Tam giác Pascal che giấu một số lượng lớn các mẫu khác nhau, nhiều mẫu do chính Pascal phát hiện và thậm chí còn được biết đến trước thời đại của ông Show  Tam giác Pascal đối xứngXét về các hệ số nhị thức, $C^{n}_{m} = C^{n}_{n-m}. $ Điều này suy ra từ công thức cho hệ số nhị thức $\displaystyle C^{n}_{m}=\frac{n. {m. (n-m). }. $ Nó cũng được ngụ ý bởi việc xây dựng tam giác, i. e. , bằng cách giải thích các mục dưới dạng số cách đi từ đỉnh đến một điểm đã cho trong tam giác Một số tác giả thậm chí còn xem xét một ký hiệu đối xứng (tương tự với các hệ số tam thức) $\displaystyle C^{n}_{m}={n \choose m\space\space s}$ trong đó $s = n - m. $ Tổng các mục trong hàng $n$ bằng $2^{n}$Đây là Hệ quả 8 của Pascal và có thể chứng minh bằng quy nạp. Điểm chính trong lập luận là mỗi mục trong hàng $n,$ nói $C^{n}_{k}$ được thêm vào hai mục bên dưới. một lần để tạo thành $C^{n + 1}_{k}$ và một lần để tạo thành $C^{n + 1}_{k+1}$ theo sau từ Danh tính của Pascal $C^{n + 1}_{k} = C^{n}_{k - 1} + C^{n}_{k},$ Vì lý do này, tổng các mục trong hàng $n + 1$ gấp đôi tổng các mục trong hàng $n. $ (Đây là Hệ quả Pascal 7. ) Hệ quả là ta có Hệ quả Pascal 9. Trong mọi tam giác số học, mỗi cơ số lớn hơn một đơn vị tổng của tất cả các cơ sở trước đó. Nói cách khác, $2^{n} - 1 = 2^{n-1} + 2^{n-2} +. + 1. $ Có những dãy số nổi tiếngMột số trình tự đó được quan sát tốt hơn khi các số được sắp xếp theo dạng Pascal trong đó do tính đối xứng, các hàng và cột có thể hoán đổi cho nhau Hàng đầu tiên chỉ chứa $1$s. $1, 1, 1, 1, \ldots$ "Pentatope" là một thuật ngữ gần đây. Về hàng thứ năm, Pascal đã viết rằng. vì không có tên cố định cho chúng, chúng có thể được gọi là số tam giác. Các số ngũ giác tồn tại trong không gian $4D$ và mô tả số đỉnh trong cấu hình gồm các tứ diện $3D$ được nối với nhau tại các mặt Trong cấu hình tiêu chuẩn, các số $C^{2n}_{n}$ thuộc trục đối xứng. Các số $\frac{1}{n+1}C^{2n}_{n}$ được gọi là số Catalan Cứ hai số tam giác liên tiếp cộng lại được một hình vuông. $(n - 1)n/2 + n(n + 1)/2 = n^{2}. $ Mẫu gậy khúc côn cầuTheo cách nói của Pascal (và có liên quan đến cách sắp xếp của ông), Trong mọi tam giác số học, mỗi ô bằng tổng tất cả các ô của hàng trước đó tính từ cột của nó đến cột đầu tiên (Hệ quả 2). Trong thuật ngữ hiện đại, (1) $C^{n + 1}_{m} = C^{n}_{m} + C^{n - 1}_{m - 1} + \ldots + C^{n - m}_{0 . $ Lưu ý rằng ở bên phải, hai chỉ số trong mọi hệ số nhị thức vẫn cách nhau một khoảng bằng nhau. $n - m = (n - 1) - (m - 1) = \ldots$ Điều này cho phép viết lại (1) dưới dạng hơi khác (1') $C^{m + r + 1}_{m} = C^{m + r}_{m} + C^{m + r - 1}_{m - 1} + \ldots + C^{r . $ Hình thức thứ hai có thể được quy nạp dễ dàng bằng triệu đô la. $ Với $m = 0,$ $C^{r + 1}_{0} = 1 = C^{r}_{0},$ số hạng duy nhất bên phải. Giả sử (1') đúng cho $m = k,$ let $m = k + 1. $ $\begin{align} C^{k + r + 2}_{k + 1} &= C^{k + r + 1}_{k + 1} + C^{k + r + 1}_{ . \end{align}$ Đương nhiên, một danh tính tương tự được giữ sau khi hoán đổi "hàng" và "cột" trong cách sắp xếp của Pascal. Trong mọi tam giác số học, mỗi ô bằng tổng của tất cả các ô của cột trước đó từ hàng của nó đến hàng đầu tiên, bao gồm cả (Hệ quả 3) (2) $C^{n + 1}_{m + 1} = C^{n}_{m} + C^{n - 1}_{m} + \ldots + C^{0}_{m}, trong đó chỉ số thứ hai được cố định Mẫu hình bình hành(3) $C^{n + 1}_{m} - 1 = \sum C^{k}_{j},$ trong đó $k \lt n,$ $j \lt m. $ Theo cách nói của Pascal. Trong mọi tam giác số học, mỗi ô bị giảm đi bởi một đơn vị bằng tổng của tất cả những ô được bao gồm giữa hạng vuông góc và hạng song song của nó, riêng (Hệ quả 4). Điều này được thể hiện bằng cách liên tục mở số hạng đầu tiên trong (1) Dãy số FibonacciNếu chúng ta sắp xếp tam giác theo cách khác, việc phát hiện dãy Fibonacci sẽ trở nên dễ dàng hơn Các số Fibonacci liên tiếp là tổng của các phần tử trên các đường chéo sw-ne $\begin{align} 1 &= 1\\ 1 &= 1\\ 2 &= 1 + 1\\ 3 &= 1 + 2\\ 5 &= 1 + 3 + 1\\ 8 &= 1 + 4 Ngôi sao của Đa-vítHai đồng nhất thức sau đây giữa các hệ số nhị thức được gọi là "Ngôi sao của Định lý David" $C^{n-1}_{k-1}\cdot C^{n}_{k+1}\cdot C^{n+1}_{k} = C^{n . $ Lý do cho biệt danh trở nên rõ ràng khi quan sát cấu hình của các hệ số trong Tam giác Pascal Tony Foster quan sát thấy rằng với $k=1,$ $\displaystyle C^{n-2}_{k-1}\cdot C^{n-1}_{k+1}\cdot C^{n}_{k}=\frac{(n-2 để có thể $\displaystyle\begin{align} \prod_{m=1}^{N}\bigg[C^{3m-1}_{0}\cdot C^{3m}_{2}\cdot C^{3m . \end{align}$ Không phải không có $e$Harlan Brothers gần đây đã phát hiện ra hằng số cơ bản $e$ ẩn trong Tam giác Pascal; $S_{n}$ là tích của các số hạng ở hàng thứ $n$, khi đó, vì $n$ có xu hướng tiến đến vô cùng, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{s_{n-1}s_{n+1}}{s_{n}^{2}} = e. $ Tôi đã đặt đạo hàm vào một tệp riêng Số CatalunyaBài đăng của Tony Foster tại trang facebook CutTheKnotMath đã chỉ ra mô hình che giấu các số Catalan Tôi đã đặt phần làm sáng tỏ vào một tệp riêng Tổng của các nghịch đảo nhị thứcMột bài đăng trên trang facebook CutTheKnotMath của Daniel Hardisky đã khiến tôi chú ý đến mẫu sau Tôi đã đặt dẫn xuất vào một tệp riêng hình vuôngNhư tôi đã đề cập trước đó, tổng của hai số tam giác liên tiếp là một hình vuông. $(n - 1)n/2 + n(n + 1)/2 = n^{2}. $ Tony Foster đã đưa ra những cảnh tượng về cả một gia đình danh tính dẫn đến một hình vuông Ví dụ, $C^{n+2}_{3} - C^{n}_{3} = n^{2}. $ và cũng $C^{n+3}_{4} - C^{n+2}_{4} - C^{n+1}_{4} + C^{n}_{4} = n^{ . $ Tôi đã đặt dẫn xuất vào một tệp riêng Bình phương của nhị thức$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(C^{n}_{k})^{2}=C^{2n}_{n}. $ Tôi đã đặt dẫn xuất vào một tệp riêng KhốiNgười không mệt mỏi Tony Foster đã tìm thấy các hình khối trong tam giác Pascal theo một mô hình mà ông gọi một cách chính xác là Ngôi sao của David - một sự xuất hiện khác của phép so sánh đó trong tam giác Pascal $\displaystyle n^{3}=\bigg[C^{n+1}_{2}\cdot C^{n-1}_{1}\cdot C^{n}_{0}\bigg] . $ Đây là đồ họa ban đầu của anh ấy giải thích tên gọi Có một mẫu thứ hai - "Bánh xe ngựa" - hiển thị các số vuông Tôi đã đặt dẫn xuất vào một tệp riêng $pi$ trong PascalĐiều này là do Daniel Hardisky $\displaystyle\pi = 3+\frac{2}{3}\bigg(\frac{1}{C^{4}_{3}}-\frac{1}{C^{6}_{3 . $ Tôi đã đặt dẫn xuất vào một tệp riêng Sản phẩm của hệ số nhị thứcĐối với số nguyên $n\gt 1,\;$ đặt $\displaystyle P(n)=\prod_{k=0}^{n}{n\choose k}\;$ là tích của tất cả các hệ số nhị thức trong . sau đó Có bao nhiêu hàng trong tam giác Pascal?Ở Ý, tam giác Pascal được gọi là tam giác Tartaglia, được đặt tên theo nhà đại số người Ý Niccolò Fontana Tartaglia (1500–1577), người đã xuất bản sáu hàng of the triangle in 1556.
Số thứ 10 trong hàng 20 của tam giác Pascal là gì?Hàng thứ mười của tam giác Pascal là 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 .
Mỗi hàng được đánh số trong Pascal đại diện cho cái gì?Trong tam giác pascal, mỗi số mới nằm giữa hai số trở xuống và giá trị của nó là tổng của hai số trên. Tam giác này được sử dụng trong các loại điều kiện xác suất khác nhau. Ở đây mỗi hàng đại diện cho hệ số khai triển của (x + y) n. |
