Thầy cô giáo và các em học sinh có nhu cầu tải các tài liệu dưới dạng định dạng word có thể liên hệ đăng kí thành viên Vip của Website: tailieumontoan.com với giá 500 nghìn thời hạn tải trong vòng 6 tháng hoặc 800 nghìn trong thời hạn tải 1 năm. Chi tiết các thức thực hiện liên hệ qua số điện thoại (zalo ): 0393.732.038 Show
Điện thoại: 039.373.2038 (zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ) Kênh Youtube: https://bitly.com.vn/7tq8dm Email: [email protected] Group Tài liệu toán đặc sắc: https://bit.ly/2MtVGKW Page Tài liệu toán học: https://bit.ly/2VbEOwC Website: http://tailieumontoan.com Bất đẳng thức Côsi hay bđt Cauchy là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với học sinh THCS và THPT ở nước ta.Bất đẳng thức Côsi có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Ngoài ra bất đẳng thức Cauchy còn có tên gọi là bất đẳng thức AM-GM. Học sinh trung học cơ sở làm quen với bất đẳng thức Cosi từ lớp 8 và sử dụng nhiều ở lớp 9 trong các bài điểm 10. 1) Dạng tổng quát của bất đẳng thức CôsiCho  là các số thực dương ta có: – Dạng 1: – Dạng 2: – Dạng 3: – Dạng 4: – Dạng 5: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2) Dạng đặc biệt của bất đẳng thức CôsiLà các trường hợp đặc biệt của dạng tổng quát ở trên khi n=2, n=3. 3) Hệ quả của bất đẳng thức Côsi+ + + + + 4) Chú ý khi sử dụng bất đẳng thức CôsiKhi chứng minh bất đẳng thức áp dụng Cô si các em phải xác định giá trị của biến bằng bao nhiêu thì dấu bằng xảy ra, giá trị đó là điểm rơi. Nếu không xác định đúng mà đã vội áp dụng BĐT Cauchy thì sẽ dẫn đến việc làm sai bài toán. 5) Bài tập áp dụng bất đẳng thức CosiDưới đây là lời giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dựa vào bất đẳng thức Côsi và các hệ quả. Bất đẳng thức Cosi là một trong những kiến thức toán học phổ biến, được sử dụng để giải nhiều dạng toán về phương trình và bất phương trình khác nhau cũng như tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Trong bài viết này, Team Marathon Education sẽ giúp các em hiểu rõ hơn những kiến thức về bất đẳng thức Cosi cho 2 số, cho 3 số, dạng tổng quát và hệ quả với một số bài tập vận dụng có đáp án. \>>> Xem thêm: Lý Thuyết Bất Đẳng Thức Đại Số Lớp 10 Bất đẳng thức Cosi là gì?Bất đẳng thức Cosi là một bất đẳng thức cổ điển trong toán học, bắt nguồn từ bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM – GM). BĐT Cosi được chứng minh bởi nhà toán học người pháp Augustin – Louis Cauchy. Ngoài tên Cosi, nhiều người còn gọi là bất đẳng thức Cauchy hay bất đẳng thức AM – GM (viết tắt của của Arithmetic Mean và Geometric Mean). \>>> Xem thêm: Bất Đẳng Thức Mincopxki Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết Các dạng biểu diễn bất đẳng thức CosiBất đẳng thức Côsi có thể được biểu diễn bằng dạng tổng quát hoặc dưới nhiều dạng đặc biệt khác nhau. Bất đẳng thức Côsi dạng tổng quát
\begin{aligned} &\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{x_!+x_2+...+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}\ &\bull \textbf{Dạng 2}: x_1+x_2+...+x_n\ge n. \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}\ &\bull \textbf{Dạng 3}:\left(\frac{x_!+x_2+...+x_n}{n} \right)^n\ge x_1.x_2...x_n \end{aligned} Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn
\begin{aligned} &\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\ge \frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n}\ &\bull \textbf{Dạng 2}: (x_1+x_2+...+x_n)\left( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\right) \ge n^2 \end{aligned} Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn Dạng đặc biệt của bất đặng thức CauchyMột số dạng biểu diễn đặc biệt khác của bất đẳng thức Côsi: Hệ quả của bất đẳng thức CôsiTừ công thức tổng quát và các dạng đặc biệt, ta có 2 hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy mà các em cần ghi nhớ dưới đây. Các hệ quả này thường được áp dụng nhiều trong việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Chứng minh bất đẳng thức CosiChứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực không âmVới 2 số thực không âm a và b, ta thấy khi a và b đều bằng 0 thì biểu thức này luôn đúng. Lúc này, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức Cosi luôn đúng với 2 số a, b dương. Cách chứng minh như sau: \begin{aligned} &\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\ &\Leftrightarrow a+b \ge 2\sqrt{ab}\ &\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge 0\ &\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge0\text{ (luôn đúng }\forall a,b\ge0) \end{aligned} Như vậy, ta đã chứng minh được BĐT Cosi luôn đúng với 2 số thực không âm. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số thực không âm
\begin{aligned} &\text{Đặt }x=\sqrt[3]a, \ y=\sqrt[3]b,\ z=\sqrt[3]c\ &\Rightarrow x,y,z\ge0\Rightarrow x+y+z\ge0 \end{aligned} Lúc này, ta quay về dạng chứng minh bất đẳng thức của 3 số thực x, y, z dương \begin{aligned} &(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz \ge0\ &\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-3xy(x+y+z)\ge 0\ &\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz)-3xy(x+y+z)\ge 0\ &\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\ge 0\ &\Leftrightarrow 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\ge 0\ &\Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)\ge 0\ &\Leftrightarrow (x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]\ge 0\text{ (luôn đúng }\forall x,y,z\ge0)\ \end{aligned} Khi đó, dấu bằng xảy ra khi x = y = z hay a = b = c Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âmTheo chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương ta được biểu thức luôn đúng. Suy ra, với n = 2 (2 số thực không âm) thì BĐT Cosi luôn đúng. Do đó, để chứng minh bất đẳng thức luôn đúng với n số thì cần chứng minh nó cũng đúng với 2n số. Cách chứng minh như sau: x_1+x_2+...+x_n\ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}+n\sqrt[n]{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}}\ge 2n\sqrt[2n]{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}} Theo tính chất quy nạp thì bất đẳng thức này đúng với n là một lũy thừa của 2. Giả sử bất đẳng thức Cosi đúng với n số, ta chứng minh được nó luôn đúng với n-1 số như sau: \begin{aligned} &x_1+x_2+...x_n\ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}\ &x_n=\frac{s}{n-1} \text{ với }s=x_1+x_2+...+x_n\ &\Rightarrow s \ge (n-1)\sqrt[n-1]{x_1x_2...x_{n-1}} \end{aligned} BĐT Cosi với 2n số và (n – 1) số luôn đúng, từ đó ta có thể kết luận rằng BĐT Cosi với n số thực không âm luôn đúng. Bài tập vận dụngDạng 1: Áp dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếpCho 3 số dương a, b, c, hãy chứng minh: \left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac1c\right)\left(c+\frac1a\right)\ge 8 Hướng dẫn giải: Áp dụng BĐT Cosi, ta có: \begin{aligned} &a+\frac1b \ge 2\sqrt{\frac{a}{b}}\ ;\ b+\frac1c \ge 2\sqrt{\frac{b}{c}}\ ;\ c+\frac1a \ge 2\sqrt{\frac{c}{a}}\ &\Leftrightarrow \left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac1c\right)\left(c+\frac1a\right)\ge 8\sqrt{\frac{a}{b}}.\sqrt{\frac{b}{c}}\sqrt{\frac{c}{a}}=8\text{ (điều phải chứng minh)} \end{aligned} Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Dạng 2: Biến đổi nhân chia, thêm, bớt một biểu thứcCho 3 số thực dương a, b, c, chứng minh rằng: \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có: \begin{aligned} &\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\ge \frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n}\ &\bull \textbf{Dạng 2}: (x_1+x_2+...+x_n)\left( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\right) \ge n^2 \end{aligned} 0 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education Qua bài viết trên đây, Team Marathon Education đã chia sẻ đến các em toàn bộ nội dung liên quan đến bất đẳng thức Cosi lớp 8, lớp 9, lớp 10 bao gồm định nghĩa, hệ quả, cách chứng minh cùng với những dạng bài tập thường gặp có đáp án chi tiết. Hy vọng với những kiến thức này, các em có thể giải tốt các bài tập liên quan đến bất đẳng thức Côsi trong các bài kiểm tra toán sắp tới. Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới! |
