Xin chào các bạn, chắc hẳn các bạn có khá nhiều thắc xoay quanh chuyên đề hàm số bậc nhất. Có thể nói rằng, đây là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán học lớp 9 và “xuất hiện” khá nhiều trong các đề kiểm tra. Ngoài ra, Chúng góp phần tạo nên nền tảng để giúp các bạn học tốt các hàm số tiếp theo. Show Gia sư Thành Tâm sẽ lần lượt giải đáp chi tiết về lý thuyết, phương pháp giải và các dạng bài tập về hàm số bậc nhất. Hãy cùng đọc và tham khảo thôi nào!  Lý thuyết hàm số đồ thị bậc nhất y = ax + bĐịnh nghĩa:
Tính chất:
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)Đồ thị của hàm số y = ax + b là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0; trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0. Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) còn gọi là đường thẳng y = ax + b; b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng. Trường hợp đặc biệt:
Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y = ax+b (a ≠ 0)Bước 1: Xác định giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành.
Bước 2: Nối hai điểm P và Q được đường thẳng PQ. Các dạng bài tập hàm số y = ax + b (a≠0) lớp 9Chuyên đề hàm số bậc nhất y = ax + b bao gồm các dạng bài tập sau:
→ Nếu hàm số f(x) chứa căn thức bậc 2 thì biểu thức trong căn phải dương (A(x) ≥0) → Nếu hàm số f(x) có dạng A(x)/B(x) thì điều kiện B(x) ≠ 0
1/ Bước 1: Tìm xác định D của hàm số 2/ Bước 2: → Thay giá trị x0 ∈ D vào x rồi tính giá trị biểu thức. → Thay y = y0 được f(x) = y0
Điểm A bất kì có tọa độ A(x0; y0), đường thẳng d có phương trình y = ax + b. Xác định điểm A thuộc hay không thuộc đường thẳng d bằng cách: 1/ A∈(d) ↔ y0 = ax0 + b 2/ B∉(d) ↔ y0 ≠ ax0 + b
Hàm số cần tìm có dạng y = ax+b (a≠0), từ đó tìm được hàm số ta phải đi tìm a và b
Bài tập về hàm số bậc nhất lớp 9 có đáp ánBài 1: Cho hàm số : y = ( m – 1).x + m (d) a) Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến? b) Tìm m để hàm số song song với trục hoành. c) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A( – 1 ; 1) d) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng có phương trình : x – 2y = 1 Bài 2: Cho hàm số y = ( m – 2).x + n (d’) trong đó m, n là tham số a/ Tìm m, n để (d’) đi qua hai điểm A(1 ; – 2) ; B(3 ; – 4 ) b/ Tìm m để : (d’) vuông góc với đường thẳng có phương trình : x – 2y = 3 (d’) song song với đường thẳng có phương trình: 3x + 2y = 1. ( d’) trùng với đường thẳng có phương trình: y – 2x + 3 = 0 Bài 3: Xác định hàm số y = ax +1 biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A( 2 ;0). Vẽ đồ thị hàm số với a tìm được? Bài 4: Xác dịnh hàm số y = ax+b biết rằng đồ thị của nó song song với đường thẳng y = -2x và đi qua điểm A (1; -4 ). Vẽ đồ thị hàm số với a,b tìm được? Bài 5: Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị của nó cát trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 , cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3? Bài 6: Cho điểm A ( 2;3 ), xác định hàm số y =ax+b biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm B ( 2 ;-1 ) và song song với đường OA ( O là gốc tọa độ ). Bài 7: Xác định các giá trị của m để đường thẳng y = mx +1 cắt đường thẳng y = 2x+3. Bài 8: Cho hàm số y = ax có đồ thị đi qua điểm A (3; 3). Xác định hệ số a và tính góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox ? Bài 9: Cho hàm số y = x -2 a) Vẽ đồ thị hàm số b) Gọi a là góc tạo bởi đường thẳng y = x -2 và tia Ox. Tính a? KẾT LUẬN: Gia sư dạy toán lớp 9 hi vọng qua bài viết này, các bạn sẽ lần lượt giải đáp được những thắc mắc về hàm số bậc nhất lớp 9. Mỗi bạn sẽ có một phương pháp học toán riêng, không bạn nào giống bạn nào cả. Do vậy, học tập là một quá trình để cố gắng. Khó thì khó thật đấy nhưng có điều thú vị riêng! Chúc các bạn học tốt! Trung tâm gia sư Thành Tâm mang đến chất lượng dịch vụ gia sư tốt nhất, chắp cánh cùng các tài năng Việt. TRUNG TÂM GIA SƯ THÀNH TÂM – NƠI CUNG CẤP GIA SƯ CHẤT LƯỢNG HÀNG ĐẦU TẠI HCM Văn phòng đại diện: 35/52 Đường 44, Phường Hiệp Bình Chánh, Quận Thủ Đức HOTLINE: 0374771705 (Cô Tâm) >>> Xem thêm: >>> Tóm lại là: [A-Z] Bài tập + Công thức hình học không gian lớp 9 >>> Cách giải nghiệm của phương trình bậc 2 [Chi Tiết + Dễ Hiểu] >>> [A-Z] Lý thuyết và cách chứng minh tam giác vuông lớp 7, 8, 9 >>> [A-Z] Bài tập & Cách giải Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Lớp 8 Nhấn vào đây để đánh giá bài này ! [Toàn bộ: 4 Trung bình: 3.3] Chia sẻ nếu thấy tài liệu này có ích!
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN I – Kiến thức cần nhớ 1, Định nghĩa - Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y=ax+b$ trong đó $a;b$ là các số cho trước và $a\ne 0.$ - Đặc biệt, khi $b=0$ thì hàm số có dạng $y=ax.$ 2, Tính chất - Hàm số bậc nhất $y=ax+b\,\,\left( a\ne 0 \right)$ xác định với mọi giá trị của $x\in \mathbb{R}$. - Hàm số đồng biến khi $a>0$ - Hàm số nghịch biến khi $a<0$. 3, Đồ thị - Đồ thị của hàm số $y=ax+b$ $\left( a\ne 0 \right)$ là một đường thẳng: + Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $b;$ + Song song với đường thẳng $y=ax$ khi $b\ne 0$ + Trùng với đường thẳng $y=ax$ khi $b=0$ - Chú ý: Đồ thị hàm số $y=ax+b\,\,\left( a\ne 0 \right)$ còn được gọi là đường thẳng $y=ax+b$; $a$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng ; $b$ được gọi là tung độ gốc của đường thẳng. 4, Góc tạo bởi đồ thị hàm số bậc nhất và trục $Ox$ - Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b\,\,\left( a\ne 0 \right)$ và trục $Ox$. + Nếu $\alpha <{{90}^{0}}$ thì $a>0$. + Nếu $\alpha >{{90}^{0}}$ thì $a<0$. 5, Vị trí tương đôi của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right):y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}}$ và $\left( {{d}_{2}} \right):y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}},$ trong đó ${{a}_{1}},\,\,{{a}_{2}}\,\,\ne 0$ - $\left( {{d}_{1}} \right)$ cắt $\left( {{d}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow {{a}_{1}}\ne {{a}_{2}}$ - $\left( {{d}_{1}} \right)//\left( {{d}_{2}} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\ & {{b}_{1}}\ne {{b}_{2}} \\ \end{align} \right.$ - $\left( {{d}_{1}} \right)\,$ trùng với $\left( {{d}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\ & {{b}_{1}}={{b}_{2}} \\ \end{align} \right.$ - $\left( {{d}_{1}} \right)\bot \left( {{d}_{2}} \right)\Leftrightarrow {{a}_{1}}.{{a}_{2}}=-1$ II – Bài tập vận dụng Đề bài. Cho hàm số bậc nhất $y=\left( m-2 \right)x+m+3\,\,\,\left( d \right)$ a) Tìm $m$ để hàm số đồng biến. b) Tìm $m$ để hàm số nghịch biến. c) Tìm $m$ để $\left( d \right)$ đi qua điểm $A\left( 1;2 \right)$ d) Tìm $m$ để đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y=3x-3+m\,\,\left( {{d}_{1}} \right)$ e) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho vuông góc với đường thẳng $\left( {{d}_{2}} \right)$ $y=2x+1$. f) Tìm $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. g) Tìm $m$ để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. h) Tìm $m$ để đồ thị hàm số $\left( {{d}_{3}} \right)y=-x+2;\,\,\left( {{d}_{4}} \right)y=2x-1;\,\left( d \right)\,y=\left( m-2 \right)x+m+3$ đồng quy. i) Tìm $m$ biết $\left( d \right)$ tạo với trục hoành một góc ${{45}^{0}}.$ j) Tìm $m$ biết $\left( d \right)$ tạo với trục hoành một góc ${{150}^{0}}.$ k) Tìm $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng $\left( d \right)$ bằng 1. l) Tìm $m$ để $\left( d \right)$ cắt $Ox,\,\,Oy$ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2. m) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ thì đường thẳng $\left( d \right)$ luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó. Bài giải a) Hàm số $y=\left( m-2 \right)x+m+3$ đồng biến $\Leftrightarrow m-2>0$ $\Leftrightarrow m>2$ b) Hàm số $y=\left( m-2 \right)x+m+3$ nghịch biến $\Leftrightarrow m-2<0$ $\Leftrightarrow m<2$ c) Để đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua điểm $A\left( 1;2 \right)$ $\Leftrightarrow 2=\left( m-2 \right).1+m+3$ $\Leftrightarrow 2=2m+1$ $\Leftrightarrow 2m=1$ $\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$ d) Để $\left( d \right)//\left( {{d}_{1}} \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m-2=3 \\ & m+3\ne -3+m \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m=5$ e) Để $\left( d \right)\,\,\bot \,\,\left( {{d}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow 2\left( m-2 \right)=-1$ $\Leftrightarrow m-2=-\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}$ f) Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 $\Leftrightarrow \left( d \right)$ đi qua điểm $M\left( 3;0 \right)$ $\Leftrightarrow 0=3\left( m-2 \right)+m+3$ $\Leftrightarrow 0=3m-6+m+3$ $\Leftrightarrow 4m=3$ $\Leftrightarrow m=\frac{3}{4}$ g) Đồ thị hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 $\Leftrightarrow \left( d \right)$ đi qua điểm $N\left( 0;3 \right)$ $\Leftrightarrow 3=\left( m-2 \right).0+m+3$ $\Leftrightarrow m=0$ h) Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{d}_{3}} \right)$ và $\left( {{d}_{4}} \right)$ là: $-x+2=2x-1$ $\Leftrightarrow 3x=3$ $\Leftrightarrow x=1$ $\Rightarrow y=-1+2=1$ $\Rightarrow \left( {{d}_{3}} \right)$ cắt $\left( {{d}_{4}} \right)$ tại điểm $B\left( 1;1 \right)$ Để $\left( d \right),\,\,\left( {{d}_{3}} \right),\,\,\left( {{d}_{4}} \right)$ đồng quy thì $\left( d \right)$ phải đi qua điểm $B$ $\Leftrightarrow 1=\left( m-2 \right).1+m+3$ $\Leftrightarrow 1=2m+1$ $\Leftrightarrow 2m=0$ $\Leftrightarrow m=0$ i) Vì $\left( d \right)$ tạo với trục $Ox$ một góc ${{45}^{0}}$ nên ta có: $m-2>0$ $\Leftrightarrow m>2$ Đồ thị hàm số $\left( d \right)$cắt$Ox$ tại điểm $E\left( \frac{-m-3}{m-2};0 \right)$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $F\left( 0;\,m+3 \right)$ Ta có góc tạo bởi $\left( d \right)$ và trục $Ox$ là: $\widehat{OEF}$ Ta có: $\tan \widehat{OEF}=\frac{OF}{OE}$ $\Rightarrow \tan {{45}^{0}}=\left| \frac{m+3}{\frac{-m-3}{m-2}} \right|=\left| m-2 \right|$ $\Leftrightarrow \left| m-2 \right|=1$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m-2=1 \\ & m-2=-1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=3\,\,\,(tm) \\ & m=1\,\,\,(l) \\ \end{align} \right.$ Vậy $m=3$ j) Vì $\left( d \right)$ tạo với trục $Ox$ một góc ${{150}^{0}}$ nên $m-2<0$ $\Leftrightarrow m<2$ Đồ thị hàm số $\left( d \right)$cắt$Ox$ tại điểm $E\left( \frac{-m-3}{m-2};0 \right)$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $F\left( 0;\,m+3 \right)$ Góc tạo bởi $\left( d \right)$ và trục $Ox$ là $\widehat{FEx}$ $\Rightarrow \widehat{FEx}={{150}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{OEF}={{180}^{0}}-{{150}^{0}}={{30}^{0}}$ $\tan \widehat{OEF}=\frac{OF}{OE}$ $\Rightarrow \tan {{30}^{0}}=\frac{\left| m+3 \right|}{\left| \frac{-m-3}{m-2} \right|}=\left| m-2 \right|$ $\Leftrightarrow \left| m-2 \right|=\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} \text{ }\!\!~\!\!\text{ } & m-2=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \text{ }\!\!~\!\!\text{ } & m-2=-\frac{\sqrt{3}}{3} \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=2+\frac{\sqrt{3}}{3}(l) \\ & m=2-\frac{\sqrt{3}}{3}(tm) \\ \end{align} \right.$ Vậy $m=2-\frac{\sqrt{3}}{3}$ k) Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $O$ đến $\left( d \right)$ Khi đó khoảng cách từ $O$ đến $\left( d \right)$ là $OH$ Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta OEF$ vuông tại $O$ , đường cao $AH$ ta có: $\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{E}^{2}}}+\frac{1}{O{{F}^{2}}}$ $\frac{1}{{{1}^{1}}}=\frac{{{\left( m-2 \right)}^{2}}}{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}$ $\Rightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}+1={{\left( m+3 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m+4+1={{m}^{2}}+6m+9$ $\Leftrightarrow 10m=-4$ $\Leftrightarrow m=-\frac{2}{5}$ l) ${{S}_{OEF}}=\frac{1}{2}OE.OF$ $\Rightarrow OE.OF=2{{S}_{OEF}}$ $\Rightarrow \left| \frac{-m-3}{m-2} \right|.\left| m+3 \right|=2.2$ $\Leftrightarrow \left| \frac{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}{m-2} \right|=4$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \frac{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}{m-2}=4 \\ & \frac{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}{m-2}=-4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\left( m+3 \right)}^{2}}=4\left( m-2 \right) \\ & {{\left( m+3 \right)}^{2}}=-4\left( m-2 \right) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{m}^{2}}+6m+9=4m-8 \\ & {{m}^{2}}+6m+9=-4m+8 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{m}^{2}}+2m+17=0\,\, \\ & {{m}^{2}}+10m+1=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-5-2\sqrt{6} \\ & m=-5+2\sqrt{6} \\ \end{align} \right.$ (Phương trình đầu tiên là vô nghiệm) m) Gọi điểm $N\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng $\left( d \right)$ luôn đi qua với mọi $m$ $\Leftrightarrow {{y}_{0}}=\left( m-2 \right){{x}_{0}}+m+3$ với mọi $m$ $\Leftrightarrow {{y}_{0}}=m{{x}_{0}}-2{{x}_{0}}+m+3$ với mọi $m$ $\Leftrightarrow m\left( {{x}_{0}}+1 \right)=2{{x}_{0}}+{{y}_{0}}-3$ với mọi $m$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2{{x}_{0}}+{{y}_{0}}-3=0 \\ & {{x}_{0}}+1=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{0}}=-1 \\ & {{y}_{0}}=5 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow N\left( -1;5 \right)$ III – Bài tập luyện tập Bài 1. Cho hàm số $y=\left( m+5 \right)x+2m-10$ a) Với giá trị nào của $m$ thì $y$ là hàm số bậc nhất. b) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng biến. c) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( 2;3 \right)$. d) Tìm $m$ để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9. e) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm 10 trên trục hoành. Bài 2. Cho hàm số $y=\left( 2m+3 \right)x-2+m$ a) Tìm $m$ để hàm số đồng biến ? Nghịch biến ? b) Tìm $m$ biết đồ thị hàm số trên song song với đường thẳng $y=-5x+3\,\,?$ Vuông góc với đường thẳng $x-2y+1=0?$ c) Tìm $m$ biết đồ thị hàm số và hai đường thẳng $y=-2x+3$ và $y=x-5$ đồng quy. Bài 3. Cho $\left( d \right):y=\left( m-2 \right)x+2$ a) Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi thì $\left( d \right)$ luôn đi qua một điểm cố định. b) Tìm $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ đến $\left( d \right)$ bằng 1. c) Tìm $m$ để đường thẳng $\left( d \right)$ tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2. Bài 4. Cho hàm số $y=\left( 2-m \right)x+m-1\,\,\,\,\,\left( 1 \right).$ Với giá trị nào của $m$ thì: a) Hàm số (1) là hàm số bậc nhất. b) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. c) Đồ thị hàm số tạo với trục $Ox$ một góc $\alpha ={{30}^{0}}$. d) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ họ các đường thẳng xác định bởi hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định tọa độ điểm cố định đó? Bài 5. Cho hàm số $y=-x-3\,\,\,\left( {{d}_{1}} \right)$ và $y=3x+1\,\,\left( {{d}_{2}} \right)$ a) Vẽ đồ thị hàm số $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Gọi $B$ và $C$ lần lượt là giao điểm của $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ với trục hoành. $A$ là giao điểm của $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$. Tính chu vi và diện tích $\Delta ABC.$ c) Tìm góc tạo bởi $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ với trục $Ox$ (làm tròn đến phút). |
