Hàng thứ 10 của tam giác Pascal

Tam giác Pascal rất hữu ích trong đại số, xác suất và tổ hợp khi chúng ta cần khai triển các nhị thức được nâng lên một lũy thừa nguyên. Tuy nhiên, nó luôn hữu ích để biết nó đến từ đâu và nó cho chúng ta biết điều gì

Vậy Tam giác Pascal là gì? . Hàng trên cùng của tam giác có một số và hàng tiếp theo luôn có thêm một số so với hàng trước. Hàng thứ N có (N + 1) mục nhập và tổng của các mục nhập này là 2N

Tất nhiên, bạn có thể dễ dàng tạo lại Tam giác Pascal từ đầu nếu bạn biết một vài hàng đầu tiên và thuật toán để tạo hàng tiếp theo

Trong bài viết này, chúng ta sẽ nói về Tam giác Pascal và nó có thể được sử dụng để làm gì. Chúng tôi cũng sẽ chỉ ra một số cách sử dụng Tam giác Pascal trong các tình huống khác nhau

Bắt đầu nào

Tam giác Pascal là gì?

Tam giác Pascal là một tam giác được tạo thành từ các hàng số là các hệ số nhị thức. Lớp trên cùng của tam giác có một số và lớp tiếp theo luôn có nhiều hơn một số so với lớp trước

Tam giác Pascal cho chúng ta các hệ số nhị thức để khai triển (x + 1)n

Nếu chúng ta cung cấp cho mỗi hàng một chỉ mục số tự nhiên, bắt đầu với N = 0 cho hàng đầu tiên, thì hàng thứ n có N + 1 số trong đó. Các mục bên trái và bên phải trong một hàng luôn là 1

Số thứ hai và số thứ hai đến số cuối cùng luôn có giá trị là N với N >= 1

Cộng đa thức - TI-84 Plus và

Vui lòng bật JavaScript

Nếu chúng ta đọc một hàng từ trái sang phải, chúng ta sẽ nhận được một số là một bảng màu (nghĩa là nó đọc xuôi và ngược giống nhau)

Tại sao gọi là Tam giác Pascal?

Tam giác Pascal được đặt tên theo Blaise Pascal của Pháp, người đã đóng góp cho toán học và các lĩnh vực khác. Ông viết “Luận về tam giác số học” vào năm 1654, trong đó ông mô tả tam giác nổi tiếng liệt kê các hệ số nhị thức của mình.

Làm thế nào để bạn tạo tam giác Pascal?

Để tạo tam giác Pascal, hãy bắt đầu với số duy nhất “1” ở hàng đầu tiên (chỉ số N = 0)

Tiếp theo, thêm một hàng thứ hai bên dưới nó, với số “1” xuất hiện hai lần dưới dạng các mục riêng biệt (chỉ số N = 1)

Sau đó, đặt số "1" ở mỗi đầu của hàng thứ ba và ở giữa, thêm hai mục ở hàng trước đó (1 + 1 = 2) để nhận được các mục "1  2  1" cho hàng thứ ba (chỉ mục

Tiếp tục đặt số “1” ở mỗi đầu của mỗi hàng. Ở giữa, thêm các cặp mục liên tiếp từ hàng trước để điền vào hàng tiếp theo

Mỗi mục (ngoài số 1 ở bên trái và bên phải) là tổng của một cặp mục từ hàng trước. Ví dụ: trong hàng có N = 5, “10” là tổng của “4” và “6” từ hàng trước đó

Hàng Thứ N Của Tam Giác Pascal Là Gì?

Hàng thứ N của Tam giác Pascal được đưa ra dưới đây cho N = 0 đến 9 (hàng đầu tiên đến hàng thứ mười)

• Hàng thứ nhất của Tam giác Pascal. 1
• Hàng thứ 2 của Tam giác Pascal. 1, 1
• Hàng thứ 3 của Tam giác Pascal. 1, 2, 1
• Hàng thứ 4 của Tam giác Pascal. 1, 3, 3, 1
• Hàng thứ 5 của Tam giác Pascal. 1, 4, 6, 4, 1
• Hàng thứ 6 của Tam giác Pascal. 1, 5, 10, 10, 5, 1
• Hàng thứ 7 của Tam giác Pascal. 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
• Hàng thứ 8 của Tam giác Pascal. 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
• Hàng thứ 9 của Tam giác Pascal. 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1
• Hàng thứ 10 của Tam giác Pascal. 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1

Tại sao tam giác Pascal đối xứng?

Tam giác Pascal đối xứng vì cách nó được xây dựng

• Mỗi hàng có một số "1" ở mỗi đầu (để mục đầu tiên và mục cuối cùng khớp nhau)
• Vì các mục thứ 2 và thứ 2 đến cuối cùng trong hàng trước khớp nhau (cả hai đều là N – 1), nên các mục thứ 2 và thứ 2 đến cuối cùng trong hàng tiếp theo cũng sẽ khớp (cả hai sẽ là N)
• Các mục ở giữa đến từ việc cộng các cặp mục liên tiếp trong hàng trước đó. Hàng trước đối xứng thì hàng sau đối xứng. Vì hàng thứ nhất, thứ hai và thứ ba đối xứng nên hàng thứ tư, thứ năm, thứ sáu, v.v.

Các số trong tam giác Pascal đại diện cho cái gì?

Các số trong Tam giác Pascal biểu thị các hệ số nhị thức. Nghĩa là, chúng cho chúng ta biết hệ số của các số hạng sau khi chúng ta khai triển (x + 1)n, kết hợp các số hạng giống nhau và sắp xếp các số hạng theo thứ tự giảm dần (xn đến trước và 1 đến sau cùng)

Tam giác Pascal liên quan như thế nào đến khai triển nhị thức?

Chúng ta có thể thấy rằng Tam giác Pascal hoạt động với một vài giá trị đầu tiên của n

• (x + 1)0 = 1
• (x + 1)1 = x + 1
• (x + 1)2 = x2 + 2x + 1  [chúng ta có thể thấy điều này bằng cách sử dụng GIẤY DÁN]
• (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1  [chúng ta có thể thấy điều này bằng cách nhân kết quả trước đó với (x + 1)]

Tam giác Pascal có thể được sử dụng để làm gì?

Ngoài khai triển nhị thức trong đại số, Tam giác Pascal còn có thể dùng trong xác suất và tổ hợp

Ví dụ về tam giác Pascal trong xác suất

Giả sử rằng xác suất của một sự kiện xảy ra là p. Khi đó xác suất của phần bù (sự kiện không xảy ra) là 1 – p

Giả sử chúng ta muốn tìm xác suất để n phép thử độc lập đều dẫn đến sự kiện không xảy ra. Trong trường hợp này, chúng ta phải tính toán (1 – p)n, đó là lúc Tam giác Pascal sẽ thực sự có ích

Hãy nhớ rằng chúng ta phải nhớ các dấu âm xen kẽ với các hệ số chẵn và lẻ

Với n = 6, Tam giác Pascal cho chúng ta các hệ số của  1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

• (1 – p)6 = 1 – 6p + 15p2 – 20p3 + 15p4 – 6p5 + p6

Ví dụ về tam giác Pascal trong tổ hợp

Giả sử rằng chúng ta có biển số xe có chữ A hoặc số và ký tự đặc biệt B. Nếu có 8 vị trí trên biển số xe cho chữ cái, số và ký tự, thì chúng ta có thể tìm tổng số biển số xe có thể có bằng cách tính (A + B)8

Với n = 8, Tam giác Pascal cho chúng ta các hệ số nhị thức là 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1

• (A + B)8 = A8 + 8A7B + 28A6B2 + 56A5B3 + 70A4B4 + 56A3B5 + 28A2B6 + 8AB7 + B8

Tam giác Pascal có vô hạn không?

Tam giác Pascal là vô hạn, vì không có giới hạn về số hàng mà chúng ta có thể tính toán, và không có giới hạn về số nguyên mũ N của khai triển nhị thức (x + y)N

Tuy nhiên, một hàng của Tam giác Pascal với giá trị N cho trước chỉ có N + 1 mục, là một số hữu hạn

Tam giác Pascal có phải là một Fractal không?

Chúng ta có thể sử dụng Tam giác Pascal để lấy gần đúng tam giác Sierpinki bằng cách tô màu số chẵn màu trắng và số lẻ màu đen

Tam giác Pascals với các số chẵn được tô màu trắng và các số lẻ được tô màu đen gần giống với Tam giác Sierpinki

Cách Tìm Tổng Một Hàng Trong Tam Giác Pascal

Tổng của hàng thứ N của Tam giác Pascal là 2N. Chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy điều này ở một vài hàng đầu tiên bên dưới

• N = 0. tổng = 1 = 20
• N = 1. tổng = 1 + 1 = 2 = 21
• N = 2. tổng = 1 + 2 + 1 = 4 = 22
• N = 3. tổng = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23

Chúng ta có thể chỉ ra rằng công thức này đúng với mọi giá trị của N bằng cách chứng minh bằng quy nạp toán học

trường hợp cơ sở. chúng tôi đã chứng minh kết quả cho N = 0, 1, 2 và 3 ở trên

Bước cảm ứng. giả sử tuyên bố là đúng với N = K. Nghĩa là, giả sử rằng đối với hàng thứ K của Tam giác Pascal, các mục có tổng là 2K

Điều này có nghĩa là nếu các mục là a1, a2, a3, … , aK+1, thì tổng của chúng là

• a1 + a2 + a3 + … + aK+1 = 2K  [đây là Giả thuyết Quy nạp của chúng tôi. Lưu ý rằng a1 và aK+1 đều là 1]

Ta muốn chứng minh rằng tổng của hàng thứ (K + 1) là 2K+1

Chúng ta sẽ đơn giản làm theo thuật toán để xây dựng hàng thứ (K + 1) từ hàng thứ K

Đầu tiên, chúng tôi đặt một "1" ở mỗi đầu của hàng

Tiếp theo, chúng tôi thêm các cặp mục từ hàng thứ K để có được các mục ở giữa của hàng thứ (K + 1)

Có thể dễ dàng hơn để xem cách thức hoạt động của nó trong hình minh họa bên dưới

Chúng tôi sử dụng mỗi mục trong hàng thứ K hai lần để lấy các mục trong hàng thứ (K + 1) của Tam giác Pascal

Vì vậy, các mục của chúng tôi trong hàng thứ (K + 1) sẽ là

• a1  [mục đầu tiên trong hàng, ở ngoài cùng bên trái, sẽ luôn là 1]
• a1 + a2  [mục thứ hai trong hàng]
• a2 + a3  [mục thứ ba trong hàng]
• a3 + a4  [mục thứ tư trong hàng]
• …
• aK-1 + aK  [người thứ ba đứng cuối cùng trong hàng]
• aK + aK+1  [mục thứ hai đến mục cuối cùng trong hàng]
• aK+1  [mục cuối cùng trong hàng, ở ngoài cùng bên phải, sẽ luôn là 1]

Cộng tất cả các mục trong hàng thứ (K + 1) cho chúng ta

• a1 + (a1 + a2) + (a2 + a3) + (a3 + a4) + … + (aK-1 + aK) + (aK + aK+1) + aK+1
• =2a1 + 2a2 + 2a3 + 2a4 + … + 2aK-1 + 2aK + 2aK+1  [vì mỗi mục từ hàng thứ K xuất hiện hai lần]
• =2[a1 + a2 + a3 + … + aK+1]  [lấy hệ số 2]
• =2[2K]  [theo Giả thuyết quy nạp]
• =2K+1

Vậy, hàng thứ (K + 1) của Tam giác Pascal có tổng là 2K + 1. Điều này kết thúc chứng minh bằng quy nạp

Phần kết luận

Bây giờ bạn đã biết về tam giác Pascal, cùng với câu trả lời cho một số câu hỏi phổ biến về phím tắt khai triển nhị thức này

Tôi hy vọng bạn tìm thấy bài viết này hữu ích. Nếu có, xin vui lòng chia sẻ nó với một người có thể sử dụng thông tin

Tổng của tất cả các số hạng ở hàng thứ 10 của tam giác Pascal là bao nhiêu?

Hàng thứ 11 của tam giác Pascal là gì?

Các hàng của tam giác Pascal là gì?

Có bao nhiêu số ở hàng thứ 100 của tam giác Pascal?