Bài tập chứng minh tập hợp có lời giải năm 2024

1 Dẫn nhập Trong bài tập dưới đây, chúng ta sẽ làm quen với các kiến thức liên quan đến lý thuyết tập hợp (bao gồm tập hợp và các toán tử trên tập hợp). Sinh viên cần ôn lại lý thuyết của chương 3 trước khi làm bài tập bên dưới.

3. {∅} ⊂ {∅, {∅}} Lời giải. a) Sai b) Sai c) Đúng

Câu 2. Cho A, B và C là các tập hợp. Chứng minh rằng:

Lời giải.

Câu 3. Vẽ giản đồ Venn cho những trường hợp sau

Lời giải.

3 Bài tập cần giải Câu 4. Liêt kê các phần tử của các tập sau.

1. {x | x là số thực sao cho x 2 = 1}

2. {x | x là số nguyên dương bé hơn 12}

3. {x | x số chính phương và x < 100}

4. {x | x là một số nguyên sao cho x 2 = 2}

Lời giải.

1. {−1, 1}

2. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

3. {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}

4. ∅

Câu 5. Dùng cách biểu diễn tính chất tập hợp để mô tả các tập sau.

1. {0, 3, 6, 9, 12} 2. {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} 3. {m, n, o, p}

Lời giải.

1. {x | x là số nguyên không âm sao cho x mod 3 = 0}

2. {x | x là số nguyên dương có giá trị tuyệt đối bé hơn 4}

3. {x | x là kí tự Latin đứng sau l và trước q}

Câu 6. Xác định xem mỗi phát biểu sau đúng hay sai.

1. x ∈ {x}

2. {x} ⊆ {x}

3. {x} ∈ {x}

4. {x} ∈ {{x}}

5. ∅ ⊆ {x} f) ∅ ∈ {x} Lời giải. a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng e) Đúng f) Sai

Câu 7. Sử dụng sơ đồ Venn để minh họa cho mỗi quan hệ

1. A ⊆ B và B ⊆ C

2. A ⊂ B và B ⊂ C

Câu 8. Xác định xem các tập sau, tập nào là tập lũy thừa (power set) của một tập hợp nào đó, trong đó a và b là hai phần tử riêng biệt.

1. ∅

2. {∅, {a}}

3. {∅, {a}, {∅, a}}

4. {∅, {a}, {b}, {a, b}} Lời giải. a) Không có b) {a} c) Không có d) {a, b}

Câu 9. Cho A = {a, b, c, d} và B = {y, z}. Tìm

1. A × B

2. B × A

Lời giải.

1. {(a, y), (a, z), (b, y), (b, z), (c, y), (c, z), (d, y), (d, z)}

2. {(y, a), (y, b), (y, c), (y, d), (z, a), (z, b), (z, c), (z, d)}

Câu 10. Sử dụng sơ đồ Venn để chỉ ra một trường hợp để cho thấy các phát biểu sau là SAI

Lời giải.

Câu 11. Chứng minh rằng với mọi tập hợp A, B và C, (A − B) ∩ (C − B) = (A ∩ C) − B.

4 Bài tập nâng cao

1. Dùng kí hiệu  , để viết câu trả lời cho câu hỏi sau: Trong các số 5;12;17; 18, số nào thuộc tập D , số nào không thuộc tập D? b) Viết tập hợp D bằng cách liệt kê các phần tử. Tập hợp D có bao nhiêu phần tử? Lời giải a) 5 ;12 ;17 ;18 D  D  D  D. b) D {7;11;13;17;19}. Tập hợp D có 5 phần tử.

Câu 2. Kí hiệu E là tập hợp các quốc gia tại khu vực Đông Nam Á. a) Nêu ít nhất hai phần tử thuộc tập hợp E. b) Nêu ít nhất hai phần tử không thuộc tập hợp E. c) Liệt kê các phần tử thuộc tập hợp E. Tập hợp E có bao nhiêu phần tử? Lời giải a) Việt Nam  E ; Thái Lan  E ; Lào  E. b) Nhật Bản  E ; Hàn Quốc  E. c) E = {Việt Nam; Lào; Campuchia; Thái Lan; Myanmar; Malaysia; Singapore; Indonesia; Brunei; Philippines; Đông Timor} Có 11 nước thuộc khu vực Đông Nam Á. Hay tập hợp E có 11 phần tử ( ( ) 11) n E .

Câu 3. Hãy viết tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp: A {0;4;8;12;16} Lời giải 0;4;8;12;16 là các bội của 4 và nhỏ hơn 17. A n n B  {   (4) và n 17} Hoặc: A n k k  { 4.  và k 4}

Câu 4. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng?

 

 

2

2

6 0

6 0

A x x

B x x

   

   

ñ

ò Lời giải Ta có: x 2      6 0 x 6 ñ    A { 6} Nhưng   6 ò nên không tồn tại x ò để x 2  6 0 Hay B  . Câu 5. Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. A {0;4;8;12;16}; { 3;9; 27;81}; B    C là đường thẳng trung trực của đoạn thằng AB. Lời giải

{4 ,0 4};  ( 3) ,1 4 ; {   }

A n n n B nn n C M MA MB.

Câu 6. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng?

 

A x x  {  0}; B x  2 3 5 0. x x 2   

Bài 2. TẬP HỢP. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

• | FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

Lời giải B  . Câu 7. Viết mỗi tập hợp sau dưới dạng thích hợp: a) Tập hợp A các ước dương của 18 ; b) Tập hợp B các nghiệm của phương trình x x 2   3 4 0; c) Tập hợp C các số tự nhiên lẻ; d) Tập hợp D các nghiệm của phương trình x y  3 1. Lời giải a) Số 18 có các ước dương là 1;2;3;6;9;18. Do đó A {1;2;3;6;9;18}. b) Giải phương trình x x 2   3 4 0 nhận được hai nghiệm 1 và  4. Do đó B  {1; 4}. Ta cũng

có thể viết B x   ñ x x 2   3 4 0.

3. Ta có thể viết dưới dạng liệt kê các phần tử: C {1;3;5;7; }. Ta cũng có thể viết dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử: C x x { , x là số lẻ} hoặc C x  {  x là số lẻ} hoặc C x x n n {   2 1, }.

4. Ta viết D x y x y {( ; ) , ñ, 3 1} x y  .

Câu 8. Viết các tập hợp sau đây dưới dạng liệt kê các phần tử:

1. A x  { ò x 5}

b) B x   ñ 2 x x 2   1 0

3. C x  {  x có hai chữ số} Lời giải a) A là tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 5.

A      4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4

2. B là tập hợp các nghiệm thực của phương trình 2 x x 2   1 0. 1 1; 2

      

B

3. C là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. C {10;11;12;13; ;99}

Câu 9. Viết các tập hợp sau đây dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phân tứ: a) Tập hợp A {1;2;3;6;9;18} b) Tập hợp B các nghiệm của bất phương trình 2 1 0 x   c) Tập hợp C các nghiệm của phương trình 2 x y   6 Lời giải a) A là tập hợp các ước nguyên dương của 18. A x  {  x U  (18)} b) B x  { ñ2 1 0} x   c) C là tập hợp các cặp số (x;y) thỏa mãn 2 x y   6. C x y x y {( ; ) 2  6}

Câu 10. Viết các tập hợp sau đây dưới dạng liệt kê các phần tử:

1. A x x k k {  2 3, , 3} k  ;

2. | , 3 5

        

ò

m B m m m

,

3. C y  {  y  7 , x x }; d) D x y x {( ; )  , y  , x y  3}. Lời giải

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

c)

1 1;2;3;4;

      

C n n

hoặc

1   ,  ,1  5   

C x x n  n n

.

4. D x  { ñ 3   x 8}.

Câu 14. Viết các tập hợp sau đây dưới dạng liệt kê các phần tử:

a) A y    y  10 , x x 2 ;

2. 6 6

        

B x   x

;

3. C x  { 2 3 0 x   và 7   x 2}; d) D x y x {( ; )  , y  , 2 8} x y  . Lời giải a) A {1;6;9;10}; b) B {0;3;4;5}; c) C {2;3;4;5}; d) D {(8;0),(6;1),(4;2),(2;3),(0;4)}.

Câu 15. Cho tập hợp B gồm các số tự nhiên có một chữ số và chia hết cho 3. a) Viết tập hợp B theo hai cách: liệt kê các phần tử của tập hợp; chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phẩn tử của tập hợp đó. b) Minh họa tập hợp B bằng biểu đồ Ven. Lời giải a) Tập hợp B được viết theo cách liệt kê các phẩn tử là: B {0;3;6;9} Tập hợp B được viết theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử là: B x  {  0   x 9 và :3}. x b) Tập hợp B được minh hoạ bằng biểu đồ Ven

Câu 16. Dùng các kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng để viết các tập hợp sau đây:

1. { x    ñ 2   x 2 }

2. { x ñ x  3} c) { x ñ x 0} d) { x ñ1 3 0}  x Lời giải a) Nửa khoảng ( 2 ;2 ]   b) { x ñ x  3} {   x ñ 3   x 3}. Đoạn [ 3; 3] c) Khoảng ( ;0)

d)

1 { 1 3 0} 3

          

x ñ x x ñ x. Nửa khoảng

1 ; 3

 ö ú ÷ û  Câu 17. Hãy đọc tên, kí hiệu và biểu diễn mỗi tập hợp sau trên trục số:

1. A x     { ñ 2 x 3}; b) B x     { ñ 3 x 1}; c) C x  { ñ2 1 0} x  .

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương  facebook/phong.baovuongTrang 5

Lời giải a) Tập hợp A là nửa khoảng ( 2;3] và được biểu diễn là:

2. Tập hợp B là đoạn [ 3;1] và được biểu diễn là:

3. Tập hợp C là khoảng

1 ; 2

ö ö ÷ ÷ ø 

và được biểu diễn là:

Câu 18. Gọi A là tập nghiệm của đa thức P x ( ). Viết tập hợp các số thực x sao cho biểu thức

1 P x ( )

xác

định. Lời giải Ta có: A là tập nghiệm của đa thức P x ( )

   A x P x { ñ ( ) 0}

Để biểu thức

1 P x ( )

xác định thì P x ( ) 0 hay x A .

Gọi B là tập hợp các số thực x sao cho biểu thức

1 P x ( )

xác định.

   B x x A { ñ  } \ hay {ñ A B x P x  ñ ( ) 0}

Câu 19. Gọi A là tập nghiệm của đa thức P x ( ). Viết tập hợp các số thực x sao cho biểu thức

1 P x ( )

xác

định. Lời giải

Điều kiện để biểu thức

1 P x ( )

xác định là P x ( ) 0.

Vậy tập hợp D các số thực x để biểu thức

1 P x ( )

xác định là tập các số thực x mà x không

thuộc A nên D ñ\ A.

####### BÀI TẬP BỔ SUNG

Câu 20. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử:

a) A n   * 3   n 230 .

2. B n  { ò x 3}. c) C x x k k { 3 , ò và    4 x 12}. Lời giải a) Với 3   n 230 và n * nên chọn n 2;3;4;5. Vậy A {2;3;4;5}. b) Vì | | 3 x      3 x 3. Do x ò nên B   { 2; 1;0;1;2}.

3. Ta có:

4 4 12 4 3 12 4 3

           x k k

Do k ò nên ta chọn k  { 1;0;1;2;3} suy ra x k   3 { 3;0;3;6;9}.

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương  facebook/phong.baovuongTrang 7

1. 2 3 4 5 6; ; ; ; 3 8 15 24 35

     

A

2. B {0;3;8;15;24;35} c) C  { 4;1;6;11;16} d) D  {1; 2;7} Lời giải

1. 2 ,2 6 1

         



n A n n n

b) B n n  2   1 ,1  n 6 

3. C n  { , 4 5 4} n  n 

d) D x   ñø x x x 1 2 7 0ùø  ùø  ù 

Câu 25. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng:

 

 

1,3,5,9,17,33,65,129,

5,15,25,35,45,55,65,75,

A

B



 Lời giải

 2 1, , 8

{ 5(2 1), , 8}

A x x k k k

B x x k k k

    

    





Câu 26. Viết mỗi tập hợp sau đây theo cách nêu tính chất đặc trưng: a) Tập hợp các điểm M trên mặt phẳng ( ) P , thuộc đường tròn tâm O và đường kính 2 R. b) Tập hợp các điểm M trên mặt phẳng ( ) P , thuộc hình tròn tâm O. Lời giải a) A M P OM R { ( )  vói O cố định cho trước}. b) A M P OM R { ( )  với O cố định cho trước}.

Câu 27. Trong các tập hợp sau, tập họp nào rỗng? ̣

a) A x   ñ x x 2   1 0

b) B x    x x 2   4 2 0

c) C x   ò6 7 1 0 x x 2    

4. D x  { ò x 1} Lời giải a) Phương trình x x 2   1 0 có   0 nên vô nghiệm. Do đó A  . b) Phương trình x x 2   4 2 0 có hai nghiệm x  2 2. Do đó B  . c) Phương trình 6 7 1 0 x x 2    có nghiệm x   1 ò. Do đó C  . d) Chọn x  0 ,| 0 | 1ò . Do đó D  .

Câu 28. a) Cho A là tập hợp các số chẵn có hai chữ số. Hỏi A có bao nhiêu phần tử? b) Cho B là tập hợp các số lẻ có 3 chữ số. Hỏi B có bao nhiêu phần tử? c) Cho C là tập hợp các số nguyên dương bé hơn 500 và là bội của 3. Hỏi C có bao nhiêu phần tử? Lời giải a) Mỗi số tự nhiên chẵn có dạng 2 ,( k k ). Theo giả thiết ta có 10 2 100  k. Suy ra A k k {2 5 50, k }. Vậy A có 45 phần tử. b) Ta có B {101;103; ;999} , các phần tử của B hơn kém 2 đơn vị nên số phần tử là 999 101 1 450 2

   số.

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

c) Mỗi số nguyên dương là bội số của 3 có dạng 3 , k k ø *ù.

Theo giả thiết ta có 0 3 500  k. Suy ra A k k {3 0 167, k }. Vậy C có 166 phần tử. Câu 29. Cho hai tập A B , khác  ; A B có 6 phần tử; số phần tử của A B  bằng nửa số phần tử của B.

Hỏi A B , có thể có bao nhiêu phần tử? Lời giải Gọi x là số phần tử của A y , là số phần tử của B. Điều kiện x y , ò.

• A B  có 6 phần tử nên ta có phương trình x y   6.
• Số phần tử của A B  bằng nửa số phần tử của B nên ta có phương trình x y .

Từ đó ta có hệ phương trình

6 (1) (2) ,  (3)

         ò

x y x y x y Từ (1) và (2), suy ra 6    x y x 2 nên x  3 Mặt khác y  1 nên x    6 y 5 Vậy các kết quả có thể xảy ra là: | | 3 A  và | | 6;| | 4 B  A  và | | 4;| | 5 B  A  và | | 2 B  Dạng 2. Tập con và tập bằng nhau Phương pháp: Dựa vào các khái niệm đã học. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu 30. Cho tập hợp S {2;3;5}. Những tập hợp nào sau đây là tập con của S?

S 1   3 S 2  0;2 S 3  3;.

Lời giải Các tập hợp S 1 {3}, {3;5} S 3  là những tập con của S.

Câu 31. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai? Giải thích kết luận đưa ra. a) Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp; b) Nếu X a b { ; } thì a X  ; c) Nếu X a b { ; } thì { ; } a b X . Lời giải a) Đúng; b) Sai: c) Đúng. Câu 32. Cho X a b { ; }. Các cách viết sau đúng hay sai? Giải thích kết luận đưa ra.

1. a X  b) { } a X  ; c)  X ; Lời giải a) Cách viết: a X  Sai vì a (là một phần tử của A ) không phải là một tập hợp. Hoặc a là một phần tử của A , nên ta phải dùng kí hiệu "" thay vì "". Cách viết đúng: a X  b) Cách viết { } a X  đúng, vì { } a là một tập hợp, có duy nhất một phần tử là a và a X  Thế nên tập hợp { } a là một tập con của X. c) Cách viết  X sai vì: Ø là một tập hợp (tập hợp rỗng), không phải là một phần tử.

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

3. ( 1;1] { E        x ñ 1 1} vaø ( ;2] { x F     x x ñ 2} E là tập con của F vì      1 x 1 x 2. E F  vì 3 nhöng 3  F   E

Câu 37. Hãy viết tất cả các tập con của tập hợp B {0;1;2}.

Lời giải Các tập con của tập hợp B là: +) Tập con có 0 phần tử:  (tập hợp rỗng) +) Các tập hợp con có 1 phần tử: {0},{1},{2} +) Các tập hợp con có 2 phần tử: {0;1},{1;2},{0;2} +) Tập hợp con có 3 phần tử: B {0;1;2}. Chú ý +) Mọi tập hợp B đều có 2 tập con là: Ø và B. Câu 38. Viết các tập hợp con của các tập hợp sau đây: a)  b) {0};

c) Tập nghiệm của phương trình x x ø 2  1 0ù.

Lời giải a) Tập rỗng  chỉ có đúng một tập hợp con là chính nó. b) {0} có hai tập hợp con là  và {0}.

c) Tập nghiệm của phương trình x x ø 2  1 0ù là A  { 1;0;1}. Các tập hợp con của A là:

• Có không phần tử: ;
• Có một phần tử: { 1},{0},{1} ;
• Có hai phần tử: { 1;0},{ 1;1},{0;1}  ;
• Có ba phần tử: { 1;0;1}. Vậy tập hợp A có 8 tập hợp con. Câu 39. Cho hai tập hợp A a B a {1; ;5}, { 2;3; }  b với a b , là các số thực. Biết rằng A B  , hãy xác định

a và b. Lời giải Vì 3  B và A B  nên ta có 3   A a {1; ;5}, do đó, a  3. Khi đó, B {5;3; } b. Vì 1  A và A B  nên ta có 1   B {5;3; } b. Suy ra, ta có b  1. Khi đó, A B  {1;3;5}. Vậy các giá trị cần tìm là a b 3, 1.

Câu 40. Điền kí hiệu ( , , , , )     thích hợp vào chỗ chấm.

1. 0 {0;1;2} ; b) {0;1}ò

c) 0  x x 2  0 ; d) {0} x x x 2  ;

e)   x ñ x 2  4 0; g) {4;1} x x x 2   5 4 0;

8. { ; ; } { ; ; } n a m m a n  ; i) { } { ; ; } nam n a m . Lời giải a) ; b)  c) ; d) ; e) ; g) ; h)  i) .

Câu 41. Điền kí hiệu ( , , )   thích hợp vào chỗ chấm.

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương  facebook/phong.baovuongTrang 11

1. { ( 1)( 1) 0} { x x x x     x x 2, x ò}; b) {3;6;9} {  x  x là ước của 18}; c) { x x k k 5 ,   } { x  x là bội của 5}; d) {4 k k  } { x x m m 2 , }. Lời giải a) ; b) ; c)  d) . Câu 42. Hãy chỉ ra các quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau và vẽ biểu đồ Ven để biểu diễn các quan hệ đó: A x x { là tứ giác}; B x x { là hình vuông}; C x x { là hình chữ nhật}; D x x { là hình bình hành}. Lời giải B C D A   . Câu 43. Tìm tất cả các tập hợp A thoả mãn điều kiện { ; } a b A a b c d  { ; ; ; }.

Lời giải { ; },{ ; ; },{ ; ; },{ ; ; ; } a b a b c a b d a b c d.

Câu 44. Cho các tập hợp A {1;2;3;4;5} và B {1;3;5;7;9}. Hãy tìm tập hợp M có nhiều phần tử nhất

thoả mãn M A  và M B . Lời giải M {1;3;5}.

Câu 45. Cho hai tập hợp A k k {2 1 ò} và B l l   {6 3 ò}. Chứng minh rằng B A .

Lời giải Lấy phần tử x tuỳ ý của B , ta có x l l   6 3, ò. Ta viết x     2 3 2 1 2(3 1) 1 2 1 l l     k với k l   3 1 ò. Suy ra x A . Vậy, với mọi x B  ta đều có x A . Do đó, B A .

Câu 46. Cho hai tập hợp A {1;2; } a và B 1; a 2 . Tìm tất cả các giá trị của a sao cho B A .

Lời giải Ta có B A  nếu a 2  1 hoặc a 2  2 hoặc a a 2 . Từ đó tìm được các giá trị của a là:  2; 1;0;1; 2.

Câu 47. Cho hai tập hợp: E x   ñ x 1 , F x   ñ x 2 . Chứng tỏ rằng E F .

Lời giải Với mọi số thực x , ta có: x  1 thì x  2 nên x E  thì x F . Do đó E F  Câu 48. Cho tập hợp C gồm các tam giác có ba cạnh bằng nhau và tập hợp D gồm các tam giác có ba góc bằng nhau. Hai tập hợp C và D có bằng nhau hay không? Lời giải Do một tam giác có ba cạnh bằng nhau khi và chỉ khi tam giác đó có ba góc bằng nhau nên hai tập họp ̣ C và D là bằng nhau. Câu 49. Cho tập hợp X a b c { ; ; }. Viết tất cả các tập con của tập hợp X.

Lời giải Các tập con của tập hợp X là: +) tập hợp rỗng:  +) Các tập con chỉ chứa 1 phần tử của tập hợp X: { } a , { } b , { } c. +) Các tập con chứa 2 phần tử của tập hợp X: {a; b}, {b; c c, cc; a} +) Tập con chứa 3 phần tử của tập hợp X: là tập hợp X a b c { ; ; }

Câu 50. Sắp xếp các tập hợp sau theo quan hệ "": [2;5],(2;5),[2;5),(1;5]

Lời giải (2;5) [2;5) [2;5] (1;5].  

Câu 51. Cho tập hợp X a b c d { ; ; ; }. Viết tất cả các tập con có ba phần tử của tập hợp X.

Lời giải

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương  facebook/phong.baovuongTrang 13

Do đó tất cả các tập con của X có chứa các phần tử 1,3,5,7 là: {1;3;5;7},{1;3;5;7;2}, {1;3;5;7;4},{1;3;5;7;6},{1;3;5;7;2;4},{1;3;5;7;2;6},{1;3;5;7;4;6} và X. b) Giả sử tập cần tìm là { ; } a b với a b X a b ,  ; .

• Vì X có 7 phần tử nên có 7 cách chọn phần tử a.
• Sau khi chọn a thì X còn 6 phần tử, do đó với mỗi cách chọn a , ta có 6 cách chọn phần tử b như vậy có 7 42 cặp ( ; ) a b theo cách chọn này. Nhưng với cách chọn trên thì với hai phần tử bất kì a b , ta đã chọn lặp lại hai lần đó là hai cặp

( ; ) a b và ( ; ) b a. Do đó, có

42 21 2

 tập con của X chứa đúng hai phần tử.

Câu 59. Cho hai tập hợp A {0;2;4;6} và B {4;5;6}.

1. Hãy xác định tất cả các tập con khác rỗng X Y , của A biết rằng X Y A   và ( A B X  ). b) Hãy xác định tất cả các tập P biết rằng ( A B P A B    ) ( ). Lời giải a) Ta có: A B  {4;6} X. Do đó các tập X Y , thỏa mãn yêu cầu là: X {4;6} và Y {0;2} hoặc X {0;4;6} và Y {2} hoặc X {2;4;6} và Y {0}.

2. Ta có:

{4;6} {0;2;4;6;5}

      

A B A B

.

Do đó các tập P thỏa mãn điều kiện ( A B P A B    ) ( ) là: {4;6},{4;6;0}, {4;6;2},{4;6;5},{4;6;0;2},{4;6;2;5},{4;6;5;0} và {0;2;4;6;5}.

Câu 60. Cho các tập hợp: A x  {  x 4}, B x   ò x 5 11 28 0 x 3  x  

1. Liệt kê các phần tử của A B A B  ; . b. Tìm các tập con khác rỗng của A , sao cho tổng các phần tử của mỗi tập con đó là số nguyên tố. Lời giải a. A {0;1;2;3}

Ta có: x 5 11 28 0 x 3  x   x x ø 4 11 28 0 x 2  ù       x 0 x 24 x 27.

Mà x   ò B {0;2; 2}; A B   { 2;0;1;2;3}: \ {1;3} A B . b. Các tập con của A thỏa yêu cầu đề bài là: {2},{3},{0;2},{0;3},{1;2},{2;3},{0;1;2},{0;2;3}.

Câu 61. Cho A {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}, { B x A x   là số nguyên tố hoặc là số lẻ}

1. Xác định các tập con của A gồm hai phần tử là 2 số x ; y thỏa mãn bất phưong trình x y 2   225. b. Liệt kê các phần tử của ; B C BA. Lời giải a. Các tập cần tìm là: {0;1},{0;2},{0;3},{0;4},{1;2},{1;3},{1;4},{2;3},{2;4}. b. B {1;2;3;5;7;9}; C BA {0;4;6;8}.

Câu 62. Tìm quan hệ bao hàm hay bằng nhau giữa các tập hợp sau đây:

a) A x  {  x 2} và B x   ø x x x 2  ùø 2  2 0ù .

b) A x  {  1   x 4} và B x x   ò 2  9 0.

Lời giải

a) Ta có: A x  {  x 2} suy ra A {0;1}; B x   ø x x x 2  ùø 2  2 0ù  suy ra B {0;1}.

Vậy A B .

b) Ta có: A x  {  1   x 4} suy ra A {2;3}; B x   ò x 2  9 0 suy ra B  { 3;3}.

Ta thấy 2  A mà 2  B nên A B    ; 3 B mà   3 A nên B A .

Câu 63. Cho ba tập hợp: A x     { ñ 3 1}, { x B x     ñ 1 5}, { x C x x  ñ 2}.

Chứng minh rằng C A B C A C B ñ(  ) ø ñ ù ø ñ ù.

Lời giải

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

Ta viết lại A  [ 3;1), [ 1;5], ( ; 2] [2; ) B   C      Do đó A B   [ 3;5] suy ra C A B C ñ(  ) ñ[3;5] ( ; 3) (5; )     (1) C A C  ñ[ 3;1) ( ; 3) [1; ) vaø       C B C ñ  ññ [ 1;5] ( ; 1) (5; )     

Nên suy ra ø C A C B ñ ù ø ñ ù   ( ;3) (5; )(2)Từ (1) và (2) suy ra C A B C A C B (  ) ø ñ ù ø ññ ù.

Câu 64. Cho các tập hợp A B , và C. Chứng minh rằng:

1. A B C A B A C \ (  ) ( \ ) ( \ ) b) A B C A B A C \ (  ) ( \ ) ( \ ) c) ( \ ) ( \ ) ( \ ) \ ( A B B A A B A B    ) Lời giải

1. Ta có với mọi

\ ( ) \

                      ú       û       

x A x A x A x B x A B x A B C x B x B C x A x A C x C x C   x A B A C ( \ ) ( \ ). Vaäy ( ) ( \ ) ( \ ) A B C A B A C   

b) Ta có với mọi ø ù

\

x A x A x A x B x A B x A B C x B x B C x A x A C x C x C

                                 Vậy A B C A B A C \ (  ) ( \ ) ( \ )

3. Ta có với mọi

( \ ) ( \ ) \

    ú û 

x A B x A B B A x B A

ø ù ø\ ù

x A x A x B x B x A B x A B A B x B x A x A B x A x B

    ú ú ú  û     ú              ú ú ú  û  û  Vậy ( \ ) ( \ ) ( \ ) \ ( A B B A A B A B    ).

Câu 65. Cho hai tập hợp A B , bất kì. Chứng minh rằng A B A B A B     .

Lời giải

• Phần thuận: Giả sử A B A B    , ta chứng minh A B . Với mọi x A x A B     (vì A A B   )    x A B (vì A B A B x B     ) (vì A B B   ). Như thế     x A x B nên A B  (1) Với mọi x B x A B     (vì B A B   )    x A B ( vì A B A B x A     ) (vì A B A   ). Như thế     x B x A nên B A  (2) Từ (1) và (2), suy ra A B .
• Phần đảo: Giả sử A B  , ta chứng minh A B A B   . Ta có: A B A A    (vì B A  )  A (3) Lại có: A B A A    (vì B A  )  A (4) Từ (3) và (4), suy ra A B A B   

Câu 66. Tìm tập hợp X sao cho { ; } a b X a b c d  { ; ; ; }.

Lời giải Tập hợp X phải chứa các phần tử a b , ngoài ra có thể chứa thêm một phần tử còn lại là c d ,. Tức là X là tập hợp của hai tập A và B , trong đó:

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

4. A    A ; e) A A \  ; g) A \  A h) \ A  . Câu 73. Cho A B , là hai tập hợp tuỳ ý. Hãy điền kí hiệu tập hợp thích hợp vào chỗ chấm.

1. Nếu B A  thì A B     , A B và B A \  ; b) Nếu A B    thì A B \   và B A \   Lời giải a) A B B A B A B A   ;   ; \  ; b) A B A B A B \  ; \ .

Câu 74. Cho A là một tập hợp. Xác định các tập hợp sau: a) A A  ; b) A ; c) A A  ; d) A ; e) A A \ ; g) A \. Lời giải a) A A A   .b) A   .c) A A A  . d) A   A .e) A A \  .g) A \  A. Câu 75. Cho tập hợp A. Có nhận xét gì về tập hợp B nếu: a) A B A   ; b) A B B   ; c) A B A   ; d) A B B   ; e) A B \  ; g) A \  B? Lời giải a) B A . b) B A . c) B A . d) B A . e) B A . g) B A . Câu 76. a) Cho hai tập hợp C {4;7;27} và D {2;4;9;27;36}. Hãy xác định tập hợp C D .

2. Cho hai tập hợp E  [1; ) và F  ( ;3]. Hãy xác định tập hợp E F . Lời giải a) Giao của hai tập hợp C và D là C D  {4;27}. b) Giao của hai tập hợp E và F là E F  [1;3].

Câu 77. Cho hai tập hợp: C {2;3;4;7}; { 1;2;3;4;6} D  . Hãy xác định tập hợp C D .

Lời giải Hợp của hai tập hợp C và D là C D   { 1;2;3;4;6;7}.

Câu 78. Câu lạc bộ Lịch sử có 12 thành viên (không có hai bạn nào trùng tên), tổ chức hai chuyên đề trên một phần mềm họp trực tuyến. Tên các thành viên tham gia mỗi chuyên đề được hiển thị như hình:

Hỏi có bao nhiêu thành viên vắng mặt trong cả hai chuyên đề? Lời giải Gọi A là tập hợp những thành viên tham gia Chuyên đề 1, B là tập hợp những thành viên tham gia Chuyên đề 2.

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương  facebook/phong.baovuongTrang 17

Ta có: A B   {Nam, Hương; Chi; Tú; Bình; Ngân; Khánh; Hân; Hiền; Lam}. Tập A B  có 10 phần tử, tức là có 10 thành viên tham gia một hoặc hai chuyên đề. Số thành viên vắng mặt trong cả hai chuyên đề là: 12 10 2  (thành viên).

Câu 79. Cho các tập hợp: D  { 2;3;5;6}; { E x x  là số nguyên tố nhỏ hơn 10}; X x x { là số nguyên

dương nhỏ hơn 10}. a) Tìm D E \ và E D . b) E có là tập con của X không? Hãy tìm phần bù của E trong X (nếu có). Lời giải a) Ta có: E {2;3;5;7}. Do đó, D E \ { 2;6}; \ {2;7}  E D . b) Ta có: X {1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Vậy E là tập con của X. Phần bù của E trong X là X E C E \  X {1;4;6;8;9}.

Câu 80. Cho A x x  { ò 4}, B x   òø5 3 x x x x  2 ùø 2   2 3 0ù 

1. Liệt kê các phần tử của hai tập hợp A và B. b) Hãy xác định các tập hợp A B A B  ,  và A B Lời giải a) A {3;2;1;0; 1; 2; 3; }   

Tập hợp B là tập các nghiệm nguyên của phương trình ø5 3 x x x x  2 ùø 2   2 3 0ù

Ta có:

ø 2 ùø 2 ù

2 2

5 3 2 3 0

0 5 5 3 0 3 2 3 0 1

3

x x x x

x

x x x x x x

x

   

  úú    úú  ú úû û    ú  ú úú   ûû

Vậy B   3;0;1.

{ } { 3;0;1} { } {3;2;1;0; 1; 2; 3; } \ { } {3;2;1;0; 1; 2; 3; }{ 3;0;1} {3;2; 1; 2; 4; 5; 6; }

2. hoaëc

A B x A x B B A B x A x B A A B x A x B

                                

Câu 81. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số. a) ( 4;1] [0;3)  b) (0;2] [ 3;1)  c) ( 2;1) ( ;1]   d) ñ\ ( ;3] Lời giải a) Giao của hai tập hợp là ( 4;1] [0;3) [0;1]   b) Hợp của hai tập hợp là (0;2] ( 3;1] ( 3;2]    c) Giao của hai tập hợp là ( 2;1) ( ;1] ( 2;1)     d) Phần bù của tập hợp ( ;3] trong ñ là ñ\ ( ;3] (3; )  

Câu 82. Biều diễn các tập hợp sau trên trục số. a) A [3;9][ 2;7) ; b) E     [ 1; ) ( 4;9] c) C [1;5] [4; );  d) D ñ[ 1; ) . Lời giải

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương  facebook/phong.baovuongTrang 19

Từ sơ đồ, ta thấy C  ( 1;2). d) Để xác định tập hợp D , ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy D  ( 3;1]. e) Để xác định tập hợp E , ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy E  [2; ).

Câu 86. Xác định các tập hợp A B  và A B  với a) A { đỏ; cam; vàng; lục; lam }, { B  lục; làm; chàm; tím }. b) A là tập hợp các tam giác đều, B là tập hợp các tam giác cân. Lời giải a) A { đỏ; cam; vàng; lục; lam }, { B  lục; lam; chàm; tím }. A B  {đỏ; cam; vàng; lục; lam; chàm; tím} A B  {lục; lam} b) Vì mỗi tam giác đều cũng là một tam giác cân nên A B . A B B A B A   ,   Chú ý Nếu A B  thì A B B A B A   ,  .

Câu 87. Xác định các tập hợp A B  trong mỗi trường hợp sau:

a) A x   ñ x 2  2 0 , { B x  ñ2 1 0} x  

2. A x y x y {( ; ) , ñ, 2 1} y x   , B x y x y {( ; ) , ñ, y x   5} c) A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật. Lời giải a) Phương trình x 2  2 0 có hai nghiệm là 2 và  2 , nên A { 2; 2}

Tập hợp B x  { ñ2 1 0} x   là tập hợp các số thực

1 2

x  Từ đó A B   { 2}.

2. A B x y x y  {( ; ) , ñ, 2 1, y x y x     5}

Tức là A B  là tập hợp các cặp số (x; y) thỏa mãn hệ phương trình:

2 1 5

       

y x y x

2 1 5 3 6 2 2 1 2 1 3

x x x x y x y x y

                    Vậy A B  {(2;3)}. c) A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật.

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

A B  là tập hợp các hình vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi. Một tứ giác bất kì thuộc A B  thì nó là hình chữ nhật và có 2 cạnh kề bằng nhau (hình vuông) Do đó A B  là tập hợp các hình vuông.

Câu 88. Cho E x  {  x 10}, { A x E x   à bội của 3}, B x E x  { là ước của 6}.

Xác định các tập hợp A B B A C A C B C A B C A B \ , \ , , , ( E E E  ), ( E  ). Lời giải E x  {  x 10} {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} A x E x  { là bội của 3} {0;3;6;9} B x E x  { là ước của 6} {0;6}   B A Ta có: A B \ {3;9}, \ B A   C AE {1;2;4;5;7;8}, C BE {0;1;2;5;6;7} A B B C A B C B    E (  ) E {0;1;2;5;6;7} A B A C A B C A    E (  ) E {1;2;4;5;7;8}

Câu 89. Xác định các tập hợp sau đây: a) ( ;0) [ ; ]    b) [ 3,5;2] ( 2;3,5)   c) ( ; 2] [1; )   d) ( ; 2][1; )  Lời giải a) A  ( ; ] b) B  ( 2;2] c) C [1; 2] d) D  ( ;1)

Câu 90. Trong các số tự nhiên từ 1 đến 30, có bao nhiêu số là bội của 4 hoặc 5? Lời giải Kí hiệu A B , lần lượt là tập hợp các số là bội của 4, bội của 5 trong các số tự nhiên từ 1 đến 30. Ta có: A {4;8;12;16;20;24;28}; {5;10;15;20;25;30}. B  Tập hợp các số là bội của 4 hoặc 5 (trong các số từ 1 đến 30) là A B  {4;5;8;10;12;15;16;20;24;25;28;30}. Ta thấy A B  có 12 phần tử. Vậy, trong các số tự nhiên từ 1 đến 30, có 12 số là bội của 4 hoặc 5. Nhận xét: Ta có thể giải theo cách khác như sau: Ta có: A B  {20}, ( ) 7, ( ) 6, ( n A  n B  n A B  ) 1. Từ đó n A B n A n B n A B (  ) ( ) ( ) (      ) 7 6 1 12.

Câu 91. Cho hai tập hợp A {1;2;2 1}, {0; ;2 5} a B   b b  với a b , là những số thực. Biết rằng

A B  {1;3}, hãy tìm giá trị của a và b. Lời giải Vì A B  {1;3} nên 3   A {1;2;2 1} a  , do đó, 2 1 3 a   hay a  2. Cũng vì A B  {1;3} nên {1;3}  B {0; ;2 5} b b . Điều này xảy ra trong hai trường hợp sau đây: