Tam giác Pascal là cách sắp xếp các số theo hình tam giác cung cấp các hệ số trong khai triển của bất kỳ biểu thức nhị thức nào. Các số được sắp xếp sao cho chúng phản ánh dưới dạng một hình tam giác. Đầu tiên, 1 được đặt ở trên cùng, sau đó chúng tôi bắt đầu đặt các số theo mô hình tam giác. Các số mà chúng tôi nhận được trong mỗi bước là phép cộng của hai số trên. Nó tương tự như khái niệm về số tam giác. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về lịch sử tam giác Pascal, định nghĩa, tính chất, quy luật, công thức và ví dụ có giải thích đầy đủ Mục lục Show
Lịch sử Tam giác PascalBlaise Pascal sinh ra tại Clermont-Ferrand, thuộc vùng Auvergne của Pháp vào ngày 19 tháng 6 năm 1623. Năm 1653, ông viết Chuyên luận về Tam giác số học mà ngày nay được gọi là Tam giác Pascal. Mặc dù các nhà toán học khác ở Ba Tư và Trung Quốc đã độc lập phát hiện ra tam giác vào thế kỷ thứ mười một, nhưng hầu hết các tính chất và ứng dụng của tam giác đều do Pascal khám phá. Tam giác này là một trong nhiều đóng góp của Pascal cho toán học. Ông cũng đưa ra những định lý quan trọng trong hình học, khám phá ra nền tảng của xác suất và phép tính, đồng thời phát minh ra máy tính Pascaline. Tuy nhiên, ông được biết đến nhiều nhất với những đóng góp cho tam giác Pascal Định nghĩa tam giác PascalHầu hết mọi người được giới thiệu về tam giác Pascal thông qua một bộ quy tắc có vẻ tùy ý. Bắt đầu với số 1 ở trên cùng và với số 1 chạy dọc theo hai cạnh của tam giác. Mỗi số mới nằm giữa hai số và bên dưới chúng và giá trị của nó là tổng của hai số trên nó. Tam giác lý thuyết là vô hạn và tiếp tục đi xuống mãi mãi, nhưng chỉ có 6 dòng đầu tiên xuất hiện trong hình 1. Nhiều hàng của tam giác Pascal được liệt kê trong hình cuối cùng của bài viết này. Một cách khác để mô tả tam giác là xem dòng đầu tiên là một chuỗi vô hạn các số không ngoại trừ một số 1 duy nhất. Để có được các dòng liên tiếp, hãy cộng mọi cặp số liền kề và viết tổng giữa và bên dưới chúng. Phần khác 0 là tam giác Pascal Xây dựng tam giác PascalCách dễ nhất để dựng hình tam giác là bắt đầu từ hàng 0 và chỉ viết số một. Từ đó, để có được các số trong các hàng tiếp theo, hãy thêm số ngay phía trên và bên trái của số với số ở trên và bên phải của nó. Nếu không có số nào ở bên trái hoặc bên phải, hãy thay số 0 vào số còn thiếu đó và tiếp tục cộng. Dưới đây là hình minh họa các hàng từ 0 đến 5 Từ hình trên, nếu nhìn theo đường chéo, đường chéo thứ nhất là dãy đơn vị, đường chéo thứ hai là dãy số đếm, đường chéo thứ ba là dãy số tam giác, v.v. Công thức tam giác PascalCông thức tìm phần tử ở hàng thứ n và cột thứ k của tam giác pascal được cho bởi \(\begin{array}{l}i. e. ,{n \choose k}\end{array} \) Các phần tử của các hàng và cột sau có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức dưới đây \(\begin{array}{l}Pascal\ Triangle\ Formula = {n \choose k}= {n-1 \choose k-1}+ {n-1 \choose k}\end{array} \) Ở đây, n là một số nguyên không âm bất kỳ và 0 ≤ k ≤ n Ký hiệu trên có thể được viết là \(\begin{array}{l}{n \choose k} (i. e. , n\ choose\ k) = C(n, k) = \ ^{n}C_{k} = \frac{n. }{[k. (n-k). ]}\end{mảng} \) Mô hình nhận các hệ số nhị thức này được gọi là quy tắc Pascal. Khai triển nhị thức PascalTam giác Pascal xác định các hệ số xuất hiện trong khai triển nhị thức. Điều đó có nghĩa là hàng thứ n của tam giác Pascal bao gồm các hệ số của biểu thức khai triển của đa thức (x + y)n. Khai triển của (x + y)n là. (x + y)n = a0xn + a1xn-1y + a2xn-2y2 + … + an-1xyn-1 + anyn trong đó các hệ số dạng ak chính xác là các số ở hàng thứ n của tam giác Pascal. Điều này có thể được thể hiện như. \(\begin{array}{l}a_{k}= {n \choose k}\end{array} \) Ví dụ: chúng ta hãy mở rộng biểu thức (x + y)n cho n = 3. (x + y)3 = 3C0x3 + 3C1 x2y + 3C2 xy2 + 3C3 x0y3 = (1)x3 + (3)x2y + (3)xy2 + ( Ở đây, các hệ số 1, 3, 3, 1 đại diện cho các phần tử ở hàng thứ 3 của tam giác pascal Cách sử dụng Tam giác Pascal?Tam giác Pascal có thể được sử dụng trong các điều kiện xác suất khác nhau. Giả sử nếu chúng ta tung đồng xu một lần, thì chỉ có hai khả năng nhận được kết quả là Ngửa (H) hoặc Sấp (T) Nếu chúng ta tung nó hai lần, thì có một khả năng nhận được cả hai mặt ngửa là HH và cả hai đều là mặt TT, nhưng có hai khả năng nhận được ít nhất một Mặt ngửa hoặc một Mặt ngửa, i. e. HT hoặc TH Bây giờ bạn có thể xem tam giác Pascal sẽ giúp ích như thế nào ở đây. Vì vậy, hãy xem bảng được đưa ra ở đây dựa trên số lần tung và kết quả Số lần tung Số lần kết quả Tam giác Pascal 1H T 1,12 HHHTTH TT 1, 2, 13 HHHHHT, HTH, THH HTT, THT, TTH TTT 1,3,3,1Chúng ta cũng có thể mở rộng nó bằng cách tăng số lần tung Mô hình tam giác PascalBổ sung các hàngMột trong những tính chất thú vị của tam giác là tổng các số trong một hàng bằng 2n trong đó n tương ứng với số hàng 1 = 1 = 20 1 + 1 = 2 = 21 1 + 2 + 1 = 4 = 22 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24 Số nguyên tố trong tam giácMột mô hình khác có thể nhìn thấy trong tam giác liên quan đến các số nguyên tố. Nếu một hàng bắt đầu bằng một số nguyên tố hoặc là một hàng được đánh số nguyên tố thì tất cả các số trong hàng đó (không tính số 1) đều chia hết cho số nguyên tố đó. Nhìn vào hàng 5 (1 5 10 10 51) ta thấy 5 và 10 chia hết cho 5. Tuy nhiên, đối với một hàng được đánh số hỗn hợp, chẳng hạn như hàng 8 (1 8 28 56 70 56 28 8 1), 28 và 70 không chia hết cho 8 Dãy Fibonacci trong Tam giácBằng cách cộng các số trong các đường chéo của tam giác Pascal, dãy Fibonacci có thể thu được như trong hình dưới đây Có nhiều cách khác nhau để hiển thị các số Fibonacci trên tam giác Pascal. r. Knott đã có thể tìm thấy Fibonacci xuất hiện dưới dạng tổng của các “hàng” trong tam giác Pascal. Anh ta di chuyển tất cả các hàng về một vị trí và ở đây tổng của các cột sẽ biểu thị các số Fibonacci Tính chất tam giác Pascal
Đây là phiên bản 18 dòng của tam giác pascal; bài học videotam giác pascalVí dụ về Tam giác Pascalví dụ 1 Tìm phần tử thứ ba trong hàng thứ tư của tam giác Pascal Giải pháp Để tìm. Phần tử thứ 3 ở hàng thứ 4 của tam giác Pascal Như chúng ta biết rằng hàng thứ n của tam giác Pascal được cho là nC0, nC1, nC2, nC3, v.v. Do đó, công thức cho tam giác Pascal được đưa ra bởi nCk = n-1Ck-1 + n-1Ck Ở đây, nCk đại diện cho phần tử thứ (k+1) trong hàng thứ n Bây giờ, để xác định phần tử thứ 3 ở hàng thứ 4, chúng ta phải tính 4C2 Do đó, 4C2 = 4-1C2-1 + 4-1C2 4C2 = 3C1 + 3C2 4C2 = 3 + 3 [Vì 3C1 = 3, 3C2 = 3] 4C2 = 6 Do đó, phần tử thứ ba trong hàng thứ tư của tam giác Pascal là 6 ví dụ 2 Xác định hệ số khai triển của (x+y)2 bằng tam giác Pascal Giải pháp Như chúng ta biết rằng hệ số khai triển của (x+y)2 phải là các phần tử ở hàng thứ hai của tam giác Pascal Vì các phần tử ở hàng thứ 2 của tam giác Pascal là 1, 2, 1 nên các hệ số khai triển của (x+y)2 phải là 1, 2, 1 Câu hỏi thực hành về Tam giác PascalGiải các bài toán sau dựa vào tam giác Pascal
Câu hỏi thường gặp về Tam giác PascalTam giác Pascal là dãy số hình tam giác bắt đầu bằng số 1 ở trên cùng và số 1 chạy dọc theo hai cạnh của tam giác. Mỗi số mới nằm giữa hai số và bên dưới chúng và giá trị của nó là tổng của hai số trên nó Tam giác Pascal có nhiều ứng dụng trong Toán học, chẳng hạn như trong đại số, lý thuyết xác suất, tổ hợp, thống kê, v.v. Tam giác Pascal có thể được sử dụng để tính toán các kết hợp Các mẫu tìm thấy trong tam giác Pascal là Hàng thứ năm của tam giác Pascal là 1 5 10 10 5 1. Tổng các phần tử trong hàng thứ năm của tam giác Pascal là 32, có thể được xác minh bằng công thức, 2n. (tôi. đ) 2n = 32 Đúng, tam giác Pascal có dạng đối xứng. Các số ở phía bên trái của tam giác có các số phù hợp giống hệt nhau ở phía bên phải. Do đó ta có thể nói tam giác Pascal là tam giác đối xứng |