Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình \({{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-3x+2m \right)={{\log }_{2}}\left( x+m \right)\) có nghiệm?
Lời giải tham khảo: Đáp án đúng: B Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 3x + 2\left( { - {x^2} + 4x} \right) > 0\\ x - {x^2} + 4x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow - {x^2} + 5x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 5.\) Cho phương trình \({{2}^{x}}+m=\log2\left( x-m \right)\) với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\in \left( -18;\ 18 \right)\) để phương trình đã cho có nghiệm?
Lời giải tham khảo: Đáp án đúng: C Điều kiện: \(x-m>0\Leftrightarrow x>m.\) Đặt: \({2^x} + m = {\log _2}\left( {x - m} \right) = y \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} Xét hàm số đặc trưng: \(f\left( t \right)={{2}^{t}}+x\) ta có: \(f'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0\ \ \forall t.\) \(\Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(R.\) Khi đó ta có: \(\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left( y \right)\Leftrightarrow x=y.\) \(\Rightarrow \left( ** \right)\Leftrightarrow m=x-{{2}^{x}}\ \ \ \ \left( *** \right).\) Xét hàm số: \(g\left( x \right)=x-{{2}^{x}}\) có: \(g'\left( x \right)=1-{{2}^{x}}\ln 2.\) \(\Rightarrow g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 1-{{2}^{x}}\ln 2\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\frac{1}{\ln 2}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\left( \frac{1}{\ln 2} \right)=-{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right).\) Ta có BBT: \(\Rightarrow \ \left( *** \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow m \le - \log_2\left( {\ln 2} \right) - \frac{1}{{\ln 2}} \approx - 0,914\) Với \(m\in \left( -18;\ 18 \right)\) và \(m\in Z\Rightarrow m\in \left\{ -17;-16;....;-2;-1 \right\}.\) \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log _2^2\left( {4x} \right) - m{\log _{\sqrt 2 }}x - 2m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)^2} - 2m{\log _2}x - 2m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 4{\log _2}x + 4 - 2m{\log _2}x - 2m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 2\left( {2 - m} \right){\log _2}x - 2m = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) Đặt \(t = {\log _2}x\), với \(x \in \left[ {1;8} \right] \Rightarrow {\log _2}x \in \left[ {0;3} \right]\). Khi đó phương trình (*) trở thành: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{t^2} + 2\left( {2 - m} \right)t - 2m = 0\\ \Leftrightarrow 2m\left( {t + 1} \right) = {t^2} + 4t\\ \Leftrightarrow 2m = \dfrac{{{t^2} + 4t}}{{t + 1}}\,\,\,\left( {t \in \left[ {0;3} \right]} \right)\,\,\left( {2*} \right)\end{array}\) Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 4t}}{{t + 1}} = t + 3 - \dfrac{3}{{t + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\), có: \(f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{3}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} > 0,\,t \in \left[ {0;3} \right]\). \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = 0,\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = \dfrac{{21}}{4}\). Do đó, phương trình (2*) có nghiệm \( \Leftrightarrow 0 \le 2m \le \dfrac{{21}}{4} \Leftrightarrow 0 \le m \le \dfrac{{21}}{8}\). |
