - = Sai số cuối cùng:
• 22. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 22 (7) (7) (6) ( 34 4 7) 3 4,4.10 7,2.1 ' ' 1,16.10 1,0 2.10 X X X Xa a ¥ -- ¥ - ¥ - - £ - + - £ + = » Vậy nghiệm của hệ: 3 3 2 3 1 3 3 4 2,678 1, 3,371 1, 10,094 2.10 2.10 2.10 2.1 1, 14,53 02 1, a a a a - - - - = ± ± = - ± = ± ì ï =ï í ï ïî j/(Trần Đình Trọng) 2 40 6 4 8 8 3 12 9 50 3 3 75 15 18 29 65 18 0 4 14 2 5 26 19 25 120 23 x y z u v x y z u v x y z u v x y z u v x y z u v + - + + =ì ï- - - + + =ïï - + - + + =í ï + + + + = - ï + - + + =ïî với sai số ε=10-2 (D) · Kiểm tra hệ có nghiệm duy nhất: Ta có det 2 40 6 4 8 3 12 9 50 3 01 1 75 15 18 65 18 0 4 14 5 26 19 25 120 1030066610 -é ù ê ú- - - ê ú ê ú = ¹- - ê ú ê - ú ê ú-ë û Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất. · Biến đổi hệ (C) ta được: 2 40 6 4 8 65 18 0 4 14 3 12 9 50 3 2 40 6 4 8 1 1 75 15 18 1 1 75 15 18 65 18 0 4 14 3 12 9 50 3 5 26 19 25 120 5 26 19 25 120 -é ù é ù ê ú ê ú- - - - ê ú ê ú ê ú ê úÛ- - - - ê ú ê ú - - -ê ú ê ú ê ú ê ú- -ë û ë û
• 23. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 23 0 0,28 0 0,06 0,22 0,05 0 0,15 0,1 0,2 0,01 0,01 0 0,2 0,24 0,06 0,24 0,18 0 0,06 0,04 0,22 0,16 0,21 0 x x y z u v y x y z u v z x y z u v u x y z u v v x y z u v = - - - +ì ï = - + + - -ïï = - + - -í ï = + + - - ï = - - + - -ïî Đặt B= 0 0,28 0 0,06 0,22 0,05 0 0,15 0,1 0,2 0,01 0,01 0 0,2 0,24 0,06 0,24 0,18 0 0,06 0,04 0,22 0,16 0,21 0 - -é ù ê ú- - - ê ú ê ú- - - ê ú -ê ú ê ú- - -ë û c=(8;3;29;-2;23)T , X=(x,y,z,u,v). Khi đó ta có hệ (D) được viết dưới dạng: X=BX+c Ta có { }max 0,56;0,5;0,46;0,54;0,63 0,63 1B ¥ = = < vậy ma trận B thỏa điều kiện hội tụ. · Chọn X(0) =c=(8;3;29;-2;23)T Tính X(1) , X(2) ,… theo công thức X(k+1) =B X(k) +c, k=0,1,2,3… Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)63 , 1,2,... 1 37 k k k k k B X X X X X k B a - -¥ ¥ ¥ ¥ ¥ - £ - = - = - Tính toán theo từng bước cùng với giải thích bên dưới bảng này, ta được kết quả: k x(k) y(k) z(k) u(k) v(k) ( ) ( 1)63 37 k k X X - ¥ - 0 8 3 29 -2 23 1 2,22 11,75 34,57 5,8 -18,92 14,89865 2 0,1996 11,2785 33,4455 8,311 -21,3606 4,275486486
• 24. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 24 3 -0,35597 11,44787 34,01576 8,020642 -21,8833 0,97097473 4 -0,50096 11,69475 34,13395 8,161962 -21,7461 0,420379334 5 -0,54839 11,6782 34,0971 8,22556 -21,8054 0,108289073 6 -0,56061 11,68051 34,11103 8,215659 -21,8191 0,023700441 7 -0,56368 11,68694 34,11417 8,218816 -21,8148 0,010947412 8 -0,56473 11,68639 34,11305 8,220483 -21,8163 0,002839241 · Giải thích cột sai số(cột cuối): { } { } (1) (1) (0) (1) (0) (1) (0) (1) (0) (1) (0) (1) (0) 63 37 63 max , , , , 37 63 max 5,78;8,75;5,57;7,8;4,08 14,8986 37 X X X x x y y z z u u v v a ¥ ¥ - £ - = - - - - - = = { } { } (2) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) 63 37 63 max , , , , 37 63 2,0204max ;0,4715 1,1245 2,511 2,4406 4,275486; ; ; 37 X X X x x y y z z u u v v a ¥ ¥ - £ - = - - - - - = = { } { } (3) (3) (2) (3) (2) (3) (2) (3) (2) (3) (2) (3) (2) 63 37 63 max , , , , 37 63 ma 0,55557;0,169365;0,570255;0,29036;0,52268 0,970975x 37 X X X x x y y z z u u v v a ¥ ¥ - £ - = - - - - - = =
• 25. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 25 { } { } (4) (4) (3) (4) (3) (4) (3) (4) (3) (4) (3) (4) (3) 63 37 63 max , , , , 0,14499;0,246889;0,118195;0,14132;0,1 37 6 37179 0,4 3 max 37 20379 X X X x x y y z z u u v v a ¥ ¥ - £ - = - - - - - = = { } { } (5) (5) (4) (5) (4) (5) (4) (5) (4) (5) (4) (5) (4) 63 37 63 max , , , , 37 63 m 0,04743;0,01659;0,03684;0,063598;0,05928 0,1082ax 37 89 X X X x x y y z z u u v v a ¥ ¥ - £ - = - - - - - = = { } { } (6) (6) (5) (6) (5) (6) (5) (6) (5) (6) (5) (6) (5) 63 37 63 max , , , , 37 63 max 3 0,01221;0,002342;0,013919;0,0099;0,0137 0,0237 7 X X X x x y y z z u u v v a ¥ ¥ - £ - = - - - - - = = { } { } (7) (7) (6) (7) (6) (7) (6) (7) (6) (7) (6) (7) (6) 63 37 63 max , , , , 0,00308;0,006429;0,003143;0,003157;0, 37 6 00428 0,0 3 max 37 10947 X X X x x y y z z u u v v a ¥ ¥ - £ - = - - - - - = = { } { } (8) (8) (7) (8) (7) (8) (7) (8) (7) (8) (7) (8) (7) 63 37 63 max , , , , 37 63 m 0,00105;0,00055;0,00112;0,001667;0,00145 0,0028ax 37 39 X X X x x y y z z u u v v a ¥ ¥ - £ - = - - - - - = = · k=8 thì ε=0,002839241<10-2
• 26. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 26 Làm tròn số: (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) '0,56473 0,56 11,68639 11,69 '34,11305 34,11 8,220483 8,22 21,8163 21,82 ' ' ' y y u u v x x z z v ì ï = = =- » - = » = =» »= ï ï í ï = ï ï =î - »-= Sai số làm tròn (8) (8) ' X X- = (0,004729733; 0,003609616; 0,003048546; 0,000483331; 0,003737181) (8) (8) ' XX ¥ - =0,004729733 Từ cột cuối và dòng cuối của bảng, ta có: (8) (8) (7) 0,00283 63 37 9241X X Xa ¥ ¥ - £ - = Sai số cuối cùng: (8) (8) (7) (8) 3 0,004729733 0,00283924 ' ' 7,57.1 10 X X X Xa a ¥ ¥ ¥ - - £ - + - £ + » Vậy nghiệm của hệ: 3 3 2 3 3 4 3 5 1 3 7,57.10 7,57.10 7,57 0,5 .10 6 11,69 34,11 8,22 21,82 7,57.10 7,57.10 a a a a a - - - - - ì ï =ï = - ± ± = ± ï = ± - ± í ï ï =ïî Bài 3 c/(Trần Đình Trọng)
• 27. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 27 1 2 3 1 2 3 1 2 3 8 1 5 16 4 7 x x x x x x x x x - + + =ì ï - + =í ï + - =î · Kiểm tra hệ đã cho có nghiệm duy nhất: det 8 1 1 1 5 1 163 0 1 1 4 é ù ê ú =ê ú ê úë û - ¹ - Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất · Đưa hệ đã cho về dạng 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 8 8 88 1 1 1 16 5 16 5 5 5 4 7 1 1 7 4 4 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x ì = + -ï - = - - -ì ï - -ï ï - = - Û + = +í í ï ï+ - =î - -ï - + =ï î Phương pháp lặp Gauss-Seidel ( 1) 1 2 3 ( 1) ( 1) 1 2 3 ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 3 1 1 1 8 8 8 1 1 16 5 5 5 1 1 7 4 4 4 k k k k k k k k k x x x x x x x x x + + + + + + ì = + -ï ï - -ï + = +í ï - -ï - + =ï î
• 28. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 28 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 1 2 3 ( 1) ( 1) 2 3 1 3 2 3 3 2 ( 1) ( 1) ( 1) 3 1 2 2 3 3 2 1 1 1 8 8 8 1 16 1 5 5 5 1 16 1 1 1 1 5 5 5 8 8 8 9 1 129 40 40 40 7 1 1 4 4 4 7 1 1 1 1 1 9 1 129 4 4 8 8 8 4 40 40 40 kk k kk k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + = + - - - = + + - - æ ö = + + + -ç ÷ è ø - Û = - + - - = + - - - -æ ö æ ö = + + - - - +ç ÷ ç ÷ è ø è ø = ( ) ( ) 2 3 101 1 1 40 40 40 k k x x ì ï ï ï ï ï ï ï ï ï í ï ï ï ï ï ï ï -ï - +ïî ( ) ( ) ( ) ( 1) 11 ( 1) 2 2 ( 1) 3 3 1 1 1 0 8 8 8 1 9 129 0 40 40 40 1 1 101 0 40 40 40 kk kk k k xx x x x x + + + é ù é ù -ê ú ê úé ùé ù ê ú ê úê úê ú - -ê ú ê úÛ = +ê úê ú ê ú ê úê úê ú ê ú ê úê úë û - -ë ûê ú ê ú ê ú ê úë û ë û Hay ( )( 1) kk x Bx c+ = + (3.3) Với B= ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 3 1 1 0 8 8 1 9 1 129 101 0 , ; ; , 40 40 8 40 40 1 1 0 40 40 k T kk k x c x x x é ù ê ú é ù ê ú ê ú- - -æ öê ú = - = ê úç ÷ê ú è ø ê ú ê ú ê ú- ë ûê ú ê úë û Ta có: { }max 0,25;0,25;0,05 0,25 1B ¥ = = < vậy ma trận B thỏa điều kiện hội tụ. Đánh giá sai số
• 29. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 29 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)1 , 1,2,... 1 3 k k k k k B x x x x x k B a - -¥ ¥ ¥ ¥ ¥ - £ - = - " = - · Chọn x(0) = 1 129 101 ; ; 8 40 40 T c -æ ö = -ç ÷ è ø Tính x(0) , x(1) ,… theo công thức (3.3) ta nhận được kết quả: k x1 (k) x2 (k) x3 (k) ( ) ( 1)1 3 k k X X - ¥ - 0 -0,125 3,225 -2,525 1 -0,038 3,7125 -2,669 0,1625 2 0,0055 3,7327 -2,685 0,014322917 3 0,006 3,7357 -2,685 0,001 · Giải thích cột sai số(cột cuối): { } (1) (1) (0) (1) (0) 1 3 0,0875;0,4875;0,144 0,16 1 1 max 3 3 3 ma 25x 2 i i i x x x x xa ¥ ¥ £ £ - £ - = - = = { } (2) (2) (1) (2) (1) 1 3 1 1 max 3 3 1 ma 0,04296875;0,02015625;0,01578125 0,014322917 x 3 i i i x x x x xa ¥ ¥ £ £ - £ - = - = = { } (3) (3) (2) (3) (2) 1 3 0,0005;0,003;0,0009 0,001 1 1 max 3 3 1 max 3 i i i x x x x xa ¥ ¥ £ £ - £ - = - = = · Đến bước k =3 thì ε=0,001<10-2 Làm tròn số:
• 30. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 30 (3) (3) 1 (3) (3) 2 (3) 3) 3 3 1 2 ( 0,006 0,006 ' 3,7357 3,736 ' 2,685 2,685 ' x x x x x x » = » = - » - ì = = = = ï í ï î Sai số làm tròn (3) (3) 'x x- = (0;3.10-4 ;0) (3) (3) 'x x ¥ - =3.10-4 Từ cột cuối và dòng cuối của bảng, ta có: (3) (3) (2) (3) (2) 1 3 3 1 0,001 1 m 10 ax 3 3 i i i x x x x xa - ¥ ¥ £ £ - £ - = - == Sai số cuối cùng: (3) (3) (2) (3) 4 3 3 3. ' ' 10 1,3.1010 x x x xa a - ¥ ¥ ¥ - - - £ - + - £ + » Vậy nghiệm của hệ: 3 1 3 3 3 2 ,3.10 ,3.10 0,00 ,3.10 6 1 3,736 1 2,685 1 a a a - - - = ± ± = ì ï = - í ± ï ï ïî
• 31. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 31 CHƯƠNG 4 ĐA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT Bài 1: (Đào Thị Hương) Tính giá trị của một đa thức 5 4 3 2 5 ( ) 2x 3x 4xP x x x= + - + - tại 3 2 x - = theo sơ đồ Hoocne. 1 2 1- 3 4- 0 3 2 - 3 2 - 3 4 - 21 8 135 16 - 597 32 1 1 2 7 4 - 45 8 199 16 - 597 32 = 5 ( 3/ 2)P - Bài 2: Tìm đa thức nội suy Lagrange theo bảng số: a/ (Hồ Thị My) x 1 2 3 4 7 y 17 17,5 76 210,5 1970 4 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 0 1 0 2 0 3 0 4 1 0 1 2 1 3 1 4 0 1 3 4 2 3 2 0 2 1 2 3 2 4 ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ( )( )( )( ) P x y L y L y L y L y L x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x = + + + + - - - - - - - - = + - - - - - - - - - - - - + + - - - - 0 1 2 4 3 0 3 1 3 2 3 4 0 1 2 3 4 4 0 4 1 4 2 4 3 )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x - - - - - - - - - - - - + - - - -
• 32. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 32 ( 2)( 3)( 4)( 7) ( 1)( 3)( 4)( 7) 17 17,5 36 10 ( 1)( 2)( 4)( 7) ( 1)( 2)( 3)( 7) 76 210,5 36 18 ( 1)( 2)( 3)( 4) 1970 360 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x - - - - - - - - = + - - - - - - - - - + + - - - - - + 4 3 217 ( 16x 89x 206x+168) 36 x= - + - 4 3 217,5 ( 15x 75x 145x 84) 10 x- - + - + 4 3 295 ( 14x 63x 106x 56) 10 x+ - + - + 4 3 2421 ( 13x 53x 83x 42) 36 x- - + - + 4 3 2197 ( 10x 35x 50x 24) 36 x+ - + - + 4 3 2 2x 17x 81x 153,5x 104,5= - + - + Vậy đa thức nội suy Lagrange là: 4 3 2 4 ( ) 2x 17x 81x 153,5x 104,5P x = - + - + b/ (Hồ Thị My) x 0 2 3 5 y 1 3 2 5 3 0 0 1 1 2 2 3 3 1 2 3 0 2 3 0 1 0 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3 0 1 3 0 1 2 2 3 2 0 2 1 2 3 3 0 3 1 3 2 ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) P x y L y L y L y L x x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x = + + + - - - - - - = + - - - - - - - - - - - - + + - - - - - - ( 2)( 3)( 5) 1 30 x x x- - - = - ( 3)( 5) 3 6 x x x- - + ( 2)( 5) 2 6 x x x- - + - ( 2)( 3) 5 30 x x x- - + 3 21 ( 10x 31x 30) 30 x - = - + - 3 21 ( 8x 15x) 2 x+ - + 3 21 ( 7x 10x) 3 x- - + 3 21 ( 5x 6x) 6 x+ - + 3 213 62 0,3x 1 6 15 x x= - + + Vậy đa thức nội suy Lagrange là: 3 2 3 13 62 ( ) 0,3x 1 6 15 P x x x= - + + c/ (Hồ Thị My)
• 33. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 33 x 321,0 322,8 324,2 325,0 y 2,50651 2,50893 2,51081 2,51188 3 0 0 1 1 2 2 3 3 1 2 3 0 2 3 0 1 0 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3 0 1 3 0 1 2 2 3 2 0 2 1 2 3 3 0 3 1 3 2 ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) P x y L y L y L y L x x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x = + + + - - - - - - = + - - - - - - - - - - - - + + - - - - - - ( 322,8)( 324,2)( 325,0) 2,50651 23,04 x x x- - - = - ( 321,0)( 324,2)( 325,0) 2,50893 5,544 x x x- - - + ( 321,0)( 322,8)( 325,0) 2,51081 3,584 x x x- - - + - ( 321,0)( 322,8)( 324,2) 2,51188 7,04 x x x- - - + 5 3 4 2 1,2 10 4,6875 10 10201,55x 21232547,74x x- - = - ´ + ´ + - Vậy đa thức nội suy Lagrange là: 5 3 4 2 3( ) 1,2 10 4,6875 10 10201,55x 21232547,74P x x x- - = - ´ + ´ + - d/ (Lê Trần Mười) x 2 4 6 8 10 y 0 3 5 4 1 L0 = ( 4)( 6)( 8)( 10) ( 4)( 6)( 8)( 10) (2 4)(2 6)(2 8)(2 10) 384 x x x x x x x x- - - - - - - - = - - - - L1 = ( 2)( 6)( 8)( 10) ( 2)( 6)( 8)( 10) (4 2)(4 6)(4 8)(4 10) 96 x x x x x x x x- - - - - - - - = - - - - - L2 = ( 2)( 4)( 8)( 10) ( 2)( 4)( 8)( 10) (6 2)(6 4)(6 8)(6 10) 64 x x x x x x x x- - - - - - - - = - - - - L3 = ( 2)( 4)( 6)( 10) ( 2)( 4)( 6)( 10) (8 2)(8 4)(8 6)(8 10) 96 x x x x x x x x- - - - - - - - = - - - - - L4 = ( 2)( 4)( 6)( 8) ( 2)( 4)( 6)( 8) (10 2)(10 4)(10 6)(10 8) 384 x x x x x x x x- - - - - - - - = - - - - P4 = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x) + y4L4(x)
• 34. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 34 = 4 3 21 19 47 65 1 128 96 32 24 x x x x- + - + e/ (Lê Trần Mười) x 1 2 3 4 5 y 1 2 3 2 1 Lo = (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) ( 2)( 3)( 4)( 5) (1 2)(1 3)(1 4)(1 5) 24 x x x x- - - - - - - - = - - - - L1 = ( 1)( 3)( 4)( 5) ( 1)( 3)( 4)( 5) (2 1)(2 3)(2 4)(2 5) 6 x x x x x x x x- - - - - - - - = - - - - - L2 = ( 1)( 2)( 4)( 5) ( 1)( 2)( 4)( 5) (3 1)(3 2)(3 4)(3 5) 4 x x x x x x x x- - - - - - - - = - - - - L3 = ( 1)( 2)( 3)( 5) ( 1)( 2)( 3)( 5) (4 1)(4 2)(4 3)(4 5) 6 x x x x x x x x- - - - - - - - = - - - - - L4 = ( 1)( 2)( 3)( 4) ( 1)( 2)( 3)( 4) (5 1)(5 2)(5 3)(5 4) 24 x x x x x x x x- - - - - - - - = - - - - P4 = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x) + y4L4(x) = 4 2 43 156 108 6 x x x- + + = 4 2 43 26 18 6 6 x x x- + + Bài 3: (Lê Trần Mười) Cho bảng số liệu của hàm số y = f(x) x 11 13 14 18 19 21 y 1342 2210 2758 5850 6878 9282 a/ Tìm đa thức nội suy Newton n x y Tỉ sp cấp 1 Tỉ sp cấp 2 Tỉ sp cấp 3 Tỉ sp cấp4 Tỉ sp cấp 5 0 11 1342 434 1 13 2210 50 548 -1
• 35. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 35 2 14 2758 45 2 8 773 1 - 1 40 3 18 5850 51 0 1028 1 4 19 6878 58 1202 5 21 9282 P5= 1342 + (x-11)434 + (x-11)(x-13)50 + (x-11)(x-13)(x-14)(-1) + (x-11)(x-13)(x-14)(x-18) 2 8 + (x-11)(x-13)(x-14)(x-18)(x-19) 1 40 P5= 5 4 3 2 56 2827 47871 393932 1273844 40 x x x x x- + - + - + b/ Tính f(13,5) f (13,5) =P5(13,5) = 5 4 3 2 13,5 56(13,5) 2827(13,5) 47871(13,5) 393932(13,5) 1273844 40 - + - + - + = -21589,70547 Bài 4: (Trần Đình Trọng) Cho bảng giá trị của hàm số y = f(x) x 0 2 3 5 6 y 1 3 2 5 6 a/ Dùng đa thức nội suy tiến bậc 4 với 5 nút không cách đều. Ta lập được bảng tỉ sai phân đến cấp 4. n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 Tỉ SP cấp 4 0 0 1
• 36. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 36 1 1 2 3 -2/3 -1 3/10 2 3 2 5/6 -11/120 3/2 -1/4 3 5 5 -1/6 1 4 6 6 Khi đó: P4(x)= 1+(x-0).1 +(x-0)(x-2).(-2/3) +(x-0)(x-2)(x-3).(3/10) + (x-0)(x-2)(x-3)(x-5).(-11/120) ( )4 3 211 73 601 413 ( ) ( ) 1 120 60 120 60 x x x x= - + - + + b/ Tính f(1,25) f(1,25)= P4(1,25) ( )4 3 211 73 601 413 (1,25) 1,25 (1,25) .1,25 1 120 60 120 60 = - + - + + =3,9311525 c/ Dùng đa thức nội suy lùi bậc 4 với 5 nút không cách đều. Ta lập được bảng tỉ sai phân đến cấp 4. n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 Tỉ SP cấp 4 0 0 1
• 37. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 37 1 1 2 3 -2/3 -1 -3/10 2 3 2 5/6 -11/120 3/2 -1/4 3 5 5 -1/6 1 4 6 6 Khi đó: P4(x)= 6+(x-6).1 +(x-6)(x-5).(-1/6) +(x-6)(x-5)(x-3).(-1/4) + (x-6)(x-5)(x-3)(x-2).(-11/120) ( )4 3 211 73 601 413 ( ) ( ) 1 120 60 120 60 x x x x= - + - + + (5,25) 5,5124fÞ = Bài 5: (Phan Thị Kim Ngân) i xi yi ∆ ∆ ∆ ∆ 0 1,9 11,18 3,6 1 2,1 14,78 -0,49 3,11 3,08 2 2,3 17,89 2,52 -6,19 5,63 -3,11 3 2,5 23,52 -0,5 5,04 4 2,7 28,56 i xi yi ∇ ∇ ∇ ∇
• 38. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 38 Ta có đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 = 1,9: P4(1,9 + 0,2t) = 11,18 + 3,6t – , ( ) ! + , ( )( ) ! – , ( )( )( ) ! Tính gần đúng f(2,0). Ta có: x = 2,0 = 1,9 + 0,2t ó t = 0,5. Vậy P4(2,0) = 11,18 + 3,6.0,5 – , . . ( . ) ! + , . , ( , )( , ) ! – , . , ( , )( , )( , ) ! Ta có đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ x0 = 2,7: P4(2,7 + 0,2t) = 28,56 + 5,04t – . ( ) ! – , ( )( ) ! – , ( )( )( ) ! Bài 6: (Vương Bảo Nhi) x 150 200 250 300 y = sin(x) 0,2588 19 0,342020 0,422618 0,500000 n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 0 15 0,258819 0,0166402 1 20 0,342020 5,206.10-5 0,0161196 8,1733.10-7 2 25 0,422618 6,432.10-5 0,0154764 3 30 0,500000 P3(x) = 0,258819 + (x – 15). 0,0166402 + (x –15)(x – 20). 5,206.10–5 + (x –15)(x – 20)(x – 25). 8,1733.10-7 = 8,1733.10–7 x3 + 3,0202.10–6 x2 + 0,0158 x + 0,018704 P3(x) = 0,5 + (x – 30). 0,0154764 + (x –30)(x – 25). 6,432.10-5 + (x –30)(x – 25)(x – 20). 8,1733.10-7
• 39. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 39 = 8,1733.10-7 x3 + 3,02625.10–6 x2 + 0,0134508 x + 0,071688 Bài 7: (Vương Bảo Nhi) a) x 1 2 3 4 y 1 5 14 30 n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 0 1 1 4 1 2 5 5/2 9 1/3 2 3 14 7/2 16 3 4 30 Đặt n= 1+ t P3 (1+ t) = 1 + 4t + 5 ( 1) 2 2! t t - + 1 ( 1)( 2) 3 3! t t t- - Sn= P3 (n) = 1 + 4(n –1) + 5 ( 1)( 2) 2 2! n n- - + 1 ( 1)( 2)( 3) 3 3! n n n- - - = 1 + 4(n –1) + ( 1)( 2) 2! n n- - 1 ( 3) 5 3 2 3 n é ù -ê ú +ê ú ê ú ë û = 1 + 4n – 4 + ( 1)( 2) 2! n n- - 5 1 ( 3) 2 9 n é ù + -ê úë û = 4n – 3 + ( 1)( 2) 2! n n- - 13 1 6 9 n é ù +ê úë û b) x 1 2 3 4 5
• 40. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 40 y 1 9 36 100 225 n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 Tỉ SP cấp 4 0 1 1 8 1 2 9 9,5 27 3 2 3 36 18,5 0,25 64 4 3 4 100 30,5 125 4 5 225 Đặt n= 1+ t P4 (1 + t) = 1 + 8t + 9,5 ( 1) 2! t t - + 3 ( 1)( 2) 3! t t t- - + 0,25 ( 1)( 2)( 3) 4! t t t t- - - Sn= P4 (n) = 1+ 8(n – 1) + 9,5( 1)( 2) 2! n n- - + 3( 1)( 2)( 3) 3! n n n- - - + 0,25( 1)( 2)( 3)( 4) 4! n n n n- - - - = 1+ 8n – 8 + ( 1)( 2) 2! n n- - 3( 3) 0,25( 3)( 4) 9,5 3 12 n n n- - -é ù + +ê úë û = 8n – 7 + ( 1)( 2) 2! n n- - ( 3)( 4) 6,5 48 n n n - -é ù + +ê úë û Bài 8: (Đào Thị Hương) Dùng đa thức nội suy Newton bậc 6 với 7 nút nội suy. Ta lập được bảng các sai phân: i xi yi yD 2 yD 3 yD 4 yD 5 yD 6 yD 0 1,4 0,9523 0,0138 1 1,5 0,9661 -0,0036
• 41. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 41 0,0102 0,0009 2 1,6 0,9763 -0,0027 -0,0004 0,0075 0,0005 0,0005 3 1,7 0,9838 -0,0022 0,0001 0,0895 0,0053 0,0006 0,09 4 1,8 0,9891 -0,0016 0,0901 0,0037 0,0907 5 1,9 0,9928 0,0891 -0,0928 6 2,0 0,9 Ta có đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 = 1,4 với h = 0,1 6 ( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3) (1,4 0,1 ) 0,9523 0,0138 0,0036 0,0009 0,0004 2 3! 4! ( 1)( 2)( 3)( 4) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5) 0,0005 0,0895 5! 6! t t t t t t t t t P t t t t t t t t t t t t t - - - - - - + = + - + - - - - - - - - - - + + (1,43) (1,4 0,3.0,1) 0,9548188379Pf » + = Bài 9: a/ (Trần Đình Trọng) Ta có: x 0 1 2 3 4 5 6 7 y 1,4 1,3 1,4 1,1 1,3 1,8 1,6 2,3 Ta lập bảng từ số liệu trên: i ix iy 2 ix i ix y 1 0 1,4 0 0 2 1 1,3 1 1,3 3 2 1,4 4 2,8 4 3 1,1 9 3,3 5 4 1,3 16 5,2
• 42. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 42 6 5 1,8 25 9 7 6 1,6 36 9,6 8 7 2,3 49 16,1 1 n i = å 28 12,2 140 256,8 Sau đó ta giải hệ: {28 8 12,2 140 28 47,3 b a b a + = + = Ta được: a = 1,14166666667 ≈ 1,14 b = 0,1095238095 ≈0,11 Vậy ta có: y = 1,14 + 0,11x b) (Phan Thị Kim Ngân) f(x) = a + bx + cx2 Ta lập bảng số liệu: i xi yi xi 2 xi 3 xi 4 xiyi xi 2 yi 1 0 1,4 0 0 0 0 0 2 1 1,3 1 1 1 1,3 1,3 3 2 1,4 4 8 16 2,8 5,6 4 3 1,1 9 27 81 3,3 9,9 5 4 1,3 16 64 256 5,2 20,8 6 5 1,8 25 125 625 9 45 7 6 1,6 36 216 1296 9,6 57,6 8 7 2,3 48 343 2401 16,1 112,7 28 12,2 140 784 4676 47,3 252,9 Ta có hệ phương trình:
• 43. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 43 4676 + 784 + 140 = 252,9 784 + 140 + 28 = 47,3 140 + 12,2 + 8 = 12,2 ó = 1,441667 = −0,190476 = 0,042857 Vậy: y = 1,441667x2 – 0,190476x + 0,042857 c/ (Đào Thị Hương) Lấy logarit Neper ln ( ) ln xf x a b= + ta có bảng: x 0 1 2 3 4 5 6 7 ln f(x) ln(1,4) ln(1,3) ln(1,4) ln(1,1) ln(1,3) ln(1,8) ln(1,6) ln(2,3) ln 0,1715331416 0,06469348092 a b =ì í =î → 1,187123485 0,06469348092 a b =ì í =î Vậy 0,06469348092 ( ) 1,187123485f x e= ´ d/ (Đào Thị Hương) ( ) ln( x)f x a b= + ( ) xf x e a b= + ta có bảng sau: x 0 1 2 3 4 5 6 7 ( )f x e 1,4 e 1,3 e 1,4 e 1,1 e 1,3 e 1,8 e 1,6 e 2,3 e 2,657918149 0,648809873 a b =ì í =î Vậy ( ) ln(2,657918149 0,648809873 )f x x= + ´ e/ (Đào Thị Hương) x ( ) a b f x e + = ln ( ) xf x a b= +
• 44. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 44 ta có bảng sau: x 0 1 2 3 4 5 6 7 ln f(x) ln(1,4) ln(1,3) ln(1,4) ln(1,1) ln(1,3) ln(1,8) ln(1,6) ln(2,3) 0,1715331416 0,06469348092 a b =ì í =î Vậy 0,1715331416 0,06469348092 ( ) x f x e + ´ = Bài 10: (Phan Thị Kim Ngân) a) Hàm thực nghiệm y=a + bx2 Ta lập bảng số tư liệu trên i xi yi xi 2 xi3 xi 4 xiyi xi 2 yi 1 1 0,1 1 1 1 0,1 0,1 2 2 3 4 8 16 6 12 3 3 8,1 9 27 81 24,3 72,9 4 4 14,9 16 64 256 59,3 238,4 5 5 23,9 25 125 625 119,5 597,5 1 n i= å 15 50 55 225 979 205,5 920,9 Ta có hệ phương trình: 3 2 979a 225 55 920,9 225a 55 15 209,5 55a 15 5 50 0,992857 1 7,142857.10 0 0,9 1 1 b c b c b c a b c y x - + + =ì ï + + =í ï + + =î = »ì ï Þ = - »í ï = - » -î Þ = - b) 2 ( ) x c y dx x y x c d = + Û = + Đặt f(x)=yx
• 45. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 45 theo kết quả câu a Ta có ( ) 2 2 1 1 1 ( ) 1 f x yx x x y x x x f x y x x x = = - - Û = = - + Þ = = - + Bài 11: (Đào Thị Hương) Cho bảng số liệu x 2 4 6 8 10 12 y 7,32 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05 a/ 3 ( x)y a b= + 2 3 xy a b= + ta có bảng sau; x 2 4 6 8 10 12 2 3 y 3,769994535 4,07960524 4,3906136 4,70019767 4,94908462 5,25603237 3,489433334 0,1478315912 a b =ì í =î Vậy 3 (3,489433534 0,1478315912 )y x= + ´ b/ 2 ln( x )y c d= + 2 xy e c d= +
• 46. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 46 Ta có bảng sau: x 2 4 6 8 10 12 y e 1510,20397 3789,5403 9897,129 26635,4949 60475,88684 171099,408 Ta lập bảng số từ bảng số liệu trên: i xi yi 2 ix 3 ix 4 ix i ix y 2 i ix y 1 2 1510,20397 4 8 16 3020,40794 6040,81588 2 4 3789,5403 16 64 256 15158,1612 60632,6448 3 6 9897,129 36 216 1296 59382,774 356296,644 4 8 26635,4949 64 512 4096 213083,9592 1704671,674 5 10 60475,88684 100 1000 10000 604758,8684 6047588,684 6 12 171099,408 144 1728 20736 2053192,896 24638314,75 1 n i=å 42 273407,7 364 3528 36400 2948597 32813545 Giải hệ phương trình: 36400d +364c = 32813545 d = 1133,3683 364d +6c = 273407,7 c = -23189,7246 Vậy ta có: y e = -23189,7246 + 1133,3683 x2 → y = ln(-23189,7246 + 1133,3683 x2 ) Bài 12: (Trần Thị Kim Ngân) ( )( ) ( ) 1 2 1 ( 1) ln( 1) 1 ln( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) e (1) (2) x x x x y a e b x f a e f b x y f x f x y f x a e a a f f = - + + Û - + + = Û + = = - = - = - 1 1 1 (1) e ln ln ( 1) x y f a y a x y A X B = = Û = + Û = + = Điều Kiện: ln(y) với y¹ 0 Suy ra
• 47. công nghiệp Thực phẩm TP.HCM] [Trần Đình Trọng] Page 47 x 1 3 2 y ln3,8 ln23,2 ln9,7 Ta có hệ: ( ) 1 1 1 2 14a 6 15,31 6a 3 6,75 0,903 1 1 0,44 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) 1 2 2 2 ( ) ln( 1) x x x b b a b y X y e f x e e f x x + =ì í + =î = »ì ï Þ í = »ïî Þ = + Û = Þ = - = - Þ = + -----THE END------