Cách tìm Imf và Kerf của ma trận

We’ve updated our privacy policy so that we are compliant with changing global privacy regulations and to provide you with insight into the limited ways in which we use your data.

You can read the details below. By accepting, you agree to the updated privacy policy.

Thank you!

View updated privacy policy

We've encountered a problem, please try again.

Bài tập đại số tuyến tính: Ánh xạ tuyến tính
Dạng 1 Chứng minh một ánh xạ là ánh xạ tuyến tính
u, v  V : f (u  v)  f (u)  f (v)
Phương pháp f : V  V1 là ánh xạ tuyến tính  
k  R,u  V : f (ku)  kf (u)

Ví dụ 1 Cho f :

3



2

, f (x, y, z)  (x  y, z  x) . Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

Giải Xét u  (x, y,z), v  (x1 , y1 ,z1 ) 

3

;k  . Ta có u  v  (x  x1 , y  y1 ,z  z1 )

 f (u  v)   (x  x1 )  (y  y1 ),(z  z1 )  (x  x1 )    (x  y)  (x1  y1 ),(z  x)  (z1  x1 ) 
 (x  y,z  x)  (x1  y1 ,z1  x1 )  f (u)  f (v) (1)

ku  (kx,ky,kz)  f (ku)  (kx  ky,kz  kx)  k(x  y,z  x)  kf (u) (2)
Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính.
Ví dụ 2 Cho f : P2 

2

,f (ax 2  bx  c)  (a  c,b) . Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.

Giải Xét p  ax 2  bx  c,q  a1x 2  b1x  c1  P2 ,k 

. Ta có p  q  (a  a1 )x 2  (b  b1 )x  (c  c1 ) Suy ra

f (p  q)  f ((a  a1 )x 2  (b  b1 )x  (c  c1 ))  ((a  a1 )  (c  c1 ),b  b1 )  ((a  c)  (a1  c1 ),b  b1 )
 (a  c,b)  (a1  c1 ,b1 )  f (p)  f (q) (1)

kp  kax 2  kbx  kc suy ra f (kp)  f (kax 2  kbx  kc)  (ka  kc,kb)  k(a  c,b)  kf (p) (2)
Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính.
Ví dụ 3 Cho f : M 2 

3

a b
,f  
   (a  b  c,d, 0) . Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
 c d

 a1 b1 
a b
Giải Xét A  
  M 2 ,k 
 ;B  
c d
 c1 d1 

 a  a1
. Ta có A  B  

 c  c1

b  b1 
 . Suy ra
d  d1 

  a  a1 b  b1  
f (A  B)  f  
   ((a  a1 )  (b  b1 )  (c  c1 ),(d  d1 ), 0)  (a  b  c,d, 0)  (a 1  b1  c1 ,d1 , 0)
  c  c1 d  d1  

 f (A)  f (B) (1).
  ka kb  
 ka kb 
kA  
  f (kA)  f  
   (ka  kb  kc, kd, 0)  k(a  b  c,d, 0)  kf (A) (2)
 kc kd 
  kc kd  

Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính.
Dạng 2 Tìm nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính f : V  V1
Phương pháp Tìm Kerf : Giả sử u  Kerf  f (u)   . Từ đó dẫn đến mô tả cho Kerf

Tìm Imf : Xét một cơ sở U  u1 ,u 2 ,...,u n  của không gian nguồn V. Khi đó Imf  L  f (u1 ),f (u 2 ),...,f (u n ) 
Ví dụ 1 Cho f :

3



2

,f (x, y,z)  (x  z, y  z) . Tìm Imf và Kerf.

x  z
Giải Tìm Kerf: Giả sử u  (x, y, z)  Kerf  f (u)    (x  z, y  z)  (0, 0)  
 u  (z, z,z), z 
 y  z

Vậy Kerf  u  (z, z,z) | z 



Tìm Imf: Xét cơ sở u1  (1, 0, 0);u 2  (0,1, 0);u 3  (0, 0,1) của

3

. Ta có f (u1 )  f (1, 0, 0)  (1, 0)  v1;

f (u 2 )  f (0,1, 0)  (0,1)  v2 ;f (u 3 )  f (0, 0,1)  ( 1,1)  v3 . Vậy Imf  L v 1,v 2,v 3 

Nhận xét: Do Imf là không gian con của
Ví dụ 2 Cho f :

2



3

2

và dễ thấy dimImf  2 nên Imf 

2

, f (x, y)  (x  y, y, x) . Tìm Kerf và Imf.

Giải Tìm Kerf: Giả sử u  (x, y)  Kerf  f (u)    (x  y, y, x)  (0, 0, 0)  x  y  0  u  (0, 0)
Vậy Kerf  u  ( 0, 0) 
Tìm Imf: Xét cơ sở u1  (1, 0),u 2  (0,1) của

2

. Ta có f (u1 )  f (1, 0)  (1, 0,1)  v1;f (u 2 )  f (0,1)  (1,1, 0)  v 2

Vậy Imf  L(v 1,v 2)
Ví dụ 3 Cho f : P2 

3

, f (ax 2  bx  c)  (a  b,b  c,c  a) . Tìm Kerf và Imf.

a  b  0
 a  c

Giải Tìm Kerf: Giả sử p  ax  bx  c  Kerf  (a  b, b  c,c  a)  (0, 0, 0)  b  c  0  
b  c

c  a  0

2

 p  cx 2  cx  c . Vậy Kerf  p  cx 2  cx  c | c 



Tìm Imf: Xét cơ sở p1  1;p2  x;p3  x 2  của P2 . Ta có f (p1 )  f (1)  (0, 1,1)  v1;f (p2 )  f (x)  (1,1, 0)  v 2 ;

f (p3 )  f (x 2 )  (1, 0,1)  v3 . Vậy Imf  L(v 1,v 2,v 3)
Ví dụ 4 Cho f : P2 

2

, f (ax 2  bx  c)  (a  b  c,c) . Tìm Kerf và Imf

a   b
a  b  c  0 
 b 
Giải Tìm Kerf: Giả sử p  ax  bx  c  Kerf  (a  b  c,c)  (0, 0)  
c  0
c  0

2

 p  bx 2  bx . Vậy Kerf  p  bx 2  bx | b 



Tìm Imf: Xét cơ sở p1  1,p2  x,p3  x 2  của P2 . Ta có f (p1 )  f (1)  (1,1)  v1 ,f (p2 )  f (x)  (1, 0)  v2 ,

f (p3 )  f (x 2 )  (1, 0)  v3 . Vậy Imf  L(v 1,v 2)

Ví dụ 5 Cho f : M 2 

3

a b
,f  
   (a  b, b  c,c  d) . Tìm Kerf , Imf
 c d

a   d
a  b  0 
a b
 d d 

 b  d
Giải Tìm Kerf: Xét A  
A
  Kerf  (a  b, b  c,c  d)  (0, 0, 0)  b  c  0  

c d
 d d 
c  d  0
c  d



d 


 d d 

Vậy Kerf  A  
| d

 d d 









1 0
0 1
0 0
 0 0 


Tìm Imf: Xét cơ sở A1  
 , A2  
 , A3  
 , A4  
  của M 2 . Ta có


0 0
0 0
1 0
 0 1 


f (A1 )  (1, 0, 0)  v1 ,f (A2 )  (1,1, 0)  v2 ,f (A3 )  (0, 1,1)  v3 ,f (A 4 )  (0, 0,1)  v 4 . Vậy Imf  L(v 1,v 2,v 3,v 4)

Dạng 3 Xác định ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V  V1 trong cơ sở U  u1 ,u 2 ,...,u n  của V và U1  s1 ,s2 ,...,s m 
của V1
Phương pháp Tìm ảnh của các véc tơ trong cơ sở U: f (u1 )  v1 ,f (u 2 )  v2 ,...,f (u n )  vn
Khi đó ma trận A có cột thứ i là viU 
1

Ví dụ 1 Cho f :

3



2

,f (x, y,z)  (x  z, x  y) . Tìm ma trận của f trong cơ sở

U  u1  (1, 2,1),u 2  (0,1, 1),u 3  (0,1, 0) của

3

và U1  s1  (1, 2);s2  (1, 3) của

2

Giải Ta có f (u1 )  f (1, 2,1)  (2, 1)  v1 ,f (u 2 )  f (0,1, 1)  (1, 1)  v 2 ,f (u 2 )  f (0, 1, 0)  (0, 1)  v3 . Xét

k  k 2  2
k  5
v1  k1s1  k 2s2  (2, 1)  k1 (1, 2)  k 2 (1, 3)  (2, 1)  (k1  k 2 , 2k1  3k 2 )   1
 1
2k1  3k 2  1 k 2  3
 5
 3 
 1
 5 3 1
Vậy v1U     . Tương tự v1U     , v1U     .Ma trận cần tìm là A  

1
1
1
 3
 4 
 1
 3 4 1

Ví dụ 2 Cho f : P2 

3

,f (ax 2  bx  c)  (a  b  c,a  b,c) . Tìm ma trận của f trong cơ sở

U  p1  x 2  x  1,p2  x 2  2x,p3  2x  1 của P2 và U1  s1  (2,1, 0),s2  (1,1,1),s3  (1, 0, 0) của

Giải Ta có f (p1 )  f (x 2  x  1)  (1, 2, 1)  v1 ,f (p2 )  f (x 2  2x)  (3, 3, 0)  v 2 ;f (p3 )  f (2x  1)  (3, 2,1)  v3
Xét v1  k1s1  k 2s2  k 3s3  (1, 2, 1)  k1 (2,1, 0)  k 2 (1,1,1)  k 3 (1, 0, 0)  (1, 2, 1)  (2k1  k 2  k 3 ,k1  k 2 ,k 2 )
2 k 1  k 2  k 3  1  k 1  3
 3
3
1


 
 
 
  k1  k 2  2
 k 2  1 . Vậy v1 U1    1  . Tương tự v2 U1    0  ; v3 U1    1 
k  1
k  4
 4 
 3 
0
 
 
 
 2
 3

3

 3 3 1



Ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở đã cho là A   1 0 1 
 4 3 0 



Ví dụ 3 Cho f : M 2 

3

a b
,f  
   (a  c, b  d,d) Tìm ma trận của f trong cơ sở
 c d



 1 1
 0 1
0 0 
 0 0 

U  A1  
 , A2  
 , A3  
 , A4  
  của M 2 và

0 0 
 1 0 

 1 1
 0 1 


U1  s1  (1, 2, 3),s2  (0,1, 2),s3  (1,1, 6) của

3

Giải Ta có f (A1 )  (1, 1, 0)  v1 ,f (A2 )  (1,1, 0)  v2 ,f (A3 )  (1, 1, 1)  v 3 ,f (A 4 )  (0, 1, 1)  v 4
Xét v1  k1s1  k 2s2  k3s3  (1, 1, 0)  (k1  k 3 , 2k1  k 2  k 3 , 3k1  2k 2  6k 3 )
 k1  k 3  1
k1  10
 10 
 10 
 11 
 3 








 
 2k1  k 2  k 3  1  k 2  12  v1 U1    12  Tương tự v2 U1    12  , v3 U1    3  , v 4 U1    4 
3k  2k  6k  0
k  9
 9 
 9 

 10 
3






 
2
3
 1
 3

 10 10 11 3 


Vậy ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở trên là A   12 12
3 4 
 9
9 10 3 


Dạng 4 Tìm giá trị riêng của ma trận
Các giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình | A  I | 0
 2 2 10 


Ví dụ 1 Tìm các giá trị riêng của ma trận A   8 2 20 
 1 2 9 




Giải Xét phương trình
2  
2
10
2   20
2 10
2
10
| A  I | 0  8
2   20  0  (2  )
 8.
 1.
0
2
9
2 9  
2   20
1
2
9

 (2  )(2  7  22)  8(2  2)  (20  10)  0  3  5 2  2  8  0  (  2)( 2  3  4)  0
 (  2)(  1)(  4)  0  1  2, 2  1, 3  4 . Vậy A có 3 giá trị riêng là 2, 1, 4

Ví dụ 2 Tìm các giá trị riêng của các ma trận sau
 1 2 6 



A   2 1 4 
2 1 6



 10 8 2 


B   11 9 2 
 3 4 5 



Đáp số: A: 1, 2, 3;B: 3, 1, 4;C: 1, 1, 2;D: 2, 2, 1

 1 2 2 


C 4 5 4 
 1 1 0 



2 0 0


D 1 3 4 
 4 1 2 


