Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến d thành chính nó

Cho đường thẳng \(d\). Phép biến hình biến mỗi điểm \(M\) thuộc \(d\) thành chính nó, biến mỗi điểm \(M\) không thuộc \(d\) thành \(M'\) sao cho \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(MM'\), được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng \(d\) hay phép đối xứng trục \(d\).

Phép đối xứng trục \(d\) thường được kí hiệu là \(Đ_d\)

Nếu hình \(H'\) là ảnh của hình \(H\) qua \(Đ_d\) thì ta còn nói \(H\) đối xứng với \(H'\) qua \(d\), hay \(H\) và \(H'\) đối xứng với nhau qua \(d\).

2. Nhận xét

+) Cho đường thẳng \(d\). Với mỗi điểm \(M\), gọi \(M''\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên đường thẳng \(d\). Khi đó

\(M' = Đ_dM)\) \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow{M''M'}\) = \(-\overrightarrow{M''M}\)

+) \(M' = Đ_d(M)\) \( \Leftrightarrow \) \(M = Đ_d(M')\)

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục \(Ox\)

\(\left\{\begin{matrix} {x}'= x\\ {y}'= -y. \end{matrix}\right.\)

4. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục \(Oy\)

\(\left\{\begin{matrix} {x}'= -x\\ {y}'= y \end{matrix}\right.\)

5. Tính chất

+) Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

+) Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

6. Trục đối xứng của một hình

Đường thẳng \(d\) được gọi là trục đối xứng của hình \(H\) nếu phép đối xứng qua \(d\) biến \(H\) thành chính nó. Tức \(Đ_d (H') = H\)

• Câu hỏi:

  Cho hai đường thẳng phân biệt d và d’. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng d thành d’?

  • A. Không có phéo đối xứng trục nào.
  • B. Có duy nhất một phép đối xứng trục.
  • C. Chỉ có hai phép đối xứng trục.
  • D. Có vô số phéo đối xứng trục.

  Lời giải tham khảo:

  Đáp án đúng: C

  Đó chính là hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’.

  Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

  ANYMIND360

Mã câu hỏi: 7275

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

• Trắc nghiệm Hình học 11 Bài 3 Phép đối xứng trục

  10 câu hỏi | 30 phút

  Bắt đầu thi

CÂU HỎI KHÁC

• Trong các hình sau đây, hình nào có 4 trục đối xứng?
• Cho hai đường thẳng phân biệt d và d’. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng d thành d’?
• Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 3x-2y+1=0.
• Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương tình 3x-y+2=0.
• Viết phương trình ảnh của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 5y + 1 = 0\) qua phép đối xứng trục Oy.
• Cho hình vuông ABCD tâm I. gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh DA, AB, BC, CD.
• Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(-1;3). Phép đối xứng trục Ox biến M thành M’ thì tọa độ M’ là:
• Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình : x - 2y + 4 = 0.
• Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: (x - 3)2 + (y - 1)2 = 6.
• Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? Hình tròn có vô số trục đối xứng

ADSENSE

ADMICRO

Bộ đề thi nổi bật

Phép đối xứng trục là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán lớp 11. Trong đó, công thức của phép quay khá phức tạp. Vì vậy, để làm được dạng bài tập này các em cần ghi nhớ và biết cách vận dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại các công thức và bài tập liên quan trong bài viết dưới đây nhé!

1. Định nghĩa phép đối xứng trục

Định nghĩa:

Phép biến hình biến mỗi điểm M $\in $ đường thẳng d thành chính nó, mỗi điểm $M \notin d$ thành M’ để d trở thành đường trung trực của MM’. Khi đó gọi là phép đối xứng trục d.

• d gọi là trục đối xứng.

• Phép đối xứng trục d kí hiệu là $Đ_{d}$.

Hình H có H’ là ảnh qua phép đối xứng trục d nên ta gọi H, H’ đối xứng nhau qua d.

Nhận xét:

Cho đường thẳng d, mỗi điểm M gọi $M_{0}$ là hình chiếu M $\perp$ trên d. Khi đó $M'' = Đ_{d}(M) \Leftrightarrow \overrightarrow{M_{0}M'}=\overrightarrow{M_{0}M}$.

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh đường thẳng AB và A, B qua phép đối xứng trục Ox.

Giải:

Ta có ảnh của A, B lần lượt là A’, B’ qua phép đối xứng trục Ox có A’(1; 2) và B’(3; -1).

A’B’ là ảnh của AB qua phép trục đối xứng Ox.

PT đường thẳng A’B’: $\frac{x - 1}{3 - 1} = \frac{y - 2}{-1 - 2} \Leftrightarrow \frac{x - 1}{2}=\frac{y - 2}{-3}\Leftrightarrow 3x + 2y - 7=0$

Đường thẳng AB qua phép đối xứng là: $3x + 2y - 7=0$

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

3. Tính chất

• Trong phép đối xứng trục khoảng cách giữa 2 điểm bất kì luôn được bảo toàn.

• Phép đối xứng trục biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn cùng bán kính và biến tam giác thành tam giác bằng nó.

4. Trục đối xứng của một hình

Đường thẳng d là trục đối xứng của hình H khi phép đối xứng qua d biến H thành chính nó. Vậy nên H là hình có trục đối xứng.

Ví dụ: Điểm M(1; 3) tìm tọa độ M’ là ảnh của M qua phép đối xứng qua trục Oy và tọa độ M’’ là ảnh của M’ qua trục Ox.

Giải:

5. Một số dạng bài tập về phép đối xứng trục lớp 11 (có lời giải)

5.1. Dạng 1: Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép đối xứng trục

Để xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép đối xứng trục ta có thể sử dụng các cách sau đây:

• Dựa vào định nghĩa phép đối xứng.

• Sử dụng biểu thức tọa độ mà trục đối xứng cũng chính là trục tọa độ Ox, Oy.

• Sử dụng biểu thức vectơ của phép đối xứng.

Ví dụ: 

Mặt phẳng Oxyz cho điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của B, A và đường thẳng AB qua Ox.

Giải:

Qua phép đối xứng trục Ox có A’ là ảnh của A với tọa độ A’(1; 2).

Qua phép đối xứng trục Ox có B’ là ảnh của B với tọa độ B’(3; -1).

Ảnh của AB qua phép đối xứng trục Ox chính là A’B’ nên A’B’ có phương trình:

$\frac{x - 1}{3 - 1}=\frac{y - 2}{-1 - 2} \Rightarrow 3x + 2y - 7=0$

5.2. Dạng 2: Tìm tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng trục

Để tìm tọa độ điểm, phương trình đường thẳng và đường tròn qua phép đối xứng trục ta thực hiện những bước sau:

• Tìm I’ là ảnh của I tâm của đường tròn C qua phép đối xứng.

• Viết phương trình đường tròn C’ tâm I’ và bán kính R’ = R.

• Dùng biểu thức tọa độ trong trường hợp trục đối xứng là Oy hoặc Ox.

Ví dụ: 

Mặt phẳng Oxyz đường tròn C: $(x - 2)^{2}+(y + 5)^{2}=16$. Viết phương trình đường tròn C’ là ảnh của C qua phép đối xứng trục Oy.

Giải:

Đường tròn C tâm I(2;-5) và R = 4.

Ảnh của I(2;-5) qua Oy là I’(-2;-5).

Nên ảnh của C qua trục Oy là: C’: $(x - 2)^{2}+(y + 5)^{2}=16$.

5.3. Dạng 3: Chỉ ra các hình có trục đối xứng

• Hình có đường thẳng d chia thành 2 phần mà nếu gấp hình theo d thì 2 phần đó sẽ chồng khít với nhau. Và những hình như vậy có thể gọi là hình có trục đối xứng qua d.

Ví dụ: Trong 3 hình dưới đây hình nào có trục đối xứng?

Giải:

a, b là 2 hình không có trục đối xứng. 

c là hình có trục đối xứng được biểu diễn như sau:

Trên đây là toàn bộ lý thuyết, công thức và bài tập phép đối xứng trục lớp 11 thường gặp. Hy vọng rằng qua bài viết trên, các em có thể tự tin khi làm bài tập về phép đối xứng trục. Để học nhiều hơn kiến thức về toán học lớp 11, truy cập trang web Vuihoc.vn ngay nhé!

Có bao nhiêu phép đối xứng trục biển d thành đ?

Có bao nhiêu phép đối xứng tầm biến một đường thẳng cho trước thành chính nó?

Cho hai đường thẳng d và d cắt nhau có bao nhiêu phép đối xứng qua mặt phẳng?

Phép đối xứng trục là phép gì?