Home Forums > Thư Viện Tổng Hợp > Tủ Sách Giáo Dục Đại Học > Đại Học Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội >
Tags: (You must log in or sign up to reply here.) 99 4 MB 0 60 Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu Đang xem trước 10 trên tổng 99 trang, để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên LÊ ĐINH THUÝ TOÁN CAO CẤP
CHO CÁC NHÀ KINH TÊ
PHẦN I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NHẨ xuất bản đại học kinh tế quốc dân C h iíơ n g í TẬP HỢP, QUAN HỆ
VÀ LOGĨC SUY LUẬN
§ i . TẬP HỢP
I. CÁC KHÁI NIỆM C ơ BẢN
a. Tập hợp và phần tử
Tập hợp là mộ^ khái niệm nguyên thuỷ cùa toán học. Ta có thể
nói đến các tập hợp khác nhau như tập hợp cây ưong một khu
\Tjrờn, tập hợp học sinh của mỏt lớp học, tập hợp tất cả các số
thực, tập hợp lất cả các số hữu tỷ,.. Các đối iượng hợp thành
một tâp hợp được gọi ịà các phân iủ của tập hợp đó. Để phân
biệt, ta gọi tên tập hợp bằng các chữ in hoa A, B, c,... và ký hiệu
các phần tử bằng các chữ in thường a, b, c,... Để nói rằng a là
một phần tử của tập hợp A ta dùng ký hiệu:
a e A (đọc ỉà: “ứ thuộc A”).
Ngược lại, nếu a không phải là phần tử cùa tập hợp A thì ta viết;
a g A (đọc là; “ơ không thuộc y4”)Để xác định một tâp hợp nhất định và đật tên là X, ta sử dụng
một trong hai phương pháp cơ bản sau đây;
1. Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp:
x = { a , b , c , . . . }.
2. Mô tả tính chất đặc trưng của các pỉiần tử của tập hợp. Theo
phương pháp này, muôn xác định tập hợp X ta nói: X là tập hợp
các phần tử X có tính chất T, hoặc dùng ký hiệu:
x = {x:T}.
Chẳng hạn, các cách diễn đạt sau đây »ó nghĩa như nhau: ỲHiiu
TruờngỌại
iiiiH
Hìii-ii^ỉịỉỉiiinriiỉnịííịĩírịiiilílÌỊỈS họcĩcinh ^QuỔCílân ______ _~^OẦN CAO CẤP CHQ NHÀ KÍNH TẾ » x = (1,3, 5, 7, yj. • X Iri tập hơp các sô ntuyi;n dưcmg lẻ inội chữ số • X == {x; X lfì số nguyên dương lẻ một chữ số . ® X = {x; X = 2n - 1, với n là số nguyên dương nhỏ hơn 6 Ị.
niương pháp thứ hai được sử dụng ngay cả khi ta chưa biết có
tồn tai hay kliòng các phần tử có tính chất T. Chẳng hạn, ía có
thể nói về tập hợp nghiệm của m ột phưcnig trình ngay cả khi
chưa giải được phương trình đó- Có thể xảy ra trường hợp môt
tập hợp mà ta nói đến khóng có phần tử nào. Ta gọị tập hợp
không có phần tử là lập hợp trống hay tập hợp rống và dùng ký
hiệu 0 để chỉ tập hợp đó. Để khẳng định răng tập hợp X không
có phần tử la viết: X = 0 . Ngược lại, để khẳng định rằng tập hợp
X có ít nhất một phần tử ta viết;
0.
Chú ý: Trong cuốn sách này và trong các tài liệu khác liên quan
đến toán học từ "tập hợp" nhiều khi được gọi tắt là tập, chẳng
hạn, tập A, tập B, tập trống... b. K hái niệm tập con và đẳng thức tập hợp
Một tập hợp B được gọi là tập hợp con, hay tập con, của một tập
A nếu mọi phần tử của B đều là phần tử của A. Trong
trường hợp này ta dùng ký hiệu:
B e A (đọc là: “5 chứa trong y4”),
hoặc A 3 B (đọc là: “/4 bao hàm B").
Nói một cách đcm giản, tập hợp con của tập hợp A là tập họfp
một bộ phận phần tử, hoặc tất cả các phần tử, của tập hợp A.
Nếu B c A và đồng thời A c; B thì ta nói tập hợp B bằng tập
hợp A và viết B = A. Như vậy, dẳng thức tập hợp B = A có nghĩa
là mọi phần tử của B đều là phần tử của A và ngược lại, mọi
phần tử của A đều là phần tử của B. Nếu tập hợp B không bằng
tập hợp A thì ta viết B A. Tập hợp B được gọi là tập con thiỊc 8 Trường £)ạl bọc Kính tế Quốc dân Chuơmg 1: Tập họp, Quan hệ vồ Logic suy ỉuận
ử M ÌÊ i» t m đ Ê f m » đ ,m a it ia a » ,» iÊ ÌÊ Ìa ià a iiit ÌÉ Ìầ ^ Ê Ìt » ^ m a * ,iim ,i^ ^ « 1 ............... Í T 1 I I — «JI r iu iTi ii É É Ì i r i r r i m ^ M i r r r n m i r i f t ' i i i t T r t i i > * M r ' .vụ'của tập h(/p A nếu B c: A nhimg B --A A. Chẳng han, tập hợp
dân cư của thành phố Hà Nội là lập con thực sự của tập hợp dân
cư cửa nước Việt Nam. c. Biểu đ ổ Ven
Để dẽ hình dung về íập hợp và rnối liên hệ giữa các tập hợp,
người ta dùng các tập hợp điểm của mặt phẳng để minh hoạ.
Tnông thường ta xét các tập ỉiơp phần tử của một tập hợp bao
trùm, gọi là không gian hay vũ ĩrụ. Tập không gian được mô tả
bằng tập hợp các điểm của một hình chữ nhật. Mỗi tập hợp trong
không gian được minh hoạ bằng mộí tập hợp điểm giới hạn bcd
một đường khép kín bên trong hình chữ nhật. Cách minh hoạ
ước lệ như vậy được gọi là biểu đồ Ven. Chẳng hạn, biểu đồ Ven
ở hình 1 mô tả hai tập hợp A và B, trong đó B là tập con của A. .Hình 1; B là tập con của A II. CÁC P H É P TO Á N TẬ P H Ợ P
a. Phép hợp và ph ép giao Đ ịnh nghĩa:
1. Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử
của nó là phần tử của ít nhất một trong hai tập hợp đó.
2. Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử
của nó là phần tử của cả hai tập hợp A và B.
Hợp của hai tập hợp A và B được ký hiệu là A uB : Trưdng Đại học Kinh tế Quốc dân TOÁN GAO CẤP CHO CẤC NHẨ K!NH TỂ- A u B = jx: x e A hoặc x e B
Giao của hai táp hợp A và B được ký hiệu là A nB:
A n B = {x ; x e A và x e B .
Ví dụ: Q io haị lập họp số
A = { 1 , 2 , 3 , 4 . 5 Ị , B = {0.2, 4, 6 , 8 }.
Tlieo định nghĩa;
A u B - {0, 1,2, 3 ,4 , 5, 6 , 8 |, A n B = {2,4
Hình 2a và 2b là biểu đồ Ven về phép hợp và phép giao tập hợp. Hình 2a; AuB Hình 2b; AnB h. Các tính chất cơ bản
Phép hợp và phép giao tập hợp thoả mãn các tính chất cơ bản
sau đây;
1. Tính chất giao hoán:
A uB = BuA ; A n B -B n A . 0 1) 2. Tính chất kết hợp:
A u (B u C) = (A u B) u c , ( 1.2) A n (B n C) = (A n B) n c . (1.3) 3. Tính chất phân phối: 10 A r,(B u C ) = (A n B )u (A o C ), (1.4) A u (B n C) = (A u B) n (A u C). (1.5) Trưòng Đại học Kinh tế Quốc dân Chương 1: Tệp họp, Quan■tL'Vhệ
và Logic suy ĩuận
't*niirBấ^jiu^ffgeaw>aeMei.jefct>^a>ai*gàftgáỂ»iÉB*e^
Chửng mirứv. Để chứng minh một đẳng tiiức tập họp, ta cẩn chỉ
ja rằng mỗi phần lử rảíi tập hcfp ờ vế trá- đcu là phần tử của tập
hợp ở vế phải và ngươc !ại, mỗt phần iử của lập hơp ở vế ph?i
đều là phần tử của tập hợp ở vê' trái. Chẳne hạn, đẳng thức (1.5)
được chirng minh như sau:
Gọi X là một phần tử bất kv của íâp hợp A u ( B n C ) . Tneo định
nghĩa pỉiép hợp, điều này có nghĩa là x e A hoặc x e B n C . Nếu
x e A thì x e A u B và x € A u C , do đó x e ( A u B ) n ( A u C ) . Nếu
x e B n C thì x e B và x e C , suy ra x e A u B và x e A u C , do đó ta
cũng có x e ( A u B ) n ( A u C ) .
Ngược lại, gọi X là một phần tử bất kỳ của ( A u B ) n ( A u C ) , ta
có: x g A u B và x e A u C . Nếu x g A thì x e A u ( B n C). Nếu x ể A
thì x €B (do x e A u B ) và x e C (do x e A u C ), do đó x e B n C , suy
ra x e A u ( B n C ) .
Việc chứng minh các đẳng thức còn lại dành cho bạn đọc. c. P hép trừ tập hợp và phần bù của m ột tập hợp
Đ ịnh nghĩa: Hiệu của tập hỢỊ:) A và tập hợp B là tập hợp tất cả
các phần tử của tập hợp A không thuộc tập hợp B.
Hiệu của tập hợp A và tập hợp B được ký hiệu là A \ B:
A \B = (x : x e A v à x ế B
Hình 3 là biểu đồ Ven về hiêu A \ B. Hình 3; A \B Trường Đại học Kinh tê Quốc dân 11 TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHẢ KÍNH TỂ
Ví dụ:
{1,2, 3 ,4 ,5 } \ { 0 , 2, 4, 6 . 8 1 ,3 ,5 } , ịO, 2, 4, 6 , 8 } \ í 1,2, 3, 4, 5 0 , 6 , 8 ). Khi tất cả các tập hợp dược xét đêu !à tập con của mộl lập hcTD s
(gọi là không gian S), người ta thường nói đến phần bù của một
tập hợp X c s.
Đ ịnh nghĩa:
Phần hù cùa một tập hợp X trong không gian s là tập hợp tất cả
các phần tử của không gian không thuộc tập hợp X.
Phần bù của tập hợp X được ký hiệu là X . Theo định nghĩa, ta
có:
X =s\x.
V í dụ: Trong tập hợp tất cả các số thực, tập hợp tất cả các số vô
tỷ là phần bù của tập hợp tất cả các số hữu tỷ.
Định lý sau đây được gọi là nguyên lý đối ngẫu:
Đ ịnh iý:
1. Phần bù của hợp của các tập hợp là giao của các phần bù của
chúng:
A u B = Ã rìB ; (1.6) 2. Phần bù của giao của các tập hợp là hợp của các phần bù của
chúng:
A nB = Ã uB . (1.7) Chứng minh:
Ta chứng minh đẳng thức (1.6), còn đẳng thức (1.7) được chứng
minh tương tự. Chú ý rằng tất cảc các phần lủ được nhắc đến
d .rới đây đều là phần tử của một không gian s.
Gọi X là phần tử bất kỳ của A u B , ta có; 12 Trưdng Đại học Kinh tế Quốc dân Chương 1: Tệp hợp, Quan hệ và Logic suy luận
X Ể A''^B -4> XỂ A và XỂ B X6 A và X6 B => X € A n B . N^ược lại, gọi X là phần lử bất kỳ của A B , ta có:
x e A v à x e B = :> xííA vàx Ể B = > x 6 A u B = > x e A u B . BÀI TẬP
1. Hãy cho biết tập hợp A có phải là tâp con của tập hợp B hay
không?
a) A = i2, l , 5 , -3, 12, 15}, B = [l; 16].
b) A = {xe K : = 3x - 2}, B = [-3; 3 . c) A = [2; + oo), B = {xe K ; 2x* - 3x + 1 > 0}.
d) A = {(x, y): X e K, y e R , và (x - 1)^ + y" < 4 } ,
B = I (x, y): x e K , y € R và x’ + < 16 . 2. Hãy cho biết khi nào A d B:
a) A = [a; b], B = [c; d]. b) A = [a; b], B = (c; d). c) A = [a; b], B = {X 6 R : - 4x+ 3 > 0} 3. Hãy xác định Ao'B, A n B , A \ B, B \ A: a) A = { 1 ,3 ,5 ,7 ,9 1 ; B = (1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9}.
b) A = (-c»;5]; B = (3; 8 ).
c) A = [-2 ;5 j; B = ( l;9 ) .
4. Chứng minh rằng, với A và B là hai tập hợp bất kỳ, ta luôn
cỗ
a) ( A \ B ) u ( B \ A ) = ( A u B ) \ ( A n B ) .
b) ( A ^ B ) \ [ ( A \ B ) u ( B \ A ) l = A n B ,
c ) A e B khi và chỉ A n B = A. TrirònSilỌại học Kính tế Quốc đâin ia TOÁN CAO CẨP CHO CẤC NHẢ KINH TẾ
lirii1■iwti,i»‘iá This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
|
