Dạng chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn,hình vuông Bài toán 12: Cho tam giác đường phân giác BN và tâm O của đường tròn nội tiếp trong tam giác . Từ A kẻ một tia vuông góc với tia BN, cắt BC tại H. Chứng minh bốn điểm A; O; H; C nằm trên một đường tròn. Đối với bài toán này xảy ra hai trường hợp đối với hình vẽ . Trường hợp 1: H và O nằm cùng phía với AC Hình 1 Trường hợp 2: H và O nằm khác phía với AC Hình 2 Gợi ý: Gọi I là giao điểm của AH và BN Kẻ AP vuông góc với CO cắt AB tại P. M là giao điểm của OC và AB K là giao điểm của OC và AP - Áp dụng tính chất giữa các đường( đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác đường trung bình,) trong tam giác. - Kiến thức về tứ giác nội tiếp - Tính chất góc ngoài tam giác Cách giải 1: Xét ACP có CK vừa là phân giác vừa là đường cao nên CK cũng là đường trung tuyến, đường trung trực KA = KP (1) Xét ABH có BI vừa là phân giác vừa là đường cao nên BI cũng là đường trung tuyến, đường trung trực IA = IH (2) Từ (1) và (2) ta có: IK là đường trung bình trong tam giác APH IKO = OCH ( Hình 1) Hoặc 0IKO + OCH = 180 (Hình 2) Xét tứ giác AKOI có I = K = 900 AKOI là tứ giác nội tiếp IKO = OAH Tứ giác AOHC nội tiếp được A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn Cách giải 2: Ta có BN là đường trung trực của AH BHO = BAO mà BAO = OAC nên BHO = OAC Tứ giác AOHC nội tiếp được. A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn Cách giải 3: ABI là tam giác vuông nên IBA + BAI = 1800 hay 0IBA + BAO + OAI = 180 Suy ra: B AOAI + + 2 2 = 900 OAI bằng (hoặc bù) với góc OCH Tứ giác AOHC nội tiếp được. A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn Cách giải 4: * Đối với (Hình 1) ta có 0BAHC = 90 + 2 Góc ngoài trong tam giác AOC = 0B90 + 2 (Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp ) AHC = AOC Tứ giác AOHC nội tiếp được A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn * Đối với ( Hình 2) Xét trong tam giác IBH ta có 0BAHC = 90 - 2 AOC = 0B90 + 2 (Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp ) 0AHC + AOC = 180 Tứ giác AOHC nội tiếp được A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn Cách giải 5: Ta có A + BAON = 2( Góc ngoài ở đỉnh O của tam giác AOB ) AOH = A + B 0AOH + ACH = 180 ( Hình 1) hoặc AOH = ACH = A + B ( Hình 2) Suy ra Tứ giác AOHC nội tiếp được A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn. Bài toán 13 : Cho hình bình hành ABCD, về phía ngoài hình bình hành, dựng các tam giác ABM vuông cân tại M; ACN vuông cân tại N; BDP vuông cân tại P; CDQ vuông cân tại Q. Chứng minh rằng tứ giác NMPQ là hình vuông. BCADNQPMIBài toán trên có thể phát biểu theo dạng khác, ta có bài tập 14. Bài toán 14: Cho hình bình hành ABDC, về phía ngoài hình bình hành, dựng các hình vuông ABEF, ACMN, DBPQ, CDKL, Gọi S, G, R, H lần lượt là tâm của các hình vuông trên. Chứng minh rằng tứ giác SGHR là hình vuông. BCADMFEQKLNPGHRS Tiếp tục bài toán trên, Nếu tứ giác ABCD không phải là hình bình hành mà là một tứ giác thường thì liệu tứ giác SGHR có tính chất gì không? Ta có bài toán 15. Bài toán 15: Cho hình tứ giác ABCD, về phía ngoài tứ giác, dựng các hình vuông ABMN, ADEF, DCGH, BCPQ, Gọi V, S, J, K lần lượt là tâm của các hình vuông trên. Chứng minh rằng KS = VJ và KS VJ. Bài giải: Gọi I là trung điểm của AC, theo bài toán 7 ta chứng minh được tam giác SIJ và tam giác VIK vuông cân tại I. Xét hai : VIJ và KIS, có: VI = KI VIJ = KIS IJ = IS VIJ = KIS (c.g.c) VJ = KS (1) Gọi R là giao điểm của IS và VJ Do IJV = ISK (VIJ = KIS) Và IJV + IRJ = 900 ISK + VRS = 900 Hay KS VJ (2) Từ (1) và (2) suy ra đpcm. DCBAPQMNFEHGVKJSIR Bài toán 16: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACHF. Gọi I, J lần lượt là tâm của hai hình vuông đó. M, N là trung điểm của BC và EF. Chứng minh rằng tứ giác IMJN là hình vuông. BCAHFEDIJMN Ở bài toán trên, ta có thể chứng minh được đường trung tuyến AN của tam giác AEF cũng là đường cao của tam giác ABC và đường trung tuyến AM của tam giác ABC cũng là đường cao của tam giác AEF. Đối với bài toán này việc vẽ đường phụ là quan trọng. Học sinh cần áp dụng kiến thức về hai tam giác đồng dạng, kiến thức về tam giác cân, tam giác đều. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đã được học ở lớp 7 vào giải bài toán. Hai cách giải trên tương tự giống nhau. Song sau khi đã tìm được lời giải 1 giáo viên cần gợi ý cho học sinh qua câu hỏi. Vậy nếu trên tia BP lấy một điểm D sao cho PD = PC thì ta có thể chứng minh được hệ thức trên hay không? Như vậy thì học sinh mới tư duy và tìm tòi lời giải. Giáo viên không nên đưa ra lời giải mà phải để học sinh tìm lời giải cho bài toán. Bài tập tự luyện tại nhà cho học sinh. Bài tập 1: Ở miền trong của hình vuông ABCD lấy một điểm E sao cho EAB = EBA = 150. Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác đều. Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của đường chéo AC và BD gọi M và N là trung điểm của OB và CD chứng minh A; M; N; D cùng thuộc đường tròn Bài tập 3:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AC. Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đường thẳng Dy vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại E. Chứng minh tam giác BDE là tam giác cân. Bài toán 4:Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông ABEF; ACMN; BCPQ. Chứng minh các đường cao của các tam giác AFN; CMP; BQE xuất phát từ A, B, C đồng quy. Bài toán 5: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACHF. Chứng minh rằng đường trung tuyến AN của tam giác AEF cũng là đường cao AP của tam giác ABC và đường trung tuyến AM của tam giác ABC cũng là đường cao của tam giác AEF Khái quát hoá bài toán. Sau khi đã tìm ra các cách giải khác nhau, giáo viên cần cho học sinh khái quát hoá bài toán bằng cách trả lời được một số câu hỏi cụ thế sau : 1) Trong các cách chứng minh những kiến nào đã được vận dụng ? 2) Có những cách chứng minh nào tương tự nhau?Khái quát đường lối chung của các cách ấy? 3) Và trong cách chứng minh trên kiến thức nào đã vận dụng và kiến thức đó được học ở lớp mấy, và có thể hỏi cụ thể chương nào tiết nào để kiểm tra sự nắm vững kiến thức của học sinh. 4) Cần cho học sinh phân tích được cái hay của từng cách và có thể trong từng trường hợp cụ thể ta nên áp dụng cách nào để đơn giản nhất và có thể áp dụng để giải các câu liên quan vì một bài hình không chỉ có một câu mà còn có các câu liên quan. 5) Việc khái quát hoá bài toán là một vấn đề quan trọng. Khái quát hóa bài toán là thể hiện năng lực tư duy, sáng tạo của học sinh. Để bồi dưỡng cho các em năng lực khái quát hoá đúng đắn phải bồi dưỡng năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, vận dụng kiến thức liên quan để biết tìm ra cách giải quyết vấn đề trong các trường hợp. 6)Việc tìm ra nhiều lời giải cho một bài toán là một vấn đề không đơn giản đòi hỏi học sinh phải có năng lực tư duy logic, kiến thức tổng hợp. Không phải bài toán nào cũng có thể tìm ra nhiều lời giải. Mà thông qua các bài toán với nhiều lời giải nhằm cho học sinh nắm sâu về kiến thức vận dụng kiến thức thành thạo để có thể giải quyết các bài toán khác.  Your browser is no longer supported. Update it to get the best YouTube experience and our latest features. Learn more
Tài liệu Cách chứng minh tứ giác là hình vuông hay, chi tiết Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8. A. Phương pháp giải Sử dụng một trong hai cách sau:
B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho hình sau, tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao? Giải Tứ giác AEDF là hình vuông. Theo hình vẽ thì Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao? b) Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao? Giải Đặt AD = a thì AB = 2a Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD, ta được: AE = EB = CF = FD = a. a) Ta có EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD nên EF = a ⇒ AE = EF = DF = AD = a Suy ra tứ giác ADFE có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi. Hình thoi ADFE có b) Tứ giác MENF là hình vuông Chứng minh tương tự câu a) ta cũng có tứ giác EBCF là hình vuông. Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình vuông ADFE và EBCF, ta được: Tứ giác MENF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật. Hình chữ nhật MENF lại có EF là đường phân giác của góc Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông. Giải
Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA (tính chất). Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và AM = BN = CP = DQ = x. Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được:
Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi. Áp dụng tính chất về góc và kết quả hai tam giác bằng nhau vào hai tam giác MBN, NCP ta được: Lại có góc BNC là góc bẹt hay Từ (1) và (2) suy ra Điều này chứng tỏ hình thoi MNPQ có một góc vuông nên nó là hình vuông. C. Bài tập vận dụng Câu 1. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu: A. Hình thoi có một góc vuông. B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau. C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
Từ hình vẽ ta thấy hai đường chéo của tứ giác vuông góc và giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình thoi. Hình thoi này có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình vuông. Đáp án: D. Câu 2. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu: A. Hình thoi có một góc vuông. B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau. C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
Từ hình vẽ ta thấy bốn cạnh của tứ giác này bằng nhau nên tứ giác này là hình thoi. Hình thoi này có một góc vuông nên nó là hình vuông. Đáp án: A. Câu 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Tứ giác EFGH là hình gì? A. Hình chữ nhật. B. Hình thoi. C. Hình bình hành. D. Hình vuông.
Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA (tính chất). Mà AE = BF = CG = DH (gt) nên AB – AE = BC – BF = CD – CG = DA – DH hay DG = CF = EB =AH. nên HG = GF = HE = EF. Vì HG = GF = HE = EF nên tứ giác EFGH là hình thoi. Hình thoi EFGH có Đáp án: D. Câu 4. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác 4 góc đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì? A. Hình chữ nhật. B. Hình thoi. C. Hình bình hành. D. Hình vuông.
Vì ABCD là hình thoi nên Mà OE, OF, OG, OH lần lượt là phân giác Suy ra nên H, O, F thẳng hàng. Tương tự ta có: E, O, G thẳng hàng. Xét Tương tự ta có: Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác EFGH là hình bình hành vì có hai đường chéo EG; HF giao nhau tại trung điểm mỗi đường. Lại xét Suy ra: hình bình hành EFGH có hai đường chéo bằng nhau EG = HF nên EFGH là hình chữ nhật. Lại có: Hình chữ nhật EFGH có: Đáp án: D. Câu 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? A. Hình chữ nhật. B. Hình thoi. C. Hình bình hành. D. Hình vuông.
Ta có: ΔABC vuông cân tại A nên Xét tam giác vuông FGC có:
Suy ra ∆FGC là tam giác vuông cân tại Chứng minh tương tự: Xét tam giác vuông EHB có
Suy ra tam giác EBH vuông cân tại H Mà BH = HG = GC(gt) nên FG = EH = HG Lại có: Xét tứ giác EFGH có:
⇒Tứ giác EFGH là hình bình hành. Mà Mặt khác EH = HG (cmt) nên hình chữ nhật EFGH là hình vuông. Đáp án: D. Câu 6. Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CB lấy điểm E, trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho DF = BE. Qua E kẻ Ex//AF, qua F kẻ Fy//AE. Gọi P là giao điểm của Ex và Fy. AEPF là hình gì? A. Hình chữ nhật. B. Hình thoi. C. Hình bình hành. D. Hình vuông.
Xét hai tam giác ABE và ADF có: AB = AD (do ABCD là hình vuông) Mặt khác lại do EP//AF; FP//AE ⇒AEPF là hình bình hành (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ AEPF là hình vuông. Đáp án: D. Câu 7. Cho ΔABC vuông cân tại B. Từ điểm D thuộc cạnh AB vẽ A. Hình chữ nhật. B. Hình thoi. C. Hình bình hành. D. Hình vuông.
Từ giả thiết M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, DF, FC, CA ta suy ra: MN là đường trung bình của ΔADF và PQ là đường trung bình của ΔACF và Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành. Mặt khác D là giao điểm của hai đường cao AB và FE trong tam giác AFC suy ra CD là đường cao còn lại
Nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. ΔFEC vuông tại E và có Xét hai tam giác ABF và CBD có: BF = BD (cmt)
Do đó MNPQ là hình vuông. Đáp án: D. |
