Các phép biến đổi tương đương phương trình là gì

Thông thường, ý tưởng chung để giải bất cứ một phương trình bậc cao, phương trình vô tỷ là đều qui về các phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.

Nội dung chính Show

1. Biến đổi tương đương bằng bình phương hai vế phương trình (nâng lên lũy thừa)
2. Phương pháp biến đổi tương đương đưa về tích
3. Phương pháp nhân liên hợp
Các phép biến đổi tương đương là gì?
Thế nào là hai phương trình tương đương lớp 8?
Thế nào được gọi là nghiệm của phương trình?

Trong bài viết này, O2 Education xin giới thiệu phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình chứa căn bậc hai. Cách giải các phương trình chứa căn bậc 2 cơ bản, xin mời bạn đọc xem tại đây Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn.

Đối với phương pháp biến đổi tương đương, ta thường sử dụng những cách sau:

1. Biến đổi tương đương bằng bình phương hai vế phương trình (nâng lên lũy thừa)

Chúng ta tìm điều kiện xác định của phương trình rồi biến đổi, chú ý rằng trước khi bình phương hai vế phải đảm bảo điều kiện cả hai vế không âm. Một số dạng cơ bản (biến đổi tương đương luôn mà không cần tìm điều kiện riêng, vì đưa về hệ đã bao hàm cả điều kiện xác định trong đó rồi): $ \sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ A = B \end{array} \right. $ hoặc $ \sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B \ge 0\\ A = B \end{array} \right. $
(Tùy theo mức độ đơn giản của biểu thức $ A $ hay $ B $ mà ta lựa chọn cách biến đổi nào cho dễ dàng nhất)
$ \sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B \ge 0\\ A = B^2 \end{array} \right. $ $ \sqrt A \le B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B \ge 0\\ A \le {B^2} \end{array} \right. $ $ \sqrt A \ge B \Leftrightarrow \Bigg[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B < 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} B \ge 0\\ A \ge {B^2} \end{array} \right. \end{array} $

Sau đây, mời các bạn theo dõi một số ví dụ cụ thể.

Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}=x-1$$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với \[ \left\{ \begin{array}{l} x – 1 \ge 0\\ {x^2} – 3x + 2 = {\left( {x – 1} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 1\\ x = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1. \] Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=1. $

Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{{2}}-5x+4}=\sqrt{-2{{x}}{2}}-3x+12}$$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} – 5x + 4 \ge 0\\ {x^2} – 5x + 4 = – 2{x^2} – 3x + 12 \end{array} \right. \Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}.$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=-\frac{4}{3}. $

Ví dụ 3. Giải bất phương trình $$x+1\ge \sqrt{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)}$$ Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với

$$ \left\{ \begin{array}{l} x + 1 \ge 0\\ {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 2\left( {{x^2} – 1} \right) \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge – 1\\ {x^2} – 2x – 3 \le 0\\ {x^2} – 1 \ge 0 \end{array} \right.$$ Từ đó tìm được tập nghiệm là $S=\left[ 1;3 \right]\cup \left\{ -1 \right\}$.

Ví dụ 4. Giải bất phương trình $$2x-5<\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}$$ Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với \[ \Bigg[ \begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} 2x – 5 < 0\\ – {x^2} + 4x – 3 \ge 0\end{array} \right. & \left( 1 \right)\\ \left\{ \begin{array}{l} 2x – 5 \ge 0\\ {\left( {2x – 5} \right)^2} < – {x^2} + 4x – 3 \end{array} \right. & \left( 2 \right) \end{array}\] Giải từng hệ bất phương trình $ (1) $ và $ (2) $ rồi lấy hợp hai tập nghiệm, được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left[ 1;\frac{14}{5} \right)$.

Ví dụ 5. Giải phương trình $$1+\frac{2}{3}\sqrt{x-{{x}^{2}}}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với \begin{align*} & {\left( {1 + \frac{2}{3}\sqrt {x – {x^2}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt x + \sqrt {1 – x} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow\;& 4\left( {x – {x^2}} \right) – 6\sqrt {x – {x^2}} = 0 \\ \Leftrightarrow\;& \sqrt {x – {x^2}} \left( {4\sqrt {x – {x^2}} – 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow\;& \left[ \begin{array}{l} \sqrt {x – {x^2}} = 0\\ \sqrt {x – {x^2}} = \frac{3}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right. \end{align*}

Ví dụ 6. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{{2}}+5x+\sqrt{{{x}}{3}}+2x+1}}=x+1$$ Hướng dẫn. Điều kiện ${{x}^{{3}}+2x+1\ge 0;\,{{x}}{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}\ge 0$. Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với \begin{align*} &\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{x^2} + 5x + \sqrt {{x^3} + 2x + 1} = {\left( {x + 1} \right)^2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l} x \ge – 1\\ \sqrt {{x^3} + 2x + 1} = 1 – 3x \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l} x \ge – 1\\ \frac{1}{3} \ge x\\ {x^3} + 2x + 1 = {\left( {1 – 3x} \right)^2} \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l} – 1 \le x \le \frac{1}{3}\\ x = 0;x = 1;x = 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0. \end{align*} Đối chiếu điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x = 0. $

Đôi khi, việc đặt điều kiện để bình phương khá phức tạp, ta sẽ bình phương để thu được phương trình hệ quả, sau đó thử lại nghiệm. Xét ví dụ sau: Ví dụ 7. Giải phương trình $$ \sqrt{1-x}+1-2x^2-2x\sqrt{1-x^2}=0 $$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với \[ \sqrt{1-x}=2x^2-1+2x\sqrt{1-x^2} \] Bình phương thu được phương trình hệ quả, rút gọn được \[ x\left(4(1-2x^2)\sqrt{1-x^2}-1\right)=0 \] Giải phương trình này tìm được nghiệm $ x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}} $.

Ví dụ 8. [Đề thi ĐH khối A năm 2004] Giải bất phương trình \[\frac{{\sqrt {2({x^2} – 16)} }}{{\sqrt {x – 3} }} + \sqrt {x – 3} > \frac{{7 – x}}{{\sqrt {x – 3} }}\] Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 4. $ Biến đổi phương trình thành \[\sqrt {2({x^2} – 16)} > 10 – 2x \Leftrightarrow \Bigg[ {\begin{array}{l} {\left\{ {\begin{array}{l} {{x^2} – 16 \ge 0}\\ {10 – 2x < 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{l} {10 – 2x \ge 0}\\ {2({x^2} – 16) > {{(10 – 2x)}^2}} \end{array}} \right.} \end{array}}\] Từ đó tìm được đáp số $ x > 10 – \sqrt {34}. $

Ví dụ 9. Giải bất phương trình $$\frac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}}\le \frac{1}{\sqrt{5-2x}} $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x\in[-2,\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2},\frac{5}{2}). $ Ta xét hai trường hợp:

Với $-2\le x<\frac{1}{2}$ thì $\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}<0$ và $\sqrt{5-2x}>0$, nên bất phương trình đã cho luôn đúng.
Với $\frac{1}{2}<x<\frac{5}{2}$ thì phương trình đã cho tương đương với $ \sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}\ge \sqrt{5-2x}\Leftrightarrow 2\le x<\frac{5}{2}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left[ -2;\frac{1}{2} \right)\cup \left[ 2;\frac{5}{2} \right)$

Ví dụ 10. [Đề thi ĐH khối A năm 2010] Giải bất phương trình \[ \dfrac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{2(x^2-x+1)}}\ge 1 \] Hướng dẫn. Vì $ \sqrt{2(x^2-x+1)}=\sqrt{x^2+(x-1)^2+1}>1 $ nên $ 1-\sqrt{2(x^2-x+1)}<0 $, do đó bất phương trình đã cho tương đương với \begin{align*} &x-\sqrt{x}\le 1-\sqrt{2(x^2-x+1)} &(1)\\ \Leftrightarrow\;& \sqrt{2(x^2-x+1)}\le 1-x+\sqrt{x} & \end{align*} Lại có $ \sqrt{2(x^2-x+1)}=\sqrt{2(x-1)^2+2(\sqrt{x})^2}\ge 1-x+\sqrt{x} $. Do đó, bất phương trình $ (1) $ chỉ có thể xảy ra dấu bằng. \[ x-\sqrt{x}= 1-\sqrt{2(x^2-x+1)} \] Từ đó tìm được đáp số: $ x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}. $

2. Phương pháp biến đổi tương đương đưa về tích

Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:

$u+v=1+uv\Leftrightarrow \left( u-1 \right)\left( v-1 \right)=0$
$au+bv=ab+vu\Leftrightarrow \left( u-b \right)\left( v-a \right)=0$

Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với \begin{align*} &\sqrt {x + 3} + 2x\sqrt {x + 1} = 2x + \sqrt {{x^2} + 4x + 3} \\ \Leftrightarrow\;& \sqrt {x + 3} – \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} – \left( {2x – 2x\sqrt {x + 1} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow\;& \sqrt {x + 3} \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) – 2x\left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) = 0 \\ \Leftrightarrow\;& \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 3} – 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow\;& \left[ \begin{array}{l} 1 – \sqrt {x + 1} = 0\\ \sqrt {x + 3} – 2x = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right. \end{align*} Đối chiếu điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=0,x=1. $

Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+3x+2}$$ Hướng dẫn. Biến đổi thành $$\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} – 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – 1 \end{array} \right.$$ Đáp số $ x=0,x=-1. $

Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{{2}}-3x+2}-\sqrt{2{{x}}{2}}-3x+1}\ge x-1$$

Hướng dẫn. Điều kiện $x\in ( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}\cup \left[ 2;+\infty \right)$ nên ta xét ba khả năng:

$ x = 1 $ là nghiệm.
$ x\ge 2 $: Bất phương trình tương đương với $\sqrt{x-2}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1}$ vô nghiệm.
$x\le \frac{1}{2}$: Bất phương trình tương đương với $\sqrt{2-x}+\sqrt{1-x}\ge \sqrt{1-2x}$ có nghiệm $x\le \frac{1}{2}$. \end{itemize}

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}$

Ví dụ 4. Giải bất phương trình $$ 14\sqrt{x+5}\ge 3x+23+7\sqrt{x-3} $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 3. $ Bất phương trình đã cho tương đương với \begin{align*} &x-3-7\sqrt{x-3}-4(x+5)+14\sqrt{x+5}\ge 0\\ \Leftrightarrow\;&\left(\sqrt{x-3}-2\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-3}+2\sqrt{x+5}-7\right)\ge0 \end{align*} Đến đây chia ba trường hợp hoặc nhân liên hợp, được tập nghiệm là $ S=[3;4]. $

3. Phương pháp nhân liên hợp

Đôi khi, chúng ta còn nhân chia với biểu thức liên hợp để dễ dàng phương trình thành tích các nhân tử là phương trình, bất phương trình chứa căn đơn giản hơn. Riêng phương pháp này, chúng tôi xin hẹn ở một bài viết khác.