Cho \({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết Phương pháp quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\) Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận. Lời giải chi tiết
\({S_2} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} = \frac{2}{9}\); \({S_3} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} = \frac{3}{{13}}\);
\({S_1} = \frac{1}{5} = \frac{1}{{4.1 + 1}};\)\({S_2} = \frac{2}{{4.2 + 1}};\)\({S_3} = \frac{3}{{4.3 + 1}};\) Dự doán: \({S_n} = \frac{n}{{4.n + 1}}\) Chứng minh: Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({S_1} = \frac{1}{{4.1 + 1}}\) đúng Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\) Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là: \({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{4.(k + 1) + 1}}\) hay \({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{4k + 5}}\) Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: \({S_k} = \frac{k}{{4.k + 1}}\) Suy ra \(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4k - 3)(4k + 1)}} + \frac{1}{{[4(k + 1) - 3][4(k + 1) + 1]}}\\ = {S_k} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{k}{{4k + 1}} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}}\\ = \frac{{k(4k + 5)}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}}\\ = \frac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{{(4k + 1)(k + 1)}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{{k + 1}}{{4k + 5}}\end{array}\) Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\). Với các đường thẳng x=a, nửa mp bên trái có bất phương trình tương ứng là \(x \le a\), nửa bên phải sẽ là \(x \ge a\). Với các đường thẳng y=b, nửa mp bên dưới có bất phương trình tương ứng là \(y \le b\), nửa bên trên sẽ là \(y \ge b\). Với các đường thẳng \(y = ax + b\) cắt hai trục thì thay tọa độ điểm thuộc miền nghiệm vào, nếu vế trái nhỏ hơn vế phải thì bất phương trình là \(y \le ax + b\), ngược lại thì bất phương trình là \(y \ge ax + b\). Với các đường thẳng x=a, nửa mp bên trái có bất phương trình tương ứng là \(x \le a\), nửa bên phải sẽ là \(x \ge a\). Với các đường thẳng y=b, nửa mp bên dưới có bất phương trình tương ứng là \(y \le b\), nửa bên trên sẽ là \(y \ge b\). Với các đường thẳng \(y = ax + b\) cắt hai trục thì thay tọa độ điểm thuộc miền nghiệm vào, nếu vế trái nhỏ hơn vế phải thì bất phương trình là \(y \le ax + b\), ngược lại thì bất phương trình là \(y \ge ax + b\). Toán 10 trang 29 Bài 3 là lời giải bài Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn SGK Toán 10 Cánh Diều được GiaiToan.com biên soạn. Lời giải Toán 10 này với hướng dẫn chi tiết lời giải giúp cho các bạn học sinh tham khảo, ôn tập, củng cố kỹ năng giải Toán. Mời các bạn học sinh cùng tham khảo chi tiết. Giải Bài 3 Toán 10 trang 29Đề bài: Miền không bị gạch ở mỗi Hình 12a, 12b là miền nghiệm của hệ phương trình nào đã cho ở dưới đây?  Hướng dẫn: Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và tìm miền nghiệm thích hợp trong mỗi Hình 12a, 12b. Lời giải:
+ Vẽ đường thẳng + Lấy điểm ). Ta có: . + Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch, chứa điểm ) không kể đường thẳng . + Vẽ đường thẳng (đường thẳng song song với trục tung) + Lấy điểm ). Ta có: . + Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch, chứa điểm ), không kể đường thẳng . + Vẽ đường thẳng (đường thẳng song song với trục hoành) + Lấy điểm ). Ta có: . + Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch, chứa điểm ), kể cả đường thẳng . Phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. → Hình 12b là miền nghiệm của hệ bất phương trình.
+ Vẽ đường thẳng + Lấy điểm ). Ta có: . + Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch, không chứa điểm ) không kể đường thẳng . + Vẽ đường thẳng là trục Oy. + Lấy điểm ). Ta có: . + Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch, gồm các điểm , không chứa điểm ). + Vẽ đường thẳng (đường thẳng song song với trục hoành) + Lấy điểm ). Ta có: . + Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch, chứa điểm ), không kể đường thẳng . Phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+ Vẽ đường thẳng + Lấy điểm ). Ta có: . + Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch, không chứa điểm ), không kể đường thẳng . + Vẽ đường thẳng , đường thẳng song song với trục Oy. + Lấy điểm ). Ta có: . + Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch, chứa điểm ), kể cả đường thẳng . + Vẽ đường thẳng (đường thẳng song song với trục hoành) + Lấy điểm ). Ta có: . + Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch, chứa điểm ), không kể đường thẳng . Phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. → Hình 12a là miền nghiệm của hệ bất phương trình. -> Bài tiếp theo: Bài 4 trang 29 Toán 10 tập 1 SGK Cánh Diều ---- Trên đây là lời giải chi tiết Toán 10 trang 29 Bài 3 cho các bạn học sinh tham khảo, nắm được cách giải các dạng toán của Chương II: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập chuẩn bị cho các bài thi giữa học kì và cuối học kì lớp 10. |
