Bài viết Hai đường thẳng song song trong không gian và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11. Show
Hai đường thẳng song song trong không gian và cách giải
1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian - Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng - Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. - Hai đường thẳng gọi là cắt nhau nếu chúng đồng phẳng và có một điểm chung - Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung - Như vậy, trong không gian, có 4 vị trí tương đối của hai đường thẳng, đó là: song song, trùng nhau, cắt nhau và chéo nhau. - Khi nhắc đến hai đường thẳng phân biệt, thì ta hiểu là có 3 vị trí tương đối của hai đường thẳng đó (bỏ đi trường hợp trùng nhau). 2. Hai đường thẳng song song
Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Giả sử (P), (Q), (R) là ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt a, b, c, trong đó: a = (P) ∩ (R), b = (Q) ∩ (R), c = (P) ∩ (Q). Khi đó: TH1: a, b, c đồng quy TH2: a // b // c
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) của hai mặt phẳng nói trên sẽ song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. II. Các dạng bài tập về hai đường thẳng song song trong không gian Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp giải: Sử dụng một trong các cách sau - Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng. - Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba. - Áp dụng định lí về giao tuyến song song. - Áp dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với đáy AD và BC. Biết AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD tại P, Q. Chứng minh MN // PQ. Lời giải: Ta có: I ∈ (SAD) ⇒ I ∈ (SAD) ∩ (IBC) Lại có Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (IBC) là đường thẳng qua I và song song với AD, BC. Khi đó trong (SAD), qua I kẻ đường thẳng song song với AD, cắt SA tại P và cắt SD tại Q. ⇒ (SAD) ∩ (IBC) = PQ ⇒ PQ // AD // BC (1) Chứng minh tương tự: J ∈ (SBC) ⇒ J ∈ (SBC) ∩ (ADJ)
⇒ MN // AD // BC (2) Do đó, từ (1) và (2) suy ra: MN // PQ. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N là trung điểm SA và SB.
Lời giải:
Lại có ABCD là hình thang nên AB // CD Do đó: MN // CD.
Trong mặt phẳng (SCD), gọi P là giao điểm của SC và DI Ta có: E ∈ AD ⊂ (ADN) ⇒ EN ⊂ (ADN) ⇒ P ∈ (ADN) Vậy P = SC ∩ (ADN) Do I = AN ∩ DP
Ta có: Dạng 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, ba đường thẳng đồng quy trong không gian
Phương pháp giải: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a, b lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh a, b song song hoặc cắt nhau. Khi đó A, B, C, D thuộc mặt phẳng (a, b).
Phương pháp giải: - Cách 1: Chứng minh đường thẳng thứ nhất đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại. - Cách 2: Chứng minh ba đường thẳng đôi một cắt nhau và chúng đôi một nằm trong ba mặt phẳng phân biệt Bước 1: Xác định với (P), (Q), (R) phân biệt Bước 2: Kết luận d1,d2,d3 đồng quy tại I ≡ I1 ≡ I2 ≡ I3 Ví dụ minh họa Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD. Gọi J là giao điểm của AC và BD.
Lời giải: a.Trong (SAC) gọi I là giao điểm của ME và SJ. Ta có: ME là đường trung bình của tam giác SAC nên ME // AC Suy ra MI // AC, mà M là trung điểm của SA Nên I là trung điểm của SJ. Suy ra: FI là đường trung bình của tam giác SJD Suy ra FI // JD Tương tự có: NI // JB nên N, I, F thẳng hàng Vậy ME, NF, SJ đồng quy tại I.
Suy ra: M, N, E, F đồng phẳng. Ví dụ 4: Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Chứng minh:
Lời giải:
Ta có: (tính chất trọng tâm tam giác) ⇒ ⇒ MN // M'N' (Định lý Ta – lét) Tương tự: ⇒ EF // E'F' (Định lý Ta – lét) Lại có: (tính chất đường trung bình) ⇒ M'N' // E'F' Do đó: MN // EF. Vậy bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.
Dễ thấy M’N’E’F’ là hình bình hành và O là giao điểm của M’E’ và N’F’ Xét ba mặt phẳng (M’SE’), (N’SF’), (MNEF) có (M’SE’) ∩ (N’SF’) = SO (M’SE’) ∩ (MNEF) = ME (N’SF’) ∩ (MNEF) = NF ME ∩ NF = I Do đó theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng ME, NF, SO đồng quy tại I. III. Bài tập áp dụng 1. Tự luận Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AB, AD, BC, CD. Chứng minh P, Q, R, S đồng phẳng. Bài 2: Cho hình chóp S.ABC. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC và SAB. Chứng minh EF // AC. 2. Trắc nghiệm Bài 1: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD, N là trung điểm của AD, M là trung điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Bài 2: Giả sử có ba đường thẳng a, b, c trong đó b // a và c // a. Những phát biểu nào sau đây là sai? (1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c chéo nhau (2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì ba đường thẳng a, b, c song song với nhau từng đôi một (3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, ta vẫn có b // c
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, CD, BC. Mệnh đề nào sau đây sai?
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. Đường thẳng nào không song song với A’B’?
Bài 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Bài 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng:
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB và CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) và (IJG):
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD):
Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án, hay khác:
Săn shopee siêu SALE :
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.  Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. Thế nào là hai đường thẳng chéo nhau trong không gian?Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không song song nhưng không trùng nhau, mà chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất. Điểm cắt của hai đường thẳng chéo nhau được gọi là điểm giao của hai đường.nullTính chất và ứng dụng của 2 đường thẳng chéo nhau mà bạn không ...rdsic.edu.vn › blog › toan › tinh-chat-va-ung-dung-cua-2-duong-thang-ch...null Trong không gian hai đường thẳng cắt nhau khi nào?Hai đường thẳng cắt nhau: Hai đường thẳng cắt nhau khi có một điểm chung. Điểm chung này có thể nằm trên cả hai đường thẳng hoặc không nằm trên bất kỳ đường nào trong hai đường thẳng. Để tìm điểm chung, chúng ta giải hệ phương trình tuyến tính của hai đường thẳng.nullNhững bài vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 12 bạn không thể ...rdsic.edu.vn › blog › toan › nhung-bai-vi-tri-tuong-doi-cua-hai-duong-tha...null Thế nào là hai đường chéo?Khi áp dụng vào đa giác, đường chéo là một đoạn thẳng nối hai đỉnh bất kỳ không liền kề. Do vậy, một tứ giác có hai đường chéo, nối hai cặp đỉnh đối diện nhau. Đối với bất kỳ đa giác lồi nào, tất cả các đường chéo đều nằm trong đa giác, nhưng đối với đa giác lõm, một số đường chéo nằm ngoài đa giác.nullĐường chéo – Wikipedia tiếng Việtvi.wikipedia.org › wiki › Đường_chéonull Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là gì?Trong trường hợp 2 đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa chúng chính là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng. Trong đó, đoạn thẳng nối 2 điểm trên 2 đường thẳng chéo nhau, đồng thời vuông góc với cả 2 đường thẳng đó chính là đoạn vuông góc chung.nullKhoảng Cách 2 Đường Thẳng Chéo Nhau Và Phương Pháp Tínhvuihoc.vn › tin › thpt-khoang-cach-2-duong-thang-cheo-nhau-1033null |
