Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack) Quảng cáo Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l. Bước 1: Tính y'=f'(x). Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:  Bước 3: Biến đổi |x1-x2 | = l thành (x1+x2 )2 - 4x1.x2=l2 (2). Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m. Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. Kiến thức cần nhớ Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3+bx2+ cx + d (a ≠ 0) ⇒ f'(x)=3ax2+ 2bx + c Sử dụng định lý vi ét cho tam thức bậc hai f'(x)= 3ax2 + 2bx + c có Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 1/3 x3 - 2mx2 + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3. Hướng dẫn Ta có f'(x) = x2 - 4mx + 2m Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 |=3 + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 4m2 - 2m > 0 ⇔ Theo Vi ét ta có + Với |x1-x2 | = 3 ⇔ (x1 + x1)2 - 4x1 x2 - 9 = 0 Vậy giá trị của m cần tìm là m= Quảng cáo Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = -x3 + 3x2 + (m-1)x + 2m - 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 Hướng dẫn Ta có f'(x)= -3x2 + 6x + m - 1 Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 | > 1 + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 3m + 6 > 0 ⇔ m > -2 Theo Vi ét ta có + Với |x1-x2 | > 1 ⇔ (x1+x2 )2-4x1 x2-1 > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > -5/4 Kết hợp điều kiện ta được m > -5/4 Ví dụ 3: Xác định m để hàm só y = -x4 +(m - 2) x2 + 1 có khoảng nghịch biến (x1;x2) và độ dài khoảng này bằng 1. Hướng dẫn Ta có y' = -4x3 + 2(m - 2)x Để hàm số có khoảng nghịch biến (x1;x2) thì phương trình -2x2 + m - 2 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt Giả sử x1 < 0 < x2, khi đó hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng (x1;0) và (x2; +∞) Vì độ dài khoảng nghịch biến bằng 1 nên khoảng (x1;0) có độ dài bằng 1 hay x1 = -1 Vì -2x2 + m - 2 = 0 có một nghiệm là -1 nên -2 + m - 2 = 0 ⇔ m = 4 (thỏa mãn) Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 4 Quảng cáo Câu 1: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = (m + 1)x3 - 3(m+1)x2 + 2mx + 4 đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1.
Hàm số đã cho xác định trên D = R. Với m = -1. Khi đó hàm số trở thành y = -2x + 4 ; y' = -2 < 0 ∀x∈R, không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với m ≠ -1. Ta có f'(x)= 3(m+1)x2 - 6(m + 1)x + 2m + Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn [x1;x2 ] thỏa mãn |x1 - x2 | ≥ 1 + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn[x1;x2 ] Theo Viét ta có + Với |x1 - x2 | ≥ 1 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4x1 x2 - 1 ≥ 0 Đối chiếu điều kiện ta có m ≤ -9. Câu 2: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - mx2 + (m + 36)x - 5 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2.
Ta có f'(x) = 3x2 - 2mx + m + 36 Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x1 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x1 |= 4√2v + f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 Theo Vi ét ta có + Với |x1 - x2 |= 4√2 ⇔ (x1+x2 )2 - 4x1 x2 - 32 = 0 Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 15; m = -12 Câu 3: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn
Hàm số đã cho xác định trên D = R. Ta có f'(x)= 3x2 + 6x + m; Δ' = 9 - 3m Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x1 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x2 |< 2√2 + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 9 - 3m > 0 m < 3 Theo định lý Vi – ét ta có: Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2√2 ⇔ l =|x1 - x2 | < 2√2 ⇔(x1 - x2 )2 = 8 ⇔(x1 + x2 )2 - 4x1 x2 = 8 ⇔ 4 - 4/3 m=8 ⇒ m = -3. Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = -3 Câu 4: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = -x3 + x2 - (2 - m)x + 1 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.
Hàm số đã cho xác định trên D = R. Ta có f'(x) = -3x2 + 2x - 2 + m; Δ' = -5 + m Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 2khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 | = 2 + f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= -5 + m > 0 ⇔ m > 5 Theo định lý Viét ta có: Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 ⇔ l =|x1 - x2 |= 2 ⇔(x1 - x2 )2 = 4 Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 14/3 Câu 5: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x + 2017 nghịch biến trên khoảng (a;b) sao cho b - a > 3.
Ta có y' = 6x2 + 6(m - 1)x + 6(m - 2) Hàm số nghịch biến trên (a;b) ⇔ x2 + (m - 1)x + (m - 2) ≤ 0 ∀ x ∈(a; b) Δ = m2 - 6m + 9 TH1: Δ ≤ 0 ⇒ x2 + (m - 1)x + (m - 2) ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇒Vô lí TH2: Δ > 0 ⇔ m ≠ 3 ⇒ y' có hai nghiệm x1,x2 (x2 > x1 ) ⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên (x1;x2 ). Yêu cầu đề bài: ⇔ x2 - x1 > 3 ⇔ (x2 - x1 )2 > 9 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4(x1.x2)>9 Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
tinh-don-dieu-cua-ham-so.jsp |
