Cách giải phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác cực hay Show Cách giải phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác cực hayA. Phương pháp giải & Ví dụĐịnh nghĩa: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx là phương trình có dạng f(sinx, cosx) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Cách giải: Liên quan: phương trình đẳng cấp bậc 2 Xét cosx = 0 xem có là nghiệm của phương trình không? Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho coskx (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tanx. Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho. Hoàn toàn tương tự ta có thể làm như trên đối với sinx. Ví dụ minh họaBài 1: 3sin2x + banmaynuocnong.com + (8√3-9) cos2x = 0 (1) Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1. Ta có (1) ⇔ 3=0 (vô lý) Xét cosx≠0. Chia cả hai vế của pt cho cos2x. Ta được :
 Bài 2: sin3x + banmaynuocnong.com2x + 3cos3x = 0 (2) Xét cosx = 0. Ta có (2) ⇔ sinx = 0 (vô lí do sin2x + cos2x = 1) Xét cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos3x. Ta được : (2) ⇔ tan3x + 2 tanx + 3 = 0
⇔ x = -π/4 + kπ (k ∈ Z) B. Bài tập vận dụngBài 1: Giải phương trình sin2 x-(√3+1)sinxcosx+√3 cos2 x=0 Lời giải: sin2x – (√3+1) sinx cosx + √3 cos2x = 0 (1) Xét cosx = 0. (1) sin2x = 0 → vô lý Xét cosx≠0. Chia cả hai vế của pt cho cos2x. Ta được : (1) ⇔ tan2x – (√3+1) tanx + √3 = 0 Bài 2: Giải phương trình: 2 cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0 Lời giải: Xét cosx = 0. Ta có . sin2x = 0 → vô lý Xét cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos2x. Ta được : 2 – 3 tanx + tan2x = 0 Bài 3: Giải phương trình: 3cos4x – 4cos2x sin2x + sin4x = 0 Lời giải: Xét cosx = 0: Ta có : sin4x = 0 (vô lý) Xét cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos4x. Ta được : 3 – 4 tan2x + tan4x = 0 Bài 4: Tìm m để phương trình (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 0 có nghiệm. Lời giải: Xét cosx = 0. Ta có : (m+1)sin2x = 0 ⇔ m = -1 Xét cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos2x. Ta được : (m+1)tan2x – 2 tanx + 2 = 0 Δ’ = 1-2m-2 = -2m-1 Để pt có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0 ⇔ – 2m-1 ≥ 0 ⇔ m ≤ -1/2 Vậy với m ≤ -1/2 thì pt đã cho có nghiệm Bài 5: Tìm điều kiện để phương trình a.sin2x + a.sinxcosx + b.cos2x = 0 với a ≠ 0 có nghiệm. Lời giải: Xét cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos2x. Ta được : a tan2x + atanx + b = 0 Δ = a2 – 4ab Để pt có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0 ⇔a2 – 4ab ≥ 0 ⇔ a-4b ≥ 0 ⇔ a ≥ 4b Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại banmaynuocnong.com
Phương trình dạng \({a{{\sin }^2}x + b\sin x\cos x + c{{\cos }^2}x = 0}\) Cách giải. +) Kiểm tra \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) có là nghiệm của phương trình hay không. +) Khi \(\cos x \ne 0\), chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta thu được phương trình \(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0.\) Đây là phương trình bậc hai đối với \(\tan x\) mà ta đã biết cách giải.
Đặc biệt. Phương trình dạng \(a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\) ta làm như sau: Phương trình \( \Leftrightarrow a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d.1\) \( \Leftrightarrow a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\sin ^2}x + b\sin x\cos x + \left( {c - d} \right){\cos ^2}x = 0.\) Ví dụ: Giải phương trình:\(4{\cos ^2}\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 3si{n^2}\dfrac{x}{2} = 3\) Giải +) TH1: \(\cos \dfrac{x}{2} = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x = 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} = 0\\{\sin ^2}\dfrac{x}{2} = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {4.0^2} + \dfrac{1}{2}.0 + 3.1 = 3\) (luôn đúng) \( \Rightarrow \cos \dfrac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) là nghiệm của phương trình. +) TH2: \(\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình có \(\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\) ta được phương trình tương đương: \(\begin{array}{l}4\dfrac{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + \dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + 3\dfrac{{si{n^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{3}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ \Leftrightarrow 4 + \tan \dfrac{x}{2} + 3{\tan ^2}\dfrac{x}{2} = 3\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)\end{array}\) Đặt t = tan\(\dfrac{x}{2}\) thì phương trình trở thành: \(3{t^2} + t + 4 = 3\left( {1 + {t^2}} \right)\) \(t = - 1 \Leftrightarrow \tan \dfrac{x}{2} = - 1 \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm. Skip to contentPHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI VÀ BẬC BA ĐỐI VỚI SIN VÀ COS A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Nhận biết: Phương trình đẳng cấp là phương trình chứa ( sin ), ( cos ) thỏa mãn bậc của tất cả các hạng tử đều là số chẵn, hoặc đều là số lẻ. Chẳng hạn: ( bullet ) ( sin x), ( cos x) bậc một. ( bullet ) ({sin ^2}x,co{s^2}x,sin xcos x) bậc hai. ( bullet ) ({sin ^3}x,co{s^3}x,{sin ^2}xcos x,sin x{cos ^2}x,cos 3x,sin 3x) đều bậc 3. Cách giải: Ta xét hai trường hợp sau: ( bullet ) Trường hợp 1: (cos x = 0) ( bullet ) Trường hợp 2: (cos x ne 0). Khi đó ta sẽ chia cả 2 vế cho ({cos ^m}x) (ở đó m là bậc của phương trình đẳng cấp), ta được phương trình bậc m với ẩn là (tan x). (Tương tự đối vơi việc chia cho ( sin x) để đưa về ( cot x).) B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 – Xem ngay |
