Hướng dẫn biến đổi chuỗi fourier

Tôi vừa đến từ một lớp học về Biến đổi Fourier được áp dụng cho xử lý tín hiệu và âm thanh. Tất cả có vẻ khá trừu tượng đối với tôi, vì vậy tôi đã tự hỏi liệu có hệ thống vật lý nào hoạt động giống như một phép biến đổi Fourier không.

Nội dung chính Show

3.5.1 Tính tuyến tính
3.5.2 Tính chất trễ
3.5.3 Tính đối xứng
3.5.6 Biến đổi Fourier của tích
3.5.8 Quan hệ Parseval
GIẢI THUẬT TÍNH BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH
1.2 Tín hiệu rời rạc
1.2.1 Định nghĩa
1.4.1 Tính chất của tổng chập
2.2.1 Định nghĩa
2.6.2 Giải PTSP
2.7.1 Hàm truyền đạt của hệ tuyến tính bất biến (TTBB)
2.9.1 Hàm truyền đạt của hệ TTBB ổn định
TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC
3.5.1 Tính tuyến tính
3.5.2 Tính chất trễ
3.5.3 Tính đối xứng
3.5.6 Biến đổi Fourier của tích
3.5.8 Quan hệ Parseval
GIẢI THUẬT TÍNH BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH

Nghĩa là, nếu cho một sóng, một quá trình hoàn toàn vật lý sẽ "quay trở lại" biến đổi Fourier theo một cách nào đó có ý nghĩa. Giống như, bạn cho nó một làn sóng âm thanh và bạn sẽ thấy, "Ồ, có rất nhiều thành phần của tần số 1kHz ... một số thành phần của tần số 10kHz ... một số là 500Hz ..."

Tôi đã thấy những điều xảy ra ở đó, nếu bạn đặt cát lên loa, cát sẽ bắt đầu hình thành các mẫu trên loa có liên quan đến các bước sóng / tần số cơ bản chủ đạo của âm thanh. Đây có phải là một dạng biến đổi vật lý tự nhiên không?

Tôi thấy rằng hai ví dụ về quang học đã được đề cập, cách tử nhiễu xạ của Mark Eichenlaub và thấu kính của sigoldberg1. Tôi muốn nói rõ hơn một chút, vì có sự khác biệt nhỏ giữa hai thứ.

Một mặt, cách tử nhiễu xạ phân tách ánh sáng có tần số khác nhau, tức là màu sắc, biến chúng thành các vị trí khác nhau. Điều này tương tự như cách hoạt động của phép biến đổi Fourier 1-D đối với tín hiệu âm thanh hoặc điện.

Mặt khác, một thấu kính thực hiện phép biến đổi Fourier 2-D của một đơn sắc chùm tia ánh sáng. Đơn sắc có nghĩa là chỉ có một tần số hoặc một màu. Bạn có thể thắc mắc tại sao biến đổi Fourier không phải là một đỉnh đơn lẻ, nếu chỉ có một tần số trong ánh sáng. Đó là bởi vì ống kính biến đổi tần số không gian (gần tương đương với góc, nhưng tôi sẽ giải thích chúng bên dưới) thành các vị trí. Về mặt toán học, đây là cùng một phép biến đổi Fourier, nhưng nó biến đổi một đặc tính hoàn toàn khác của ánh sáng.

Tôi mất nhiều thời gian nhất để hiểu chính xác tần số không gian là gì. Cuối cùng tôi cũng hiểu được vào một ngày nọ, khi đọc chương 4, "Fourier Optics", của Các nguyên tắc cơ bản về Quang tử của Saleh và Teich, mà tôi hết lòng giới thiệu nếu bạn không hiểu lời giải thích của tôi ở đây.

Bạn có thể đã học trong lớp của mình rằng bạn có thể viết bất kỳ tín hiệu nào dưới dạng chuỗi Fourier, là tổng các thành phần tần số, mỗi thành phần có biên độ và pha riêng của chúng. Biến đổi Fourier là một loại phiên bản liên tục của điều đó. Chà, bạn có thể biểu diễn bất kỳ chùm ánh sáng đơn sắc nào dưới dạng tổng hợp của nhiều sóng phẳng truyền theo các góc khác nhau, tất cả đều có cùng tần số, nhưng mỗi sóng có biên độ và pha riêng. Điều này có bắt đầu nghe quen thuộc không? Mỗi sóng mặt phẳng này là một tần số không gian . Cũng giống như bước từ chuỗi Fourier đến biến đổi Fourier, bạn có thể thực hiện bước từ tần số không gian rời rạc sang biến đổi Fourier 2-D.

Một thấu kính tích cực hội tụ mỗi tần số không gian này vào một điểm riêng biệt. Ví dụ: đây là hình minh họa về hai sóng phẳng khác nhau được thấu kính hội tụ.

Khi sóng phẳng chạm vào mặt thấu kính, thấu kính sẽ hội tụ nó thành điểm trên trục quang học, tại tiêu cự của thấu kính.

Tuy nhiên, khi sóng phẳng tới một góc, tiêu điểm vẫn ở tiêu điểm. khoảng cách, nhưng bị dịch chuyển khỏi trục quang học. Đây là cách thấu kính biến đổi "góc" thành vị trí.

Vì vậy, nếu bạn có một chùm sáng phức tạp hơn được tạo thành từ nhiều tần số không gian (như tôi đã nói, chỉ là sóng phẳng), chúng đều được hội tụ để tách các điểm trong cùng một mặt phẳng ở mặt bên kia của thấu kính, cách một tiêu cự. Đây là lý do tại sao chúng ta nói rằng nó tính toán biến đổi Fourier 2-D của một chùm ánh sáng đơn sắc. Trên thực tế, vào những năm 1970, khi máy tính chưa nhanh như vậy, người ta đã thực sự thử nghiệm việc sử dụng thấu kính để tính toán các phép biến đổi Fourier ngay lập tức!

Cho tín hiệu rời rạc x(n), phép biến đổi Fourier của x(n) được định nghĩa như sau:

Như vậy phép biến đổi Fourier đã chuyển tín hiệu x(n) từ miền thời gian sang miền tần số ω (hay tần số f = ω/2π). Chúng ta sẽ dùng ký hiệu sau để mô tả phép biến đổi Fourier của tín hiệu x(n)

Biểu diễn dưới dạng phần thực và phần ảo

Bởi vì X(ejω) là một hàm biến phức nên ta có thể biểu diễn nó trong miền tần số ω dưới dạng phần thực và phần ảo như biểu thức dưới đây:

: là phần thực của X(ejω)

: là phần ảo của X(ejω)

Biểu diễn dưới dạng biên độ và pha

X(ejω) làm một hàm biến số phức vậy ta có thể biểu diễn nó dưới dạng module và argument như sau:

|X(ejω)|: được gọi là phổ biên độ của x(n)

arg(X(ejω)): được gọi là phổ pha của x(n)

Ta có quan hệ sau:

Phép biến đổi Fourier hội tụ khi và chỉ khi x(n) thoả mãn điều kiện:

Từ đó suy ra

Nói cách khác phép biến đổi Fourier luôn hội tụ với các tín hiệu có năng lượng hữu hạn.

Ví dụ: Cho x(n) = RECTN(n). Hãy tính và vẽ phổ biên độ của x(n)

3.4 Phép biến đổi Fourier ngược

Định lý:

Mặt khác ta xét công thức biến đổi Fourier trong 3.3:

Áp dụng định lý nêu trên vào đẳng thức cuối cùng ta có được:

Đây chính là công thức biến đổi Fourier ngược, cho phép chuyển tín hiệu từ miền tần số về miền thời gian.

Ví dụ: cho

Hãy tính x(n).

3.5.1 Tính tuyến tính

FT(αx1(n)+βx2(n))=αFT(x1(n))+βFT(x2(n))

Trong đó α, β là các hằng số thực, x1(n) và x2(n) là các tín hiệu rời rạc.

3.5.2 Tính chất trễ

FT(x(n-k)) = e-jωkFT(x(n))

Trong đó k là một hằng số nguyên, x(n) là một tín hiệu rời rạc

3.5.3 Tính đối xứng

Xét tín hiệu rời rạc x(n), giả sử x*(n) là liên hợp phức của x(n). Khi đó ta có: FT(x(n)) = X(ejω)

FT(x*(n)) = X*(e-jω)

Trong đó X*(ejω) là liên hợp phức của X(e-jω). Từ đó ta có thể suy ra:

Nếu x(n) là thực (x(n)=x*(n)) thì phổ biến độ |X(ejω)| là hàm chẵn và phổ pha arg[X(ejω)] là hàm lẻ.

Xét tín hiệu rời rạc x(n), biến đổi Fourier của x(n) là: FT(x(n)) = X(ejω). Khi đó x(-n) có biến đổi Fourier là: FT(x(-n)) = |X(ejω)|e-jφ(ω), trong đó:

φ(ω) = arg[X(ejω)]. Như vậy ta thấy rằng phổ biên độ của 2 tín hiệu x(n) và x(-n) như nhau, còn phổ pha của chúng thì trái dấu.

FT(x1(n)*x2(n))=FT(x1(n))FT(x2(n))

Trong đó x1(n) và x2(n) là các tín hiệu rời rạc.

3.5.6 Biến đổi Fourier của tích

FT(x1(n)x2(n)) = FT(x1(n))*FT(x2(n))

Trong đó x1(n) và x2(n) là các tín hiệu rời rạc. Phép * ở trên là phép tích chập của 2 tín hiệu liên tục, được định nghĩa như sau:

Nếu FT(x(n))=X(ejω) thì

3.5.8 Quan hệ Parseval

Công thức trên cho ta thấy năng lượng của tín hiệu trên miền thời gian và miền tần số luôn bằng nhau.

Tóm tắt bài giảng(12): Thời lượng 3 tiết

So sánh phép biến đổi Fourier với phép biến đổi Z
Đánh giá phép biến đổi Fourier trên miền Z
Biểu diễn hệ rời rạc trên miền tần số
- Đáp ứng tần số của hệ
- Quan hệ vào ra trên miền tần số
- Ý nghĩa của đáp ứng tần số
- Các bộ lọc lý tưởng

Quan sát công thức biến đổi Z trong chương số 2

và công thức biến đổi Fourier trong mục 3.3

ta thấy ngay rằng: X(ejω) = X(z) khi z = ejω hay khi điểm phức z di chuyển trên đường tròn đơn vị thuộc mặt phẳng phức.

Ở trên ta thấy rằng phép biến đổi Fourier là một trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Z. Do đó người ta có thể sử dụng phép biến đổi Z như một công cụ toán học để giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến đổi Fourier như xác định phổ biên độ hay phổ pha của một tín hiệu. Sau đây ta sẽ xem xét phương pháp đánh giá X(ejω) sử dụng X(z).

Giả sử X(z) được biểu diễn ở dạng cực và không (dạng thường thấy)

Trong đó z0 và zp là các điểm không và cực của X(z), M,N là số không và cực tương ứng. Khi đó thay z = ejω vào đẳng thức trên ta được X(ejω) như sau:

Đặt

Khi đó ta có thể viết X(ejω) ở dạng sau:

Từ đó suy ra:

Ví dụ: Cho

Hãy đánh giá X(ejω) với ω=π/3.

Trong chương 1 chúng ta đã biết rằng đáp ứng xung h(n) là một tham số đặc trưng cho hệ xử lý tín hiệu TTBB, mặt khác h(n) chính là tín hiệu ra khi tín hiệu vào hệ là δ(n) hay: h(n) = T(δ(n)). Chuyển sang miền tần số ta có tín hiệu vào

X(ejω) = FT(δ(n)) = ejωn

Khi đó đáp ứng ta của hệ được tính như sau:

Đặt

khi đó ta có:

H(ejω) được gọi là đáp ứng tần số của hệ TTBB.

Nhận xét: Đáp ứng tần số của hệ TTBB chính là biến đổi Fourier của đáp ứng xung. Từ đó ta có cặp công thức:

Theo tính chất biến đổi Fourier của tổng chập mà ta xét ở trên thì ta có:

Trên miền thời gian: y(n) = x(n)*h(n)

Trên miền tần số: Y(ejω) = X(ejω)H(ejω)

Ý nghĩa: Phổ của tín hiệu cho ta biết các thành phần tần số của tín hiệu còn đáp ứng tần số của hệ TTBB cho ta biết ứng xử của hệ TTBB với các thành phần tần số của tín hiệu vào.

Bộ lọc thông thấp lý tưởng

Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng được định nghĩa như sau:

Hình dưới đây minh hoạ đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp lý tưởng

H3.6 – Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp lý tưởng

Ví dụ: Xét bộ lọc thông thấp lý tưởng có đáp ứng xung cho bởi

Sử dụng công thức biến đổi Fourier ngược ta có thể tính được đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng như sau:

Nhận xét:

Đáp ứng xung h(n) là đối xứng
Đáp ứng xung h(n) không nhân quả
Bộ lọc thông thấp lý tưởng không thực hiện được về mặt vật lý

Bộ lọc thông cao lý tưởng

Bộ lọc thông cao lý tưởng có đáp ứng biên độ được cho bởi

H3.7 – Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông cao lý tưởng

Bộ lọc thông dải lý tưởng

Bộ lọc thông dải lý tưởng có đáp ứng biên độ cho bởi

H3.8 – Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông dải lý tưởng

Tóm tắt bài giảng(13): Thời lượng 3 tiết

Ôn tập chương 3
Làm bài tập chương 3

GIẢI THUẬT TÍNH BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH

Tóm tắt bài giảng(14): Thời lượng 3 tiết

Nhắc lại nhanh về phép biến đổi Fourier liên tục
Phép biến đổi Fourier thuận và nghịch
Lấy ví dụ tính trực tiếp DFT
Giải thuật FFT
Lấy ví dụ tính theo giải thuật FFT và so sánh với cách tính trực tiếp
Giao bài tập thực hành về lập trình FFT
Hàm cửa sổ

Trong chương số 3 chúng ta đã biết đến phép biến đổi Fourier liên tục của tín hiệu rời rạc x(n):

. Chúng ta thấy ngay rằng trong công thức trên X(ejω) là một hàm số phức liên tục theo ω, do đó phổ biên độ và phổ pha tương ứng cũng sẽ là các hàm thực liên tục theo biên số ω tương ứng. Mặt khác để cài đặt trong thực tế chúng ta chỉ có thể lưu trữ được số lượng hữu hạn các giá trị rời rạc, do đó trong phần này chúng ta sẽ xem xét một biểu diễn rời rạc của công thức biến đổi Fourier nói trên. Trước hết ta sẽ rời rạc hoá miền giá trị ω từ 0 đến 2π thành N điểm với khoảng cách 2π/N.

Khi đó giá trị của X(ejω) tại các điểm rời rạc

được tính bằng:

Trong đó khoảng [-∞,+∞] là chu kỳ của tín hiệu của tín hiệu không tuần hoàn. Do đó với tín hiệu x(n) tuần hoàn với chu kỳ N ta có công thức sau:

Công thức trên được gọi là phép biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu tuần hoàn.

Nhận xét: Các giá trị X(k) chính là các mẫu rời rạc của X(ejω).

Trong thực tế chúng ta thường chỉ thu được các tín hiệu rời rạc có số lượng mẫu hữu hạn (chiều dài hữu hạn) do đó để áp dụng được phép biến đổi Fourier rời rạc nói trên với tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn, ta sẽ xem tín hiệu có chiều dài hữu hạn như là một chu kỳ của một tín hiệu rời rạc tuần hoàn. Giả sử ta xét tín hiệu x(n) có N mẫu, khi đó ta sẽ xem x(n) như một chu kỳ của tín hiệu rời rạc tuần hoàn

. Áp dụng phép biến đổi Fourier rời rạc với tín hiệu

ta có:

Mặt khác ta thấy rằng

cũng là một tín hiệu rời rạc tuần hoàn với chu kỳ N và X(k) là một chu kỳ của

từ đó ta có công thức biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu x(n):

Từ công thức trên ta có thể tinh được x(n) bằng công thức biến đổi Fourier rời rạc ngược sau:

Ví dụ: Cho tín hiệu x(n) có độ dài 4 x(n) = {-1,1,2,3} Hãy tính các giá trị X(k) với k=0,1,2,3.

4.3 Giải thuật FFT

Trong phần 4.2 chúng ta đã xây dựng công thức biến đổi Fourier rời rạc tuy nhiên có thể thấy qua ví dụ trên rằng số lượng phép tính cần thực hiện là khá lớn tỷ lệ thuận với N2, hay nói cách khác công thức có độ phức tạp O(N2) do đó với các giá trị N lớn phương pháp tính trực tiếp sẽ tốn khá nhiều thời gian, sau đây ta sẽ xem xét giải thuật để tính biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu rời rạc có chiều dài N x(n) với độ phức tạp nhỏ hơn.

Đến đây chúng ta có thể thấy rằng chúng ta gặp lại 2 bài toán tính biến đổi Fourier rời rạc của 2 dãy con x(2r) và x(2l+1) với chiều dài N/2. Sử dụng các kỹ thuật đệ quy bài toán biến đổi Fourier rời rạc sẽ được giải quyết với độ phức tạp O(NlogN) nhỏ hơn rất nhiều so với việc ta tính toán trực tiếp công thức ban đầu độ phức tạp lên tới O(N2).

Ví dụ: Cho x(n) = {-1,1,2,3} Hãy tính X(k) với k=0,1,2,3 sử dụng cách tính trực tiếp và giải thuật FFT, So sánh số lượng phép tính cần thực hiện trong 2 phương pháp.

Chúng ta đều biết rằng trong công thức biến đổi Fourier liên tục

tín hiệu được giả định là tồn tại trên toàn trực thời gian từ -∞ đến +∞, trong khi đó thực tế ta luôn sử dụng từng đoạn có chiều dài hữu hạn (N) của tín hiệu x(n) (tín hiệu quan sát được) thu được bằng cách nhân x(n) với một hàm cửa sổ:

x’(n) = x(n)W(n)

W(n) – là một hàm cửa sổ, để giới hạn chiều dài quan sát x(n),Ví dụ: W(n) = RECTN(n).

Thực hiện phép biến đổi Fourier với tín hiệu x’(n) ta có:

X’(f) = X(f)*W(f)

Trong đó X(f) là phổ tín hiệu x(n) còn W(f) là phổ của hàm cửa sổ w(n). Như vậy để phổ của tín hiệu quan sát và tín hiệu gốc sai khác nhau ít nhất ta thấy rằng hàm W(f) cần có dạng của một xung đơn vị.

Dưới đây là một vài hàm cửa sổ quan trọng và phổ tương ứng:

Tóm tắt bài giảng(15): Thời lượng 1 tiết

Trả lời các câu hỏi, thắc mắc của sinh viên

BÀI TẬP MÔN XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Bài 1.1 Cho tín hiệu rời rạc

Hãy vẽ tín hiệu x(n), x(2n), x(n/2), x(n2), x(-n)

Bài 1.2 Hãy xem xét tính tuyến tính và bất biến của hệ sau:

T(x(n)) = x2(n)
T(x(n)) = nx(n)

Bài 1.3 Hãy tính tổng chập x(n)*h(n) biết rằng:

x(n) = u(n), h(n) = RECT3(n+1)
x(n) = RECT4(n-2), h(n) = u(n) – u(n-3)
x(n) = u(-n), h(n) = δ(n+3)+δ(n-2)

Bài 1.4 Cho 2 hệ TTBB như sau:

Hệ S1: y(n) = 2x(n) + x(n-2)

Hệ S2: y(n) = x(n+1)-x(n-1)

Ghép nối tiếp 2 hệ trên
Ghép song song 2 hệ trên

Hãy tìm quan hệ vào-ra của hệ tương đương

Bài 1.5 Cho 2 hệ TTBB có đáp ứng xung tương ứng là:

h2(n) = 3nu(n) và h2(n) = 2-n.

Ghép nối tiếp 2 hệ TTBB trên, hãy tìm đáp ứng xung của hệ tương đương.

Bài 1.6 Cho hệ TTBB có PTSP:

Hỏi hệ có ổn định không?

Bài 1.7 Giải PTST sau:

y(n) – 3y(n-1) – 4y(n-2) = x(n)+2x(n-1)

Với y(-1)=y(-2)=0 và x(n) = 4nu(n)

Bài 1.8 Cho hệ TTBB có PTSP sau:

y(n) + 2y(n-2) = 2x(n)-3x(n-1)+x(n-3)

Hãy sơ đồ chuẩn I và chuẩn II.

Bài 2.1 Cho tín hiệu rời rạc x(n) = u(n). Hãy tính X(z) và miền hội tụ của X(z).

Bài 2.2 Hãy tính tổng chập x1(n)*x2(n)*x3(n) sử dụng phép biến đổi Z

x1(n) = RECT3(n), x2(n) = u(n) – u(n-4), x3(n) = δ(n)

Bài 2.3 Dùng phương pháp thặng dư tìm x(n) biết

Bài 2.4 Hãy tính biến đổi Z ngược

với |z|>2

Bài 2.5 Sử dụng phép biến đổi Z một phía để giải PTST:

y(n) +2y(n-2)=2x(n)-3x(n-1)+x(n-3)

Biết y(n)=0 với n<0>n

Bài 2.6 Hãy khảo sát tính nhân quả và ổn định của hệ TTBB có PTSP:

y(n)+y(n-2)=x(n)+3x(n-1)+x(n-2)

Vẽ sơ đồ chuẩn I và II.

Bài 2.7 Cho hệ TTBB có PTSP:

2y(n)+y(n-1)=x(n)-3x(n-1)+2x(n-2)

Xác định hàm truyền đạt của hệ
Hệ có nhân quả và ổn định không

Bài 3.1 Cho bộ lọc thông thấp lý tưởng có đáp ứng tần số:

Hãy vẽ đáp ứng biên độ và tính đáp ứng xung của hệ. Hệ có nhân quả không?

Bài 3.2 Một hệ FIR có đáp ứng xung h(0)=h(1)=α, h(2)=β, h(n)=0 với các giá trị n còn lại. Hãy tính đáp ứng biên độ của hệ.

Bài 3.3 Cho hệ TTBB có đáp ứng xung

Tính đáp ứng tần số của hệ
Tìm y(n) biết x(n) = Aejπ/2

Bài 3.4 Cho hệ TTBB có PTSP

y(n) +y(n-2)= x(n)+x(n-1)

Tính đáp ứng tần số và hàm truyền đạt của hệ.

Bài 4.1 Cho tín hiệu rời rạc x(n) = {-1,2,3,4} Tính X(k),k = 0..3

Bài 4.2 Sử dụng giải thuật FFT hãy tính X(k), k=0..7 của dãy sau

x(n)={-1,2,4,-3,4,2,2,4}

Chia sẻ với bạn bè của bạn:

Page 2

Độ chính xác cao
Sao chép trung thực nhiều lần
Không bị ảnh hưởng của môi trường
Cho phép giảm dung lượng lưu trữ , tăng tốc độ truyền
Linh hoạt và mềm dẻo do xử lý bằng máy tính

Giới thiệu nền tảng chung nhất áp dụng cho tất cả các lĩnh vực có ứng dụng xử lý tín hiệu số.
(Tổng thời lượng: 19 Tiết)

Tóm tắt bài giảng(2): Thời lượng 3 tiết

Định nghĩa và phân loại tín hiệu và các hệ xử lý tín hiệu
Giới thiệu mô hình chung của xử lý tín hiệu số
Lấy ví dụ thực tế cho mô hình đã đưa ra
Định nghĩa tín hiệu rời rạc và một số tín hiệu rời rạc quan trọng

Tín hiệu là biểu hiện vật lý của thông tin. Về mặt toán học tín hiệu được coi là hàm của một hay nhiều biến độc lập.

Ví dụ: Tín hiệu âm thanh là sự biến thiên của áp suất theo thời gian P(t) hoặc cũng có thể coi tín hiệu âm thanh là sự biến thiên áp suất theo không gian P(x,y,z).

Quy ước: Trong môn học XLTHS chúng ta chủ yếu coi tín hiệu là hàm của biến độc lập thời gian.

1.1.2.1 Phân loại theo biến độc lập

Tín hiệu liên tục theo thời gian: là tín hiệu có biến thời gian liên tục (nhận mọi giá trị trong một khoảng giá trị nào đó)
Tín hiệu rời rạc: là tín hiệu có biến độc lập thời gian chỉ nhận một số giá trị(Ví dụ: Các chỉ số thị trường chứng khoán, các số liệu khí tượng…). Nghĩa là tín hiệu có thể biểu diễn bằng một dãy số, hàm tín hiệu chỉ có giá trị xác định ở những thời điểm nhất định. Tín hiệu rời rạc (còn được gọi là tín hiệu lấy mẫu) thu được bằng cách lấy mẫu tín hiệu liên tục.

1.1.2.2 Phân loại theo biên độ

Tín hiệu liên tục theo biên độ: là tín hiệu mà hàm biên độ nhận bất kỳ giá trị nào. Ví dụ: Hàm x(t) = sin(t) nhận mọi giá trị trong khoảng [-1,1].
Tín hiệu rời rạc theo biên độ hay còn gọi là tín hiệu được lượng tử hoá: là tín hiệu mà hàm biên độ chỉ nhận các giá trị nhất định. Ví dụ: x(t) = 0 với t < 0 và x(t) = 1 với t ≥ 0.
Tín hiệu tương tự là tín hiệu có biên độ và thời gian liên tục.
Tín hiệu số là tín hiệu có biến độ và thời gian rời rạc.

Một hệ thông xử lý tín hiệu sẽ xác lập mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra: y = T[x].

Phân loại hệ xử lý theo tín hiệu vào và tín hiệu ra:
- Hệ rời rạc: là hệ xử lý tín hiệu rời rạc.
- Hệ tương tự: là hệ xử lý tín hiệu tương tự.

LPF(Low Pass Filter): Bộ lọc thông thấp để loại bỏ nhiễu và đảm bảo định lý Shannon.
S&H(Sampling and Hold): Mạch trích giữ mẫu giữ cho tín hiệu ổn định trong quá trình chuyển đổi sang tín hiệu số.
ADC(Analog to Digital Converter): Bộ chuyển đổi tương tự thành số.
DAC(Digiatal to Analog Converter): Bộ chuyển đổi số thành tương tự.
DSP(Digital Signal Processing) Xử lý tín hiệu số.

Cho sinh viên quan sát hình vẽ và giải thích các khối chức năng.

Ví dụ về một hệ xử lý tín hiệu thực tế: Hãy quan sát phần mềm hát trên máy tính (Herosoft):

Tín hiệu vào: Tín hiệu âm thanh (tiếng hát)

LPF+S&H+ADC: Sound card của máy tính

DSP: Phần mềm Herosoft

DAC + LPF: Sound card của máy tính

Tín hiệu ra: Âm thanh (phát ra từ loa)

Những thao tác xử lý nào có thể thực hiện được với Herosoft?

1.2 Tín hiệu rời rạc

1.2.1 Định nghĩa

Là tín hiệu có thể được biểu diễn bằng một dãy các giá trị (thực hoặc phức) với phần tử thứ n được ký hiệu là x(n). x = { x(n) } n = -∞...+∞
Thông thường tín hiệu rời rạc có được bằng cách lấy mẫu các tín hiệu liên tục trong thực tế. Phương pháp lẫy mẫu thường gặp là lấy mẫu đều tức là các thời điểm lấy mẫu cách nhau một khoảng Ts gọi là chu kỳ lấy mẫu.

Ví dụ: Tín hiệu về nhiệt đọ là 1 tín hiệu liên tục. Tại trạm khí tượng cứ 15 phút người ta ghi lại nhiệt độ một lần. Như vậy tức là đã thực hiện thao tác lẫy mẫu tín hiệu nhiệt độ với chu kỳ lẫy mẫu Ts = 15 phút, số liệu thu được là tín hiệu nhiệt độ rời rạc.

H1.7 – Xung đơn vị

Tín hiệu xung nhảy bậc đơn vị:

Xét tín hiệu x(n) ta nói rằng tín hiệu x(n) là tuần hoàn với chu kỳ N nếu: x(n) = x(n+N) = x(n+kN) với mọi n. Hình vẽ dưới đây minh hoạ tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ N = 4.

n 0 1 2 3 4 5 6 8 -1 -2 -3 -4 -5

-6

Giá trị N nhỏ nhất thoả mãn x(n) = x(n+N) được gọi là chu kỳ cơ bản của tín hiệu.

Nhận xét: Một tín hiệu rời rạc bất kỳ có thể biểu diễn bởi công thức:

Tóm tắt bài giảng(3): Thời lượng 3 tiết

Tóm tắt nội dung đã học bài trước
Các phép toán trên tín hiệu rời rạc
Lấy ví dụ tính toán cụ thể cho từng phép toán
Khái niệm về các hệ TT và TTBB, phân loại các hệ
Hệ TT:
Hệ TTBB
- Đáp ứng xung
- Phép tổng chập

Phép nhân 2 tín hiệu: Cho tín hiệu x = {x(n)} y = {y(n)} tín hiệu z = x.y = {z(n)}thoả mãn: z(n) = x(n).y(n)
Phép nhân với hệ số: Cho tín hiệu x = {x(n)} y = α.x = {y(n)}thoả mãn: y(n) = α.x(n)
Phép cộng 2 tín hiệu: Cho tín hiệu x = {x(n)} y = {y(n)} tín hiệu z = x + y = {z(n)}thoả mãn: z(n) = x(n) + y(n)
Phép dịch phải: Cho tín hiệu x = {x(n)} phép dịch phải tín hiệu x đi k mẫu tạo ra tín hiệu y = {y(n)} thoả mãn: y(n) = x(n – k) trong đó k là một hằng số nguyên dương.
Phép dịch trái: Cho tín hiệu x = {x(n)} phép dịch trái tín hiệu x đi k mẫu tạo ra tín hiệu y = {y(n)} thoả mãn: y(n) = x(n + k) trong đó k là một hằng số nguyên dương.

Chia sẻ với bạn bè của bạn:

Page 3

Khái niệm: Một hệ xử lý tín hiệu sẽ xác lập mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra.

1.3.1.1 Hệ tuyến tính

Một hệ được gọi là tuyến tính nếu nó thoả mãn nguyên lý xếp chồng: giả sử y1(n) và y2(n) là tín hiệu ra của hệ tương ứng với các tín hiệu vào x1(n) và x2(n) hay:

y1(n) = T[x1(n)] và

y2(n) = T[x2(n)]

Thì ta có:

T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)

Với a,b là các hằng số.

Ý nghĩa của hệ tuyến tính: Một hệ tuyến tính có thể xử lý tổng các tác động như thể các tác động được xử lý độc lập sau đó các kết quả độc lập được cộng lại. Từ đó ta có thể phân tích các tín hiệu phức tạp thành nhiều tín hiệu đơn giản hơn nhằm làm dễ dàng công việc nghiên cứu. Các hệ phi tuyến có thể được xấp xỉ tuyến tính với các điều kiện nào đó.

Ví dụ 1: Hãy xét tính tuyến tính của hệ sau:

a. y(n) = a2x(n)

b. y(n) = ax(n)

Với a là một hằng số.

Đáp ứng xung của hệ TT:

hk(n) được gọi là đáp ứng xung của hệ tuyến tính, hay chính là đầu ra của hệ khi đầu vào là xung đơn vị.

1.3.1.2 Hệ tuyến tính bất biến

Một hệ tuyến tính là bất biến theo thời gian nếu tín hiệu vào bị dịch đi k mẫu thì tín hiệu ra cũng bị dịch đi k mẫu, nghĩa là nếu x’(n) = x(n-k) thì y’(n) = y(n-k). Khi một hệ tuyến tính là bất biến ta có: hk(n) = h(n-k) do đó ta có:

Công thức 2.8 được viết tương đương như sau:

y(n) = x(n)*h(n)

Nhận xét: Một hệ hoàn toàn xác định nếu biết tham số h(n) hay đáp ứng xung của hệ.

Ví dụ 2: Hãy nhận xét tính bất biến của hệ sau:

a. y(n) = nx(n)

b. y(n) = a2x(n)

Ví dụ 3: Cho một hệ TTBB có đáp ứng xung

h(n) = anu(n) a < 1

Tìm đáp ứng của hệ khi tín hiệu vào là tín hiệu chữ nhật có độ rộng N, hay x(n) = RECTN(n).

Tóm tắt bài giảng(4): Thời lượng 3 tiết

Nhắc lại nhanh các kiến thức về hệ TT và hệ TTBB
Lấy ví dụ về các hệ TT, hệ BB, hệ TTBB
Lấy ví dụ về phép tổng chập
Các tính chất của phép tổng chập
- Tính giao hoán  Hệ quả
- Tính phân phối  Hệ quả
- Chứng minh các tính chất
Ứng dụng các hệ quả trên  Có thể tạo ra một hệ phức tạp bằng cách ghép nối nhiều hệ đơn giản (Lấy ví dụ ghép nối tiếp và song song 2 hệ đơn giản  Tính đáp ứng xung tương đương)
Tính nhân quả và ổn định của hệ:
- Thế nào là hệ ổn định và nhân quả
- Tại sao phải xét tính nhân quả và ổn định
- Định lý được dùng để xét tính nhân quả, ổn định
- Chứng minh định lý

1.4.1 Tính chất của tổng chập

y(n) = x(n) * h(n) = h(n) * x(n)

CM:

y(n) = x(n) * [h2(n) + h2(n)] = x(n) * h2(n) + x(n) * h2(n)

Hệ quả 1: Từ tính chất giao hoán của phép tổng chập ta có hệ quả sau: Nếu ghép nối tiếp 2 hệ TTBB có đáp ứng xung tương ứng là h2(n) và h2(n) thì ta sẽ được một hệ tương đương có đáp ứng xung là h(n) = h2(n) * h2(n) = h2(n) * h2(n) không phụ thuộc vào thứ tự mắc nối tiếp của các hệ.

Hệ quả 2: Từ tính chất phân phối của phép tổng chập ta có hệ quả sau: Nếu ghép song song 2 hệ nối tiếp có đáp ứng xung tương ứng là h2(n) và h2(n) thì ta sẽ được một hệ tương đương có đáp ứng xung là h(n) = h2(n) + h2(n).

Ta có:

Một hệ TTBB là nhân quả nếu: x1(n) = x2(n) với n < n0 và

x1(n)  x2(n) với n ≥ n0 thì:

y1(n) = y2(n) với n < n0 và

Một hệ là nhân quả nếu tín hiệu ra không phụ thuộc tín hiệu vào ở tương lai.

Định lý: Một hệ TTBB là nhân quả khi và chỉ khi h(n) = 0 với n < 0.

CM:

Ta có:

Do với n < n0 thì y1(n) = y2(n) và x1(n) = x2(n) nên:

Từ đó suy ra:

Theo giả thiết x1(k) x2(k) với k ≥ n0 nên ta suy ra:

h(n-k) = 0 với mọi n < n0 và k ≥ n0

Đặt m = n-k => h(m) = 0 với mọi m < 0 (ĐPCM).

Nếu h(n) = 0 với mọi n < 0 (Tự chứng minh)

Nhận xét: Hệ TTBB và nhân quả có phương trình:

Một hệ TTBB được gọi là ổn định nếu với tín hiệu vào có biên độ hữu hạn thì tín hiệu ra cũng có biên độ hữu hạn.

Định lý: Một hệ TTBB là ổn định nếu và chỉ nếu

CM:

Nếu tác động x(n) thoả mãn: |x(n)| < A với mọi n khi đó:

Do đó nếu S < ∞ thì |y(n)| < ∞ hay hệ ổn định

Nếu y(n) < ∞ ta chọn x(n) = 1 với h(n) ≥ 0 và x(n) = -1 với h(n) còn lại, tính đáp ứng của hệ tại thời điểm 0 ta có:

Từ đó suy ra S < ∞

Tóm tắt bài giảng(5): Thời lượng 4 tiết

Nhắc lại về hệ TTBB và đáp ứng xung
Nêu khó khăn khi sử dụng đáp ứng xung để biểu diễn hệ TTBB
Khó khăn đó sẽ được khắc phục thế nào sử dụng PT-SP-TT-HSH
Các bài toán đặt ra với PT-SP-TT-HSH và cách giải quyết chúng
- Giải phương trình SPTTHSH: Phương pháp và lấy ví dụ
- Xác định đáp ứng xung
- Sử dụng sơ đồ để mô tả PT-SP-TT-HSH
  - Mục đích sử dụng sơ đồ
  - Các chuẩn biểu diễn: Chuẩn I và chuẩn II

Chia sẻ với bạn bè của bạn:

Page 4

Tồn tại một lớp các hệ xử lý tín hiệu có thể được biểu diễn bởi phương trình dạng:

Dạng biểu diễn trên gọi là phương trình sai phân. Trong đó:

ak(n) và bp(n): Là các hàm hệ số

M,N: là các hằng số nguyên, N được gọi là bậc của phương trình

Đối với các hệ tuyến tính và bất biến thì các hàm hệ số sẽ trở thành các hằng số, do đó ta có hệ tuyến tính bất biến được biểu diễn bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng (PT-SP-TT-HSH) có dạng sau:

Rõ ràng với phương pháp biểu diễn hệ tuyến tính bất biến bởi PT-SP-TT-HSH ta có thể thấy rằng hệ được biểu diễn bởi một tập hữu hạn các tham số bao gồm:

ak và bp: là tập gồm N+1 và M+1 hằng số tương ứng

M,N: là 2 hằng số nguyên

N được gọi là bậc của phương trình

Phương pháp biểu diễn hệ TTBB sử dụng PT-SP-TT-HSH được sử dụng trong hầu hết các hệ xử lý tín hiệu.

Bài toán đặt ra là:

Cho một hệ TTBB có PT-SP-TT-HSH

Biết tín hiệu vào x(n) và các điều kiện đầu hãy tìm tín hiệu ra y(n).

Tương tự như bài toán giải phương trình vi phân trong giải tích, chúng ta sẽ giải phương trình sai phân với các điều kiện nêu trên qua các bước sau:

Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát y0(n)

Xét phương trình:

Ta chọn nghiệm: y(n) = αn với α≠0, sau đó thay vào phương trình trên ta được:

Giải phương trình trên ta sẽ tìm được đúng N nghiệm α1…αN

Khi đó nghiệm tổng quát được xác định bởi:

Trong đó: PQ(n) là đa thức bậc Q của n

Sk là bậc của nghiệm αk

Trong trường hợp các nghiệm αk là nghiệm đơn thì ta có:

Trong đó Ak là các hằng số.

Bước 2: Tìm nghiệm riêng yp(n)

Xét phương trình đầy đủ:

Thay giá trị x(n) đã biết vào phương trình trên và chọn y(n) đồng dạng với x(n) ta sẽ giải được nghiệm riêng yp(n) đồng dạng x(n)

Bước 3: Xác định các hệ số nhờ điều kiện đầu

Nghiệm cuối của phương trình có dạng y(n) = y0(n) + yp(n)

Sử dụng các điều kiện đầu để tìm các hệ số còn chưa biết trong 2 bước trên và kết luận nghiệm cuối cùng.

1.5.2.1 Hệ có đáp ứng xung hữu hạn (FIR)

Xét phương trình sai phân

Với N = 0 phương trình trở thành:

Đồng nhất phương trình trên với phương trình quan hệ vào-ra của hệ TTBB biết đáp ứng xung h(n):

Ta suy ra đáp ứng xung của hệ có dạng:

h(n) = bp/a0 với 0≤n≤M

h(n) = 0 với các n còn lại

Rõ ràng ta thấy rằng trong trường hợp này h(n) được xác định dễ dàng và có độ dài hữu hạn, khi đó hệ được gọi là hệ có đáp ứng xung hữu hạn (FIR).

1.5.2.2 Hệ có đáp ứng xung vô hạn (IIR)

Xét phương trình sai phân

Với N > 0. Khi đó ta thấy rằng để tính h(n) ta sẽ thay x(n) = δ(n) vào phương trình trên và ta có:

Đây là một phương trình hồi quy do đó h(n) có độ dài vô hạn. Khi đó hệ được gọi là hệ có đáp ứng xung vô hạn (IIR)

Nhằm phục vụ việc phân tích và tối ưu các phép toán cũng như bộ nhớ cần dùng để thực hiện một hệ TTBB biểu diễn bởi PT-SP-TT-HSH, người ta sẽ biểu diễn PT-SP-TT-HSH dưới dạng một sơ đồ các phần tử, dựa trên sơ đồ đó để biến đổi tương đương nhằm đưa ra một sơ đồ sao cho số phép tính hay bộ nhớ sử dụng để cài đặt sẽ tiết kiệm hơn sơ đồ ban đầu. Sau đây chúng ta sẽ xem xét 2 chuẩn biểu diễn PT-SP-TT-HSH sử dụng sơ đồ.

1.5.3.1 Các phần tử cơ bản

Hình 1.16 - Phần tử cộng

P
hần tử nhân

Hình 1.17 - Phần tử nhân

P
hần tử trễ

Hình 1.18 - Phần tử trễ

1.5.3.2 Sơ đồ chuẩn 1

Sơ đồ chuẩn một được suy ra trực tiếp từ phương trình SPTTHSH sau khi đã thực hiện chuẩn hoá phương trình về dạng sau:

Sơ đồ chuẩn 1 có dạng sau:

Hình 1.19 – Sơ đồ chuẩn 1

1.5.3.2 Sơ đồ chuẩn 2

Trong sơ đồ chuẩn 1 ta có thể thấy rằng hệ được xem như ghép nối tiếp của 2 hệ TTBB nhỏ hơn. Như vậy ta hoàn toàn có thể đảo vị trí của 2 hệ mà không ảnh hưởng gì. Thao tác đó sẽ tạo ra sơ đồ trung gian có dạng sau

Hình 1.20 – Sơ đồ trung gian

Trên sơ đồ trung gian ta sẽ ghép các bộ trễ cùng mức để tạo ra sơ đồ chuẩn 2 có dạng:

Hình 1.21 – Sơ đồ chuẩn 2

Ta thấy rằng trong chuẩn 2, số lượng bộ trễ đã giảm so với chuẩn 1 điều đó đồng nghĩa với việc số lượng phép tính và bộ nhớ sử dụng khi cài đặt sẽ tiết kiệm hơn.

Tóm tắt bài giảng(6): Thời lượng 3 tiết

Ôn tập chương I
Làm bài tập cuối chương
Bài kiểm tra 1 tiết

Chia sẻ với bạn bè của bạn:

Page 5

Tóm tắt bài giảng(7): Thời lượng 2 tiết

Nhắc lại tóm tắt chương 1
Khái niệm miền tín hiệu, và các phép biến đổi, gợi nhớ cho sinh viên phép biến đổi Laplace mà sinh viên đã học trong môn học “Mạch và tín hiệu”
Miền Z là gì, mục đích sử dụng miền Z
Định nghĩa phép biến đổi Z
- Một phía
- Hai phía
- Khi nào dùng một phía và khi nào dùng hai phía
- Lấy 2 ví dụ tính toán cụ thể
Miền hội tụ của phép biến đổi Z
- Lấy 1 ví dụ tính toán cụ thể

Mục đích: Trong chương I chúng ta đã khảo sát tín hiệu và các hệ xử lý tín hiệu, như chúng ta đã thấy khi biểu diễn tín hiệu và các hệ xử lý trên miền thời gian sẽ có những bài toán trở nên khó khăn. Với biến đổi Z chúng ta sẽ biểu diễn tín hiệu và hệ xử lý trên miền Z (biến độc lập z là biến số phức), trên miền Z các bài toán về khảo sát hệ xử lý (tính ổn định, tính nhân quả, điểm cực(cộng hưởng), điểm không(phản cộng hưởng)…) sẽ trở nên dễ dàng và thuận lợi hơn (Sinh viên nhớ lại phép biến đổi Laplace khi học môn mạch và tín hiệu).

Cho tín hiệu rời rạc x(n), phép biến đổi Z của x(n) được định nghĩa như sau:

a. Phép biến đổi Z 2 phía: (Khảo sát về mặt lý thuyết)

b. Phép biến đổi Z 1 phía: (Khảo sát về mặt thực tế)

Trong tài liệu này chúng ta sử dụng cụm từ phép biến đổi Z mặc định cho phép biến đổi Z 2 phía.

2.2.1 Định nghĩa

Cho tín hiệu rời rạc x(n), X(z) là biến đổi Z của x(n), tập các giá trị của z sao cho |X(z)| < +∞ được gọi là miền hội tụ của phép biến đổi Z của x(n) (ROC)
a. Định lý Cauchy

Chuỗi

hội tụ khi và chỉ khi

b. Miền hội tụ

Đặt X1(z) =

, X2(z) =

Áp dụng định lý Cauchy đối với X1(z) ta được:

Áp dụng định lý Cauchy đối với X2(z) ta được:

Cuối cùng ta có:

ROC = {z | Rx- < |z| < Rx+}

H2.1 - Miền hội tụ

* Miền hội tụ của tín hiệu có chiều dài hữu hạn

Khi tín hiệu x(n) có chiều dài hữu hạn (giả sử x(n) = 0 với mọi n không thuộc đoạn [n1,n2]) thì chúng ta không sử dụng định lý cauchy để xác định miền hội tụ của X(z) mà khi đó chỉ cần từng phần tử trong công thức biến đổi Z của x(n) là hữu hạn:

- 0 ≤ n1 < n2: Khi đó để các phần tử dạng zn hữu hạn thì |z| ≠+∞

- n1 < n2 ≤ 0: Khi đó để các phần tử dạng zn hữu hạn thì z ≠ 0

- n1 < 0 < n2: Khi đó để các phần tử dạng zn hữu hạn thì z ≠ 0 và

|z| ≠+∞

Ví dụ: Cho tín hiệu x(n) = u(n) Hãy tính X(z) và miền hội tụ

Tóm tắt bài giảng(8): Thời lượng 3 tiết

Điểm cực và điểm không
Phép biến đổi Z ngược:
- Mục đích
- Công thức
- Phương pháp
- Ví dụ tính toán

Các tính chất của phép biến đổi Z
- Sử dụng các tính chất để tính nhanh một số biến đổi Z ngược

Một loại biến đổi Z thông dụng và quan trọng đó là biến đổi Z mà X(z) của nó có dạng là một hàm hữu tỉ với mọi z thuộc miền hội tụ, nghĩa là:

X(z) = P(z)/Q(z)

Trong đó, P(z) và Q(z) là các đa thức biến z hay z-1.

Các giá trị của z sao cho X(z) = 0 được gọi là các điểm không của X(z) (Nghiệm của P(z))
Các giá trị của z sao cho X(z) = ∞ được gọi là các cực của X(z). (Nghiệm của Q(z))

Như vậy chúng ta có nhận xét rằng: Miền hội tụ không chứa các điểm cực

Biểu diễn X(z) theo các điểm cực và không

Bài toán: Cho biết X(z) và miền hội tụ của nó, hãy tìm tín hiệu rời rạc x(n)

a. Định lý Cauchy

b. Phép biến đổi Z ngược

Ta có:

Suy ra:

Các phương pháp tính biến đổi Z ngược

- Phương pháp thặng dư

Trong đó N là số cực của X(z)zk-1 và zp1…zpN lần lượt là các cực của X(z)zk-1 với các bậc tương ứng là s1…sN. Đại lượng RES là thặng dư của hàm số được tính bởi:

Ví dụ: Cho

Hãy tính x(n) sử dụng phương pháp thặng dư

- Phương pháp phân tích thành phân thức đơn giản

Bảng các phép biến đổi Z đơn giản

Tín hiệu	Biến đổi Z	Miền hội tụ
	1	Toàn mặt phẳng Z
u(n)		\|z\| > 1
-u(-n-1)		\|z\| < 1
		Toàn MPZ trừ 0 nếu m > 0, trừ nếu m < 0
		\|z\| > \|a\|
		\|z\| < \|a\|
		\|z\| > \|a\|
		\|z\| < \|a\|
		\|z\| > 1
		\|z\| > 1

Để tính biến đổi Z ngược của một biểu thức phức tạp, người ta có thể phân tích các biểu thức phức tạp này thành tổ hợp tuyến tính của các biểu thức đơn giản hơn, sau đó sử dụng tính tuyến tính của phép biến đổi Z suy ra kết quả cuối cùng từ các kết quả đã được tính sẵn có trong bảng.

Với một lớp các biểu thức ta có thể áp dụng phương pháp sau:

Trong đó N(z) và D(Z) là 2 đa thức của z, giả sử rằng bậc của N(z) nhỏ hơn bậc của D(z) và phân thức là tối giản. N là số nghiệm của D(z), zp1…zpN là các nghiệm của D(z) với bậc tương ứng là s1…sN, Aik là các hệ số được tìm theo công thức:

Ví dụ: Cho

Hãy tính các tín hiệu x(n). Có tín hiệu x(n) nào nhân quả trong các tín hiệu tìm được hay không?

- Phương pháp chia đa thức

Chia sẻ với bạn bè của bạn:

Page 6

Cho 2 tín hiệu x1(n) và x2(n) với các biến đổi z tương ứng là:

X1(z) = ZT(x1(n)) MHT1 = {R-1 < |z| < R+1}

X2(z) = ZT(x2(n)) MHT2 = {R-2 < |z| < R+2}

Khi đó:

ZT(αx1(n) + βx2(n)) = αX1(z) + βX2(z) với miền hội tụ là

MHT1

MHT2

Cho tín hiệu x(n) có biến đổi Z là X(z) = ZT(x(n)) với miền hội tụ (MHT) là R- < |z| < R+. Khi đó

ZT(x(n-k)) = z-kX(z) với cùng miền hội tụ trên, trong đó k là một hằng số nguyên.

Cho tín hiệu x(n) có biến đổi Z là X(z) = ZT(x(n)) với miền hội tụ (MHT) là R- < |z| < R+. Khi đó

ZT(anx(n)) =

với miền hội tụ

Cho tín hiệu x(n) có biến đổi Z là X(z) = ZT(x(n)) với miền hội tụ (MHT) là R- < |z| < R+. Khi đó

ZT(x(-n)) =

với miền hội tụ

Cho tín hiệu x(n) có biến đổi Z là X(z) = ZT(x(n)) với miền hội tụ (MHT) là R- < |z| < R+. Khi đó

Cho 2 tín hiệu x1(n) và x2(n) với các biến đổi z tương ứng là:

X1(z) = ZT(x1(n)) MHT1 = {R-1 < |z| < R+1}

X2(z) = ZT(x2(n)) MHT2 = {R-2 < |z| < R+2}

Khi đó:

ZT(x1(n)*x2(n)) = X1(z)X2(z) với miền hội tụ là

MHT1

MHT2
Cho tín hiệu x(n) có biến đổi Z là X(z) = ZT(x(n)) với miền hội tụ (MHT) là R- < |z| < R+. Khi đó nếu x(n) là tín hiệu nhân quả thì:

Tóm tắt bài giảng(9): Thời lượng 3 tiết

Sử dụng phép biến đổi Z một phía để giải PTSP
Biểu diễn hệ xử lý tín hiệu trong miền Z
Thực hiện các hệ rời rạc trong miền Z
Tính ổn định và nhân quả của hệ TTBB

a. Định nghĩa

b. Tính chất

Hầu hết các tính chất của biến đổi z hai phía đều đúng với biến đổi z một phía ngọai trừ tính chất dịch thời gian.

Tính chất dịch thời gian:

Xét một tín hiệu x(n) có biến đổi z một phía là X+(z).

Xét tín hiệu x1(n) = x(n – k), ta có:

2.6.2 Giải PTSP

Ví dụ: Xác định đáp ứng xung của hệ được mô tả bởi phương trình sai phân sau biết x(n) = u(n):

y(n) = ay(n-1) + x(n) , với –1 < a < 1

với điều kiện đầu là: y(-1) = 1.

Giải: Lấy biến đổi Z một phía hai vế của phương trình sai phân ta được:

Y+(z) = a[z-1Y+(z) + y(-1)] + X+(z)

Với x(n) = u(n) ta có X+(z) = 1/(1-z-1). Thay thế y(-1) và X+(z) vào phương trình trên và sắp xếp lại ta được:

Tìm biến đổi Z ngược bằng phương pháp khai triển thành các phân thức hữu tỉ đơn giản ta được y(n)

2.7.1 Hàm truyền đạt của hệ tuyến tính bất biến (TTBB)

2.7.1.1. Hàm truyền đạt (hàm hệ thống)

Từ chương I, ta đã thấy rằng một hệ TTBB hoàn toàn có thể đặc trưng trong miền thời gian bởi đáp ứng xung h(n) của nó, với tín hiệu vào x(n), đáp ứng của hệ được tính bởi tổng chập:

y(n) = x(n) * h(n)

Gọi X(z) và H(z) lần lượt là biến đổi z của x(n) và h(n), áp dụng tính chất chập của biến đổi Z, ta được biến đổi Z của y(n) như sau:

Y(z) = X(z).H(z)

với một miền hội tụ thích hợp.

Vậy, thông qua phép biến đổi Z, tổng chập của hai dãy đã biến thành phép nhân đơn giản. Sau khi có được Y(z), ta dùng phép biến đổi Z ngược để tính đáp ứng y(n). Cách làm này rõ ràng là dễ dàng hơn cách tính trực tiếp từ tổng chập.

H(z) được gọi là hàm hệ thống (System function) hay hàm truyền đạt (Transfer function). Vì H(z) và h(n) là một cặp duy nhất, nên một hệ TTBB bất kỳ hoàn toàn có thể được đặc tả bởi hàm hệ thống của nó.

2.7.1.2. Hàm truyền đạt của một hệ được đặc trưng bởi PTSP

Xét một hệ TTBB mà quan hệ vào ra của nó thỏa mãn phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng như sau:

Chúng ta cũng đã biết rằng, từ phương trình sai phân ta có thể tìm được y(n) theo phương pháp đệ qui. Áp dụng biến đổi Z cho cả hai vế của phương trình và để ý đến tính chất tuyến tính, dịch thời gian của biến đổi Z, ta có:

Từ đó ta có:

Suy ra hàm truyền đạt của hệ có dạng:

Từ các điều kiện đầu của PTSP, nếu ta xác định được ROC của H(z) thì H(z) đặc tả duy nhất một hệ.

Một cách biểu diễn khác:

Mỗi thừa số (1-cpz-1) trong tử số góp vào một điểm không tại z=cp. Tương tự, mỗi thừa số (1-dkz-1) trong mẫu số đóng góp vào một cực tại z=dk.

2.7.1.3 Ghép nối các hệ tuyến tính bất biến

Cho hai hệ có đáp ứng xung là h2(n) và h2(n), hàm truyền đạt tương ứng là H1(z) và H2(z) với các miền hội tụ xác định.

hệ tương đương:

H2.2 – Ghép nối tiếp các hệ TTBB và hệ TTBB tương đương

- Ghép song song

Hệ tương đương:

H2.3 – Ghép song song các hệ TTBBB và hệ TTBB tương đương

Từ 2 kết nối cơ bản trên ta có thể cấu trúc 1 hệ phức tạp. Ngược lại ta có thể phân chia 1 hệ lớn, phức tạp thành nhiều hệ nhỏ hơn kết nối nhau để tiện thiết kế.

Ví dụ: Hãy xác định hàm truyền đạt của hệ tương đương của hệ được kết nối bởi các hệ con như sau:

H2.4 – Ghép nhiều hệ TTBB

Hàm truyền đạt của hệ tương đương là:

H(z) = H4(z)+H1(z)[H2(z)+H3(z)]

Chia sẻ với bạn bè của bạn:

Page 7

Như ở mục 2.6.2 ta thấy rằng một hệ TTBB có hàm truyền đạt hữu tỉ thì có thể được biểu diễn bởi một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng. Phương trình sai phân này có thể suy ra một cách trực tiếp từ hàm truyền đạt, ngược lại, nếu cho trước PT-SP-TT-HSH ta có thể suy ra hàm truyền đạt.

Để thực hiện các hệ rời rạc, từ hàm truyền đạt hay PT-SP-TT-HSH ta sẽ biểu diễn cấu trúc hệ bằng sơ đồ khối, bao gồm sự kết nối của các phần tử cơ bản là cộng, nhân, nhân với hằng số và phép trễ. Các phép trễ hàm ý rằng cần phải lưu trữ các giá trị của dãy trong quá khứ.

Ví dụ: Ta xét hệ có phương trình sai phân:

y(n)=a1y(n-1)+a2y(n-2)+bx(n)

Sẽ tương ứng với một hàm truyền đạt là:

Sơ đồ khối biểu diễn hệ được trình bày trong hình dưới. Đây là một hệ bậc 2.

H2.5 – Sơ đồ khối của hệ

Một sơ đồ khối là cơ sở để xác định cấu trúc phần cứng cho một hệ hay để xây dựng một thuật toán cho phần mềm.

Không làm mất tính tổng quát giả sử a0 = 1 ta có:

Sơ đồ khối biểu diễn phương trình sai phân trên có dạng sau:

H2.6 – Sơ đồ khối dạng chuẩn 1

Ta thấy rằng có thể xem hệ như là gồm hai hệ con (phần bên trái và phần bên phải) mắc liên tiếp nhau. Do tính giao hoán ta có thể hoán chuyển vị trí của hai hệ con để tạo ra dạng biểu diễn chuẩn 2 như sau:

-aN

H2.7 – Sơ đồ khối dạng chuẩn 2

Hệ có đáp ứng xung có độ dài hữu hạn (FIR)
Hệ có đáp ứng xung có độ dài vô hạn (IIR)
Hệ đồng nhất: y(n) = x(n)
Hệ khả đảo và hệ đảo: Một hệ y(n) = T[x(n)] được gọi là hệ khả đảo nếu tồn tại quan hệ T’ thoả mãn: x(n) = T’[y(n)]. Khi đó người ta cũng gọi hệ có quan hệ T’ là hệ đảo của hệ ban đầu. Nếu ghép nối tiếp một hệ khả đảo với hệ đảo của nó ta được một hệ đồng nhất.

2.9.1 Hàm truyền đạt của hệ TTBB ổn định

Tính ổn định của một hệ TTBB đã được chúng ta khảo sát trong chương số 1. Chúng ta đã có định lý sau đây để khảo sát tính ổn định của một hệ TTBB nếu biết đáp ứng xung h(n) của hệ: Một hệ TTBB có đáp ứng xung h(n) là ổn định khi và chỉ khi:

Hay nói cách khác S là một giá trị hữu hạn.

Mặt khác chúng ta thấy rằng:

Nếu xét |H(z)| khi z nằm trên đường tròn đơn vị hay |z| = 1 ta sẽ có:

Như vậy ta thấy rằng nếu hệ TTBB là ổn định thì chắc chắn hàm truyền đạt của hệ sẽ hội tụ tại các điểm z nằm trên đường tròn đơn vị, hay nói cách khác đường tròn đơn vị chắc chắn nằm trong miền hội tụ của hàm truyền đạt.

Định lý: Một hệ TTBB là ổn định khi và chỉ khi đường tròn đơn vị nằm trong miền hội tụ của hàm truyền đạt.

Đối với hệ TTBB và NQ chúng ta cũng đã biết rằng miền hội tụ của hàm truyền đạt H(z) sẽ là toàn bộ vùng mặt phẳng Z phía ngoài đương tròn bán kính Rh-. Do đó theo định lý trên thì để hệ ổn định thi đường tròn đơn vị phải bao đường tròn bán kính Rh- hay:

Mặt khác ta thấy rằng các điểm cực của hàm truyền đạt chắc chắn không nằm trong miền hội tụ, trong trường hợp này thì chúng chỉ có thể nằm trong đường tròn bán kính Rh- nên

Định lý: một hệ TTBB và NQ là ổn định khi và chỉ khi tất cả các điểm cực của hàm truyền đạt đều nằm trong đường tròn đơn vị.

Ví dụ: Cho một hệ TTBB bởi PT-SP-TT-HSH:

y(n) + 0.5y(n-1) = 2x(n)-x(n-3

Hãy xác định hàm truyền đạt của hệ
Hãy tính và vẽ các điểm cực và không trên mặt phẳng Z
Hệ có nhân quả và ổn định không?

Tóm tắt bài giảng(10): Thời lượng 6 tiết

Ôn tập chương 2 (1 Tiết)
Làm bài tập cuối chương (5 tiết)

TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC

Tóm tắt bài giảng(11): Thời lượng 3 tiết

Giới thiệu về miền tần số
Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
Phép biến đổi Fourier thuận và nghịch của tín hiệu rời rạc
Các tính chất của phép biến đổi Fourier

Mục đích: Phân tích các đặc tính về pha và tần số của hệ và tín hiệu.

Ví dụ: Xét một ví dụ về lăng kính khi cho ánh sáng trắng đi qua (có thể coi là tín hiệu trên miền thời gian) ta sẽ thu được các vạch phổ tương ứng với các thành phần tần số của ánh sáng: đỏ, da cam, vàng...

Hình 3.1 - Phổ của ánh sáng trắng

Nhận xét: cùng một sự vật hiên tượng nếu quan sát ở những vị trí, góc độ khác nhau ta sẽ thu được các thông tin khác nhau về sự vật hiện tượng đó.

Chia sẻ với bạn bè của bạn:

Page 8

Định nghĩa: Một tín hiệu liên tục theo thời gian x(t) là tuần hoàn với chu kỳ T nếu: x(t) = x(t + T) với mọi giá trị thực của t. Giá trị T0 > 0 nhỏ nhất thoả mãn đẳng thức trên được gọi là chu kỳ cơ bản của tín hiệu x(t), khi đó f0 = 1/T0 được gọi là tần số cơ bản.
2 Tín hiệu điều hoà:

2 tín hiệu trên đều có chu kỳ cơ bản là: T0 = 2π/ω và tần số cơ bản f0 = ω/2π

Từ đó suy ra tín hiệu điều hoà phức:

là các tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ cơ bản T0k = T0 / k do đó đương nhiên tín hiệu xk(t) cũng tuần hoàn với chu kỳ T0. Như vậy một tổ hợp tuyến tính của các hàm điều hoà phức sẽ là một tín hiệu có chu kỳ T0:

Trong công thức trên các hệ số ak là các hệ số thực hoặc phức. Thành phần phức ứng với k = 0 là thành phần một chiều (hay không đổi) khi k = 1 hoặc -1 thì thành phần tương ứng có chu kỳ cơ bản đúng bằng T0 được gọi là thành phần cơ bản hay hài bậc 1, khi k = 2 hoặc -2 thì thành phân tương ứng có chu kỳ cơ bản bằng một nửa T0 được gọi là hài bậc 2,...thành phần ứng với k = N hoặc –N gọi là hài bậc N. Tín hiệu tuần hoàn x(t) được biểu diễn như trên được gọi là chuỗi Fourier.

Ví dụ:

Xét một tín hiệu tuần hoàn với tần số góc cơ bản ω0 = 2π, biểu diễn theo chuỗi Fourier có dạng:

Với a0 = 1, a1 = a-1 = 1/2 , a2 = a-2 = 1/3 a3 = a-3 = ¼

x(t) = 1 + 1/4(ej2πt + e-j2πt) + 1/2(ej4πt + e-j4πt) + 1/3(ej6πt + e-j6πt)

= 1 + 1/2Cos(2πt) + Cos(4πt) + 2/3Cos(6πt)

Kết quả này là một dạng của chuỗi Fourier của tín hiệu thực mà chúng ta đã quen thuộc trong chương trình toán phổ thông. Công thức tổng quát của dạng biểu diễn này sẽ được trình bày trong phần dưới đây. Hình 3.2 minh hoạ việc tổ hợp các thành phần để tạo nên tín hiệu x(t)

H3.2 – Tổ hợp tuyến tính của các thành phần

Xét tín hiệu x(t) thực và tuần hoàn với chu kỳ cơ bản T0. Gọi x*(t) là liên hợp phức của x(t) ta có:

Trong đó a*k là liên hợp phức của ak. Do x(t) là thực nên x(t) = x*(t). So sánh công thức trên với chuỗi Fourier của tín hiệu x(t) ta có: ak = a*-k hay a*k = a-k. Từ đó ta viết lại chuỗi Fourier của x(t) như sau:

Nếu biểu diễn ak dưới dạng biên độ và pha ta có:

Thay vào đẳng thức cuối cùng ở trên ta có:

Nếu ta thay:

vào đẳng thức trên, thì ta sẽ có:

là công thức phân tích Fourier mà ta đã quen thuộc trong chương trình toán phổ thông đối với tín hiệu thực, công thức phân tích Fourier của tín hiệu tổng quát (thực hoặc phức) thường được cho dưới dạng

, các hệ số ak còn được gọi là hệ số phổ.

Tính toán các hệ số trong công thức phân tích Fourier

Giả sử rằng một tín hiệu liên tục tuần hoàn x(t) có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier. Khi đó các hệ số an sẽ được xác định bởi công thức sau:

Như trong phần trên chúng ta đã xem xét cách biểu diễn một tín hiệu liên tục tuần hoàn dưới dạng một chuỗi Fourier. Dưới đây chúng ta minh hoạ cách biểu diễn này bằng một ví dụ. Xét tín hiệu x(t) là một xung vuông tuần hoàn với chu kỳ T0:

Khi đó sử dụng công thức chuôi Fourier ở trên ta có thể tính được:

Nếu biểu diễn ak trên đồ thị ta có hình minh hoa như sau:

H3.3 - Biểu diễn các hệ số chuỗi Fourier của xung vuông tuần hoàn

a – T0 = 4T1

b – T0 = 8T1

c – T0 = 16T1

Mặt khác ta thấy rằng ω0 = 2π/T0 do đó ta có thể viết:

Công thức trên cho ta thấy rằng T0ak chỉ là các mẫu rời rạc của một hàm số liên tục theo biến ω đó là

. Hình dưới đây minh hoạ cho ta thấy rằng khi T0 càng lớn thì số lượng mẫu của hàm X(ω) càng dày đặc.

H3.4 – Các hệ số Fourier và đường bao các mẫu

a – T0 = 4T1

b – T0 = 8T1

c – T0 = 16T1

Trở lại với bài toán của chúng ta đối với tín hiệu liên tục không tuần hoàn, rõ ràng khi đó ta có thể giả định rằng chu kỳ của tín hiệu là vô cùng lớn, mặt khác ta hoàn toàn có thể tạo ra tín hiệu liên tục tuần hoàn từ tín hiệu liên tục có độ dài hữu hạn bằng cách xếp chồng. Giả sử ta xét tín hiệu x(t) có độ dài hữu hạn T0. Khi đó ta sẽ tạo ra tín hiệu tuần hoàn

có dạng sau:

H3.5 - Xếp chồng tuần hoàn

a – Tín hiệu hữu hạn

b – Tín hiệu tuần hoàn

Áp dụng công thức Fourier đối với tín hiệu tuần hoàn

ta có:

(t) = x(t) với mọi |t| < T0/2 và x(t) = 0 ngoài khoảng này nên ta có:

Từ đó chúng ta ta tính được ngay đường bao các mẫu T0ak được cho bởi:

2 công thức trên được gọi là cặp công thức biến đổi thuận-nghịch của phép biến đổi Fourier đối với tín hiệu liên tục không tuần hoàn.

Chia sẻ với bạn bè của bạn:

Page 9

Cho tín hiệu rời rạc x(n), phép biến đổi Fourier của x(n) được định nghĩa như sau:

Biểu diễn dưới dạng phần thực và phần ảo

Bởi vì X(ejω) là một hàm biến phức nên ta có thể biểu diễn nó trong miền tần số ω dưới dạng phần thực và phần ảo như biểu thức dưới đây:

: là phần thực của X(ejω)

: là phần ảo của X(ejω)

Biểu diễn dưới dạng biên độ và pha

X(ejω) làm một hàm biến số phức vậy ta có thể biểu diễn nó dưới dạng module và argument như sau:

|X(ejω)|: được gọi là phổ biên độ của x(n)

arg(X(ejω)): được gọi là phổ pha của x(n)

Ta có quan hệ sau:

Phép biến đổi Fourier hội tụ khi và chỉ khi x(n) thoả mãn điều kiện:

Từ đó suy ra

Nói cách khác phép biến đổi Fourier luôn hội tụ với các tín hiệu có năng lượng hữu hạn.

Ví dụ: Cho x(n) = RECTN(n). Hãy tính và vẽ phổ biên độ của x(n)

3.4 Phép biến đổi Fourier ngược

Định lý:

Mặt khác ta xét công thức biến đổi Fourier trong 3.3:

Áp dụng định lý nêu trên vào đẳng thức cuối cùng ta có được:

Đây chính là công thức biến đổi Fourier ngược, cho phép chuyển tín hiệu từ miền tần số về miền thời gian.

Ví dụ: cho

Hãy tính x(n).

3.5.1 Tính tuyến tính

FT(αx1(n)+βx2(n))=αFT(x1(n))+βFT(x2(n))

Trong đó α, β là các hằng số thực, x1(n) và x2(n) là các tín hiệu rời rạc.

3.5.2 Tính chất trễ

FT(x(n-k)) = e-jωkFT(x(n))

Trong đó k là một hằng số nguyên, x(n) là một tín hiệu rời rạc

3.5.3 Tính đối xứng

Xét tín hiệu rời rạc x(n), giả sử x*(n) là liên hợp phức của x(n). Khi đó ta có: FT(x(n)) = X(ejω)

FT(x*(n)) = X*(e-jω)

Trong đó X*(ejω) là liên hợp phức của X(e-jω). Từ đó ta có thể suy ra:

Nếu x(n) là thực (x(n)=x*(n)) thì phổ biến độ |X(ejω)| là hàm chẵn và phổ pha arg[X(ejω)] là hàm lẻ.

Xét tín hiệu rời rạc x(n), biến đổi Fourier của x(n) là: FT(x(n)) = X(ejω). Khi đó x(-n) có biến đổi Fourier là: FT(x(-n)) = |X(ejω)|e-jφ(ω), trong đó:

φ(ω) = arg[X(ejω)]. Như vậy ta thấy rằng phổ biên độ của 2 tín hiệu x(n) và x(-n) như nhau, còn phổ pha của chúng thì trái dấu.

FT(x1(n)*x2(n))=FT(x1(n))FT(x2(n))

Trong đó x1(n) và x2(n) là các tín hiệu rời rạc.

3.5.6 Biến đổi Fourier của tích

FT(x1(n)x2(n)) = FT(x1(n))*FT(x2(n))

Trong đó x1(n) và x2(n) là các tín hiệu rời rạc. Phép * ở trên là phép tích chập của 2 tín hiệu liên tục, được định nghĩa như sau:

Nếu FT(x(n))=X(ejω) thì

3.5.8 Quan hệ Parseval

Công thức trên cho ta thấy năng lượng của tín hiệu trên miền thời gian và miền tần số luôn bằng nhau.

Tóm tắt bài giảng(12): Thời lượng 3 tiết

So sánh phép biến đổi Fourier với phép biến đổi Z
Đánh giá phép biến đổi Fourier trên miền Z
Biểu diễn hệ rời rạc trên miền tần số
- Đáp ứng tần số của hệ
- Quan hệ vào ra trên miền tần số
- Ý nghĩa của đáp ứng tần số
- Các bộ lọc lý tưởng

Quan sát công thức biến đổi Z trong chương số 2

và công thức biến đổi Fourier trong mục 3.3

Giả sử X(z) được biểu diễn ở dạng cực và không (dạng thường thấy)

Trong đó z0 và zp là các điểm không và cực của X(z), M,N là số không và cực tương ứng. Khi đó thay z = ejω vào đẳng thức trên ta được X(ejω) như sau:

Đặt

Khi đó ta có thể viết X(ejω) ở dạng sau:

Từ đó suy ra:

Ví dụ: Cho

Hãy đánh giá X(ejω) với ω=π/3.

X(ejω) = FT(δ(n)) = ejωn

Khi đó đáp ứng ta của hệ được tính như sau:

Đặt

khi đó ta có:

H(ejω) được gọi là đáp ứng tần số của hệ TTBB.

Nhận xét: Đáp ứng tần số của hệ TTBB chính là biến đổi Fourier của đáp ứng xung. Từ đó ta có cặp công thức:

Theo tính chất biến đổi Fourier của tổng chập mà ta xét ở trên thì ta có:

Trên miền thời gian: y(n) = x(n)*h(n)

Trên miền tần số: Y(ejω) = X(ejω)H(ejω)

Bộ lọc thông thấp lý tưởng

Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng được định nghĩa như sau:

Hình dưới đây minh hoạ đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp lý tưởng

H3.6 – Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp lý tưởng

Ví dụ: Xét bộ lọc thông thấp lý tưởng có đáp ứng xung cho bởi

Sử dụng công thức biến đổi Fourier ngược ta có thể tính được đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng như sau:

Nhận xét:

Đáp ứng xung h(n) là đối xứng
Đáp ứng xung h(n) không nhân quả
Bộ lọc thông thấp lý tưởng không thực hiện được về mặt vật lý

Bộ lọc thông cao lý tưởng

Bộ lọc thông cao lý tưởng có đáp ứng biên độ được cho bởi

H3.7 – Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông cao lý tưởng

Bộ lọc thông dải lý tưởng

Bộ lọc thông dải lý tưởng có đáp ứng biên độ cho bởi

H3.8 – Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông dải lý tưởng

Tóm tắt bài giảng(13): Thời lượng 3 tiết

Ôn tập chương 3
Làm bài tập chương 3

GIẢI THUẬT TÍNH BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH

Tóm tắt bài giảng(14): Thời lượng 3 tiết

Nhắc lại nhanh về phép biến đổi Fourier liên tục
Phép biến đổi Fourier thuận và nghịch
Lấy ví dụ tính trực tiếp DFT
Giải thuật FFT
Lấy ví dụ tính theo giải thuật FFT và so sánh với cách tính trực tiếp
Giao bài tập thực hành về lập trình FFT
Hàm cửa sổ

Trong chương số 3 chúng ta đã biết đến phép biến đổi Fourier liên tục của tín hiệu rời rạc x(n):

Khi đó giá trị của X(ejω) tại các điểm rời rạc

được tính bằng:

Trong đó khoảng [-∞,+∞] là chu kỳ của tín hiệu của tín hiệu không tuần hoàn. Do đó với tín hiệu x(n) tuần hoàn với chu kỳ N ta có công thức sau:

Công thức trên được gọi là phép biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu tuần hoàn.

Nhận xét: Các giá trị X(k) chính là các mẫu rời rạc của X(ejω).

. Áp dụng phép biến đổi Fourier rời rạc với tín hiệu

ta có:

Mặt khác ta thấy rằng

cũng là một tín hiệu rời rạc tuần hoàn với chu kỳ N và X(k) là một chu kỳ của

từ đó ta có công thức biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu x(n):

Từ công thức trên ta có thể tinh được x(n) bằng công thức biến đổi Fourier rời rạc ngược sau:

Ví dụ: Cho tín hiệu x(n) có độ dài 4 x(n) = {-1,1,2,3} Hãy tính các giá trị X(k) với k=0,1,2,3.

4.3 Giải thuật FFT

Chúng ta đều biết rằng trong công thức biến đổi Fourier liên tục

x’(n) = x(n)W(n)

W(n) – là một hàm cửa sổ, để giới hạn chiều dài quan sát x(n),Ví dụ: W(n) = RECTN(n).

Thực hiện phép biến đổi Fourier với tín hiệu x’(n) ta có:

X’(f) = X(f)*W(f)

Dưới đây là một vài hàm cửa sổ quan trọng và phổ tương ứng:

Tóm tắt bài giảng(15): Thời lượng 1 tiết

Trả lời các câu hỏi, thắc mắc của sinh viên

BÀI TẬP MÔN XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Bài 1.1 Cho tín hiệu rời rạc

Hãy vẽ tín hiệu x(n), x(2n), x(n/2), x(n2), x(-n)

Bài 1.2 Hãy xem xét tính tuyến tính và bất biến của hệ sau:

T(x(n)) = x2(n)
T(x(n)) = nx(n)

Bài 1.3 Hãy tính tổng chập x(n)*h(n) biết rằng:

x(n) = u(n), h(n) = RECT3(n+1)
x(n) = RECT4(n-2), h(n) = u(n) – u(n-3)
x(n) = u(-n), h(n) = δ(n+3)+δ(n-2)

Bài 1.4 Cho 2 hệ TTBB như sau:

Hệ S1: y(n) = 2x(n) + x(n-2)

Hệ S2: y(n) = x(n+1)-x(n-1)

Ghép nối tiếp 2 hệ trên
Ghép song song 2 hệ trên

Hãy tìm quan hệ vào-ra của hệ tương đương

Bài 1.5 Cho 2 hệ TTBB có đáp ứng xung tương ứng là:

h2(n) = 3nu(n) và h2(n) = 2-n.

Ghép nối tiếp 2 hệ TTBB trên, hãy tìm đáp ứng xung của hệ tương đương.

Bài 1.6 Cho hệ TTBB có PTSP:

Hỏi hệ có ổn định không?

Bài 1.7 Giải PTST sau:

y(n) – 3y(n-1) – 4y(n-2) = x(n)+2x(n-1)

Với y(-1)=y(-2)=0 và x(n) = 4nu(n)

Bài 1.8 Cho hệ TTBB có PTSP sau:

y(n) + 2y(n-2) = 2x(n)-3x(n-1)+x(n-3)

Hãy sơ đồ chuẩn I và chuẩn II.

Bài 2.1 Cho tín hiệu rời rạc x(n) = u(n). Hãy tính X(z) và miền hội tụ của X(z).

Bài 2.2 Hãy tính tổng chập x1(n)*x2(n)*x3(n) sử dụng phép biến đổi Z

x1(n) = RECT3(n), x2(n) = u(n) – u(n-4), x3(n) = δ(n)

Bài 2.3 Dùng phương pháp thặng dư tìm x(n) biết

Bài 2.4 Hãy tính biến đổi Z ngược

với |z|>2

Bài 2.5 Sử dụng phép biến đổi Z một phía để giải PTST:

y(n) +2y(n-2)=2x(n)-3x(n-1)+x(n-3)

Biết y(n)=0 với n<0>n

Bài 2.6 Hãy khảo sát tính nhân quả và ổn định của hệ TTBB có PTSP:

y(n)+y(n-2)=x(n)+3x(n-1)+x(n-2)

Vẽ sơ đồ chuẩn I và II.

Bài 2.7 Cho hệ TTBB có PTSP:

2y(n)+y(n-1)=x(n)-3x(n-1)+2x(n-2)

Xác định hàm truyền đạt của hệ
Hệ có nhân quả và ổn định không

Bài 3.1 Cho bộ lọc thông thấp lý tưởng có đáp ứng tần số:

Hãy vẽ đáp ứng biên độ và tính đáp ứng xung của hệ. Hệ có nhân quả không?

Bài 3.2 Một hệ FIR có đáp ứng xung h(0)=h(1)=α, h(2)=β, h(n)=0 với các giá trị n còn lại. Hãy tính đáp ứng biên độ của hệ.

Bài 3.3 Cho hệ TTBB có đáp ứng xung

Tính đáp ứng tần số của hệ
Tìm y(n) biết x(n) = Aejπ/2

Bài 3.4 Cho hệ TTBB có PTSP

y(n) +y(n-2)= x(n)+x(n-1)

Tính đáp ứng tần số và hàm truyền đạt của hệ.

Bài 4.1 Cho tín hiệu rời rạc x(n) = {-1,2,3,4} Tính X(k),k = 0..3

Bài 4.2 Sử dụng giải thuật FFT hãy tính X(k), k=0..7 của dãy sau

x(n)={-1,2,4,-3,4,2,2,4}

Chia sẻ với bạn bè của bạn:

Hướng dẫn biến đổi chuỗi fourier

3.5.1 Tính tuyến tính

3.5.2 Tính chất trễ

3.5.3 Tính đối xứng

3.5.6 Biến đổi Fourier của tích

3.5.8 Quan hệ Parseval

GIẢI THUẬT TÍNH BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH

Page 2

1.2 Tín hiệu rời rạc

1.2.1 Định nghĩa

Page 3

1.4.1 Tính chất của tổng chập

Page 4

Page 5

2.2.1 Định nghĩa

Page 6

2.6.2 Giải PTSP

2.7.1 Hàm truyền đạt của hệ tuyến tính bất biến (TTBB)

Page 7

2.9.1 Hàm truyền đạt của hệ TTBB ổn định

TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC

Page 8

Page 9

3.5.1 Tính tuyến tính

3.5.2 Tính chất trễ

3.5.3 Tính đối xứng

3.5.6 Biến đổi Fourier của tích

3.5.8 Quan hệ Parseval

GIẢI THUẬT TÍNH BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH

Bài Viết Liên Quan

MỚI CẬP NHẬP

Xem Nhiều

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội