Ví dụ giao của hai tập hợp

Hợp của hai tập hợp là một tập hợp chứa tất cả các phần tử nằm trong $A$ hoặc $B$ (có thể là cả hai). Ví dụ: $\{1,2\}\cup\{2,3\}=\{1,2,3\}$. Do đó, chúng ta có thể viết $x\in(A\cup B)$ khi và chỉ khi $(x\in A)$ hoặc $(x\in B)$. Lưu ý rằng $A \cup B=B \cup A$. Trong Hình 1. 4, sự kết hợp của các tập hợp $A$ và $B$ được thể hiện bằng vùng tô đậm trong biểu đồ Venn

Tương tự ta có thể định nghĩa hợp của ba hay nhiều tập hợp. Cụ thể, nếu $A_1, A_2, A_3,\cdots, A_n$ là các tập hợp $n$ thì hợp của chúng $A_1 ​​\cup A_2 \cup A_3 \cdots \cup A_n$ là một tập hợp chứa tất cả các phần tử nằm trong ít nhất một . Chúng ta có thể viết liên kết này gọn hơn bằng $$\bigcup_{i=1}^{n} A_i. $$ Ví dụ: nếu $A_1=\{a,b,c\}, A_2=\{c,h\}, A_3=\{a,d\}$ thì $\bigcup_{i} A_i=A_1 . Tương tự, chúng ta có thể định nghĩa hợp của vô số tập hợp $A_1 ​​\cup A_2 \cup A_3 \cup\cdots$

Giao của hai tập hợp $A$ và $B$, được ký hiệu là $A \cap B$, bao gồm tất cả các phần tử nằm trong $A$ $\underline{\textrm{and}}$ $B$. Ví dụ: $\{1,2\}\cap\{2,3\}=\{2\}$. Trong hình 1. 5, giao điểm của các tập hợp $A$ và $B$ được hiển thị bằng vùng được tô bóng bằng biểu đồ Venn

Tổng quát hơn, đối với các tập hợp $A_1,A_2,A_3,\cdots$, giao điểm của chúng $\bigcap_i A_i$ được định nghĩa là tập hợp bao gồm các phần tử có trong tất cả các $A_i$. Hình 1. 6 cho thấy giao điểm của ba tập hợp

Phần bù của tập hợp $A$, được ký hiệu là $A^c$ hoặc $\bar{A}$, là tập hợp gồm tất cả các phần tử nằm trong tập phổ biến $S$ nhưng không thuộc $A$. Trong hình 1. 7, $\bar{A}$ được hiển thị bằng vùng tô bóng bằng biểu đồ Venn

Sự khác biệt (phép trừ) được xác định như sau. Tập hợp $A-B$ bao gồm các phần tử nằm trong $A$ nhưng không nằm trong $B$. Ví dụ: nếu $A=\{1,2,3\}$ và $B=\{3,5\}$, thì $A-B=\{1,2\}$. Trong Hình 1. 8, $A-B$ được hiển thị bằng vùng tô bóng bằng biểu đồ Venn. Lưu ý rằng $A-B=A \cap B^c$

Hai tập hợp $A$ và $B$ loại trừ lẫn nhau hoặc rời nhau nếu chúng không có bất kỳ phần tử dùng chung nào; . e. , giao điểm của chúng là tập rỗng, $A \cap B=\emptyset$. Tổng quát hơn, một số tập hợp được gọi là rời rạc nếu chúng rời rạc theo từng cặp. e. , không có hai trong số họ chia sẻ một yếu tố chung. Hình 1. 9 cho thấy ba tập hợp rời rạc

Nếu bề mặt trái đất là không gian mẫu của chúng ta, chúng ta có thể muốn phân chia nó thành các lục địa khác nhau. Tương tự, một quốc gia có thể được phân chia thành các tỉnh khác nhau. Nói chung, một tập hợp các tập hợp khác rỗng $A_1, A_2,\cdots$ là một phân vùng của tập hợp $A$ nếu chúng rời rạc và hợp của chúng là $A$. Trong hình 1. 10, các tập hợp $A_1, A_2, A_3$ và $A_4$ tạo thành một phân vùng của tập hợp chung $S$

Dưới đây là một số quy tắc thường hữu ích khi làm việc với tập hợp. Chúng ta sẽ sớm thấy các ví dụ về cách sử dụng chúng

Đối với bất kỳ bộ $A_1$, $A_2$, $\cdots$, $A_n$, chúng ta có

• $(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots A_n)^c=A_1^c \cap A_2^c \cap A_3^c\cdots \cap A_n^c$;
• $(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \cdots A_n)^c=A_1^c \cup A_2^c \cup A_3^c\cdots \cup A_n^c$

Đối với bất kỳ bộ $A$, $B$, và $C$ nào chúng ta có

• $A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A\cap C)$;
• $A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap (A\cup C)$

Nếu tập phổ quát được cho bởi $S=\{1,2,3,4,5,6\}$, và $A=\{1,2\}$, $B=\{2,4,5

1. $A \cup B$
2. $A \cap B$
3. $\overline{A}$
4. $\overline{B}$
5. Kiểm tra định luật De Morgan bằng cách tìm $(A \cup B)^c$ và $A^c \cap B^c$
6. Kiểm tra luật phân phối bằng cách tìm $A \cap (B \cup C)$ và $(A \cap B) \cup (A\cap C)$

• Giải pháp
  • 1. $A \cup B=\{1,2,4,5\}$
    2. $A \cap B=\{2\}$
    3. $\overline{A}=\{3,4,5,6\}$ ($\overline{A}$ bao gồm các phần tử nằm trong $S$ nhưng không nằm trong $A$)
    4. $\overline{B}=\{1,3,6\}$
    5. Ta có $$(A \cup B)^c=\{1,2,4,5\}^c=\{3,6\},$$ giống với $$A^c \cap B . $$
    6. Ta có $$A \cap (B \cup C)=\{1,2\} \cap \{1,2,4,5,6\}=\{1,2\},$$ là . $$

Tích Descartes của hai tập hợp $A$ và $B$, được viết là $A\times B$, là tập hợp chứa các cặp có thứ tự từ $A$ và $B$. Nghĩa là, nếu $C=A \times B$, thì mỗi phần tử của $C$ có dạng $(x,y)$, trong đó $x \in A$ và $y \in B$. $$A \times B = \{(x,y). x \in A \textrm{ và } y \in B \}. $$ Ví dụ: nếu $A=\{1,2,3\}$ và $B=\{H,T\}$, thì $$A \times B=\{(1,H),(1 . $$ Lưu ý rằng ở đây các cặp được sắp xếp theo thứ tự, ví dụ: $(1,H)\neq (H,1)$. Như vậy $A \times B$ không giống với $B \times A$

Nếu bạn có hai tập hữu hạn $A$ và $B$, trong đó $A$ có $M$ phần tử và $B$ có $N$ phần tử, thì $A \times B$ có $M \times N$ phần tử. Quy tắc này được gọi là quy tắc nhân và rất hữu ích trong việc đếm số phần tử trong tập hợp. Số lượng phần tử trong một tập hợp được ký hiệu là $. A. $, vì vậy ở đây chúng tôi viết $. A. =M,. B. =N$, và $. A \times B. =MN$. Trong ví dụ trên, $. A. =3,. B. =2$, do đó $. A \times B. =3 \times 2 = 6$. Tương tự, chúng ta có thể định nghĩa tích Descartes của $n$ set $A_1, A_2, \cdots, A_n$ là $$A_1 \times A_2 \times A_3 \times \cdots \times A_n = \{(x_1, x_2, \cdots, . x_1 \in A_1 \textrm{ và } x_2 \in A_2 \textrm{ và }\cdots x_n \in A_n \}. $$ Nguyên tắc nhân nói rằng đối với các tập hợp hữu hạn $A_1, A_2, \cdots, A_n$, if $$. A_1. =M_1,. A_2. =M_2, \cdots,. Một. =M_n,$$ then $$\mid A_1 \times A_2 \times A_3 \times \cdots \times A_n \mid=M_1 \times M_2 \times M_3 \times \cdots \times M_n. $$

Một ví dụ quan trọng về các tập hợp thu được bằng tích Descartes là $\mathbb{R}^n$, trong đó $n$ là một số tự nhiên. Với $n=2$, chúng ta có

Ví dụ về giao của hai tập hợp là gì?

Giao điểm của A và B là gì?

Công thức giao của hai tập hợp là gì?

∩ có nghĩa là gì trong toán học?