Với giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 2. Giải bài tập Toán 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác Giải Toán 10 trang 72 Tập 1 Câu hỏi khởi động trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Từ xa xưa, con người đã cần đo đạc các khoảng cách mà không thể trực tiếp đo được. Chẳng hạn, để do khoảng cách từ vị trí A trên bờ biển tới một hòn đảo (hay con tàu,…) trên biển, người xưa đã tìm ra một cách đo khoảng cách đó như sau: Từ vị trí A, đo góc nghiêng α so với bờ biển tới một vị trí C quan sát được trên đảo. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng d và tiếp tục đo góc nghiêng β so với bờ biển tới vị trí C đã chọn (Hình 18). Bằng cách giải tam giác BAC, họ tính được khoảng cách AC.  Giải tam giác được hiểu như thế nào? Lời giải: Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên những dữ kiện cho trước. Hoạt động 1 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, A^=α. Viết công thức tính BC theo b, c, α. Lời giải: Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos A = c2 + b2 – 2.b.c.cosα ⇒BC=c2+b2−2bccosα. Giải Toán 10 trang 73 Tập 1 Hoạt động 2 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Viết công thức tính cos A theo a, b, c. Lời giải: Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos A ⇒ cos A = AB2+AC2−BC22.AB.AC Vậy cos A = AB2+AC2−BC22.AB.AC. Hoạt động 3 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, B^=α, C^=β. Viết công thức tính AB và AC theo a, α, β Lời giải: Trong tam giác ABC có: A^=180°−B^−C^=180°−α−β. Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: BCsinA=ACsinB=ABsinC ⇒asin180°−α−β=ACsinα=ABsinβ Do đó AC = a.sinαsin180°−α−β và AB = a.sinβsin180°−α−β. Hoạt động 4 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ đường cao BH.
Lời giải:
+ Với A^<90° Xét tam giác vuông AHB, ta có sinA=BHBA Do đó BH = AB . sin A = c . sin A. + Với A^=90° Khi đó sin A = sin 90o = 1; BH = BA = c . 1 = c . sin A. + Với A^>90° Xét tam giác AHB vuông, ta có: BAH^=180°−A^. Do đó BH = AB . sin(180° – A^) = AB . sin A = c . sin A. Như vậy, trong mọi trường hợp ta đều có BH = c . sin A.
Giải Toán 10 trang 74 Tập 1 Luyện tập 1 trang 74 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12; B^=60°; C^=45°. Tính diện tích của tam giác ABC. Lời giải: Xét tam giác ABC ta có A^=180°−B^−C^=180°−60°−45°=75°. Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: BCsinA=ABsinC ⇒BCsin75°=12sin45° ⇒BC=12sin45°.sin75° ⇒ BC \= 6 + 63 Khi đó diện tích tam giác ABC bằng: 12AB . BC . sin B = 12. 12 . (6 + 63) . sin 60o ≈ 85,2. Giải Toán 10 trang 75 Tập 1 Hoạt động 5 trang 75 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24).
sinA=2bcpp−ap−bp−c, ở đó p=a+b+c2.
S=pp−ap−bp−c. Lời giải:
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos A (định lí cosin) ⇒ cos A = AB2+AC2−BC22.AB.AC ⇒ cos A = c2+b2−a22.c.b ⇒cos2A=b2+c2−a224b2c2 Do A^ là góc của tam giác ABC nên 0°<A^<180°. Do đó sin A > 0. Lại có cos2 A + sin2 A = 1 nên sin2 A = 1 - cos2 A. ⇒sin2A=1−b2+c2−a224b2c2 ⇒sin2A=4b2c2−b2+c2−a224b2c2 ⇒sin2A=2bc+b2+c2−a22bc−b2−c2+a24b2c2 ⇒sin2A=b+c2−a2a2−b−c24b2c2 ⇒sin2A=b+c+ab+c−aa+b−ca−b+c4b2c2 mà p=a+b+c2 ⇒ sin2A=2p.2p−a.2p−c.2p−b4b2c2 ⇒sin2A=4pp−ap−bp−cb2c2 Do sin A > 0 nên sinA=4pp−ap−bp−cb2c2. Do đó sinA=2bcpp−ap−bp−c.
Mà sinA=2bcpp−ap−bp−c nên S = 12bc. 2bcpp−ap−bp−c. Do đó S=pp−ap−bp−c. Giải Toán 10 trang 76 Tập 1 Luyện tập 2 trang 76 Toán lớp 10 Tập 1: Từ trên nóc của một tòa nhà cao 18,5 m, bạn Nam quan sát một cái cây cách tòa nhà 30 m và dùng giác kế đo được góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang là 34°, góc lệch giữa phương quan sát ngọn cây và phương nằm ngang là 24°. Biết chiều cao của chân giác kế là 1,5 m. Chiều cao của cái cây là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Lời giải: Gọi BC là chiều cao của tòa nhà, AB là chiều cao của chân giác kế, CD là khoảng cách giữa tòa nhà và cái cây, DAF^ là góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang, EAF^ là góc lệch giữa ngọn cây và phương nằm ngang. Khi đó chiều cao của cây là độ dài DE. Tam giác AFD vuông tại F nên tanDAF^=DFAF ⇒ DF = AF . tan DAF^ \= 30 . tan 34o ≈ 20,2 m. Tam giác AFE vuông tại F nên tanEAF^=EFAF ⇒ EF = AF. tan EAF^ \= 30 . tan 24o ≈ 13,4 m. Khi đó DE = DF - EF = 20,2 - 13,4 = 6,8 m. Vậy chiều cao cây khoảng 6,8 m. Bài tập Giải Toán 10 trang 77 Tập 1 Bài 1 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, C^=120°. Tính:
Lời giải:
AB2 = BC2 + CA2 - 2.BC.CA.cos C ⇒ AB2 = 122 + 152 - 2.12.15.cos 120o ⇒ AB2 = 549 ⇒ AB = 361 m.
ABsinC=ACsinB ⇒sinB=AC.sinCAB=15.sin120°361≈0,554 ⇒B^ ≈ 34o. Trong tam giác ABC có A^=180°−B^−C^=180°−34°−120°=26°.
S = 12BC.AC.sin C = 12.12.15.sin 120o = 453 (đvdt). Bài 2 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, A^=120°. Tính độ dài cạnh AC. Lời giải: Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có: BCsinA=ABsinC ⇒sinC=AB.sinABC=5.sin120°7=5314 ⇒C^ ≈ 38,2o. Trong tam giác ABC có B^=180°−A^−C^=180°−120°−38,2°=21,8°. Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có: BCsinA=ACsinB ⇒AC=BC.sinBsinA=7.sin21,2°sin120°≈2,9 m. Vậy độ dài cạnh AC là 2,9m. Bài 3 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 100, B^=100°, C^=45°. Tính:
Lời giải:
A^=180°−B^−C^=180°−100°−45°=35°. Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có: ACsinB=ABsinC=BCsinA Do đó AC=AB.sinBsinC=100.sin100°sin45°≈139,3; BC=AB.sinAsinC=100.sin35°sin45°≈81,1. Vậy AC ≈ 139,3, BC ≈ 81,1.
S = 12. AB.AC.sin A = 12. 100 . 139,3 . sin 35o ≈ 3995 (đvdt). Vậy diện tích tam giác ABC là 3995 (đvdt). Bài 4 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính:
Lời giải:
cos A = AB2+AC2−BC22.AB.AC=122+152−2022.12.15=−31360 ⇒A^ ≈ 95o. cos B = BC2+BA2−AC22.BC.CA=202+122−1522.20.12=319480 ⇒B^ ≈ 48o. Trong tam giác ABC có: C^=180°−A^−B^=180°−95°−48°=37°
S = 12AB . AC . sin A = 12. 12 . 15 . sin 95o ≈ 90 (đvdt). Vậy diện tích tam giác ABC là 90 (đvdt). Bài 5 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau: Lời giải: +) Xét Hình 29: Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: BCsinA=ACsinB ⇒sinB=AC.sinABC=5,2.sin40°3,6≈0,93 ⇒B^≈68°. Trong tam giác ABC có C^=180°−A^−B^=180°−40°−68°=72°. Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: BCsinA=ABsinC ⇒AB=BC.sinCsinA=3,6.sin72°sin40°≈5,3 m. Vậy AB ≈ 5,3 m. +) Xét Hình 30: Gọi H là chân đường cao kẻ từ C đến AB. Tam giác ACH vuông tại H nên cos CAH^=AHAC. Do đó AH = AC. cos CAH^ \= 5,2 . cos 40o ≈ 4 m. sin CAH^=CHAC⇒ CH = AC . sin CAH^ \= 5,2 . sin 40o ≈ 3,3 m. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BCH vuông tại H: BH2 + CH2 = BC2 ⇒ BH2 = BC2 - CH2 ⇒ BH2 = 3,62 - 3,32 ⇒ BH2 = 2,07 ⇒ BH ≈ 1,44 m. Khi đó AB ≈ 4 - 1,44 ≈ 2,56 m. Vậy AB ≈ 2,56m. Bài 6 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà không thể đi trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, …), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm C sao cho ta đo được các khoảng cách AC, CB và góc ACB. Sau khi đo, ta nhận được: AC = 1 km, CB = 800 m và ACB^=105° (Hình 31). Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét). Lời giải: Đổi 1 km = 1 000 m. Ba vị trí A, B, C tạo thành ba đỉnh của tam giác. Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có: AB2 = AC2 + BC2 - 2.AC.BC.cos C ⇒ AB2 = 1 0002 + 8002 - 2.1000.800.cos 105o ⇒ AB2 ≈ 2 054 110,5 m. ⇒ AB ≈ 1433,2 m. Vậy AB ≈ 1433,2 m. Bài 7 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là 45° và 75°. Biết khoảng cách giữa hai bị trí A, B là 30 m (Hình 32). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? |
