Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

Nội dung bài viết Viết phương trình đường tròn: Viết phương trình đường tròn. Phương pháp giải. Cách 1: Tìm toạ độ tâm I(a; b) của đường tròn (C). Tìm bán kính R của đường tròn (C). Viết phương trình của (C) theo dạng. Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C). Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c. Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C). (C) tiếp xúc với đường thẳng A tại IA = d(I) = R. (C) tiếp xúc với hai đường thẳng A và A. Các ví dụ. Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn trong môi trường hợp sau: a) Có tâm I(1; -5) và đi qua O(0; 0). b) Nhận AB làm đường kính với A(1; 1), B(7; 5). c) Đi qua ba điểm: M(-2, 4), P(6; -2). Lời giải: a) Đường tròn cần tìm có bán kính là OI = 1 + 5 = V26 nên có phương trình là (x – 1) + (y + 5) = 26. b) Gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra (4; 3). Đường tròn cần tìm có đường kính là AB suy ra nó nhận I(4; 3) làm tâm và bán kính R = AI = 13 nên có phương trình là (1 – 4) + (y – 3) = 13. c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng do đường tròn đi qua ba điểm M, N, P nên ta có hệ phương trình. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: a + 2 – 43 – 29 – 20 = 0. Nhận xét: Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau: Gọi I (c; g) và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm. Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau: a) (C) có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng A: 1 – 2 + 7 = 0. b) (C) đi qua A(2; -1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Og. c) (C) có tâm nằm trên đường thẳng d: 0 – 6g – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d: 32 + 4y + 5 = 0 và d : 40 – 34 – 5 = 0. Lời giải: a) Bán kính đường tròn (C) chính là khoẳng cách từ 1 tới đường thẳng A nên phương trình đường tròn (C). b) Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm của đường tròn có dạng I(R; -3) trong đó R là bán kính đường tròn (C). Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K. a) Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d, nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R suy ra. Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình. Ví dụ 3: Cho hai điểm A(3; 0) và B(0; 6). a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Lời giải: a) Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB suy ra bán kính R = IA = (8 – 4) + (0 – 3) = 5. Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là 25. b) Ta có OA = 8; OB = 6; AB mặt khác vì cùng bằng diện tích tam giác ABC dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ là (2; 2). Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là 4. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: V30 + y = 0, và d. Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc d với d’ tại A, cắt d tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. d. Viết phương trình của (C), biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương.

Với dạng bài tập yêu cầu viết phương trình đường tròn đi qua 1 điểm có tâm I, hay lập phương trình đường tròn có tâm I và đi qua A, chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải ngay dưới đây.

* Cách viết phương trình đường tròn tâm I và đi qua A (đi qua 1 điểm)

 – Tính bán kính R = IA của (C)

 hay R2 = IA2 = (xA – xI)2 +  (yA – yI)2 

 – Đường tròn có tâm I(a;b)

 – Viết phương trình đường tròn (C) dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0).

* Lời giải:

– Đường tròn (C) có tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0) nên ta có:

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

 (x – 1)2 + (y + 3)2 = 10

* Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(-2;3) và đi qua điểm A(2;-3).

* Lời giải:

– Đường tròn (C) có tâm I(-2;3) và đi qua điểm A(2;-3) nên ta có:

 R2 = IA2 = (xA – xI)2 +  (yA – yI)2 

 = [2 – (-2)]2 + [(-3) – 3]2

 = 42 + 62 = 52

⇒ Phương trình đường tròn (C) tâm I và đi qua A là:

 (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52

* Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2;-4) và đi qua điểm M(1;3).

* Lời giải:

– Đường tròn (C) có tâm I(2;-4) và đi qua điểm M(1;3) nên ta có:

 R2 = IM2 = (1 – 2)2 + (3 + 4)2 = 1 + 49 = 50

⇒ Phương trình đường tròn (C) tâm I và đi qua M là:

 (x – 2)2 + (y + 4)2 = 50

Viết phương trình đường tròn

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)
Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)
Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)
Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)
Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính

A. Phương pháp giải

+ Đường tròn ( C) : tâm I (a; b) và bán kính R có phương trình :

(x – a)2 + (y – b)2 = R2

+ Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Để viết phương trình đường tròn đường kính AB ta làm như sau:

– Bước 1: Tìm trung điểm I của AB.

– Bước 2: Tính IA.

– Bước 3: Lập phương trình đường tròn ( C) tâm I và bán kính R = IA.

+ Đường tròn ( C) tâm I và đi qua điểm A

⇒ Đường tròn ( C): tâm I và bán kính R = IA.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là

A. x2 + y2 + 2x – 6y – 22 = 0.    B. x2 + y2 – 2x – 6y – 22 = 0.

C. x2 + y2 – 2x – y + 1 = 0.    D. Tất cả sai

Lời giải

Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I( 1; 3) .

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

Vậy phương trình đường tròn là: (x – 1)2 + (y – 3)2 = 32

Hay x2 + y2 – 2x- 6y – 22 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 2. Cho hai điểm A( -4; 2) và B(2; -3). Tập hợp điểm M thỏa mãn có phương trình là

A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1= 0.    B. x2 + y2 – 6x – y + 1 = 0.

C. x2 + y2 – 2x – 6y – 10 = 0.    D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0.

Lời giải

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

Theo giả thiết: MA2 + MB2 = 31

Tương đương : ( x + 4)2 + (y – 2)2 + (x – 2)2 + (y + 3)2 = 31

Hay x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0

Chọn D.

Ví dụ 3. Đường tròn tâm I( 3; -2) và bán kính R= 2 có phương trình là

A. ( x + 3)2 + (y + 2)2 = 2    B. (x – 3)2 + (y + 2)2 = 4

C. ( x + 3)2 + (y – 2)2 = 4    D. (x – 3)2 + (y – 2)2 = 4

Lời giải

Phương trình đường tròn có tâm (3; -2) , bán kính R = 2 là:

(x – 3)2 + (y + 2)2 = 4

Chọn B.

Ví dụ 4. Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2;1) có phương trình là

A. x2 + y2 + 2x + 4y – 5 = 0.    B. x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0.

C. x2 + y2 + 2x + 4y + 5 = 0.    D. x2 + y2 – 2x + 4y – 5 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M( 2; 1) thì có bán kính là:

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

Khi đó có phương trình là: (x + 1)2 + ( y – 2)2 = 10

Hay x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 5. Cho hai điểm A( 5; -1) và B( -3; 7). Đường tròn có đường kính AB có phương trình là

A. x2 + y2 – 2x + 6y – 3 = 0.    B. x2 +y2 – 2x – 6y – 22 = 0

C. x2 +y2 + 2x + 6y – 3 = 0    D. x2 +y2 + 2x + 6y – 15 = 0

Hướng dẫn giải

Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB nên I( 1;3) .

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

Vậy phương trình đường tròn là:

(x – 1)2 + (y – 3)2 = 32 hay x2 +y2 – 2x – 6y – 22 = 0

Chọn B.

Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(3; 1); B(5; 5) và tâm I nằm trên trục hoành?

A.(x – 1)2 + y2 = 16    B. (x – 10)2 + y2 = 50

C. (x + 1)2 + y2 = 17    D. (x – 10)2 + y2 = 50

Lời giải

+ Tâm I của đường tròn nằm trên trục hoành nên I(a; 0).

⇒ Phương trình đường tròn ( C): (x – a)2 + y2 = R2.

+ Điểm A( 3; 1) thuộc (C) nên (3 – a)2 + 12 = R2 (1).

+ Điểm B( 5; 5) thuộc ( C) nên ( 5 – a)2 + 52 = R2 ( 2).

Lấy (1) trừ (2); vế trừ vế ta được : 4a – 40 = 0

⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10

Thay a = 10 vào (1) ta được: R2 = 50.

Vậy phương trình đường tròn ( C): (x – 10)2 + y2 = 50

Chọn D.

Ví dụ 7: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(0; 1); B(1; 0) và tâm I nằm trên đường thẳng d: x + y + 2 = 0?

A. x2 + y2 – 2x + 2y – 1 = 0    B. x2 + y2 + 2x + 2y – 3 = 0

C. x2 + y2 + 4x – 3 = 0    D. Tất cả sai

Lời giải

Giả sử phương trình đường tròn ( C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( với a2 + b2 – c > 0)

Là đường tròn có tâm I(a; b).

+ Do điểm A(0; 1) thuộc đường tròn nên: 0 + 1 – 2b + c = 0 hay – 2b + c = – 1 (1)

+ Do điểm B(1; 0) thuộc đường tròn nên: 1 + 0 – 2a + c = 0 hay -2a + c = -1 (2)

+ Do tâm I thuộc đường thẳng d: x + y + 2 = 0 nên a + b + 2 = 0 (3).

Từ ( 1); (2) và (3) ta có hệ phương trình :

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là:

x2 + y2 + 2x + 2y – 3 = 0

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Đường tròn tâm I ( 3; -1) và bán kính R = 2 có phương trình là

A. (x + 3)2 + (y – 1)2 = 4.    B. (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4.

C. (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4.    D. (x + 3)2 + (y + 1)2 = 4.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Phương trình đường tròn có tâm I( 3; -1) , bán kính R = 2 là:

(x – 3)2 + (y + 1)2 = 4

Câu 2: Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2; 1) có phương trình là

A. x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0    B. x2 + y2 + 2x – 4y – 3 = 0

C. x2 + y2 – 2x – 4y – 5 = 0    D. x2 + y2 + 2x + 4y – 5 = 0 Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M(2; 1) thì có bán kính là:

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

+ Khi đó đường tròn có phương trình là:

(x + 1)2 + (y – 2)2 = 10 ⇔ x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0

Câu 3: Đường tròn tâm I( 1; 4) và đi qua điểm B( 2; 6) có phương trình là

A. (x + 1)2 + (y + 4)2 = 5    B. (x – 1)2 + (y – 4)2 = √5

C. (x + 1)2 + (y + 4)2 = √5    D. (x – 1)2 + (y – 4)2 = 5

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Đường tròn có tâm I( 1; 4) và đi qua B( 2; 6) thì có bán kính là:

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

Khi đó đường tròn có phương trình là: (x – 1)2 + (y – 4)2 = 5

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

Câu 5: Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là

A. x2 + y2 – 2x – 6y – 22 = 0    B. x2 + y2 – 2x – 6y + 22 = 0

C. x2 + y2 – 2x – y – 1 = 0    D. x2 + y2 + 6x + 5y + 1 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

Đường tròn ( C) có đường kính AB nên tâm I của đường tròn là trung điểm AB

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

Vậy phương trình đường tròn là:

(x – 1)2 + (y – 3)2 = 32 ⇔ x2 + y2 – 2x – 6y – 22 = 0

Câu 6: Cho hai điểm A( – 4; 2) và B( 2; -3) . Tập hợp điểm M(x; y) thỏa mãn :
MA2 + MB2 = 31 có phương trình là

A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1 = 0    B. x2 + y2 – 6x – 5y + 1 = 0

C. x2 + y2 – 2x – 6y – 22 = 0    D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Ta có: MA2 = ( x + 4)2 + (y – 2)2 và MB2 = ( x – 2)2 + (y + 3)2

Để MA2 + MB2 = 31

⇔ (x + 4)2 + (y – 2)2 + (x – 2)2 + (y + 3)2 = 31 ⇔ x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0

Câu 7: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(1; 2); B(2; 1) và tâm nằm trên đường thẳng (d): 3x + 4y + 7 = 0?

A. x2 + y2 + 2x + 2y – 11 = 0     B. x2 + y2 – 2x + 2y – 11 = 0

C. x2 + y2 + 2x – 2y – 11 = 0    D. x2 + y2 – 2x – 2y – 11 = 0 Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Gọi phương trình đường tròn cần tìm ( C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 – c > 0).

Đường tròn này có tâm I(a;b).

+ Do tâm I nằm trên đường thẳng d: 3x + 4y + 7 = 0 nên 3a + 4b + 7 = 0 (1).

+ Do điểm A(1;2) nằm trên đường tròn nên:

1 + 4 – 2a – 4b + c = 0 hay -2a – 4b + c = – 5 (2)

+ Do điểm B(2;1) nằm trên đường tròn nên :

4 + 1 – 4a – 2b + c = 0 hay – 4a – 2b + c = -5 (3)

Từ (1); (2) và (3) ta có hệ:

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là:

x2 + y2 + 2x + 2y – 11 = 0

Câu 8: Biết đường tròn ( C) đi qua A(1; 2); B(3; 1) và tâm I nằm trên trục tung. Tìm tâm đường tròn?

Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)
Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)
Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)
Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)
Viết phương trình đường tròn có tâm I 1 và đi qua O(0;0)

🔢 GIA SƯ TOÁN