Phần Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân Toán lớp 11 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 200 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có lời giải. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân hay nhất tương ứng. Show
Phương pháp quy nạp toán học
Dãy số
Cấp số cộng
Cấp số nhân
Cách xác định số hạng của dãy sốA. Phương pháp giải & Ví dụ1. Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số u: ¥* → i; n → u(n) Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên n: u(1); u(2); u(3); ....u(n);.... ♦ Ta kí hiệu u(n) bởi un và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, u1 được gọi là số hạng đầu của dãy số. ♦ Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển u1,u2,u3…..un,.... hoặc dạng rút gọn (un). 2. Người ta thường cho dãy số theo các cách: ♦ Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó * Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó. Ví dụ minh họaBài 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: -1, 3, 19, 53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm. Đáp án và hướng dẫn giải Xét dãy (un) có dạng: un=an3+bn2+cn+d Giải hệ trên ta tìm được: a = 1 ; b = 0 ; c = -3 ; d = 1 ⇒ un=n3-3n+1 là một quy luật . Số hạng thứ 10: u10=971. Bài 2: Cho dãy số (un) được xác định bởi 1. Viết năm số hạng đầu của dãy; 2. Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. Đáp án và hướng dẫn giải Ta có năm số hạng đầu của dãy Ta có: do đó un nguyên khi và chỉ khi nguyên hay n+1 là ước của 5. Điều đó xảy ra khi n+1=5 ⇒ n = 4 Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u4=7. Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: 1. Viết năm số hạng đầu của dãy; 2. Chứng minh rằng un=u4; Đáp án và hướng dẫn giải 1. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là: u1=1;u2=2u1+3=5;u3=2u2+3=13;u4=29; u5=61. 2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp * Với n = 1 ⇒ u4=1 ⇒ bài toán đúng với n = 1 * Giả sử uk=2k+1-3 , ta chứng minh u_(k+1)=2k+2-3 Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có: uk+1=2uk+3=2(2k+1-3)=2k+2-3 (đpcm). Cách tìm công thức của số hạng tổng quátA. Phương pháp giải• Nếu un có dạng un = a1 + a2 + ... + ak + .. + an thì biến đổi ak thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn un . • Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính u1; u2; ... ). Từ đó dự đoán công thức tính un theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu: un + 1 − un dựa vào đó để tìm công thức tính un theo n. B. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 4; 8; 12; 16; 20; 24;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:
Hướng dẫn giải: Ta có: 4 = 4.1 8 = 4.2 12 = 4.3 16 = 4.4 20 = 4.5 24 = 4.6 Suy ra số hạng tổng quát un = 4n. Chọn A . Ví dụ 2: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
Hướng dẫn giải: Ta có: 8 = 7 . 1 + 1 15 = 7 . 2 + 1 22 = 7 . 3 + 1 29 = 7 . 4 + 1 36 = 7 . 5 + 1 Suy ra số hạng tổng quát un = 7n + 1. Chọn C. Ví dụ 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là: Hướng dẫn giải: Ta có: Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là: Chọn B. Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộngA. Phương pháp giải* Để chứng minh dãy số (un) là một cấp số cộng, ta xét A = un+1 − un Nếu A là hằng số thì (un) là một cấp số cộng với công sai d = A. Nếu A phụ thuộc vào n thì (un) không là cấp số cộng. * Ngoài ra; để chứng minh dãy số (un) không là cấp số cộng ta có thể chỉ ra: tồn tại số nguyên dương k sao cho: uk+1 − uk ≠ uk − uk−1 B. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Chứng minh dãy số (un) với un = 17n + 2 là cấp số cộng Hướng dẫn giải: Ta có: un+1 = 17(n + 1) + 2 = 17n + 19 \=> Hiệu: un+1 – un = (17n + 19) − (17n + 2) = 17 Suy ra: (un) là cấp số cộng với công sai d = 17. Ví dụ 2: Chứng minh dãy số (un) với un = 10 − 5n là cấp số cộng. Hướng dẫn giải: Ta có: un+1 = 10 − 5(n+1)= 5 − 5n. Xét hiệu: un+1 − un = (5 − 5n) − (10 − 5n) = −5 \=> (un) là một cấp số cộng với công sai d = −5. Ví dụ 3: Cho dãy số (un) với un = 2n + 3. Chứng minh rằng dãy số (un) không phải là cấp số cộng . Hướng dẫn giải: Ta có: un+1 = 2n+1 + 3 Xét hiệu: un+1 − un = (2n+1 + 3) − (2n + 1)= 2n+1 − 2n \=> (un+1 − un) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n. Nên dãy số (un) không là cấp số cộng. Ví dụ 4: Cho dãy số (un) với . Chứng minh rằng (un) không là cấp số cộng. Hướng dẫn giải: Ta có: Xét hiệu: \=> (un+1 − un) còn phụ thuộc vào n nên dãy số (un) không là cấp số cộng.
Săn shopee siêu SALE :
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.  Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
