Chuyên đề Hệ phương trình ôn thi vào 10 được VnDoc sưu tầm để giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh chuẩn bị một cách hiệu quả nhất cho Kì thi vào 10 sắp tới. Mời các bạn tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé. Show
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 9. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn. Ngoài ra bạn đọc có thể tham khảo thêm các chuyên đề khác trong chương trình ôn thi vào lớp 10 được VnDoc sưu tầm và chọn lọc, bao gồm: Hàm số đồ thị - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 5: Hàm số và đồ thị Rút gọn biểu thức - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 1: Rút gọn biểu thức và bài toán phụ Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Xem thêm Kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Hình học - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 10: Chứng minh các hệ thức hình học Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh kiểm tra kiến thức cũng như củng cố lại các kiến thức đã được học ở chương trình Toán học lớp 9. Đồng thời đây cũng là tài liệu để các bạn học sinh có thể tham khảo và ôn luyện chuẩn bị cho kì thi vào 10 sắp tới. Ngoài Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi vào 10 các môn Toán, Văn, Anh,... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề Toán lớp 9 ôn thi vào lớp 10 và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt! Xem thêm đề thi vào lớp 10 các môn Toán, Văn, Tiếng Anh:Để giúp các bạn có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập. VnDoc.com mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập của VnDoc. Chúng tôi sẽ hỗ trợ trả lời giải đáp thắc mắc của các bạn trong thời gian sớm nhất có thể nhé. − − ∈ − + − − − + − − − 4 4 (1; 3;5),(1;3;5),(4; 15;2),(4; 15;2), (x;y;z) 7 33 5 33 7 33 5 ; 33; , ; 33; 2 2 2 2 ####### 3. Thay một biểu thức bởi một hằng số ####### Đối với một số hệ phương trình ,ta có thể thay thế một biểu thức chứa ẩn ####### bởi một hằng số vào các phương trình đã cho. ####### Ví dụ 11. Giải hệ phương trình : + + = + + = 2 2 4 2 2 4 x y xy 61 (1) x x y y 1281 (2) ####### Hướng dẫn giải ⇔ + + − + = − + = ⇒ − + = 2 2 2 2 2 2 2 2 (2) (x xy y )(x xy y ) 1281. Thay (1) vμo (2) ta cã : 61(x xy y ) 1281 x xy y 21. ####### Khi đó ta có: + + = + = ⇒ − + = = 2 2 2 2 2 x xy y 61 (x y) 81 x xy y 21 xy 20 ⇒ (x;y) ∈ { (5;4),(4;5),( 5;− − 4),( 4; − −5)}####### Ví dụ 12. Giải hệ phương trình : + + = + − = + + = 2 2 2 x y z 6 (1) xy yz zx 7 (2) x y z 14 (3) ####### (Vòng 1,Khối THPT Chuyên , Đại học Sư phạm Hà Nội , năm học 2005 – 2006) ####### Hướng dẫn giải 6 ####### Từ (1) và (3) ta có: (x 2 + y 2 + z ) 2 + 2(xy + yz + zx) = 36 ⇔ 14 + 2(xy + yz + zx) = 36 ⇔ xy + yz + zx =11 (4) ####### Từ (2) và (4) ta có: xz = 2 , thay vào (1), (2) ta được: + + = ⇒ = + = + = y (x z) 6 y 3,x z 3. y.(x z) 9 Từ đó suy ra hệ có nghiệm (x;y;z) ∈{( 2;3;1 , 1;3;2) ( )}.####### Ví dụ 13. Giải hệ phương trình + + = − + − = 2 2 (x 1)(y 1) 42 (1) (x 1) (y 1) 145 (2) ####### Hướng dẫn giải ####### Hệ đã cho tương đương với : + + = + + = + = + = − ⇔ ⇔ + 2 − + + = + 2 − = = = xy x y 41 xy x y 41 x y 15 x y 15 hoÆc (x y) 2(xy x y) 143 (x y) 82 143 xy 26 xy 56 Vậy (x;y) ∈{ ( 13;2 , 2;13 , ) ( ) ( − 7; − 8 ,) ( − 8; − 7 )}####### II. PHƯƠNG PHÁP CỘNG ####### Một trong các phương pháp thường sử dụng để giải hệ phương trình là ####### phương pháp cộngưới đây ta xét một số ví dụ: ####### Ví dụ 14. Giải hệ phương trình : + + + + = + + − + = 2 2 2 2 x y 2(xy x y) 0 (1) x y 4x 2y 4 0 (2) ####### (THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội , năm học 2009- 2010) ####### Hướng dẫn giải ####### Trừ từng vế của hai phương trình ta được : { ( ) ( ) ( ) ( )}
####### Chú ý: Ta cũng có thể giải như sau: (1) ⇔ (x + y) 2 + 2(x + y) = 0 ⇒ (x + y)[(x + y) + 2] = 0 ####### Nên x + y = 0 hoặc x + y = − 2. ####### Từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm của hệ 7 ####### b) Ta có: − z 2 + 12z − 19 = x 2 + y 2 = 17 ⇒ z 2 − 12z + 36 = 0 ⇒ z = 6 Thay vào hệ ta dược (x;y;z) ∈ {( 4; − 1;6 , 1;) ( −4;6)}####### Ví dụ 18. Giải hệ phương trình − = − = 2 2 3 3 2x y y x 1 8x y 7 ####### (Vòng 2,THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội , năm học 2008-2009) ####### Hướng dẫn giải ####### Hệ đã cho tương đương với − = − = 2 2 3 3 12x y 6y x 6 (1) 8x y 7 (2) ####### Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được: − = ⇒ − = ⇒ = − 3 (2x y) 1 2x y 1 y 2x 1 Từ đó dễ dàng tìm được nghiệm của hệ là: ( ) − ∈ − 1 (x;y) 1;1 , ; 2 2 ####### Ví dụ 19. Giải hệ phương trình: + = + = 3 2 3 2 2x 3x y 5 (1) y 6xy 7 (2) ####### (Vòng 2,THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội , năm học 2003-2004) ####### Hướng dẫn giải ####### Nhân hai vế của (1) với 4 ta được hệ + = + = 3 2 3 2 8x 12x y 20 y 6xy 7 ####### Cộng từng vế ta được (2x + y) 3 = 27 ⇔ 2x + y = 3 ⇔ y = 3 −2x ####### Thay vào (1) ta được 4x 3 − 9x 2 + 5 = 0 ⇔ (x − 1)(4x 2 − 5x − 5) = 0 Hệ có nghiệm: ( ) − + + − ∈ 5 105 7 105 5 105 7 105 (x;y) 1;1 , ; , ; 8 4 8 4 ####### Ví dụ 20. Giải hệ phương trình + = + = 2 2 2 2 x 20 3x (1) y y 20 3y (2) x ####### Hướng dẫn giải ####### Điều kiện: x,y ≠ 0 từ đó suy ra x >0 , y > 0. 9 ####### Hệ tương đương với: = + = + 2 2 2 2 3x y y 20 3xy x 20 ####### Trừ từng vế ta được: 3xy(x − y) = (y − x)(y + x) ⇔ (x − y)(3xy + x + y) = 0 ####### Do x > 0, y > 0 nên 3xy + x + y > 0 ⇒ x − y = 0 ⇒ x =y ####### Thay vào (1) ta được − − = ⇔ − + + = ⇒ = = 3 2 2 3x x 20 0 (x 2)(3x 5x 10) 0 x y 2 ####### Ví dụ 21. Giải hệ phương trình: = + = + = + 3xy 2(x y) 5yz 6(y z) 4xz 3(z x) ####### (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa , năm học 2007-2008) ####### Hướng dẫn giải ####### Nếu xyz=0 thì x = y = z = 0 là một nghiệm của hệ. ####### Nếu xyz≠0 , hệ trở thành: + = + = + = ⇔ + = + = + = x y 3 1 1 3 xy 2 x y 2 y z 5 1 1 5 yz 6 y z 6 z x 4 1 1 4 zx 3 z x 3 ####### Cộng từng vế ta được + + = 1 1 1 11 x y z 6 ####### Từ đó ta suy ra: = = = ⇒ = = = 1 1 1 1 1 1, , x 1,y 2,z 3 x y 2 z 3 Hệ có nghiệm (x;y;z) ∈{( 0;0;0 , 1;2;3) ( )}####### Ví dụ 22. Giải hệ phương trình: + + = + + = + + = 2 2 2 x xy xz 48 xy y yz 12 xz yz z 84 ####### Hướng dẫn giải ####### Cộng từng vế của các phương trình ta được
− − ⇔ = + − +
####### Vậy hệ có nghiệm (x;y) =(3;3) ####### III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ####### Tương tự như giải phương trình, phương pháp đặt ẩn phụ là một trong ####### những phương pháp tôt nhất để giải hệ phương trình, đưa hệ phương trình về hệ ####### mới đơn giản hơn. Tùy theo từng hệ ta chọn ẩn cho phù hợp. ####### Ví dụ 25. Giải hệ phương trình: + + + = + + = 2 2 x y 2(x y) 23 x y xy 11 ####### (Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Vinh ,năm học 2009 – 2010) ####### Hướng dẫn giải ####### Đặt a = x + y,b =xy với a 2 ≥4b ta có: + − = + = 2 a 2a 2b 23 a b 11 ####### ⇒ a = − 9,b = 20 hoặc a = 5,b = 6. ####### Nếu a = −9,b = 20 ta có + = − = x y 9 xy 20 ####### ⇒ x = − 5, y = − 4 hoặc x = − 4, y = − 5 ####### Nếu a = 5,b = 6 ta có + = = x y 5 xy 6 ####### ⇒ x =2, y = 3 hoặc x =3, y = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) ∈ {( − 5; − 4 ,) ( − 4; −5 , 2;3 , 3;2) ( ) ( )}####### Ví dụ 26. Giải hệ phương trình + + = + + + + = (x 1)(y 1) 8 x(x 1) y(y 1) xy 17 ####### (Vòng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm học 2002 – 2002) ####### Hướng dẫn giải ####### Hệ đã cho tương đương với: + + = + + + − = 2 (x y) xy 7 (x y) (x y) xy 17 12 ####### Đặt a = x + y,b =xy (điều kiện ≥ 2 ####### a 4b ) ta có: + = + − = 2 a b 7 a a b 17 ####### ⇒ a = − 6,b = 13 (loại) hoặc a = 4,b = 3 ####### Khi a = 4,b = 3 ta có + = = x y 4 xy 3 có nghiệm (x;y) ∈{( 1;3 , 3;1) ( )}Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x;y ) ∈{( 1;3 , 3;1) ( )}####### Ví dụ 27. Giải hệ phương trình: + = + + = 2 2 2 2 2 2 x y 2x y (x y)(1 xy) 4x y ####### (Vòng 2, THPT Chuyên – Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm học 2011 – 2012) ####### Hướng dẫn giải ####### Đặt a = x + y,b =xy ####### Hệ phương trình đã cho trở thành − = + = 2 2 2 a 2b 2b a(1 b) 4b ⇔ = + = + 2 2 a 2b(b 1) (1) 4b a(b 1) (2) ####### Dễ thấy a = b = 0 thỏa mãn (1) và (2) nên x = y = 0 là một nghiệm của hệ ####### phương trình đã cho. ####### Nếu a ≠ 0 thì từ (1) suy ra b ≠ 0,b ≠ − 1 , khi đó từ (1) và (2) ta có: \= ⇔ = ⇔ = 2 3 3 2 a 2b a 8b a 2b 4b a ####### Thay vào (2) ta được − = ⇒ = 2 ####### 2b 2b 0 b 0 (loại), b = 1 ⇒ a = 2. ####### Từ đó tìm được x = y = 1. Vậy hệ có nghiệm ( x;y ) ∈{( 0;0 , 1;1) ( )}####### Nhận xét: Các hệ phương trình ở các ví dụ 25, 26, 27 là các hệ phương ####### trình đối xứng loại 1, tức là các hệ mà ta thay đổi vai trò của x và y thì mỗi ####### phương trình của hệ không đổi. Thông thường ta đặt a = x + y,b =xy , với điều ####### kiện a 2 ≥4b , được hệ phương trình mới đơn giản hơn, ta tìm được a, b rồi sau ####### đó tìm x, y ####### Ví dụ 28. Giải hệ phương trình − + − = + − − − = x 1 y 4 3 x y (x 1)(y 4) 8 13 ####### Đặt = + = 2 ####### a y x, b xy ta có + + = − + = 2 a ab b 5 a b 7 ####### Giải hệ trên ta được a = 3,b = − 2 hoặc a = − 2,b = 3 ####### +) Nếu a = 3,b = − 2 ta có + = = − 2 y x 3 xy 2 = = − ⇒ = − = x 2;y 1 x 1,y 2 ####### +) Nếu a = − 2,b = 3 ta có: + = − = 2 y x 2 xy 3 ⇒ x = − 3;y = − 1 Vậy hệ có nghiệm ( x;y ) ∈ {( 2; − 1 ,) ( − 1;2 ,) ( − 3; − 1 )}####### Ví dụ 32. Giải hệ phương trình: + + = + + = 2 2 2 3xy y 1 21x 9x y 3xy 1 117x ####### Hướng dẫn giải ####### Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn hệ, vậy x ≠ 0 , nên ta có: + + = + + = ⇔ + + = + − = 2 2 2 y 1 1 y 3y 21 3y 21 x x x x y 1 1 y 9y 3 117 3y 3 117 x x x x ####### Đặt = + = 1 y a 3y , b x x ####### , ta có + = = − = ⇒ 2 − = = = a b 21 a 15,b 36 a 3b 117 a 12,b 9 ####### Với a = − 15,b = 36 : hệ vô nghiệm ####### Với a = 12,b = 9 ta có + = = 1 3y 12 x y 9 x ####### hoặc = = 1 x ,y 1 9 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) ∈ 1 1 x;y ;3 , ; 3 9 ####### Ví dụ 33. Giải hệ phương trình: + + = − = 2 1 1 1 2 x y z 2 1 4 xy z ####### (THPT Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi, năm học 2006 – 2007 15 ####### Hướng dẫn giải ####### Điều kiện: x,y,z ≠ 0 ####### Đặt = = = 1 1 1 a ,b ,c x y z ####### ta được: + + = + = − ⇔ − = = + 2 2 a b c 2 a b 2 c 2ab c 4 2ab 4 c Do đó a, b là các nghiệm của phương trình: ( )
∆ = − ( + ) ≤ ⇒ = − ⇒ = =2 c 2 0 c 2 a b 2 Do đó hệ có nghiệm ( ) − = 1 1 1 x;y;z ; ; 2 2 2 ####### Ví dụ 34. Giải hệ phương trình: − − = − + − = − 2 2 2 2 4x 5xy 3y 38 3x 9xy 5y 15 ####### Hướng dẫn giải ####### Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của hệ, đặt y = kx. ####### Ta có: ( )( )
####### Thay k = 3 vào ta được x = ± 1,y = ± 3. ####### Thay − 18 k 145 ####### , hệ vô nghiệm ####### IV. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ####### Đối với một lớp rất rộng các bài toán giải hệ phương trình, thường gọi là ####### hệ phương trình không mẫu mực, ta không thể giải chúng bằng phương pháp ####### biến đổi thông thường mà phải nhận xét, đánh giá hai vế của phương trình. Đối ####### với từng bài tập cụ thể, ta có thể dung tính chất đơn điệu tang hay giảm của ####### hàm số, dung các bất đẳng thức đã biết hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của ####### phương trình bậc hai... Dưới đây ta xét một số ví dụ. ####### Ví dụ 35. Giải hệ phương trình: ( )( )( ) + = + = + = 2 2 2 2 2 2 x 1 y 2x y 1 z 2y z 1 x 2z ####### (Vòng 2,THPT Chuyên – TP Hà Nội, năm học 2009 – 2010) 16 ####### hay + + > + + ⇒ > 2 2 ####### 2z z 1 2x x 1 z x , vôlis ####### Tương tự y > x vô lí. Vậy x = y ####### Chứng minh tương tự ta có y = z, do đó x = y = z. Thay vào (1) ta được: − − − = ⇔ ( − )( + + )=3 2 2 4x 2x x 1 0 x 1 4x 2x 1 0 ####### Vậy hệ có nghiệm x = y= z = 1 ####### Ví dụ 38. Giải hệ phương trình: = + + − = + + − = + + − 3 2 3 2 3 2 x y y y 12 y z z z 12 z x x x 12 ####### Hướng dẫn giải ####### Xét hàm số f(t) = t 3 + t 2 + t − 12 ta chứng minh f(t) là hàm số đồng biến. ####### Với t ,t 1 2 bất kì mà t 1 <t 2 , ta có − = − + − + − = ( − )( + + + + + )3 3 2 2 2 2 f(t ) 1 f(t ) 2 t 1 t 2 t 1 t 2 t 1 t 2 t 1 t 2 t 1 t t 1 2 t 2 t 1 t 2 1 \= ( − ) ( + + ) + + + < 2 2 1 2 1 2 1 2 1 t t t t 1 t t 1 0 2 ####### Do đó f(t ) 1 <f(t ) 2 nên f(t ) 1 là hàm số đồng biến. ####### Nếu x < y thì f(x) < f(y) hay z < x ⇒ f(z) <f(x) hay y < z ( vô lí) ####### Tương tự tự y< z vô lí,do đó x = y ⇒ f(x) =f(y) hay x = z Vậy x = y = z, từ đó ta có + − = ⇔ ( − )( + + )=3 2 2 x x 12 0 x 2 x 3x 6 0 ####### Vậy hệ có nghiệm x = y = z = 2 ####### Ví dụ 39. Giải hệ phương trình: + + = + + + = 2 2 2 2 10x 5y - 2xy - 34x - 26y 73 0 (1) 3x - 2y 5xy - 27x 2y 24 0 (2) ####### Hướng dẫn giải ####### Phương trình (1) ⇔ 10x 2 − 2(y+ 17)x+ 5y 2 − 26y + 73 = 0 ####### ∆ = − ' 49(y− 3) 2 ≤ 0 ⇒ y = 3 , thay vào (2) ta được − + = ⇔ = 2 3x 12x 12 0 x 2 ####### Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (2; 3) ####### Ví dụ 40. Giải hệ phương trình: + = + + − − + = 3 2 2 2 x y 6 (1) x y xy z 3y 2 0 (2) 18 ####### Hướng dẫn giải ⇔ + − + − + = ∆ = − − − + ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ 2 2 2 2 2 (2) x (y 1)x y 3y 2 0 7 (y 1) 4(y 3y 2) 0 3y 10y 7 0 1 y 3 ####### Mặt khác (2) ⇔ y 2 + (x − 3)y + x 2 − x + 2 =0; ∆ = − 2 − 2 − + ≥ ⇔ 2 + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ 1 (x 3) 4(x x 2) 0 3x 2x 1 0 1 x 3 ####### Khi đó
####### Vậy hệ phương trình vô nghiệm ####### Ví dụ 41. Giải hệ phương trình: + + + = + + + = 2 2 2 2 3 3 3 3 x y z t 36 (1) x y z t 216 (2) ####### Hướng dẫn giải ####### Ta có:
####### Mặt khác, theo (1) thì x ≤ 6,y ≤ 6,z ≤ 6,t ≤ 6 ####### Do đó: ( ) {( ) ( ) ( ) ( )}− + − + − + − ≥ ⇒ − = − = − = − = ⇒ ∈ 2 2 2 2 2 2 2 2 x (6 x) y (6 y) z (6 z) t (6 t) 0 x (6 x) y (6 y) z (6 z) t (6 t) 0 x;y;z;t 0;0;0;6 , 0;0;6;0 , 0;6;0;0 , 6;0;0; |
