Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,41,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,congthuctoan,9,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,112,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,279,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,17,Đề cương ôn tập,39,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,982,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,20,Đề thi học kì,134,Đề thi học sinh giỏi,126,Đề thi THỬ Đại học,399,Đề thi thử môn Toán,64,Đề thi Tốt nghiệp,45,Đề tuyển sinh lớp 10,100,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,221,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,35,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,196,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,363,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,206,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,108,Hình học phẳng,91,Học bổng - du học,12,IMO,12,Khái niệm Toán học,66,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,28,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,303,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,24,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thống kê,2,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,79,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,149,Toán 11,179,Toán 12,391,Toán 9,67,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,22,Toán Tiểu học,5,toanthcs,6,Tổ hợp,39,Trắc nghiệm Toán,222,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28, 26 trang khoa-nguyen 4347 0DownloadBạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các phương pháp giải Phương trình lượng giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản
và một số phương trình lượng giác thường gặp
Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức có nghĩa. Ngoài ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa va thì cần điều kiện để và có nghĩa.
Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương trình cơ bản .
Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra. Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại.
1.1-Phương trình lượng giác cơ bản
1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác .
1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản. - Giải và biện luận phương trình (1)
Do nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau
Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm
Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng
-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt.
-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m= . Ta có:
Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm
Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như vì sau khi biến đổi các bài toán thương đưa về các cung đặc biệt.
Ví dụ 1: Giải phương trình
Giải:
Ta nhận thấy không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt =
Khi đó ta có:
Vậy phương trình có 2 họ ngiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải:
Do nên
Vậy phương trình có hai họ nghiệm .
- Giải và biện luận phương trình lượng giác
Ta cũng đi biện luận (b) theo m
Bước 1: Nếu phương trình vô nghiệm .
Bước 2: Nếu ta xét 2 khả năng:
-Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua của góc đặc biệt, giả sử góc. Khi đó phương trình có dạng
-Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua của góc đặc biệt khi đó
đặt = .Ta có:
Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm
Ví Dụ Minh Hoạ.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
Giải:
Do nên
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Giải:
Vì và không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc sao cho
Ta có:
Vậy phương trình có hai họ nghiệm .
- Giải và biện luận phương trình lượng giác
Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện
Bước 2: Xét 2 khả năng
-Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng
-Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt = ta được
Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình
Giải :
Do nên ta có:
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải:
Điều kiện:
Do không thể biểu diễn được qua của góc đặc biệt nên ta đặt .
Từ đó ta có
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
- Giải và biện luận phương trình lượng giác
Ta cũng đi biện luận theo
Bước1: Đặt điều kiện
Bước 2: Xét 2 khả năng
-Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng
-Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt = ta được
Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (d) luôn có nghiệm.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1:
Giải phương trình sau: (1)
Giải:
Điều kiện ()
Ta có:
(1)
Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện ()
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải:
Ta nhận thấy nên ta có
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm .
Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức.
1.2- Một số phương trình lượng giác thường gặp.
1.2.1- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Dạng 1: (1)
Cách giải: Đặt , điều kiện
Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo , giải tìm chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm
Dạng 2: (2)
Cách giải: Đặt điều kiện ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình bậc hai theo , giải tìm rồi tìm
Dạng 3: (3)
Cách giải: Điều kiện
Đặt ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo , chú ý khi tìm được nghiệm cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không
Dạng 4: (4)
Cách giải: Điều kiện
Đặt . Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình (1)
Giải:
Phương trình (1)
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)
Giải:
Điều kiện
Ta có:
Ta thấy không thoả mãn điều kiện. Do đó (*)
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Bài tập:
Bài 1: Giải phương trình:
Bài 2 Giải phương trình:
Bài 3: Giải phương trình:
Bài 4: Giải phương trình:
Bài 5: Giải phương trình:
Bài 6: Giải phương trình:
Bài 7: Giải phương trình:
Bài 8: Giải phương trình
Bài 9: Giải phương trình
1.2.2- Phương trình bậc nhất đối với
a)Định nghĩa: Phương trình trong đó a, b, c và được gọi là phương trình bậc nhất đối với
- Cách giải.
Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước
Bước 1:Kiểm tra
-Nếu < phương trình vô nghiệm
-Nếu khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2
Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho , ta được
Vì nên tồn tại góc sao cho
Khi đó phương trình (1) có dạng
Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải
Cách 2: Thực hiện theo các bước
Bước 1: Với thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không?
Bước 2: Với
Đặt suy ra
Khi đó phương trình (1) có dạng
Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau đó giải tìm x.
- Dạng đặc biệt:
.
. .
Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau
từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng , và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác .
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví Dụ 1: Giải phương trình: (1)
Giải :
Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho ta được
Đặt . Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng
Vậy phương trình có 2 nghiệm
Cách 2:-Ta nhận thấy là nghiệm của phương trình
-Với . Đặt ,lúc đó
Phương trình (1) sẽ có dạng
Hay
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau:
Ví Dụ 2: Giải phương trình
Giải:
Ta biến đổi phương trình (2)
Ta có:
Suy ra <
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .
Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau
Ví Dụ 3: Giải phương trình
Giải :
Cách 1:Thực hiện phép biến đổi
(3)
Đặt
Phương trình (3) sẽ được viết thành
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn.
Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt và ta cũng thu được nghiệm chẵn Chú ý: Đối với phương trình dạng trong đó a, b, c, d thoả mãn >0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các hàm hằng số . Bằng phép chia cho ta có () hoặc
(*) trong đó là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau:
Ví Dụ 4: Giải phương trình:
Giải:
(4)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Bài tập: Giải các phương trình sau : -
1.2.3- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với và .
- Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với , là phương trình.
(1) trong đó a, b, c, d
- Cách giải :
Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử hoặc . Chẳng hạn nếu chia cho ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra:
xem nó có phải là nghiệm của phương trình(1) hay không?
Bước 2: Với chia cả hai vế cho lúc đó phương trình (1) trở thành
Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải.
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
đưa phương trình đã cho về phương trình
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải
*Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát
trong đó
Khi đó ta cũng làm theo 2 bước :
Bước 1: Kiểm tra xem có phải là nghiệm của phương trình hay không?
Bước 2: Nếu .Chia cả hai vế của phương trình trên cho ta sẽ được phương trình bậc n theo . Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví Dụ 1: Giải phương trình : (1)
Giải:
Cách 1: Phương trình (1)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Cách 2: +) Thử với vào phương trình (1) ta có vô lí.
Vậy không là nghiệm của phươngtrình.
+)Với Chia cả hai vế của phương trình cho ta được
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
- Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện
một số phép biến đổi thích hợp
Ví Dụ 2: Giải phương trình: (2)
Giải :
Ta nhận thấy có thể biểu diễn được qua . Luỹ thừa bậc ba biểu thức
ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải
Phương trình (2)
+) Xét với . Khi đó phương trình có dạng
mâu thuẫn
Vậy phương trình không nhận làm nghiệm
+) Với . Chia cả hai vế của phương trình (2) cho ta được :
.
Đặt phương trình có được đưa về dạng:
Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình .
Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất.
Ví Dụ 3: Giải phương trình: (3)
Giải :
Điều kiện
Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng :
Chia cả hai vế của phương trình (3) cho ta được :
(do vô nghiệm) nên:
Phương trình ()
Vậy phương trình có một họ nghiệm
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng
Đặt ta được :
Vậy phương trình có một họ nghiệm
Bài tập :
Giải các phương trình sau : -
1.2.4-Phương trình đối xứng đối với và .
- Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với và là phương trình dạng
trong đó (1)
- Cách giải:
Cách 1: Do nên ta đặt
. Điều kiện
Suy ra và phương trình (1) được viết lại:
Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải
Cách 2: Đặt thì
nên phương trình (1) trở thành
. Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình bằng cách đặt và lúc đó
Ví Dụ Minh Hoạ :
Ví Dụ 1: Giải phương trình
Giải:
Cách 1: Đặt điều kiện . Lúc đó
Khi đó phương trình (1) sẽ có dạng
Với không thoả mãn điều kiện nên
()
Cách 2: Đặt . Khi đó phương trình có dạng
(’)
Ta thấy không thoả mãn
Do đó (’) Vậy phương trình có hai họ nghiệm Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên
Bài toán 1: Giải phương trình
Cách giải: Phương trình (1) có thể viết
*Quy ước: Khi có nhiều dấu trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới
Ví Dụ 2: Giải phương trình
Giải:
Điều kiện:
Ta có (2)
Ta có (3)
(4)
(6)
Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình
Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm.
Bài toán 2: Giải phương trình:
với (1)
Cách giải:
Ta có:
Đến đây chúng ta đã biết cách giải
Tương tự cho phương trình
Ví Dụ 3: Giải phương trình
(3)
Giải:
Điều kiện
(3)
Giải (4)
Giải (5): Đặt ()
Suy ra .
Phương trình (5) trở thành
Kết hợp với điều kiện (*) thì bị loại
Với ta có
Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình
Vậy phương trình có ba họ nghiệm
Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với và với bậc lớn hơn 2.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
Giải :
Ta có:
Phương trình (1) có dạng
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
Ví Dụ 5: Giải phương trình: (2)
Giải:
Điều kiện:
Phương trình (2)
(loại)
Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
Bài tập:
Giải các phương trình sau: - 4.
- 6.
- 8.
- 11.
1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng và .
- Phương trình có dạng
Cách giải:
Bước 1: Đặt ẩn phụ
đưa phương trình đã cho về dạng đại số
Bước 2: Giải phương trình loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán
Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x
Ví dụ Minh Hoạ:
Ví Dụ 1: Giải phương trình
Giải:
Phương trình (1)
Đặt , phương trình (2) trở thành
hay
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Ví Dụ 2: Giải phương trình:
(2)
Giải:
Điều kiện
Ta có: Phương trình (2)
(3)
Đặt , phương trình (3) có dạng
Với thì nên (4)
Suy ra ( thoả mãn điều kiện(2)).
Vậy là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
Bài tập:Giải các phương trình sau:
- 2.
- 4.
- 6.
-
1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG.
Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn. Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp.
Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau:
1.3.1 Phương pháp loại nghiệm trực tiếp.
Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện () nào đó Trước hết ta giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào () để loại nghiệm không thích hợp.
Ví Dụ: Giải phương trình (1)
Giải:
Điều kiện ()
Khi đó (1)
Thay vào () xem có thoả mãn hay không ?
Suy ra không thoả mãn () .
Vậy phương trình (1) vô nghiệm .
1.3.2- Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác).
Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện () nào đó .Gọi L là tập các cung không thoả mãn các điều kiện (), N là tập nghiệm của phg trình (1).Ta biểu diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng một đường tròn lượng giác. Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh dấu (.). Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là nghiệm của phương trình.
Ví Dụ: Giải phương trình: (1)
Giải:
Điều kiện
Khi đó phương trình (1)
Biểu diễn các họ nghiệm () và ( ) lên trên cùng một đường tròn lượng giác.
sin
cos
Từ đó ta có nghiệm của phương trình (1) là
1.3.3- Phương pháp đại số.
Phương pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phương trình (thường là phương trình nghiệm nguyên) hoặc bất phương trình đại số.
- Ví Dụ: Giải phương trình:
Giải:
Điều kiện
Khi đó (1)
Gía trị này là nghiệm của (1) nếu
Điều này đúng vì là số lẻ còn là số chẵn
Vậy nghiệm của phương trình là
Bài tập:
1: Tìm các nghiệm thuộc của phương trình
2: Giải phương trình: 3: Giải phương trình:
4: Giải phương trình: 5: Giải phương trình:
6: Giải phương trình:
Tài liệu đính kèm:
- Chuyen_de_phuong_trinh_luong_giac_11.doc
|