Trường hợp tổng quát Nếu P có bậc lớn hơn hoặc bằng bậc của Q thì phân thức có thể viết thành P/Q = T + R/Q (T, R lần lượt là thương và dư trong phép chia P : Q), tính tích phân hàm P/Q qui về tính tích phân của đa thức T và tích phân của hàm hửu tỉ R/Q. Việc tính tích phân của đa thức T không có gì khó khăn. Sau đây ta xét cách tính tích phân của phân thức R/Q trong đó R là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức Q. Trường hợp 2. Q là đa thức có bậc lớn hơn 2 Việc tính tích phân của phân thức R/Q với Q là đa thức có bậc lớn hơn 2 trong trường hợp tổng quát vượt quá kiến thức PT. Thường ta chỉ xét các trường hợp đặc biệt, chẵng hạn Q có thể phân tích thành nhân tử là các nhị thức bậc nhất hay tam thức bậc hai vô nghiệm. Từ đó ta có thể biến đổi phân thức R/Q thành các phân thức đơn giản hơn, có mẫu là nhị thức, tam thức nói trên; và bài toán như thế cũng qui về tính tích phân có dạng I.1-4 . Một số trường hợp khác đổi biến thích hợp giúp ta đưa tích phân về dạng quen thuộc dđơn giản... Show
Để học tốt Giải tích 12, phần này giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 được biên soạn bám sát theo nội dung sách Giải tích 12. Quảng cáo
Quảng cáo
Quảng cáo
Bài giảng: Bài 2 : Tích phân - Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên VietJack) Các bài giải Giải tích 12 Chương 3 khác:
Săn SALE shopee tháng 12:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tích phân là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán học 12. Nắm chắc lý thuyết, phương pháp tính tích phân cơ bản sẽ giúp các em giải nhanh và chính xác các bài tập liên quan và đạt điểm cao trong các kỳ thi. Vì thế, trong bài viết này, Marathon Education sẽ giúp các em tìm hiểu chi tiết tích phân là gì và những phương pháp tính tích phân cơ bản thường gặp. Định nghĩa tích phân Để học tốt tích phân, trước tiên các em cần nắm vững lý thuyết tích phân là gì. Xét hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì F(b) – F(a) chính là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), hay còn gọi là tích phân được xác định trên đoạn [a;b]. Cụ thể: \intop^b_a f(x)dx=F(x)|^b_a=F(b)-F(a) Tính chất của tích phânĐể giải các bài toán tích phân, các em cần nắm được những tính chất cơ bản sau của tích phân: Phương pháp tính tích phânKhi giải các bài tập tích phân, các em có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau. Trong đó, 2 phương pháp cơ bản được áp dụng nhiều nhất là đổi biến số và tích phân từng phần. Phương pháp đổi biến sốCho hàm số f(x) được xác định và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b]. Các em có thể sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân. Công thức đổi biến số cụ thể: \intop^b_af(u)u'(x)dx=\intop^{u(b)}_{u(a)}f(u)du Sau đây là các dạng tích phân và cách đổi biến số thường gặp mà các anh chị Marathon đã tổng hợp được. Các em hãy tham khảo và áp dụng để giải bài tập: Phương pháp tích phân từng phầnCác em nên áp dụng phương pháp tích phân từng phần để giải nhanh chóng và chính xác những bài tập mà hàm số đã cho thuộc dạng:
Công thức tích phân từng phần : \intop^b_au(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|^b_a-\intop^b_au'(x)v(x)dx Các dạng bài tập tích phân cơ bảnDạng 1: Hàm logaritVí dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số: I=\intop^1_0e^x(2e^x+1)^3dx Bài giải: Ta có: \begin{aligned} I&=\intop^1_0e^x(2e^x+1)^3dx\ &=\frac{1}{2}\intop^1_0(2e^x+1)^3d(2e^x+1)\ &=\left.\frac{1}{2}.\frac{(2e^x+1)^4}{4}\right|^1_0\ &=\frac{1}{2}\left[\frac{(2e+1)^4}{4}-\frac{81}{4} \right]\ &=\frac{(2e+1)^4}{8}-\frac{81}{8} \end{aligned} Dạng 2: Hàm phân thứcVí dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số: I=\intop^4_3\frac{x+1}{x-2}dx Bài giải: Ta có: \begin{aligned} I&=\intop^4_3\frac{x+1}{x-2}dx\ &=\intop^4_3\left(1+\frac{3}{x-2}\right)dx\ &=[x+3ln(x-2)|^4_3\ &=(4+3ln2)-(3+ln1)\ &=1+3ln2 \end{aligned} Dạng 3: Hàm căn thứcVí dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số: I=\intop^4_0\sqrt{2x+1}dx Bài giải: Ta có: \begin{aligned} I&=\intop^4_0\sqrt{2x+1}dx\ &=\frac{1}{2}\intop^4_0\sqrt{2x+1}d(2x+1)\ &=\left.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}(2x+1)\sqrt{2x+1}\right|^4_0\ &=9-\frac{1}{3}=\frac{26}{3} \end{aligned} Dạng 4: Hàm đa thứcVí dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số: I=\intop^1_0(3x^2+2x-1)dx Bài giải: Ta có: \intop^b_af(u)u'(x)dx=\intop^{u(b)}_{u(a)}f(u)du 0 Dạng 5: Hàm lượng giácVí dụ: Tính tích phân của hàm số: \intop^b_af(u)u'(x)dx=\intop^{u(b)}_{u(a)}f(u)du 1 Bài giải: Ta có: \intop^b_af(u)u'(x)dx=\intop^{u(b)}_{u(a)}f(u)du 2 Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education Qua bài viết này, Team Marathon Education đã giúp các em hiểu thêm định nghĩa tích phân. Bên cạnh đó, các em biết được những phương pháp tính tích phân cũng như những dạng bài tập cơ bản. Hy vọng, những kiến thức này sẽ giúp ích cho các em trong quá trình học và ôn tập cho các kỳ thi quan trọng. Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới! |
