Trong Toán học, đặc biệt trong lý thuyết tập hợp, tập hợp A là một tập con (hay tập hợp con) của tập hợp B nếu A "được chứa" trong B. Quan hệ một tập là tập con của tập khác được gọi là quan hệ bao hàm. Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]Nếu A và B là các tập hợp và mọi phần tử của A cũng là phần tử của B, thì: A là tập con của B (hay A chứa trong B), ký hiệu , hay tương đương
(B là tập chứa của A (hay B chứa A), ký hiệu Nếu A là tập con của B, nhưng có ít nhất 1 phần tử của B không là phần tử của A thì A được gọi là tập hợp con thực sự (hay tập con đích thực) của B, ký hiệu hay tương đương - B là tập cha thực sự của A, ký hiệu
Một số tài liệu cũng dùng ký hiệu thay cho , và thay cho với ý nghĩa tương tự. Tuy nhiên, nếu chi li ra thì ký hiệu được hiểu rằng A là tập con của B hoặc có thể bằng B, còn ký hiệu ít mang ý nghĩa A có thể bằng B hơn. Tương tự như vậy trong số học, khi viết thì x có thể nhỏ hơn y, có thể bằng y, nhưng nếu viết thì có nghĩa là x chỉ nhỏ hơn y chứ không thể bằng y. Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]
- Tập {1, 2} là tập con thực sự của {1, 2, 3}.
- Một tập hợp là tập con của chính nó, nhưng không phải là tập con thực sự.
- Tập các số tự nhiên là tập con thực sự của tập các số hữu tỷ.
- Nếu d là một đường thẳng nằm trên mặt phẳng P thì d là tập con của P.
- ...
Một số tính chất của quan hệ bao hàm[sửa | sửa mã nguồn]
Tập các tập con của một tập hợp[sửa | sửa mã nguồn]
- Cho B là một tập hợp. Theo định nghĩa trên, tập rỗng (ký hiệu ∅) và chính tập B là tập con của nó. Như vậy mọi tập hợp khác rỗng có ít nhất hai tập con là rỗng và chính nó. Tập rỗng chỉ có một tập con là rỗng. Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.
- Nếu B là tập hữu hạn có n phần tử thì B có 2n tập con. Chẳng hạn nếu B = {a, b, c} thì B có 8 tập con là ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}
Do đó người ta thường ký hiệu tập các tập con của tập hợp B là 2B.
- Nếu B là tập vô hạn, người ta chứng minh rằng các tập hợp B và 2B là không cùng lực lượng.
- Thông thường, trong một lĩnh vực nghiên cứu cụ thể, người ta thường xét các tập con của tập hợp tất cả các đối tượng cần nghiên cứu.
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
- Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
Tập hợp các số tự nhiên \(\mathbb{N} = \{ 0;1;2;3;4;5;...\} \)(Kí hiệu \(\mathbb{N}* = \mathbb{N}{\rm{\backslash }}\{ 0\} \)) Tập hợp các số nguyên \(\mathbb{Z} = \{ ...; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;...\} \): gồm các số nguyên âm và các số tự nhiên. Tập hợp các số hữu tỉ \(\mathbb{Q} = \left\{ {\frac{a}{b}|a,b \in \mathbb{Z};b \ne 0} \right\}\) (Gồm các số nguyên và các số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn) Tập hợp các số thực\(\mathbb{R}\) gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ. (Số vô tỉ là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn). Mối quan hệ giữa các tập hợp số: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) - Các tập con thường dùng của \(\mathbb{R}\)
3. Các phép toán trên tập hợp - Giao của hai tập hợp
Giao của hai tập hợp S và T (kí hiệu \(S \cap T\)) là tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp S và T. \(S \cap T = \{ x|x \in S\) và \(x \in T\} .\) - Hợp của hai tập hợp
Hợp của hai tập hợp S và T (kí hiệu \(S \cup T\)) là tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp S hoặc thuộc T. \(S \cup T = \{ x|x \in S\) hoặc \(x \in T\} .\) - Hiệu của hai tập hợp
Hiệu của hai tập hợp S và T (kí hiệu \(S{\rm{\backslash }}T\)) là tập hợp gồm các phần tử thuộc S nhưng không thuộc T. \(S{\rm{\backslash }}T = \{ x|x \in S\) và \(x \notin T\} .\) Nếu \(T \subset S\) thì \(S{\rm{\backslash }}T\)được gọi là phần bù của T trong S, kí hiệu là \({C_S}T.\) Ví dụ: \({C_\mathbb{Z}}\mathbb{N} = \mathbb{Z}{\rm{\backslash }}\mathbb{N} = \{ x|x \in \mathbb{Z}\) và \(x \notin \mathbb{N}\} = \{ ...; - 3; - 2; - 1\} \) Đặc biệt: \({C_S}S = \emptyset \)  - Giải câu hỏi mở đầu trang 12 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức
Câu lạc bộ Lịch sử có 12 thành viên (không có hai bạn nào trùng tên), tổ chức hai chuyên đề trên một phần mềm họp trực tuyến. Tên các thành viên tham gia mỗi chuyên đề được hiển thị trên màn hình.
- Giải mục 1 trang 12, 13, 14, 15 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong tình huống trên, gọi A là tập hợp những thành viên tham gia chuyên đề 1, B là tập hợp những thành viên tham gia chuyên đề 2. Cho tập hợp: C = {châu Á; châu Âu; châu Đại Dương; châu Mĩ; châu Nam Cực; châu Phi}. Gọi X là tập nghiệm của phương trình Gọi H là tập hợp các bạn tham gia Chuyên đề 2 trong tình huống mở đầu Sơn và Thu viết tập hợp các số chính phương nhỏ hơn 100 như sau Giả sử C là tập hợp các hình bình hành có hai đường chéo vuông góc; D là tập hợp các hình vuông.
- Giải mục 2 trang 15, 16 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức
Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) Mọi số nguyên đều viết được dưới dạng phân số Cho tập hợp C = {-4; 0; 1; 2}. Các mệnh đề sau đúng hay sai? Cho hai tập hợp C = và D =. Các mệnh đề sau đúng hay sai? Hãy ghép mỗi dòng ở cột bên trái với một dòng thích hợp ở cột bên phải.
- Giải mục 3 trang 16, 17, 18 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức
Viết tập hợp X gồm những thành viên tham gia cả hai chuyên đề 1 và 2 trong tình huống mở đầu. Cho các tập hợp C = [1; 5], D = [-2; 3]. Hãy xác định tập hợp Trở lại tình huống mở đầu, hãy xác định tập hợp các thành viên tham gia Chuyên đề 1 hoặc Chuyên đề 2. Trở lại tình huống mở đầu, hãy xác định tập hợp các thành viên chỉ tham gia Chuyên đề 1 mà không tham gia Chuyên đề 2. Tìm phần bù của các tập hợp sau trong R
Giải bài 1.8 trang 19 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức
Gọi X là tập hợp các quốc gia tiếp giáp với Việt Nam. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X và biểu diễn tập X bằng biểu đồ Ven. | 
