Hướng dẫn chứng minh không gian con

A 0 NG 4. KHÔNG GIAN VECTOR ____________________________________ Ph ng pháp: Ch ng minh V H ng d n: H ng d n: H ng d n: Trong các t p h p con W H ng d n

A 0 NG 4. KHÔNG GIAN VECTOR ____________________________________ Ph ng pháp: Ch ng minh V H ng d n: H ng d n: H ng d n: Trong các t p h p con W H ng d n

Phương pháp: -Kiểm tra các phép toán cộng và nhân vô hướng được định nghĩa trên tập hợp V thỏa các tiên đề của không gian vector.

Định nghĩa 3.9. Cho V là một không gian véctơ, W là một tập con của V. Nếu W cùng với hai phép toán thừa hưởng từV cũng là một không gian véctơ thì W được gọi là không gian véctơ con củaV.

2.2 Điều kiện cần và đủ để W ⊂ V là không gian véctơ

con

Định lý 3.7. Tập con khác rỗngW ⊂ V là không gian véctơ con của V nếu và chỉ nếuW

khép kín với hai phép toán trênV, nghĩa là

  

α+β∈W, ∀α,β∈W

aα ∈W, ∀a∈ R,α∈ W

2.3 Không gian con sinh bởi một họ véctơ

Định nghĩa 3.10. ChoV là một không gian véctơ.S ={v1,v2, . . . ,vn} là một họ các véctơ củaV. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các véctơ củaSđược gọi là bao tuyến tính củaS, kí hiệuspan(S).

span(S) = {c1v1+c2v2+. . .cnvn|c1, . . . ,cn ∈ R}

Định lý 3.8. W =span(V) là một không gian véctơ con củaV.

2.4 Hệ sinh của một không gian véctơ

Định nghĩa 3.11. ChoV là một không gian véctơ.S= {v1,v2, . . . ,vn} là một họ các véctơ củaV. Nếuspan(S) =V thi ta nói họ Ssinh raVhay không gian Vsinh bởi họS.

2.5 Bài tập

Bài tập 3.2. Chứng minh các tập hợp con của các không gian véc tơ quen thuộc sau là các không gian véc tơ con của chúng:

1. TậpE =(x1,x2,x3)∈ R3|2x1−5x2+3x3=0 .

48 Chương 3. Không gian véctơ.

3. Tập các ma trận tam giác trên của tập các ma trận vuông cấp n.

4. Tập các ma trận đối xứng của tập các ma trận vuông cấpn.

5. Tập các ma trận phản xứng của tập các ma trận vuông cấpn.

6. Tập các hàm khả vi trong không gian các hàm số xác định trên [a,b].

Bài tập 3.3. ChoV1,V2là hai không gian véc tơ con của KGVTV. Chứng minh:

1. V1∩V2là KGVT con củaV.

2. ChoV1+V2:={x1+x2 |x1 ∈ V1,x2∈ V2}. Chứng minhV1+V2là KGVT con củaV. Lời giải.

1. 1. Giả sửx,y ∈V1∩V2. Khi đóx,y ∈V1và x,y ∈V2. VìV1và V2là các không gian véctơ con củaV nên x+y ∈V1, và x+y ∈V2. Vậy x+y ∈V1∩V2.

2. Tương tự nếux ∈V1∩V2 thìkx ∈V1∩V2.

2. 1. Giả sử x,y ∈ V1+V2. Khi đó x = x1+x2,y = y1+y2 với x1,y1 ∈ V1,x2,y2 ∈ V2. Khi đó x+y = (x1+x2) + (y1+y2) = (x1+y1) + (x2+y2) ∈ V1+V2.

2. Tương tự, nếux ∈ V1+V2 thìkx ∈V1+V2.

Bài tập 3.4. ChoV1,V2là hai không gian véc tơ con của KGVTV. Ta nóiV1,V2là bù nhau nếuV1+V2 =V,V1∩V2 ={0}. Chứng minh rằngV1,V2bù nhau khi và chỉ khi mọi véc tơ

xcủaV có biểu diễn duy nhất dưới dạngx= x1+x2, (x1 ∈ V1,x2∈ V2).

Lời giải. ⇒ Vì V = V1+V2 cho nên mỗi véctơ x ∈ V có biểu diễn x = x1+x2(x1 ∈

V1,x2 ∈ V2). Ta chỉ cần chứng minh biểu diễn này là duy nhất, thật vậy, giả sử

x = x1+x2 = x01+x20 với x1,x01 ∈ V1,x2,x02 ∈ V2. Khi đó ta có x1−x01 = x20 −x2. Nhưng vì V1,V2 là các không gian véctơ con củaV nên x1−x10 ∈ V1,x20 −x2 ∈ V2. Do đó x1−x01 =x20 −x2 ∈ V1∩V2 ={0} Vậy x1= x01,x2= x02và ta có biểu diễn đã cho là duy nhất.

Trong không gian $\mathbb{R}^{n}$, xác định một cơ sở và số chiều của không gian véc tơ $U=Sp(v_{1},v_{2},..,v_{m})$

Cách giải:

Bước 1: Lập ma trận $A=\begin{pmatrix} v_{1}\\ v_{2}\\ ...\\ v_{m} \end{pmatrix}$

Bước 2: Biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận A về ma trận bậc thang có r hàng khác không.

Bước 3: Kết luận

• Số chiều của U là r
• Một cơ sở của U là r hàng khác không trong ma trận bậc thang hay r véc tơ tương ứng trong $\left \{ v_{1},v_{2},..,v_{m} \right \}$

............................................................................ Bài toán tổng quát hơn là:

Trong không gian véc tơ V, xác định một cơ sở và số chiều của không gian véc tơ $W=Sp(u_{1},u_{2},..,u_{m})$

Cách giải:

Vì mọi không gian véc tơ hữu hạn chiều (có số chiều bằng n) đều đẳng cấu với $R^{n}$ nên ta sẽ chuyển việc xét trong không gian V về xét trong không gian $R^{n}$ tương ứng.

+ Để xét $P_{n}[x]=\left \{ a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}:a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,n} \right \}$ ta xét trong $\mathbb{R}^{n+1}=\left \{ (a_{0},a_{1},...,a_{n}):a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,n} \right \}$

+ Để xét $M_{2}(\mathbb{R})=\left \{ \bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ c & d \end{smallmatrix}\bigr):a,b,c,d\in \mathbb{R} \right \}$ ta xét trong $\mathbb{R}^{4}=\left \{ (a,b,c,d):a,b,c,d\in \mathbb{R} \right \}$

Vậy: Trong không gian V để tìm một cơ sở và số chiều của $W=Sp(u_{1},u_{2},..,u_{m})$ ta chuyển sang tìm một cơ sở và số chiều của $U=Sp(v_{1},v_{2},..,v_{m})$ tương ứng trong $\mathbb{R}^{n}$. Tức là chuyển về bài toán cơ bản ở trên

Ví dụ 1:

Trong $P_{2}[x]=\left \{ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}:a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,2} \right \}$, xác định một cơ sở và số chiều của

$W=Sp(u_{1}=1+3x+2x^{2},u_{2}=2+6x+4x^{2},u_{3}=x+3x^{2})$

Giải:

Xét ma trận:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 2 & 6 & 4\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Suy ra một cơ sở của W là: $\left \{ 1+3x+2x^{2},x+3x^{2} \right \}$ Và $dimW=2$

Ví dụ 2:

Trong $M_{2}(\mathbb{R})$, xác định một có sở và số chiều của không gian W sinh bởi hệ véc tơ

$\left \{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \}$

Giải:

Ta có:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0 & 0\\ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -1 & -2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -4 & -5 \end{pmatrix}$

Suy ra một cơ sở của W là: $\left \{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \}$

Và $dimW=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-11-2016 - 16:09

Võ Văn Đức

Đã gửi 20-01-2016 - 15:41

HulkGreen

Lính mới

• 
• Thành viên mới
• 
• 2 Bài viết

Anh Đức nói rõ giùm em VD2 với sao viết được ma trận A như thế hả anh.

Đã gửi 20-01-2016 - 18:23

An Infinitesimal

Đại úy

• 
• Thành viên
• 
• 1803 Bài viết

  Ví dụ 2:

Trong $M_{2}(\mathbb{R})$, xác định một có sở và số chiều của không gian W sinh bởi hệ véc tơ

$\left \{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \}$

Giải:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0 & 0\\ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -1 & -2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -4 & -5 \end{pmatrix}$

Anh Đức nói rõ giùm em VD2 với sao viết được ma trận A như thế hả anh.

Ta thực hiện đồng nhất sau

$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\equiv (a,b,c,d).$

Khi đó

(Có điều chỉnh $A_{2,4}$)

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$

Đời người là một hành trình...

Đã gửi 20-01-2016 - 19:33

HulkGreen

Lính mới

• 
• Thành viên mới
• 
• 2 Bài viết

Mà nếu nó cho hệ phương trình và tìm cơ sở không gian nghiệm cũng là như thế hả anh. Nếu làm hệ thì dùng ma trận bổ sung hay ma trận thường thui ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HulkGreen: 20-01-2016 - 19:44

Đã gửi 23-01-2016 - 21:59

An Infinitesimal

Đại úy

• 
• Thành viên
• 
• 1803 Bài viết

  Mà nếu nó cho hệ phương trình và tìm cơ sở không gian nghiệm cũng là như thế hả anh. Nếu làm hệ thì dùng ma trận bổ sung hay ma trận thường thui ạ.

Dùng ma trận hệ số là đủ rồi! Vì bất kỳ biến đổi sơ cấp trên dòng thì kết quả trên ma trận hệ số và ma trận bổ sung chỉ sai khác 1 cột không.