Toán học bắt nguồn từ thực tiễn và mọi lí thuyết toán học dù trừu tượng đến đâu cũng đều tìm thấy ứng dụng của chúng trong thực tế cuộc sống. Trong những năm gần đây, theo xu thế mới trong kỳ thi THPT Quốc gia đối với bộ môn Toán, số lượng các câu hỏi mang tính vận dụng thực tiễn ngày càng nhiều. Điều này gây ra những khó khăn nhất định cho các em học sinh khi làm bài thi môn Toán, kể cả những học sinh khá giỏi. Bởi lẽ, ngoài việc nắm chắc các kiến thức môn Toán cùng với các môn học khác, học sinh cần phải biết cách mô hình hóa toán học đối với các bài toán thực tế để đưa bài toán thực tiễn về bài toán toán học mà trong chương trình sách giáo khoa hiện hành, số lượng các bài tập mang tính vận dụng thực tiễn đang còn rất hạn chế. Hơn nữa, số lượng các câu hỏi thực tế vận dụng kiến thức “ Đạo hàm ” trong đề thi tương đối nhiều. Nhận thấy những cần thiết trong việc trang bị cho các em học sinh, đặc biệt là học sinh lớp 12 chuẩn bị bước vào kỳ thi quan trọng, cũng như cung cấp thêm cho các thầy cô giáo một tài liệu ôn thi THPT QG. Show Trong khuôn khổ của tài liệu này, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về các “Ứng dụng của Đạo hàm” không chỉ đối với Toán học mà còn đối với các ngành khoa học kỹ thuật khác, bởi lẽ Đạo hàm không chỉ dành riêng cho các nhà Toán học mà Đạo hàm còn được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống và các ngành khoa học khác. Ví dụ như: Một nhà kinh tế muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra các quyết định đầu tư đúng đắn hay đưa ra các dự báo; một nhà hoạch định chiến lược muốn có những thông tin liên quan đến tốc độ phát triển và gia tăng dân số của từng vùng miền; một nhà Hóa học muốn xác định tốc độ của các phản ứng hóa học nào đó hay một nhà Vật lí cần làm gì để tính toán vận tốc, gia tốc của một chuyển động ?. Và hơn thế nữa, trong thực tiễn đời sống luôn có rất nhiều những bài toán liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt được lợi ích cao nhất như phải tính toán thế nào để làm cho chi phí sản xuất thấp nhất mà lợi nhuận đạt được là cao nhất, ... Theo hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, ngày càng có nhiều bài toán ứng dụng thực tế được đưa vào đề thi THPT Quốc Gia, trong đó có phần ứng dụng của Đạo hàm. Tài liệu này cũng giúp cho các em học sinh lớp 12 chuẩn bị bước vào kì thi THPT Quốc Gia làm quen với các bài toán ứng dụng thực tế ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu, khám phá và mở mang thêm cho mình những hiểu biết về ứng dụng của đạo hàm thông qua bố cục trình bày như sau:
2. Nội dung 2. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm Cho hàm số y = f x ( ) xác định trên khoảng ( ) ab ; và điểm x 0 ( ) a b ; nếu tồn tại giới hạn 0 0 0 lim ( ) ( ) xx f x f x → xx − − hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f x ( ) tại x 0. Ký hiệu ( ) 0 0 0 0 ' lim ( ) ( ) xx yx f x f x → xx = − − hoặc fx '( ) 0 Lưu ý: Nếu hàm số có đạo hàm trong khoảng ( ) ab ; thì liên tục trên khoảng đó nhưng ngược lại thì chưa chắc đúng. 2. Các quy tắc tính đạo hàm Chú ý: u u x v v x ==( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' 22
u v u v u v u v u v và ku ku u u v v u và k k v v v v v v = = + = = − = − BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THƯỜNG GẶP Hàm số cơ bản Hàm số hợp ( ) C '0= (C là hằng số) ( ) x '1= ( ) xx . − 1= ( ) u .. u − 1 u= 2 11 xx =− với x 0 1 u 2 uu =− với u 0 ( )1 2 x x = với x> ( )2 u u u = với u> ####### ( )sin xx =cos ( )sin u = u .cos u ####### ( )cos xx =−sin ( )cos u =− u .sin u ####### ( ) 2 tan 1 cos x x = với 2 ####### xk + ( )tanu 2 cos u u = với 2 uk + ####### ( ) 2 cot 1 sin x x ####### =− với xk ( ) cot sin 2 u u u =− với uk ####### ( ) ln x 1 x ####### = với x 0 ( )ln u u u = với u 0 ####### ( ) log 1 a ln x xa ####### = với x 0 (log ) a ln u u ua = với u 0 ( ) eexx = ( ) euu = u e .( ) axx = a .ln a ( ) auu = u a '. .ln aTiếp theo xin trình bày cách tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến bằng đạo hàm, đây là kỹ năng cực kỳ quan trọng để ứng dụng giải các Bài toán thực tế. căn hộ 100 đồng mỗi tháng thì có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu? A. 2.250 B. 2.350 C. 2.450 D. 2. Lời giải: Gọi x là giá thuê thực tế của mỗi căn hộ, ( x : đồng ; x 2000 đồng) Ta có thể lập luận như sau: Tăng giá 100 đồng thì có 2 căn hộ bị bỏ trống. Tăng giá x −2.000 đồng thì có bao nhiêu căn hộ bị bỏ trống. Theo quy tắc tam xuất ta có số căn hộ bị bỏ trống là: ####### 2 ( 2.000) 2. 100 50. x − x − = Do đó khi cho thuê với giá x đồng thì số căn hộ cho thuê là: 50 2.000 90 50 50. − xx − = − + ####### Gọi Fx ( ) là hàm lợi nhuận thu được khi cho thuê các căn hộ, (F(x): đồng). Ta có: ( ) 90 1 2 90 50 50. x F x = −+ x = − x + x ( bằng số căn hộ cho thuê nhân với giá cho thuê mỗi căn hộ). ####### Bài toán trở thành tìm GTLN của ( ) 1290 F x = − x + x , ĐK: x 2. ####### ( ) ' 190 25. F x = − x + ####### ( ) ' 0 1 90 0 2. 25. F x = − x + = = x Bảng biến thiên: X 2.000 2.250 + F’(x) + 0 − F(x) F max Suy ra F(x) đạt giá trị lớn nhất khi x =2. Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250 đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn nhất. Chọn A. Nhận xét: Sau khi tìm được hàm ( ) 1290 50. F x = − x + x. Ta không cần phải đi khảo sát và vẽ bảng biến thiên như trên. Đề đã cho bốn đáp án x, ta dùng phím CALC của MTCT để thay lần lượt các giá trị vào, cái nào làm cho F(x) lớn nhất chính là giá trị cần tìm. Bài 2: Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50 đồng. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30. đồng. A. 44đ B. 43đ C. 42đ D. 41đ Lời giải: Gọi x là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng, (x: đồng; 30 x 50. đồng). Ta có thể lập luận như sau: Giá 50 đồng thì bán được 40 quả bưởi Giảm giá 5 đồng thì bán được thêm 50 quả. Giảm giá 50 – x thì bán được thêm bao nhiêu quả? Theo quy tắc tam xuất số quả bán thêm được là: ####### ( ) ( )
− xx = −. Do đó Số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán x: ####### ( ) 40 1150000 540 100 100
Gọi Fx () là hàm lợi nhuận thu được ( Fx (): đồng). ####### Ta có: ( ) 11 540 .( 30) 2840 16. 100 100 F x = − x + x − = − x + x − Bài toán trở thành tìm GTLN của ( ) 12840 16. 100 F x = − x + x − , Đk: 30 x 50. ####### ( ) ####### ( ) 1 ' 840 50 ' 0 1 840 0 42. 50 F x x F x x x \= − + \= − + = = Vì hàm F(x) liên tục trên 30 x 50 nên ta có: ####### ( ) ####### ( ) ####### ( ) 30 0 42 1. 50 800. F F F \= \= ####### Vậy với x =42 thì Fx ( ) đạt GTLN. Vậy để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là 42 đồng. Chọn C. Bài 3: Một xe khách đi từ Việt Trì về Hà Nội chở tối đa được là 60 hành khách một chuyến. Nếu một chuyến chở được m hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách được tính là 5 2 30 2 − m đồng. Tính số hành khách trên mỗi chuyến xe để nhà xe thu được lợi nhuận mỗi chuyến xe là lớn nhất.? A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 Lời giải: Gọi x là số hành khách trên mỗi chuyến xe để số tiền thu được là lớn nhất, (0 x 60) Bài 5: Gia đình ông Thanh nuôi tôm với diện tích ao nuôi là 100 m 2. Vụ tôm vừa qua ông nuôi với mật độ là 1/( kg m 2 ) tôm giống và sản lượng tôm khi thu hoạch được khoảng 2 tấn tôm. Với kinhnghiệm nuôi tôm nhiều năm, ông cho biết cứ thả giảm đi (200 / gm 2 ) tôm giống thì sản lượngtôm thu hoạch được 2,2 tấn tôm. Vậy vụ tới ông phải thả bao nhiêu kg tôm giống để đạt sản lượng tôm cho thu hoạch là lớn nhất? (Giả sử không có dịch bệnh, hao hụt khi nuôi tôm giống).
kg B. 70 kg C. 72 kg D. 69 kg Lời giải: Số Kg tôm giống mà ông Thanh thả vụ vừa qua: 100= 100(kg). Gọi x (0<x<100) là số kg tôm cần thả ít đi trong vụ tôm tới. Khối lượng trung bình 1/( kg m 2 ) tôm giống thu hoạch được: 2000 :100 20= ( ) kgKhi giảm 0,2 kg tôm giống thì thì sản lượng tôm thu hoạch tăng thêm là 2/( kg m 2 )####### Gọi Fx ( ) là hàm sản lượng tôm thu được vụ tới ( ( ) : F x kg ) Vậy sản lượng tôm thu hoạch được trong vụ tới có pt tổng quát là: ####### ( ) ( ) 2 100 20 3 2000 35 3 8 2 8 F x = − x + = x + − x x Bìa toán trở thành tìm x để F(x) lớn nhất. Ta có: ####### ( ) ####### ( ) 25 3 ' 24 ' 0 25 3 0 70 2 4 3 F x x F x x x \=− \= − = = Bảng biến thiên X 0 3 100 F’(x) + 0 − F(x) F max Vậy vụ tới ông Thanh phải thả số kg tôm giống là: ####### ( ) 100 70 230 76, 67 33 − = kg Chọn A. Nhận xét: Làm sao ta có thể tìm được hàm F(x) và tìm được hệ số 3 8 Ta có thể hiểu đơn giản như sau: nếu ta không giảm số lượng tôm giống thì sản lượng tôm ####### thu hoạch được là: 100 2000= ( ) kg tôm. ####### Nếu ta giảm số x kg ( ) tôm giống thì số tôm giống cần thả là 100 − x và số kg tôm thu ####### hoạch được là: ( 100 −+ x )( 20 mx kg ) Theo giả thiết tôm giống giảm 0,2 ( kg m / 2 ) thì 100 m 2 giảm x = 20 kg , sản lượng thuđược là 2200 kg. ####### Ta có: (100 20 20)( 20 ) 2200 3 8 − + mm = = Bài 6: ####### Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức G x ( )=−0, 25 x 2 ( 30 x ) trong đó ####### x mg ( ) và x > 0 là lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng bao nhiêu: A. 15mg B. 30mg C. 40mg D. 20mg Lời giải: ####### Ta có: ( ) 0, 25 2 ( 30 ) 3123 4 40 G x = x − = − x x x ####### ( ) 2 33 ' 2 40 G x =− x x ####### ( ) 2 33 0(loai) ' 2 40 x 20(t/ m) x G x x x = = − = Bảng biến thiên: X 0 20 + G’(x) + 0 − G(x) 100 Dựa vào bảng biến thiên thì bênh nhân cần tiêm một lượng thuốc 20 mg Chọn D. Bài 7: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày ####### xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là G t ( ): 45 t 23 − t , (kết quả khảo sát được trong 10 ####### tháng vừa qua). Nếu xem Gt '( ) là tốc độ truyền bệnh (người / ngày) tại thời điểm t thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày thứ: A. 25 B. 30 C. 20 D. 15 Lời giải: Ta có: ####### ( ) ####### ( ) ####### ( ) ' 90 32 '' 90 6 '' 0 90 6 0 15 G t t t G t t G t t t \=− =− = − = = Ta có: ####### V = = − S h. (12 2 x ) 2. x = − + 4 x 348 x 144 x với 06 x Bài toán trở thành tìm x để V lớn nhất. Ta có: 2 2 ' 12 96 144 2 ' 0 12 96 144 0 6 V x x x V x x x \= − + = = − + = = Bảng biến thiên: x 0 2 6 V’(x) + 0 − V(x) 128 Vậy để thể tích hộp lớn nhất thì x =2 cm Chọn C. Bài 10: Cuốn sách giáo khoa cần một trang chữ có diện tích là 384 cm 2. Lề trên và dưới là 3 cm , lề trái và lề phải là 2 cm. Kích thước tối ưu của trang giấy? A. Dài 24 cm , rộng 17 cm B. Dài 30 cm , rộng 20 cm C. Dài 24 cm , rộng 18 cm D. Dài 24 cm , rộng 19 cm Lời giải: ####### Gọi chiều dài của trang chữ nhật là x cm ( ) ( ),0 x Chiều rộng của trang chữ nhật là: 384 cm x ####### Chiều dài của trang giấy là x + 6 ( ) cm ####### Chiều rộng của trang giấy là : 3844 ( ) cm x ####### Diện tích trang giấy: S ( ) x 6 384 4 408 4 x 2304 xx \= + + = + + Bài toán trở thành tìm x để S đạt giá trị nhỏ nhất. ####### Ta có: Sx '4( ) 23042 x \=− 2 2304 24(t/ m) ' 0 4 0 x 24(loai) x S x = = − = =− Bảng biến thiên x 0 24 + S’(x) − 0 + S(x) S min Vậy kích thước tối ưu của trang giấy có chiều dài là 30 cm, chiều rộng là 20 cm. Bài 11: Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi bằng 16cm thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
####### Gọi độ dài hình chữ nhật đó là: x cm ( ). Chiều rộng của hình chữ nhật đó là: ( ) 8 − x cm Suy ra 48 x ####### Diện tích hình chữ nhật đó là: S = − = − x ( ) 88 x x x 2 Bài toán trở thành tìm x để S đạt GTLN. Ta có: S ' 8 2 ; ' 0= − x S = − = =8 2 x 0 x 4 ####### Vì hàm S(x) liên tục trên 48 x , ta có: SS ( ) 4 ==16; ( ) 8 0 Kết luận: hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng 16 cm 2 Lưu ý: Bìa này ta còn có thể sử dụng lí thuyết của lớp 10. Tìm GTLN của parapol với hệ số a<0 thì max 16 42 SSb aa \= − = − = Chọn C. Bài 12: Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 mét và đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đó? Biết rằng góc BOC là góc nhọn. A. AO =2, 4 m B. AO = 2 m
Lời giải: ####### Đặ t độ dài cạnh AO = x cm ( ) ( ),0 x Suy ra: BO = 3, 24+ x CO 22 , = 10, 24+ x Ta sử dụng định lí cosin trong tam giác OBC ta có: ( ) ( )( )( )2 2 2 22 22 3, 24 10, 24 1, cos BOC 2.. 2 3, 24 10, 24 OB OC BC xx OB OC xx +− + + + − ++ ( )( )2 22 5, 76 3, 24 10, 24 x xx \= + ++ Vì góc BOC là góc nhọn nên bài toán trở thành bài toán tìm x để ####### ( ) ( )( )2 22 5, 76 3, 24 10, 24 Fx x xx \= + ++ Đạt GTNN. Đặt (3, 24+ = x 2 ) t t ,( 3, 24 .)1, 1, C A O B ( ) ( )( ) ( )2 2 ' 1406 3 ' 0 1 40 6 0 20 33 V h h h V h h h h \=− \= − = = BBT h 5 3 10 ####### Vh '( ) + 0 − ####### Vh ( ) V max ####### Vậy chọn chiều cao đó là 20 ( ) 3 hm = Chọn A. Bài 14: Khi nuối cá thí nghiệm trong hồ, một nhà khoa học đã nhận thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng là ####### P n ( )=−480 20 n g ( ). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất? A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 Lời giải: ####### Gọi Fn ( ) là hàm cân nặng của n con cá sau vụ thu hoạch trên một đơn vị diện tích ####### Ta có: F n ( ) (= 480 20 .− n n ) = 480 n − 20 n 2 Để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất thì cân nặng của n con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ là lớn nhất. Bài toán trở thành tìm n * sao cho F(x) đạt GTLN. ####### ( ) ####### ( ) ' 480 40 ' 0 480 40 0 12 F n n F n n n \=− = − = = Học sinh tự lập bảng biến thiên. Vậy phải thả 12 con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất. Chọn C. Bài 15: (Trích luận văn thạc sĩ Nguyễn Văn Bảo): Một khúc gỗ tròn hình trụ cần xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và 4 miếng phụ như hình vẽ. Hãy xác định kích thước của các miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất. Biết đường kính khúc gỗ là d.
− d , dài 7 17 4 − d d
− d , dài 7 17 4 − d
− d , dài 7 17 4 − d D. Rộng 34 3 2 13 − d , dài 7 17 4 − d Lời giải: Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng phụ lần lượt là x, y. Đường kính của khúc gỗ là d, khi đó tiết diện ngang của thanh xà có độ dài cạnh là 2 d và ( 22 )0 , 0 42 d d xy − Theo đề bài ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, theo định lý Pitago ta có: 2 2 2 2 1 2 8 2 4 2 22 x + d + = = y d y d − − x x Do đó, miếng phụ có diện tích là: ( ) 221 8 4 2 2 S x = d − − x dx với ( 22 )0 4 d x − Bài toán trở thành tìm x để S(x) đạt GTLN. Ta có: 22 ( )22 1 8 2 2 '( ) 8 4 2 228 4 2 x x d S x d x dx d x dx −− = − − + −− ( )22 22 2 22 16 6 2 2 8 4 2 ' 0 16 6 2 0 16 6 2 1 0 34 3 2 16 x dx d d x dx S x x dx d xx dd xd − − + −− \= − − + = − − + = = − BBT X 0 34 3 2 16 − d ( 22 )4 d − S’(x) + 0 − S(x) S max Vậy miếng phụ có kích thước 34 3 2 , 717 16 4 x ==−− d y d Chọn A.
m D. Cạnh bên: 5m, cạnh đáy: 52 2 m. Lời giải: Gọi x, h lần lượt là độ dài cạnh đáy hình vuông, chiều cao của thùng gỗ, ( x 0, h 0,( ) m ) . Thể tích thùng gỗ: V x h 2 h V 22 62, xx \= = = Diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy của thùng là: ####### ( ) 2 2 2 2 4 4, 5 250 S x x xh xx x x x \=+ \=+ \=+ Bài toán trở thành tìm x để S(x) nhỏ nhất. ####### ( ) ####### ( ) 2 2 '2 250 ' 0 2 250 0 5 S x x x S x x x x \=− \= − = = BBT X 0 5 + S’(x) − 0 + S(x) S min Vậy để tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng là nhỏ nhất thì cạnh đáy là 5m, chiều cao 2,5m. Chọn A. Bài 18: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R, nếu một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp?
####### ( 0 xR ). Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là 2 Rx 22 − ####### Ta có diện tích của hình chữ nhật là: S x ( )=− 2 x R 22 x Bài toán trở thành tìm x để S(x) đạt GTLN. ####### ( ) ####### ( ) 2 2 2 22 2 2 2 2 2222 22 '2 224 2 (t/ m) 242 ' 0 0 2 4 0 2 (loai) 2 S x R x x R x R x R x x R Rx S x R x Rx R x \= − − = − −− − = = = − = − − = BBT: X 0 2 R R S’(x) + 0 − S(x) R 2 Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là R 2 Bài 19: (Đề thi thử Việt Trì lần I): Để thiết kế một chiếc bể cá hình chữ nhật có chiều cao là 60 cm , thể tích là 96 cm 3 , người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70 đồng/m 2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành là 100 đồng/m 2. Chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là: A. 83.200 đồng B. 382 đồng C. 83 đồng C. 8.320 đồng. Lời giải: Diện tích của đáy hộp là: 96 1600 22 0, 60 V S cm m h \= = = = ####### Gọi chiều dài cạnh đáy của hộp là x x ,( 0, m ). Chiều rộng của hộp là 0, x ####### Gọi Fx ( ) là hàm chi phí để làm để cá. Chi phí để hoàn thành bể cá: ####### ( ) 0,16 100 2, 6 .70 2, 6,16. 16 48 13440 F x x x x x \= + + \= + + Bài toán trở thành tìm x để F(x) đạt GTNN. ####### ( ) ####### ( ) 2 2 ' 84 13440 ' 0 84 134400 0, 4 Fx x F x x x \=− \= − = = BBT X 0 0,4 + F’(x) − 0 + F(x) F min Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là: 83 đồng Bài 22: Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể tích lớn nhất từ một miếng tôn hình vuông có cạnh là 1 mét. Thể tích của hộp cần làm.
V = dm B. 33 27 V = dm C. 43 27 V = dm D. 53 27 V = dm Chọn A. Bài 23: (Đề minh học HSG Phú Thọ 2016-2017) ####### Một người nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài am ( ) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ (Bờ sông là đường thẳng CD không phải rào). Hỏi ông ta có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu m 2?
a C. 3 2 2 a D. 332 4 a Chọn D. Bài 24: Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá thành để xây đường ống trên bờ là 50 mỗi km, và 130 mỗi km để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo hướng ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng: A. 9km B. 6,5km C. 5km D. 4km. Chọn B. Bài 25: Một gia đình cần xây một cái bể nước hình trụ có thể chứa được 150 m 3 có đáy được làm bằng bê tông, thành làm bằng tôn, bề mặt làm bằng kính. Tính chi phí thấp nhất cần dùng để xây bể nước đó. biết giá thành vật liệu làm bằng bê tông có giá thành là 100 đồng/m 2 , làm bằng tôn là 90 đồng/m 2 , bề mặt làm làm bằng kính là 120 đồng/m 2. (số tiền để xây được tính lấy giá trị lớn hơn gần nhất với số tiền tính toán trên lí thuyết). A. 15.041đ B. 15.040đ C. 15.039đ D. 15.038đ Chọn C. Bài 26: Có một tấm gỗ hình vuông có độ dài cạnh là 2m. Cắt tấm gỗ đó thành tấm gỗ có hình dạng là một tam giác vuông sao cho tổng của một cạnh tam giác vuông và cạnh huyền của tấm gỗ tam giác vuông đó bằng 1,2m. Hỏi cạnh huyền của tấm gỗ tam giác vuông đó bằng bao nhiêu để tam giác vuông có diện tích lớn nhất. A. 0,8m B. 0,9m C. 1m D. 1,1m Chọn A. D A B C Bài 27: Anh Tuân muốn xây dựng một hố ga không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứ được 3200cm 3 , tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2. Xác định diện tích đáy của hố ga để khi xây hố tiết kiệm được nguyên liệu nhất. A. 170cm 2 B. 160cm 2 C. 150cm 2 D. 140cm 2 Chọn B Bài 28: Một trung tâm thương mại bán 2500 ti vi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 100 đồng một cái ti vi mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 200 đồng cộng thêm 90. đồng mỗi cái ti vi. Trung tâm nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là ít nhất. Biết rằng mỗi lần đặt hàng về chỉ có một nửa trong số đó được trưng bày ở cửa hàng. A. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 ti vi B. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 125 ti vi C. Đặt hàng 10 lần, mỗi lần 250 ti vi D. Đặt hàng 50 lần, mỗi lần 50 ti vi Chọn A. Bài 29: Mùa này công ty sách định ra 2 cuốn trắc nghiệm Lý và Toán với giá sản xuất là 200 đồng và ####### 300 đồng. Khi đó hàm lợi ích chúng ta là ( ) 1 1 u x y ; = x y 32 , với x, y là số lượng hai cuốn sách được in ra. Nhưng ban quản trị chỉ đồng ý đưa ra số tiền 300.000 đồng. Theo bạn phải sản xuất số lượng như thế nào để đạt doanh thu cho công ty sách cao nhất? A. 5 3000 6 5 triệu. B. 5 2000 6 5 triệu. C. 5 3001 6 5 triệu. D. 5 2001 6 5 triệu. Chọn A. Bài 30: Có hai cây cột dựng trên mặt đất lần lượt cao 1m và 4m, đỉnh của hai cây cột cách nhau 5m. Người ta chọn một vị trí trên mặt đất (nằm giữa hai chân cột) để giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí như hình dưới. Tính độ dài dây ngắn nhất. A. 41 B. 37 C. 29 D. 35 Chọn A. |
