N trong Tam giác Pascals là gì?

N trong Tam giác Pascals là gì?

Tam giác Pascal có nhiều mẫu và tính chất đáng ngạc nhiên. Ví dụ, chúng ta có thể hỏi. “Có bao nhiêu số lẻ ở hàng N của Tam giác Pascal?”

hàng N. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
số lẻ. 1 2 2 4 2 4 4 8 2 4 04 08 04 08 08 16 02 04 04 08 04

Có vẻ như câu trả lời luôn là lũy thừa của 2. Trên thực tế, điều sau đây là đúng

  • ĐỊNH LÝ. Số mục lẻ trong hàng N của Tam giác Pascal là 2 được nâng lên thành số 1 trong khai triển nhị phân của N

Thí dụ. Vì 83 = 64 + 16 + 2 + 1 có khai triển nhị phân (1010011) nên hàng 83 có 24 = 16 số lẻ

Đề xuất trình bày.
Trước khi đến lớp, yêu cầu học sinh cố gắng tự khám phá mẫu, trong CTNH hoặc điều tra theo nhóm.

Toán học đằng sau sự thật.
Chứng minh của chúng tôi sử dụng định lý nhị thức và số học mô-đun. Định lý nhị thức nói rằng

(1+x)N = SUMk=0 to N (N CHỌN k) xk

Nếu chúng ta giảm các hệ số mod 2, thì dễ dàng chỉ ra bằng quy nạp trên N rằng với N >= 0,

(1+x)2^N = (1+x2^N) [mod 2]

Như vậy

(1+x)10 = (1+x)8 (1+x)2 = (1+x8)(1+x2) = 1 + x2 + x8 + x10 [mod 2]

Vì hệ số của các đa thức này bằng nhau [mod 2] nên sử dụng định lý nhị thức ta thấy rằng (10 CHỌN k) là số lẻ với k = 0, 2, 8, và 10; . Tương tự, sản phẩm

(1+x)11 = (1+x8)(1+x2)(1+x1) [mod 2]

là một đa thức chứa 8=23 số hạng, là tích của 3 thừa số, mỗi thừa số có 2 cách chọn

Nói chung, nếu N có thể được biểu thị dưới dạng tổng của p luỹ thừa phân biệt của 2, thì (N CHỌN k) sẽ là số lẻ đối với 2p giá trị của k. Nhưng p chỉ là số 1 trong khai triển nhị phân của N, và (N CHỌN k) là các số ở hàng thứ N của tam giác Pascal. QED

Để biết cách chứng minh khác không sử dụng định lý nhị thức hoặc số học mô-đun, hãy xem tài liệu tham khảo. Để biết kết quả tổng quát hơn, hãy xem Định lý Lucas

(OEIS A007318). Công thức của Pascal cho thấy rằng mỗi hàng tiếp theo có được bằng cách cộng hai mục theo đường chéo ở trên,

N trong Tam giác Pascals là gì?

(3)

N trong Tam giác Pascals là gì?

Biểu đồ trên cho thấy các biểu diễn nhị phân cho các số hạng 255 (hình trên) và 511 (hình dưới) đầu tiên của tam giác Pascal phẳng

Số đầu tiên sau số 1 trong mỗi hàng chia hết tất cả các số khác trong hàng đó nếu nó là số nguyên tố

Tổng

N trong Tam giác Pascals là gì?
của số mục lẻ trong
N trong Tam giác Pascals là gì?
hàng đầu tiên của tam giác Pascal cho
N trong Tam giác Pascals là gì?
, 1 . là 0, 1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 27, 29, 33, 37, 45, 49,. (OEIS A006046). Thì đúng là

N trong Tam giác Pascals là gì?

(4)

(Harborth 1976, Le Lionnais 1983), với đẳng thức của

N trong Tam giác Pascals là gì?
lũy thừa 2 và lũy thừa
N trong Tam giác Pascals là gì?
của hằng số

N trong Tam giác Pascals là gì?

(5)

(OEIS A020857). Chuỗi tổng số lần nhập lẻ có một số thuộc tính đáng kinh ngạc và giá trị tối thiểu có thể

N trong Tam giác Pascals là gì?
(OEIS A077464) được gọi là hằng số Stolarsky-Harborth.

Tam giác Pascal chứa các số tượng trưng dọc theo các đường chéo của nó, như có thể thấy từ biểu thức

N trong Tam giác Pascals là gì?
N trong Tam giác Pascals là gì?
N trong Tam giác Pascals là gì?

(6)

(7)

Ngoài ra, tổng các phần tử của

N trong Tam giác Pascals là gì?
hàng thứ là

N trong Tam giác Pascals là gì?

(số 8)

do đó tổng của

N trong Tam giác Pascals là gì?
hàng đầu tiên (i. e. , các hàng từ 0 đến
N trong Tam giác Pascals là gì?
) là số Mersenne

N trong Tam giác Pascals là gì?

(9)

"Các đường chéo nông" của tam giác Pascal tổng bằng các số Fibonacci, i. e. ,

N trong Tam giác Pascals là gì?
N trong Tam giác Pascals là gì?
N trong Tam giác Pascals là gì?

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

và, nói chung,

N trong Tam giác Pascals là gì?

(16)

Số lần mà các số 2, 3, 4,. xảy ra trong tam giác Pascal được cho bởi 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4,. (OEIS A003016; Ogilvy 1972, trang. 96; . 93; . Tương tự, các số hàng trong đó các số 2, 3, 4,. xảy ra là 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2,. (OEIS A059233)

Đến hàng 210, các số

N trong Tam giác Pascals là gì?
N trong Tam giác Pascals là gì?
N trong Tam giác Pascals là gì?

(17)

(18)

(19)

đã xuất hiện sáu lần, nhiều hơn bất kỳ số nào khác (không bao gồm 1). Đến hàng 1540,

N trong Tam giác Pascals là gì?

(20)

hiện đã xảy ra sáu lần, theo hàng 3003,

N trong Tam giác Pascals là gì?

(21)

hiện đã xuất hiện 8 lần và đến hàng 7140, 7140 cũng đã xuất hiện 6 lần. Trên thực tế, các số xuất hiện năm lần trở lên trong tam giác Pascal là 1, 120, 210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310,. (OEIS A003015), không có mã nào khác cho đến

N trong Tam giác Pascals là gì?
.

Biết rằng có vô số số xuất hiện ít nhất 6 lần trong tam giác Pascal, đó là nghiệm của

N trong Tam giác Pascals là gì?

(22)

được cho bởi

N trong Tam giác Pascals là gì?
N trong Tam giác Pascals là gì?
N trong Tam giác Pascals là gì?

(23)

(24)

trong đó

N trong Tam giác Pascals là gì?
N trong Tam giác Pascals là gì?
số Fibonacci thứ (Singmaster 1975). Một số giá trị đầu tiên như vậy của
N trong Tam giác Pascals là gì?
cho
N trong Tam giác Pascals là gì?
, 2,. là 1, 3003, 61218182743304701891431482520,. (OEIS A090162).

Có một mối liên hệ bất ngờ giữa tam giác Pascal và các số Delannoy thông qua phân tách Cholesky (G. Mũ bảo hiểm, cá nhân. liên lạc. , tháng 8. 29, 2005). Hơn nữa, mặc dù cả hai không liên quan đến nhau về mặt toán học, nhưng cũng có một mối liên hệ mang tính thời sự giữa tam giác Pascal và cái gọi là tam giác bất hảo;

Tam giác Pascal (mod 2) hóa ra tương đương với sàng Sierpiński (Wolfram 1984; Crandall và Pomerance 2001; Borwein và Bailey 2003, trang. 46-47). Guy (1990) đưa ra một số tính chất bất ngờ khác của tam giác Pascal

Tại sao tổng hàng thứ n của Tam giác Pascal 2 n?

Đối với bất kỳ tập hợp con nào của tập hợp có n phần tử và đối với bất kỳ phần tử nào của tập hợp đó, tập hợp con đó có chứa phần tử đó hoặc không. Do đó, có 2n tập con khác nhau cho bất kỳ tập hợp n phần tử nào . Tất nhiên, đây là tổng, với i nằm trong khoảng từ 0 đến n, của số các tập con khác nhau có i phần tử, trong đó có (ni).

3 mẫu trong tam giác Pascal là gì?

Thuộc tính tam giác của Pascal . Tam giác cân . Đường chéo đầu tiên hiển thị các số đếm. Tổng của các hàng cho lũy thừa của 2.

Số thứ 10 trong hàng 20 của tam giác Pascal là gì?

Hàng thứ mười của tam giác Pascal là 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 .

Các giá trị trong hàng 8 của tam giác Pascal là gì?

Hàng 8 của tam giác Pascal là 1 8 28 56 70 56 28 8 1 . Chúng ta có thể thấy rằng tất cả các mục bên trong đều chia hết cho 2.