Câu hỏiNhận biết
Biết rằng hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\) chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Giá trị tham số m thuộc khoảng nào sau đây? Show
A. \(\left( { - 3;0} \right)\). B. \(\left( {0;3} \right)\). C. \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\). D. \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Tải trọn bộ tài liệu tự học tại đây
Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 2Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 2 A. \(m = 0.\) B. \(m < 2.\) C. \(m = 2.\) D. \(m > 2.\)
Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 2 Giải thích : Ta có y' = (x3 + 3x2 + mx + m)' = 3x2 + 6x + m. Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 2, khi đó PT y' = 0 có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn |x1 - x2| = 2. Suy ra :
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm tham số m để hàm số đồng biến và nghịch biến trên tập con của R, trên khoảng có độ dài bằng l, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12. Nội dung bài viết Tìm tham số m để hàm số đồng biến và nghịch biến trên tập con của R, trên khoảng có độ dài bằng l: Tìm tham số m để hàm số đồng biến và nghịch biến trên tập con của trên khoảng có độ dài bằng l 1. Phương pháp: Phương pháp 1: Cô lập tham số, lập bảng biến thiên, từ đó rút ra điều kiện của tham số. Phương pháp 2: Lập bảng biến thiên trực tiếp để tìm các khoảng đơn điệu cụ thể, từ đó rút ra kết luận. Để hàm số 3 2 y ax bx cx d có độ dài khoảng đồng biến nghịch biến bằng l. Bước 1: Tính y Bước 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến Bước 3: 2 1 x x l (2) thành 2 2 1 2 1 2 x x. Bước 4: Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo tham số. Bước 5: Giải phương trình, so sánh với điều kiện (1) để chọn kết quả thỏa mãn. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm m để hàm số 3 2 y x x mx 3 3 1 nghịch biến trên. Lời giải: Tập xác định của hàm số. Ta có 2 y x x m 3 6 3. Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi y x 0. Hay 2 2 3 6 3 x m x x x. Xét hàm số 2 f x trên có f x x f x. Từ bảng biên thiên ta có 1 m. Vậy với m 1 thì hàm số đã cho nghịch biến trên. Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 2 y x m x m m x m m 3 2 2 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên. Lời giải: Ta có 2 2 y x m x m m 3 2 1 2 3 2. Xét phương trình y 0 có. Suy ra phương trình y 0 luôn có hai nghiệm 1 2 x x với mọi m. Để hàm số đồng biến trên 2 phương trình y 0 có hai nghiệm 1 2 x x . Ví dụ 3: Tìm m để hàm số mx 4 y x m nghịch biến trên Lời giải: Tập xác định m. Ta có m y x m. Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi y x 0. Vậy với m 2 1 hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Ví dụ 4. Tìm a để hàm số 3 2 y x x ax a 3 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. Lời giải: Tập xác định của hàm số. Ta có: 2 3 6 y y x. Với 9 3 0 3 0 a a y hàm số luôn đồng biến trên mâu thuẫn giả thiết. Do đó a 3 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với 9 3 0 3 a a y có hai nghiệm x x x x 1 2 1 2. Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi (thỏa mãn). Vậy với 9 4 a hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 . 3. Bài tập Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 3 2 y x m x m m 1 3 2 nghịch biến trên đoạn 0 1. Lời giải Chọn C Đạo hàm y x m x. Do đó y 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x m x m. Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số nghịch biến trên. Câu 2: Biết rằng hàm số 3 1 9 1 y x m x x (với m là tham số thực) nghịch biến trên khoảng x x 1 2 và đồng biến trên các khoảng giao với 2 bằng rỗng. Tìm tất cả các giá trị của m để 1 2 x x 6 3? Lời giải: Chọn D. Ta có 2 y x m x 6 1 9. Yêu cầu bài toán y 0 có hai nghiệm phân biệt 1x 2x thỏa mãn 1 2 x x 6 3. Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2 y x x mx m 3 giảm trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng 1? Lời giải: Chọn D Ta có 2 y x x m. Yêu cầu bài toán y 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x thỏa mãn 1 2 x x. Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số x 1 y x m nghịch biến trên khoảng?
Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l. Bước 1: Tính y'=f'(x). Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: (1). Bước 3: Biến đổi |x1-x2 | = l thành (x1+x2 )2 - 4x1.x2=l2 (2). Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m. Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. Kiến thức cần nhớHàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3+bx2+ cx + d (a ≠ 0) ⇒ f'(x)=3ax2+ 2bx + c Sử dụng định lý vi ét cho tam thức bậc hai f'(x)= 3ax2 + 2bx + c có Ví dụ minh họaVí dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 1/3 x3 - 2mx2 + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3. Hướng dẫn Ta có f'(x) = x2 - 4mx + 2m Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 |=3 + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 4m2 - 2m > 0 ⇔ Theo Vi ét ta có + Với |x1-x2 | = 3 ⇔ (x1 + x1)2 - 4x1 x2 - 9 = 0 Vậy giá trị của m cần tìm là m= . Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = -x3 + 3x2 + (m-1)x + 2m - 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 Hướng dẫn Ta có f'(x)= -3x2 + 6x + m - 1 Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 | > 1 + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 3m + 6 > 0 ⇔ m > -2 Theo Vi ét ta có + Với |x1-x2 | > 1 ⇔ (x1+x2 )2-4x1 x2-1 > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > -5/4 Kết hợp điều kiện ta được m > -5/4 Ví dụ 3: Xác định m để hàm só y = -x4 +(m - 2) x2 + 1 có khoảng nghịch biến (x1;x2) và độ dài khoảng này bằng 1. Hướng dẫn Ta có y' = -4x3 + 2(m - 2)x Để hàm số có khoảng nghịch biến (x1;x2) thì phương trình -2x2 + m - 2 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt Giả sử x1 < 0 < x2, khi đó hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng (x1;0) và (x2; +∞) Vì độ dài khoảng nghịch biến bằng 1 nên khoảng (x1;0) có độ dài bằng 1 hay x1 = -1 Vì -2x2 + m - 2 = 0 có một nghiệm là -1 nên -2 + m - 2 = 0 ⇔ m = 4 (thỏa mãn) Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 4 Được cập nhật: hôm kia lúc 12:40:20 | Lượt xem: 4458 |
