Toán 10 hình học bài 3 chương 2 năm 2024

Lý thuyết Hình học 10 chương 2 bài 3 bao gồm toàn bộ nội dung lý thuyết trọng tâm của bài học, được trình bày khoa học nhằm hỗ trợ quá trình dạy và học môn Toán đạt chất lượng.

Hình học 10 - Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác ABC, BC = a, CA = b, AB = c, S là diện tích của tam giác. Giả sử ha, hb, hc lần lượt là độ dài các đường cao đi qua ba đỉnh A, B, C; ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua ba đỉnh A, B, C. R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Ta có kết quả sau đây:

Phần hướng dẫn giải bài tập Hình học 10 Bài 3 Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 59 SGK Hình học 10 Cho tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat{B} = 58^0\) và cạnh \(a = 72 cm\). Tính \(\widehat{C}\), cạnh b, cạnh c và đường cao \(h_a\).
Bài tập 2 trang 59 SGK Hình học 10 Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 52, 1cm; b = 85cm và c = 54cm. Tính các góc \(\widehat{A}\), \(\widehat{B}\), \(\widehat{C}\).
Bài tập 3 trang 59 SGK Hình học 10 Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}= 120^0\) cạnh b = 8cm và c = 5cm. Tính cạnh a, và góc \(\widehat{B}\), \(\widehat{C}\) của tam giác đó.
Bài tập 4 trang 59 SGK Hình học 10 Tính diện tích S của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7, 9 và 12.
Bài tập 5 trang 59 SGK Hình học 10 Tam giác ABC có \(\widehat{A} = 120^0\). Tính cạnh BC cho biết cạnh AC = m và AB = n.
Bài tập 6 trang 59 SGK Hình học 10 Tam giác ABC có các cạnh a = 8cm, b = 10cm, c = 13cm
Tam giác đó có góc tù không?
Tính độ dài đường trung tuyến MA của tam giác ABC đó.
Bài tập 7 trang 59 SGK Hình học 10 Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết:
Các cạnh a = 3cm, b = 4cm, c = 6cm
Các cạnh a = 40cm, b = 13cm, c = 37cm
Bài tập 8 trang 59 SGK Hình học 10 Cho tam giác ABC biết cạnh \(a = 137,5cm\); \(\widehat{B}= 83^0\) ; \(\widehat{C} = 57^0\). Tính góc A, cạnh b và c của tam giác.
Bài tập 9 trang 59 SGK Hình học 10 Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b ,BD = m, và AC = n. Chứng minh rằng: \(m^2 + n^2 = 2(a^2 + b^2 )\)
Bài tập 10 trang 60 SGK Hình học 10 Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m.TỪ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc \(\widehat{BPA}= 35^0, \widehat{BQA}= 48^0\) Tính chiều cao của tháp.
Bài tập 11 trang 60 SGK Hình học 10 Muốn đo chiều cao của tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3 m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1, B1, cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được \(\widehat{DA_1C_1}=49^0,\widehat{DB_1C_1}=35^0\). Tính chiều cao của CD của tháp đó.
Bài tập 2.29 trang 101 SBT Hình học 10 Tam giác ABC có cạnh a = \(2\sqrt 3 \), b = 2 và góc C = 30ο
Tính cạnh c, góc A và diện tích S của tam giác ABC;
Tính chiều cao ha và đường trung tuyến ma của tam giác ABC.
Bài tập 2.30 trang 101 SBT Hình học 10 Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết a = 3, b = 4, c = 6. Tính đường cao ứng với cạnh lớn nhất của tam giác.
Bài tập 2.31 trang 101 SBT Hình học 10 Tam giác ABC có các cạnh a = \(2\sqrt 3 \), b = \(2\sqrt 2 \), c = \(\sqrt 6 - \sqrt 2 \). Tính các góc A, B và các độ dài ha, R, r của tam giác đó.
Bài tập 2.32 trang 101 SBT Hình học 10 Tam giác ABC có a = \(4\sqrt 7 \) cm, b = 6 cm, c = 8 cm. Tính diện tích S, đường cao ha và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Bài tập 2.33 trang 101 SBT Hình học 10 Gọi ma, mb, mc là các trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC.
Tính ma, biết rằng a = 26, b = 18, c = 16
Chứng minh rằng: 4(ma2+ mb2 + mc2) = 3(a2 + b2 + c2)
Bài tập 2.34 trang 102 SBT Hình học 10 Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn điều kiện b + c = 2a. Chứng minh rằng:
2sin A = sin B + sin C;
\(\frac{2}{{{h_a}}} = \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}}\).
Bài tập 2.35 trang 102 SBT Hình học 10 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức:
sin A = sinB.cosC + sinC.cosB
ha = 2R sinB. sinC
Bài tập 2.36 trang 102 SBT Hình học 10 Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn điều kiện bc = a2. Chứng minh rằng:
sin2A = sinB.sinC
hb.hc = ha2
Bài tập 2.37 trang 102 SBT Hình học 10 Chứng minh rằng diện tích hình bình hành bằng tích hai cạnh liên tiếp với sin của góc xen giữa chúng.
Bài tập 2.38 trang 102 SBT Hình học 10 Cho tứ giác lồi ABCD có đường chéo AC = x, đường chéo BD = y và góc tạo bởi AC và BD là α. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng \(S = \frac{1}{2}xy\sin \alpha \)
Nêu kết quả trong trường hợp AC vuông góc với BD.
Bài tập 2.39 trang 102 SBT Hình học 10 Cho tứ giác lồi ABCD. Dựng hình bình hành ABDC'. Chứng minh rằng tứ giác ABCD và tam giác ACC' có diện tích bằng nhau.
Bài tập 2.40 trang 102 SBT Hình học 10 Cho tam giác ABC biết cạnh c = 35cm, góc A = 40ο, góc C = 120ο. Tính các cạnh a, b và góc B
Bài tập 2.41 trang 102 SBT Hình học 10 Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 7cm, b = 23cm, góc C = 130ο. Tính cạnh c, góc A, góc B
Bài tập 2.42 trang 102 SBT Hình học 10 Cho tứ giác ABC biết a = 14cm, b = 18cm, c = 20cm. Tính góc A, B, C
Bài tập 2.43 trang 103 SBT Hình học 10 Giả sử chúng ta cần đo chiều cao CD của một cái tháp với C là chân tháp, D là đỉnh tháp. Vì không thể đến chân tháp được nên từ hai điểm A, B có khoảng cách AB = 30 m sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng người ta đo được các góc CAD = 43ο, CBD = 67ο (h.2.18). Hãy tính chiều cao CD của tháp.
Bài tập 2.44 trang 103 SBT Hình học 10 Khoảng cách từ A đến C không thể đo trực tiếp vì phải qua một đầm lầy nên người ta làm như sau: Xác định một điểm B có khoảng cách AB = 12m và đo được góc ACB = 37ο (H.2.19). Hãy tính khoảng cách AC biết rằng BC = 5 m.
Bài tập 15 trang 64 SGK Hình học 10 NC Tam giác ABC có a = 12, b = 13, c = 15. Tính cosA và gócA.
Bài tập 16 trang 64 SGK Hình học 10 NC Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8, góc A = 600. Kết quả nào trong các kết quả sau là độ dài cạnh BC?
\(\sqrt {129} \);
7;
49;
\(\sqrt {69} \).
Bài tập 17 trang 65 SGK Hình học 10 NC Hình 59 vẽ một hồ nước nằm ở góc tạo bởi hai con đường. Bốn bạn An, Cường , Trí, Đức dự đoán khoảng cách từ B đến C như sau
An : 5km Cường : 6km Trí : 7km Đức : 5,5km Biết rằng khoảng cách từ A đến B là 3km, khoảng cách từ A đến C là 4km, góc BAC là 1200. Hỏi dự đoán của bạn nào sát với thực tế nhất ?
Bài tập 18 trang 65 SGK Hình học 10 NC Cho tam giác ABC. Chứng minh các khẳng định sau
Góc A nhọn khi và chỉ khi a2 < b2+c2;
Góc A tù khi và chỉ khi a2 > b2+c2;
Góc A vuông khi và chỉ khi a2 = b2+c2.
Bài tập 19 trang 65 SGK Hình học 10 NC Tam giác ABC có \(\widehat A = {60^0},\widehat B = {45^0},b = 4\). Tính hai cạnh a và c.
Bài tập 20 trang 65 SGK Hình học 10 NC Cho tam giác ABC có góc A = 600, a = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Bài tập 21 trang 65 SGK Hình học 10 NC Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức sinA = 2sinB.cosC thì ABC là tam giác cân
Bài tập 22 trang 65 SGK Hình học 10 NC Hình 60 vẽ một chiếc tàu thủy đang neo đậu ở vị trí C trên biển và hai người ở các vị trí quan sát A và B cách nhau 500m. Họ đo được góc CAB bằng 870 và góc CBA bằng 620. Tính các khoảng cách AC và BC.
Bài tập 23 trang 65 SGK Hình học 10 NC Gọi H là trực tâm của tam giác không vuông ABC. Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, HBC, HCA, HAB bằng nhau.
Bài tập 24 trang 66 SGK Hình học 10 NC Tam giác ABC có a = 7,b = 8,c = 6. Tính ma
Bài tập 25 trang 66 SGK Hình học 10 NC Tam giác ABC có a = 5, b = 4, c = 3. Lấy điểm D đối xứng với B qua C. Tính độ dài AD.
Bài tập 26 trang 66 SGK Hình học 10 NC Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, BC = 5, BD = 7. Tính AC.
Bài tập 27 trang 66 SGK Hình học 10 NC Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo.
Bài tập 28 trang 66 SGK Hình học 10 NC Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A khi và chỉ khi 5m2a = m2b+m2c.
Bài tập 29 trang 66 SGK Hình học 10 NC Tam giác ABC có b = 6,12; c = 5,35; A = 840. Tính diện tích tam giác đó.
Bài tập 30 trang 66 SGK Hình học 10 NC Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng AB2+BC2+CD2+DA2 = AC2+BD2+4MN2.
Bài tập 31 trang 66 SGK Hình học 10 NC Gọi S là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng S = 2R2sinAsinBsinC.
Bài tập 32 trang 66 SGK Hình học 10 NC Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.
Bài tập 33 trang 66 SGK Hình học 10 NC Giải tam giác ABC, biết
c = 14, A = 600, B = 400;
b = 4,5; A = 300, C = 750;
c = 35, A = 400, C = 1200;
a = 137,5; B = 830, C=570.
Bài tập 34 trang 66 SGK Hình học 10 NC Giải tam giác ABC, biết
a = 6,3, b = 6,3, C = 540;
b = 32, c = 45, A = 870;
a = 7, b = 23, C = 1300.
Bài tập 35 trang 66 SGK Hình học 10 NC Giải tam giác ABC, biết
a = 14, b = 18, c = 20;
a = 6, b = 7,3, c = 4,8;
a = 4, b = 5, c = 7
Bài tập 36 trang 66 SGK Hình học 10 NC Biết hai lực cùng tác dụng vào một vật và tạo với nhau góc 400. Cường độ của hai lực đó là 3N và 4N. Tính cường độ của lực tổng hợp.
Bài tập 37 trang 66 SGK Hình học 10 NC Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (h.61) Biết AH = 4m, HB = 20m, BAC = 450. Tính chiều cao của cây.

Bài tập 38 trang 66 SGK Hình học 10 NC

Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 500 và 400 so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của tòa nhà (h.62).