Phép cộng véc-tơ, phép trừ hai véc-tơ là những phép toán cơ bản, cùng với phép nhân véc-tơ với một số thực và tích vô hướng của hai véc-tơ. Show
Trước khi học bài này, các em học sinh cần nắm vững kiến thức Véc-tơ là gì? SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J11. Phép cộng véc-tơ (tổng của hai véc-tơ)1.1. Phép cộng hai véc-tơPhép cộng hai véc-tơ $ \vec{a}+\vec{b}$ trong mặt phẳng.
Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng các véc-tơ: SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1
Hướng dẫn.
1.2. Quy tắc ba điểmChú ý rằng, định nghĩa trên hoàn toàn không phụ thuộc vào việc chọn vị trí điểm $ O $. Do đó ta có thể chọn nó trùng với điểm đầu của một trong hai véc-tơ và việc dựng các véc-tơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{AB}$ sẽ trở nên dễ dàng hơn. Chẳng hạn, chúng ta chọn $O$ trùng với điểm đầu của $\vec{a}$ thì $\overrightarrow{OA}$ chính là $\vec{a}$ nên ta chỉ cần dựng $\overrightarrow{AB}$. SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1Khi đó, chúng ta có quy tắc ba điểm quy tắc ba điểm như sau: SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1
Tức là, để di chuyển một vật từ vị trí $ A $ đến vị trí $ B $, thay vì đi thẳng trực tiếp từ $ A $ tới $ B $, chúng ta có thể đi từ $ A $ tới một điểm $ M $ nào đó, rồi mới từ $ M $ tới $ B. $ Quy tắc này cũng có thể mở rộng ra cho $ n $ điểm. SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1Lưu ý, về mặt bản chất, phép cộng hai véc-tơ $ \vec{a}$ và $\vec{b}$ là chúng ta thay thế (dựng) các véc-tơ đó bằng các véc-tơ lần lượt bằng $ \vec{a}, \vec{b}$. Nhưng các véc-tơ mới này có đặc điểm là chúng nối tiếp nhau (điểm đầu của véc-tơ này lại là điểm cuối của véc-tơ kia). Hiển nhiên, nếu có $\vec{c}=\vec{b}$ thì $$\vec{a}+\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}.$$ SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1Ví dụ 2. Cho hình vuông $ ABCD $ có cạnh dài 5 cm, hãy tính độ dài của các véc-tơ:
Hướng dẫn. Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1
Ví dụ 3. Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A, AB=a,AC=2a. $ Tính độ dài của véc-tơ $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}$ và $ \overrightarrow{BA} +\overrightarrow{CB} $. SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J11.3. Quy tắc hình bình hành
Chứng minh. Theo quy tắc ba điểm, chúng ta có $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$ Mặt khác, vì $ ABCD $ là hình bình hành nên dễ dàng chỉ ra được $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, do đó $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$$ SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1Ví dụ 4. Cho hai lực $ \overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2} $ đều có độ lớn 50N, điểm đặt tại $ O $ và hợp với nhau góc $ 60^\circ. $ Tính độ lớn lực tổng hợp của hai lực này. Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{F}=\overrightarrow{OF} $ trong đó tứ giác $ OF_1FF_2 $ là hình thoi. Do đó $ |\overrightarrow{F}|=50\sqrt{3} $ N. SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1Ví dụ 5. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $, tâm là điểm $ O $. Hãy dựng và tính độ dài của các véc-tơ sau:
Ví dụ 6. Cho bốn điểm $ A,B,C,D $, chứng minh rằng \[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}. \] SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1Hướng dẫn. Chúng ta biến đổi vế trái của đẳng thức trên $$VT = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CD} } \right) = VP$$ SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1Ví dụ 7. Cho năm điểm $ A,B,C,D,E $, chứng minh rằng Ví dụ 8. Cho sáu điểm $ A,B,C,D,E,F $, chứng minh rằng Ví dụ 9. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O. $ Chứng minh rằng 2. Phép trừ hai vecto (Hiệu của hai véc-tơ)2.1. Véc-tơ đốiHai véc-tơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và có độ dài bằng nhau. Véc-tơ đối của $ \vec{a} $ được lí hiệu là $ -\vec{a}. $ SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ABCD$, hãy chỉ ra một số cặp véc-tơ đối nhau. Ví dụ 2. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O $, chứng minh rằng 2.2. Hiệu của hai véc-tơHiệu của hai véc-tơ $ \vec{a} $ và $ \vec{b} $ là tổng của $ \vec{a} $ và véc-tơ đối của $ \vec{b} $, kí hiệu là $ \vec{a}-\vec{b} $. Ví dụ 3. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $ AB=3,AD=4. $ Dựng và tính độ dài của véc-tơ Ví dụ 4. Cho tam giác đều $ ABC $ có cạnh bằng $ a $ và $ I $ là trung điểm của $ BC $. Tính độ dài của các véc-tơ Ví
dụ 5. Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Chứng minh rằng Ví dụ 6. Cho tứ giác $ ABCD $ có $ O $ là trung điểm $
AB $. Chứng minh rằng Ví dụ 7. Cho tam giác $ABC$ có $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm của $ BC, CA, AB $ và $ O $ là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng Ví dụ 8. Cho sáu điểm $ A,B,C,D,E,F $. Chứng minh rằng
Ví dụ 9. Cho tam giác $ ABC $. Hãy xác định điểm $ M $ sao cho: SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1
Hướng dẫn.
Ví dụ 10. Cho hai điểm $ A $ và $ B $ phân biệt, có thể tìm được điểm $ M $ thoả mãn một trong các điều kiện sau hay không? SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1
|