Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x 4

Hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\,\left( {ad \ne bc} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' < 0\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{m}{4}} \right\}\). Ta có \(y' = \dfrac{{{m^2} - 36}}{{{{\left( {4x + m} \right)}^2}}}\).

Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;4} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}y' < 0\\ - \dfrac{m}{4} \notin \left( {0;4} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 36 < 0\\\left[ \begin{array}{l} - \dfrac{m}{4} \le 0\\ - \dfrac{m}{4} \ge 4\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6 < m < 6\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \le  - 16\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m < 6\).

adsense

A. \(17\) .

 B. \(15\) .

 C. \(3\) .

 D. \(7\) .

Lời giải:

Chọn B

Ta có: \(y’ =  – 4{x^3} + 12x + m\) . Xét phương trình \(y’ = 0 \Leftrightarrow  – 4{x^3} + 12x + m = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) .

adsense

Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình \(\left( 1 \right)\) phải có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = 4{x^3} – 12x\) .

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 4{x^3} – 12x\) có \(g’\left( x \right) = 12{x^2} – 12\) . Cho \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} – 12 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\) .

Bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình \(\left( 1 \right)\) có 3 nghiệm phân biệt khi \( – 8 < m < 8\) .

Chọn B

Ta có: y'=−4x3+12x+m. Xét phương trình y'=0⇔−4x3+12x+m=0      1.

Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình (1) phải có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có: 1⇔m=4x3−12x.

Xét hàm số gx=4x3−12x có g'x=12x2−12. Cho g'x=0⇔12x2−12=0⇔x=±1.

Bảng biến thiên của gx

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi −8<m<8.

Do m∈ℤ⇒m∈−7,−6,−5,...,5,6,7.

Vậy có 15 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu đề bài.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m - 8 < 0\\\frac{m}{2} \notin \left( { - 3;4} \right) \Leftrightarrow m \in \left( { - 6;8} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 8\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 8\\m \le - 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 8\\ - 8 < m \le - 6\end{array} \right.\).