Xét \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Phát biểu nào sau đây sai?
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng tính chất nguyên hàm: \(\int {\left( {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right)} \,dx = \int {f\left( x \right)} \,dx \pm \int {g\left( x \right)} \,dx\) và công thức nguyên hàm từng phần \(\int {udv} - uv - \int {vdu} \). Lời giải chi tiết: Phát biểu sai là \(\int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} \,dx = {\left( {\int {f\left( x \right)} \,dx} \right)^2}\). Chọn C. Đáp án - Lời giải Nhóm thuvientoan.net xin gửi đến các bạn đọc tài liệu Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải. Mục lục tài liệu bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải: Vấn đề 1. Nguyên hàm cơ bản. Phần 1. Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm. + Dạng toán 1. Sử dụng lý thuyết (Trang 2). + Dạng toán 2. Áp dụng trực tiếp bảng nguyên hàm (Trang 3). + Dạng toán 3. Nguyên hàm các hàm số phân thức hữu tỉ (Trang 27). + Dạng toán 4. Nguyên hàm hàm số chứa dấu căn thức (Trang 30). + Dạng toán 5. Nguyên hàm hàm số lượng giác (Trang 31). + Dạng toán 6. Nguyên hàm hàm số mũ và hàm số logarit (Trang 34). Phần 2. Đáp án và lời giải chi tiết. + Dạng toán 1. Sử dụng lý thuyết (Trang 9). + Dạng toán 2. Áp dụng trực tiếp bảng nguyên hàm (Trang 12). + Dạng toán 3. Nguyên hàm các hàm số phân thức hữu tỉ (Trang 39). + Dạng toán 4. Nguyên hàm hàm số chứa dấu căn thức (Trang 46). + Dạng toán 5. Nguyên hàm hàm số lượng giác (Trang 49). + Dạng toán 6. Nguyên hàm hàm số mũ và hàm số logarit (Trang 59). Vấn đề 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. Phần 1. Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm. + Dạng toán 1. Phương pháp tính nguyên hàm bằng cách đưa vào vi phân (Trang 67). + Dạng toán 2. Phương pháp tính nguyên hàm bằng cách đổi biến số: hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỉ, hàm chứa dấu căn thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit (Trang 70). Phần 2. Đáp án và lời giải chi tiết. + Dạng toán 1. Phương pháp tính nguyên hàm bằng cách đưa vào vi phân (Trang 78). + Dạng toán 2. Phương pháp tính nguyên hàm bằng cách đổi biến số: hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỉ, hàm chứa dấu căn thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit (Trang 85). Vấn đề 3. Phương pháp nguyên hàm từng phần. Phần 1. Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm. + Dạng toán 1. Nguyên hàm P(x).[sinx / cosx] trong đó P(x) là đa thức ẩn x (Trang 105). + Dạng toán 2. Nguyên hàm P(x).e^(ax + b) trong đó P(x) là đa thức ẩn x (Trang 107). + Dạng toán 3. Nguyên hàm P(x).ln(mx + n) trong đó P(x) là đa thức ẩn x (Trang 107). + Dạng toán 4. Nguyên hàm [sinx / cosx].e^x (Trang 109). Phần 2. Đáp án và lời giải chi tiết. + Dạng toán 1. Nguyên hàm P(x).[sinx / cosx] trong đó P(x) là đa thức ẩn x (Trang 110). + Dạng toán 2. Nguyên hàm P(x).e^(ax + b) trong đó P(x) là đa thức ẩn x (Trang 113). + Dạng toán 3. Nguyên hàm P(x).ln(mx + n) trong đó P(x) là đa thức ẩn x (Trang 116). + Dạng toán 4. Nguyên hàm [sinx / cosx].e^x (Trang 123). .... Nhóm thuvientoan.net hy vọng với tài liệu Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải sẽ giúp ích được cho các bạn đọc và được đồng hành cùng các bạn, cảm ơn!  Like fanpage của thuvientoan.net để cập nhật những tài liệu mới nhất: https://bit.ly/3g8i4Dt. Tải tại đây. THEO THUVIENTOAN.NET
Lời giải chi tiết
$\xrightarrow{t=\cos x}I=\int{\left( {{t}{2}}-1 \right){{t}{2}}dt=\int{\left( {{t}{4}}-{{t}{2}} \right)dt=\frac{{{t}{5}}}{5}-\frac{{{t}{3}}}{3}+C=\frac{{{\cos }{5}}x}{5}-\frac{{{\cos }{3}}x}{3}+C}}$
$\xrightarrow{t=\cos x}I=\int{\left( {{t}{2}}-1 \right){{t}{5}}dt=\int{\left( {{t}{7}}-{{t}{5}} \right)dt=\frac{{{t}{8}}}{8}-\frac{{{t}{6}}}{6}+C=\frac{{{\cos }{8}}x}{8}-\frac{{{\cos }{6}}x}{6}+C}}$
$=\frac{1}{8}\int{\left( 1-\cos 4x \right)dx=\frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}+C}$
$\begin{array} {} =\frac{1}{4}\int{\left( 1-2\cos 2x+{{\cos }^{2}}2x \right)dx=\frac{1}{4}\int{\left( 1-2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2} \right)}dx} \\ {} =\frac{1}{8}\int{\left( 3-4\cos 2x+\cos 4x \right)dx=\frac{3x}{8}-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+C} \\ \end{array}$ Bài tập 2: Tính các nguyên hàm sau:
Lời giải chi tiết
d)$I=\int{\frac{dx}{{{\sin }{4}}x.{{\cos }{2}}x}=\int{\frac{{{\sin }{2}}x+{{\cos }{2}}x}{{{\sin }{4}}x{{\cos }{2}}x}dx=\int{\frac{dx}{{{\sin }{2}}x.{{\cos }{2}}x}+\int{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x}}}}}$ $\begin{array} {} =\int{\frac{{{\sin }{2}}x+{{\cos }{2}}x}{{{\sin }{2}}x{{\cos }{2}}x}dx+\int{\frac{{{\sin }{2}}x+{{\cos }{2}}x}{{{\sin }{4}}x}dx}} \\ {} =\int{\left( \frac{1}{{{\cos }{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }{2}}x} \right)dx+\int{\left( \frac{1}{{{\sin }{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }{2}}x}.{{\cot }{2}}x \right)dx}} \\ {} =\tan x-2\cot x-\int{{{\cot }{2}}xd\left( \cot x \right)=\tan x-2\cot x-\frac{{{\cot }{3}}x}{3}+C} \\ \end{array}$ Bài tập 3: Tính các nguyên hàm sau:
Lời giải chi tiết a)$I=\int{{{\tan }{4}}xdx=\int{{{\tan }{2}}x{{\tan }{2}}xdx=\int{{{\tan }{2}}x\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)dx}}}$ $=\int{\frac{{{\tan }{2}}x}{{{\cos }{2}}x}dx}-\int{{{\tan }{2}}xdx}=\int{{{\tan }{2}}xd\left( \tan x \right)-\int{\left( \frac{1}{{{\cos }{2}}x}-1 \right)dx}=\frac{{{\tan }{3}}x}{4}-\tan x+x+C}$ b)$I=\int{\frac{{{\tan }{4}}x}{\cos 2x}dx=\int{\frac{{{\tan }{4}}xdx}{{{\cos }{2}}x-{{\sin }{2}}x}=\int{\frac{\frac{{{\tan }{4}}x}{{{\cos }{2}}x}}{1-{{\tan }{2}}x}dx\xrightarrow{t=\tan x}I=\int{\frac{{{t}{4}}dt}{1-{{t}^{2}}}}}}}$ $\begin{array} {} =\int{\frac{{{t}{4}}-1+1}{1-{{t}{2}}}dt=-\int{\left( {{t}{2}}+1+\frac{1}{{{t}{2}}-1} \right)dt=-\frac{{{t}{3}}}{3}-t-\frac{1}{2}\ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right|+C}} \\ {} \Rightarrow I=-\frac{{{\tan }{3}}t}{3}-\tan t-\frac{1}{2}\ln \left| \frac{\tan t-1}{\tan t+1} \right|+C \\ \end{array}$
$=\frac{1}{2}\frac{\sin 3x}{3}-\frac{1}{2}\int{\cos 2x\cos 3xdx=\frac{\sin 3x}{6}-\frac{1}{4}\int{\left( \cos 5x+\cos x \right)dx=\frac{\sin 3x}{6}-\frac{\sin 5x}{20}-\frac{\operatorname{sinx}}{4}+C}}$ Bài tập 4: Xét các mệnh đề sau: (1). $\int{\frac{dx}{\sin x}=\ln \left| \frac{\cos x-1}{\cos x+1} \right|+C}$ (2) $\int{{{\sin }{6}}x\cos xdx=\frac{{{\sin }{7}}x}{7}+C}$ (3) $\int{\frac{{{\sin }{2}}x}{{{\cos }{4}}x}dx=\frac{{{\tan }^{3}}x}{3}+C}$ (4) $\int{{{\cos }{3}}xdx=-\sin x+\frac{{{\sin }{3}}x}{3}+C}$ Số mệnh đề đúng là:
Lời giải chi tiết Ta có: $\int{\frac{dx}{\operatorname{sinx}}=\int{\frac{\sin xdx}{{{\sin }{2}}x}=\int{\frac{d\left( \cos x \right)}{{{\cos }{2}}x-1}=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{\operatorname{cosx}-1}{\cos x+1} \right|+C}}}$ $\begin{array} {} \int{{{\sin }{6}}x\cos xdx=\int{{{\sin }{6}}xd\left( \sin x \right)=\frac{{{\sin }{7}}x}{7}+C}} \\ {} \int{\frac{{{\sin }{2}}x}{{{\cos }{4}}x}dx}=\int{{{\tan }{2}}x}.\frac{1}{{{\cos }{2}}x}dx=\int{{{\tan }{2}}xd\left( \tan x \right)=\frac{{{\tan }{3}}x}{3}+C} \\ {} \int{{{\cos }{3}}xdx=\int{{{\cos }{2}}xd\left( \sin x \right)}=\int{\left( 1-{{\sin }{2}}x \right)d\left( \sin x \right)=\operatorname{sinx}-\frac{{{\sin }^{3}}x}{3}+C}} \\ \end{array}$ Vậy có 2 mệnh đề đúng. Chọn B Bài tập 5: Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f'\left( x \right)=x+\sin x\sin 2x.$ Biết rằng f(0) = 2. Giá trị của $f\left( \frac{\pi }{2} \right)$ là:
Lời giải chi tiết Ta có: $f\left( x \right)=\int{f'\left( x \right)dx=\frac{{{x}{2}}}{2}+\int{2{{\sin }{2}}x\cos xdx}=\frac{{{x}{2}}}{2}+2\int{{{\sin }{2}}xd\left( \sin x \right)}=\frac{{{x}{2}}}{2}+\frac{2{{\sin }{3}}x}{3}+C}$ Lại có: $f\left( 0 \right)=C=2\Rightarrow f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}+\frac{8}{3}$ . Chọn B Bài tập 6: Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f'\left( x \right)=\frac{{{\sin }{3}}x}{{{\cos }{5}}x}.$ Biết rằng $f\left( \frac{\pi }{4} \right)=2.$ Tính giá trị của $f\left( \frac{\pi }{3} \right)$
Lời giải chi tiết Ta có: $f\left( x \right)=\int{f'\left( x \right)dx}=\int{\frac{{{\sin }{3}}x}{{{\cos }{3}}x}.\frac{dx}{{{\cos }{2}}x}=\int{{{\tan }{3}}xd\left( \tan x \right)=\frac{{{\tan }^{4}}x}{4}+C}}$ Lại có: $f\left( \frac{\pi }{4} \right)=2\Rightarrow \frac{1}{4}+C=2\Rightarrow C=\frac{7}{4}\Rightarrow f\left( \frac{\pi }{3} \right)=\frac{9}{4}+\frac{7}{4}=4$ . Chọn C Bài tập 7: Tìm nguyên hàm $I=\int{\frac{\sin 2xdx}{{{\left( 2+\operatorname{s}\text{inx} \right)}^{2}}}}$
Lời giải chi tiết Ta có: $\begin{array} {} I=\int{\frac{\sin 2xdx}{{{\left( 2+\sin x \right)}{2}}}=\int{\frac{2\sin x\cos xdx}{{{\left( 2+\sin x \right)}{2}}}=\int{\frac{2\sin xd\left( \sin x \right)}{{{\left( 2+\sin x \right)}{2}}}}}} \\ {} =\int{\frac{2\left( 2+\sin x \right)-4}{{{\left( 2+\sin x \right)}{2}}}d\left( \sin x \right)=\int{\left[ \frac{2}{2+\sin x}-\frac{4}{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}} \right]d\left( \sin x \right)}} \\ {} =2\ln \left( 2+\sin x \right)+\frac{4}{2+\sin x}+C \\ \end{array}$ (do 2 + sinx > 0). Chọn A Bài tập 8: Biết rằng $I=\int{\frac{{{\operatorname{sinxcos}}^{2}}xdx}{1+\cos x}=a\cos x+b\cos 2x-\ln \left( 1+\cos x \right)+C(a;b\in \mathbb{R})}$ . Giá trị của a + b là
Lời giải chi tiết Ta có: $I=-\int{\frac{{{\cos }{2}}xd\left( \cos x \right)}{1+\cos x}\xrightarrow{t=\cos x}-\int{\frac{{{t}{2}}dt}{1+t}=\int{\left( -t+1-\frac{1}{t+1} \right)dt}}}$ $\begin{array} {} =-\frac{{{t}{2}}}{2}+t-\ln \left| 1+t \right|+C=-\frac{{{\cos }{2}}x}{2}+\cos x-\ln \left( 1+\cos x \right)+C \\ {} =-\frac{1}{4}\cos 2x+\cos x-\ln \left( 1+\cos x \right)+C+\frac{1}{4} \\ \end{array}$ Do đó: $a=1,b=\frac{-1}{4}\Rightarrow a+b=\frac{3}{4}.$ Chọn C Bài tập 9: Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{{{\left( 2\sin x+3\cos x \right)}^{2}}}$ và $F\left( 0 \right)=\frac{5}{6}.$ Khi đó:
Lời giải chi tiết Ta có $f\left( x \right)=\int{\frac{dx}{{{\left( 2\sin x+3\cos x \right)}{2}}}}=\int{\frac{dx}{{{\cos }{2}}x{{\left( 2\tan \,x+3 \right)}{2}}}=\int{\frac{d\left( \tan \,x \right)}{{{\left( 2\tan \,x+3 \right)}{2}}}=-\frac{1}{2\left( 2\tan \,x+3 \right)}}}+C$ Do $F\left( 0 \right)=\frac{5}{6}\Rightarrow \frac{-1}{6}+C=\frac{5}{6}\Rightarrow C=1$ $\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{-1}{4\tan x+6}+1$. Chọn A Bài tập 10: Tính nguyên hàm $\int{\frac{\operatorname{tanx}}{\cos x\sqrt{1+{{\cos }^{2}}x}}dx}$
Lời giải chi tiết Ta có: $I=\int{\frac{\tan xdx}{{{\cos }{2}}x\sqrt{\frac{1}{{{\cos }{2}}x}+1}}=\int{\frac{\tan xdx}{{{\cos }{2}}x\sqrt{{{\tan }{2}}x+2}}\xrightarrow{t=\tan x}\int{\frac{tdt}{\sqrt{2+{{t}^{2}}}}}}}$ $=\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( {{t}{2}}+2 \right)}{\sqrt{{{t}{2}}+2}}=\sqrt{{{t}{2}}+2}+C=\sqrt{{{\tan }{2}}x+2}+C.}$ Chọn A |
