Bài tập về tọa độ diểm vecto 12có lời giải năm 2024

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) tam giác \(ABC\) có \(A\left( -\,1;-\,2;4 \right),\,\,B\left( -\,4;-\,2;0 \right)\) và \(C\left( 3;-\,2;1 \right).\) Tính số đo của góc \(B.\)

• A \({{45}^{0}}.\)
• B \({{120}^{0}}.\)
• C \({{90}^{0}}.\)
• D \({{60}^{0}}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính độ dài các cạnh của tam giác và nhận xét sự đặc biệt của tam giác đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(AB=5,\,\,AC=5\) và \(BC=5\sqrt{2}\)\(\Rightarrow \,\,A{{B}^{2}}+A{{C}{2}}=B{{C}^{2}}\)

Suy ra tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\,\,\Rightarrow \,\,\widehat{ABC}={{45}^{0}}.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm M N P Q , , ,. Tìm tọa độ các vectơ OM ON OP OQ , , ,

   

.

Lời giải

Từ hình trên ta có: M ( 4; 3), (3; 0), (5; 2), (0; 3) N P  Q .

Do đó: OM  ( 4;3), ON (3; 0)

 

OP  (5; 2), OQ  (0; 3)

 

Câu 2. Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình và biểu diến mỗi vectơ đó qua hai vectơ



i và



j

Lời giải

• 





a OA và A ( 5; 3)  ; tọa độ vectơ



OA chính là tọa độ điểm A nên





a ( 3; 3) 

    a 3 i j 3

 



• 

 

b OB và B (3; 4) ; tọa độ vectơ



OB chính là tọa độ điểm A nên (



b ;4)

   b i j 3 4

  

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

Lời giải

Trong Hình 3, ta có:

• Vẽ 





OA a , ta có: A ( 5; 3)  nên   ( 5; 3)



a.

• Vẽ



 

OB b , ta có: B (3; 4) nên  (3; 4)



b.

• Vẽ 





OC c , ta có: C ( 1; 3) nên  ( 1; 3)



c.

• Vẽ 

 

OD d , ta có: D (2; 5)

nên (2; 5)



d

.

Câu 6. Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

, cho điểm

A (1; 2)

và vectơ

u  (3; 4)



.

1. Biểu diễn vectơ OA



qua vectơ i



và j



.

2. Biểu diễn vectơ u



qua vectơ i



và j



.

Lời giải

1. Vì điểm A có toạ độ là (1; 2) nên OA (1; 2)



. Do đó:

OA i     1 2 j i 2. j

    

2. Vì u  (3; 4)



nên u      3 i ( 4) j 3 i 4 j

   



.

Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy , cho ba điểm M N P , , được biểu diễn như Hình 5.

1. Tìm toạ độ của các điểm M N P , ,.

2. Hãy biểu thị các vectơ , ,

  

OM ON OP qua hai vectơ



i và



j.

3. Tìm toạ độ các vectơ , , ,

   

PM PN PO NM.

Lời giải

1. Theo Hình 5 ta có toạ độ các điểm M N P , , lần lượt là: M (1;3), (3; 0), ( 2; 1) P N  .

2. Ta có:  3 ;    2 ;   3 0

        

OM i j ON i j OP i j.

3. Ta có:

ø ù

ø ù

ø ù

ø ù

; (1 3; 3 0) ( 2; 3)

; ( 2 3; 1 0 ) ( 5; 1)

; ( 0 3; 0 0) ( 3; 0)

; (1 ( 2 ); 3 ( 1)) (3; 4 )

M P M p

N P N P

O P O P

M N M N

PM x x y y

PN x x y y

PO x x y y

NM x x y y

       

          

       

        









Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy , cho ba điểm A B C , , được biểu diễn như Hình.

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương  facebook/phong.baovuongTrang 5

1. Hãy biễu thị các vecto OA OB OC , ,

  

qua hai vectơ i



và j



.

2. Tìm tọa độ của các vectơ a b c , ,



 

và các điểm A B C , ,.

Lời giải

1. Ta có: OA i  3 , j OB i   3 0 , j OC    2 i j

        

.

2. Từ kết quả trên, suy ra: a OA  (1; 3), b OB  (3; 0), c OC    ( 2; 1)

   

 

.

Do đó A (1;3), (3; 0), ( 2; 1) B C  .

Câu 9. Tìm tọa độ các vectơ sau:

1.   2 7

 



a i j

2.    3

  

b i j

3.  4





c i

4.   9

 

d j

Lời giải

1. (2; 7)



a ;

2.  ( 1; 3)



b

3. (4; 0)



c ;

4.  (0; 9)



d

Câu 10. Cho M (1; 2), ( 3; 4), (5; 0) N  P. Tìm toạ độ của các vectơ MN PM NP , ,

  

.

Lời giải

ø ùø ùø ù

; ( 3 1; 4 2) ( 4; 2)

; (1 5; 2 0) ( 4; 2)

; (5 3; 0 4) (8; 4)

N M N M

M P M P

P N P N

MN x x y y

PM x x y y

NP x x y y

        

       

       







Câu 11. Tìm toạ độ của các vectơ sau:

1.   2

 

a i

2.  3

 

b j ;

3.    4

 



c i j

d)

1

5

2

 

 

d i j.

Lời giải

1.  ( 2; 0)



a

;

2. (0; 3)



b

3.  ( 4;1)



c

;

d)

1

5;

2

 



 

 



d.

Câu 12. Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

, cho

    (1; 2), ( 2; 3)

 

u v

.

Tìm toạ độ của các vectơ   , , 2

    

u v u v u và 3  4

 

u v.

Lời giải

Ta có:      ( 1; 5), (3;1), 2  ( 2; 4)

    

u v u v u.

Với 3  (3; 6), 4   ( 8; 12)

 

u v ta có: 3   4 (11; 6)

 

u v.

Câu 13. Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

, cho

 ( 1; 2), (3;1),  (2; 3)



 

a b c

.

1. Tìm toạ độ của vectơ    2 3



  

u a b c.

2. Tìm toạ độ của vectơ



x sao cho    2



  

x b a c.

Lời giải

1. Ta có: 2  ( 2; 4)



a nên 2  (1; 5)





a b. Mà 3  (6; 9)



c.

Suy ra      2 3 ( 5;14)



  

u a b c.

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương  facebook/phong.baovuongTrang 7

1. Tim tọa độ vectơ



u sao cho    2 3



  

u a b c

2. Tim tọa độ vectơ



x sao cho    2



  

x b a c

Lời giải

Có:  ( 1; 2); (3;1);  (2; 3)



 

a b c

1.         2 3 (2 ( 1) 3 3; 2 1 3.( 3))  



  

u a b c hay  ( 5;14)



u

2.        2 ( 1 2 2; 2 3 2) 



  

x a c b hay   ( 5; 3)



x.

BÀI TẬP BỔ SUNG

Câu 20. Viết tọa độ của các vectơ sau:

a)

1

2 3 5 3 2

3

a i j; b     i j; c i; d    j.

         

b)

1 3

3 4 3

2 2

a i j; b        i j; c i j; d   j; e i 

            

Lời giải

a)

####### ø ù ø ù ø ù

1

2; 3 ; ; 5 ; 3; 0 ; 0; 2

3

 

     

 

 

   

a b c d

b)

####### ø ù ø ù ø ù

1 3

1; 3 ; ;1 ; 1; ; 0; 4 ; 3; 0

2 3

   

      

   

   

    

a b c d e

Câu 21. Viết dưới dạng u xi y j  

  

khi biết tọa độ của vectơ u



là:

a)

####### ø ù ø ù ø ù ø ù

u   2 ; 3 ; u  1 4 ; ; u  2 0 ; ; u   0 ; 1_._

   

b)

####### ø ù ø ù ø ù ø ù

u 1 3 ; ; u   4 ; 1 ; u 1 0 ; ; u  0 0 ;.

   

Lời giải

1. Ta có:

####### ø ù ø ù ø ù ø ù

u     2; 3 u i j u 2 3 ;       1; 4 u i j u 4 ; 2;0   u i j u 2 0 ;     0; 1 u i j 0

               

2. Ta có:

####### ø ù ø ù ø ù ø ù

u    1;3 u i j u 3 ;         4; 1 u i j u 4 ; 1;0 u i j u 0 ;  0;0   u i j 0 0

               

.

Câu 22. Cho

####### ø ù ø ù

a   1 ; 2 ; b  0 3 ;

 

tìm tọa độ của các vectơ sau:

1. x a b ; y a b ; z       2 a b. 3

        

b)

1

3 2 2 4

2

u a b ; v     b ; w a   b.

       

Lời giải

a)

####### ø ù ø ù ø ù ø ù

x a b       1 0; 2 3 1;1 , y a b        1 0; 2 3 1; 5 ,

     

ø ø ù ù ø ù

z     2 a b 3 3 3; 2.     2 3 2; 13.

  

b)

####### ø ù ø ù

1 11

3 2 3; 12 , 2 2; 1 , w 4 4 3;

2 2

u a b u a b a b

 

           

 

 

        

Câu 23. Cho

####### ø ù ø ù

1

2 0 1 4 6

2

 

    

 

 

  

a ; ; b ; ; c ;.

1. Tìm tọa độ của vectơ d    2 a b c. 3 5

   

2. Tìm 2 số m, n sao cho ma b n c.    0

   

3. Biểu diễn vectơ c



theo a,b.

 

Lời giải

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

a)

ø ù ø ù

1 63

2 3 5 2 3. 1 5; 2 3. 5. 6 27;

2 2

d a b c

   

          

   

   

   

2. Ta có:

ø ù

1

2 1 4 0

1 3

0 .2 4 6 0

1

2 6 0 1

2

12

m n m

ma b nc m i i j n i j

n

n



    



   

           

ý ý  

   

 

 

þ



þ

         

3. Giả sử:

c xa yb x y R   ø ;  ù

  

ta có:

ø ù

4 .2 1

8

1

12 6..

2

x y

x

y x y

  

  



ý ý

     þ



þ

Vậy c a   8 12 b

  

Dạng 2. Tìm điều kiện để hai vectơ bằng nhau, ba điểm thẳng hàng

Phương pháp: Với

ø ù ø ù

1 1 2 2

 ; ;  ;





a x y b x y , ta có

1 2

1 2

 

 

ý



þ





x x

a b

y y

.

A B C , , thẳng hàng  Tồn tại k  sao cho 

 

AB k AC.

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP

Câu 24. Cho ba điểm A ( 1; 3), (2; 3)  B và C (3; 5). Chứng minh ba điểm A B C , , thẳng hàng.

Lời giải

Ta có: AB (3; 6), BC (1; 2)

 

. Suy ra AB BC  3

 

. Vậy ba điểm A B C , , thẳng hàng.

Câu 25. Cho tam giác ABC có A ( 2;1), (2; 5), (5; 2) B C. Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và

trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải

Do

ø ù

;

M M

M x y là trung điểm đoạn thẳng AB

nên

2 2 1 5

0; 3.

2 2

M M

x y

  

   

Vậy M (0; 3).

Do ø ; ù

G G

G x y là trọng tâm tam giác ABC nên

( 2) 2 5 1 5 2

;

3 3

G G

x y

    

 . Vậy

5 8

;

3 3

G

 

 

 

.

Câu 26. Tìm các số thực a và b sao cho mối cặp vectơ sau bằng nhau:

1.   (2 1; 3)



u a và (3; 4 1)



v b

2.    ( ; 2 3 )



x a b a b và  (2 3; 4 )



y a b.

Lời giải

1.     (2 1; 3) (3; 4 1)

 

u a v b

2 1 3 2

3 4 1 1

a a

b b

     



ý ý

      þ þ

Vậy a  2 và b   1 thì     (2 1; 3) (3; 4 1)

 

u a v b

2.       ( ; 2 3 ) (2 3; 4 )

 

x a b a b y a b

2 3

2 3 4

3 2

2 3 ( 3) 4 ( 3) 1

a b a

a b b

b a b

a a a a

   

ý

  

þ

      

 

ý ý

         þ þ

Vậy a  1 và b   2 thì       ( ; 2 3 ) (2 3; 4 )

 

x a b a b y a b.

Câu 27. Chứng minh rằng:

1.  (4; 6)



a và  ( 2; 3)



b là hai vectơ ngược hướng.

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

3.  (2 ; 2 )



x a b b và  (3 2 ; 3 )



y b b a.

Lời giải

1. a    1, b 1.

b)

7

, 2

3

a   b.

c)

3 9

,

5 5



a   b.

BÀI TẬP BỔ SUNG

Câu 32. Cho ba điểm A ø ù1;1, B ø ù1; 3 , C ø ù2; 0.

1. Chứng minh ba điểm A B C , , thẳng hàng.

2. Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC , điểm B chia đoạn AC , điểm C chia đoạn AB.

Lời giải:

1. Từ tọa độ các điểm ta có:

ø ùø ù

2; 2

3; 3

AB

BC







ý

  



þ





3

.

2

   BC AB

 

nên 3 điểm A B ,

và C thẳng hàng.

2. Ta có:

ø ùø ù

2; 2

1; 1

AB

AC

 



ý

   

þ



    AB 2. AC 

 

A chia đoạn BC theo tỉ số k   2.

ø ùø ù

2; 2

3; 3

BA

AC



  



ý

  



þ





2

.

3

  BA BC 

 

B chia đoạn AC theo tỉ số

2

3

k .

ø ùø ù

1;

3; 3

CA

CB

 



ý





þ





1

.

3

  CA CB 

 

C chia đoạn AB theo tỉ số

1

3

k .

Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước

Phương pháp

Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương

trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M.

-Cho hai điểm ø ù

;

A A

A x y

và ø ù

;

B B

B x y

. Nếu ø ù

;

M M

M x y là trung điểm đoạn thẳng AB thì

;.

2 2

A B A B

M M

x x y y

x y

 

 

-Cho tam giác ABC có ø ù ø ù ø ù

; , ; , ;

A A B B C C

A x y B x y C x y

. Nếu ø ù

;

G G

G x y là trọng tâm tam giác

ABC thì

;.

3 3

A B C A B C

G G

x x x y y y

x y

   

 

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP

Câu 33. Cho bốn điểm A (3; 5), (4; 0), (0; 3), (2; 2) B C  D. Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:

1. Thuộc trục hoành;

2. Thuộc trục tung;

3. Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Lời giải

1. Điểm B (4; 0) thuộc trục hoành.

2. Điểm C (0; 3) thuộc trục tung.

3. Điểm D (2; 2) thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Câu 34. Cho điểm

ø ù

0 0

M x y ;. Tìm tọa độ:

1. Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục

Ox ;

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương  facebook/phong.baovuongTrang 11

2. Điểm M ' đối xứng với M qua trục Ox ;

3. Điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy ;

4. Điểm M " đối xứng với M qua trục Oy.

5. Điểm C đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ.

Lời giải

1. ø ù

0

H x ; 0

2. M ' đối xứng với M qua trục Ox H  là trung điểm của



MM

' ' 0 0 ' 0

' ' 0 ' 0

2 2

2 2.

M H M M M

M H M M M

x x x x x x x x

y y y y y y y

          

 

ý ý ý

     

  þ þ þ

Vậy

ø ù

0 0

M x y ' ;.

3. ø ù

0

K y 0;

4. M" đối xứng với M

qua trục Oy K 

là trung điểm của MM

"

" " 0 " 0

" " 0 0 " 0

2 2.

2 2.

M K M M M

M K M M M

x x x x x x x

y y y y y y y y

           

 

ý ý ý

    

   þ þ þ

Vậy M"

ø ù

0 0

 x y ;.

5. C đối xứng với M qua gốc tọa độ O nên O là trung điểm của CM.

0 0

0 0

2 2.

2 2.

C O M C C

C O M C C

x x x x x x x

y y y y y y y

           

 

ý ý ý

     

  þ þ





þ

Vậy

ø ù

0 0

C x y  ;.

Câu 35. Cho tam giác DEF có toạ độ các đỉnh là D (2; 2), (6; 2) E và F (2; 6).

1. Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh EF.

2. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác DEF.

Lời giải

1. Ta có:

6 2 2 6

4, 4

2 2 2 2

  

     

E F E F

M M

x x y y

x y.

Vậy toạ độ trung điểm M của cạnh EF là M (4; 4).

2. Ta có:

2 6 2 10 2 2 6 10

,

3 3 3 3 3 3

      

     

D E F D E F

G G

x x x y y y

x y.

Vậy toạ độ trọng tâm G của tam giác DEF là

10 10

;

3 3

 

 

 

G.

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương  facebook/phong.baovuongTrang 13

2. Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.

3. Giải tam giác ABC.

Lời giải

1. Xét D x y ( ; ). Ta có: (1;3);   (5 ; 5 )

 

AB DC x y

Để ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi 

 

AB DC

5 1 4

5 3 2

x x

y y

     

 

ý ý

    þ þ

Vậy D (4; 2)

2. Gọi M là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

2 5 7

2 2 2

2 5 7

2 2 2

A C

M M M

A C

M M M

x x

x x x

y y

y y y

    

     

  

   ý ý ý

 

  

  

  

þ þ þ

Vậy

7 7

;

2 2

 

 

 

M

3. Ta có: (3;3), (2; 0)

 

AC BC

Suy ra:

2 2

   | | 1 3 10



AB AB

2 2

2 2

| | 3 3 3 2

| | 2 0 2

13 3 2 5

ˆ

cos cos( , ) 2634

5

10 3 2

( 1) 2 ( 3) 0 10

ˆ

cos cos( , ) 10826

10

10 2

AC AC

BC BC

AB AC

A AB AC A

AB AC

BA BC

B BA BC B

BA BC

 

 

   

   

  

     





      

     









 

 

 

 

( 3)( 2 ) ( 3) 0 2

ˆ

cos cos( , ) 45

2

3 2 2

CA CB

C CA CB C

CA CB



      

     





 

 

Câu 42. Cho tam giác ABC có các điểm M (2; 2), (3; 4), (5; 3) N P lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB BC , và CA.

1. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

2. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và MNP trùng nhau.

3. Giải tam giác ABC

Lời giải

a.

####### ø ù

(3;1)   3 ; 4

 

B B

MP BN x y

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

Có M là trung điểm cạnh AB P , là trung điểm cạnh AC nên MP là đường trung bình của tam

giác ABC

1

// ; (hbh)

2

3 3 0

( 0; 3)

1 4 3

B B

B B

MP BC MP BC BN MPNB

MP BN

x x

B

y y

   

 

      

  

ý ý

  

  þ þ

 

Ta có: N là trung điểm của BC nên

2 2 0

2 2 3

      



ý ý

   

 þ þ

C N B C

C N B C

x x x x

y y y y

6

(6; 5)

5

C

C

x

C

y

 



 

ý





þ

Ta có: M là trung điểm của AB nên

2 2 0

2 2 3

      



ý ý

   

 þ þ

A M B A

A M B A

x x x x

y y y y

4

( 4; 1)

1

A

A

x

A

y

 



 

ý



 þ

Vậy A (4;1), (0; 3), (6; 5) B C

2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , ta có:

4 0 6

10

10

3 3

; 3 3

3 1 3 5

3

3 3

A B C

G G

G

A B C

G G G

x x x

x x

x

G

y y y

y y y

     



 

 

     

 

ý ý ý  

   

    

  

þ

 

þ þ

Gọi G' là trọng tâm tam giác MNP, ta có:

2 3 5

10

10

3 3

3 ; 3

2 4 3 3

3

3 3

M N P

G G

G

M N P

G G G

x x x

x x

x

G

y y y

y y y

 





 



     



 

 

     

 

ý ý ý  

   

 

  

  

þ

  þ þ

Từ (1) và (2)



  G G

Vậy trọng tâm tam giác ABC trùng với trọng tâm tam giác MNP.

3. Ta có:  ( 4; 2); (2; 4); (6; 2)

  

AB AC BC

Suy ra:

2 2

    | | ( 4) 2 2 5



AB AB

2 2

2 2

| | 2 4 2 5

| | 6 2 2 10

( 4 ) 2 2.

ˆ

cos cos( , ) 0 90

2 52 5

AC AC

BC BC

AB AC

A AB AC A

AB AC



   

   

   

     









 

 

Xét tam giác ABC có AB AC  ( 2 5) và

ˆ

90



A 

 Tam giác ABC vuông cân tại

ˆ ˆ

45



A B C   

Câu 43. Cho hai điểm

A (1; 3), (4; 2) B

.

1. Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA DB 

2. Tính chu vi tam giác OAB.

3. Chứng minh rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.

Lời giải

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

Câu 45. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba điểm A (2; 3), ( 1;1), (3; 1) B  C .

1. Tìm toạ độ điểm M sao cho 

 

AM BC.

2. Tìm tọa độ trung điểm N của đoạn thẳng AC. Chứng minh 

 

BN NM.

Lời giải

1. Giả sử M x y ( ; ). Ta có:   ( 2; 3),  (4; 2)

 

AM x y BC.

2 4 6

3 2 1.

    

  

ý ý

   

þ þ

 

x x

AM BC

y y

Vậy M (6;1)

.

2. Giả sử N x y ( ; ). Ta có:   ( 2; 3),    (3 ; 1 )

 

AN x y NC x y.

Vì N là trung điểm của đoạn thẳng AC nên ta có:

Ta có:

7 7

; 0 , ; 0

2 2

   

 

   

   

 

BN NM. Suy ra 

 

BN NM.

Câu 46. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC. Các điểm M (1; 2) , N (4; 1) và P (6; 2) lần

lượt là trung điểm của các cạnh BC CA AB , ,

. Tìm toạ độ của các điểm A B C , ,

.

Lời giải

Vì M N P , , lần lượt là trung điểm của BC CA AB , , nên tứ giác ANMP là hình bình hành, suy ra



 

AN PM. Giả sử

ø ù

;

A A

A x y.

Ta có:

ø ù

    4 ; 1 ;   ( 5; 4)

 

A A

AN x y PM.

Suy ra:

4 5 9

1 4 3.

      



ý ý

    

 þ þ

A A

A A

x x

y y

Vậy A (9; 3).

Tương tự, từ  , 

   

BP MN CM NP , ta tính được B (3;1), ( 1; 5) C  

.

Câu 47. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy

, cho ba điểm A (1; 2), (3; 2), (7; 4) B C

.

1. Tìm toạ độ của các vectơ AB BC ,

 

. So sánh các khoảng cách từ B tới A và C.

2. Ba điềm A B C , , có thẳng hàng hay không?

3. Tìm điểm D x y ( ; ) đề ABCD là một hình thoi.

Lời giải

1. Ta có AB     (3 1; 2 ( 2)) (2; 4), BC    (7 3; 4 2) (4; 2)

 

.

Các khoảng cách từ B tới A và C lần lượt là:

2 2 2 2

AB AB    | | 2 4 2 5; BC BC    | | 4 2 2 5.

 

Do đó các khoảng cách này bằng nhau.

2. Hai vectơ AB (2; 4), BC (4; 2)

 

không củng phương (vì

2 4

4 2



). Do đó các điểm A B C , ,

không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.

3. Các điểm A B C , , không thẳng hàng và BA BC  nên ABCD là một hình thoi khi và chỉ khi

AD BC 

 

.

Do AD x   ( 1; y 2), BC (4; 2)

 

nên

1 4 5

2 2 0.

x x

AD BC

y y

    

   ý ý

  

þ þ

 

Vậy điểm cần tìm là D (5; 0).

Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ a       3 i 2 j b , (4; 1)

  



và các điểm

M ( 3; 6), (3; 3) N .

1. Tìm mối liên hệ giữra các vectơ MN



và 2 a b 





.

2. Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

3. Tìm điểm P x y ( ; ) để OMNP là một hình bình hành.

Lời giải

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương  facebook/phong.baovuongTrang 17

1. Ta có: b  (4; 1)



và a       3 i 2 j a (3; 2)

 

 

         2 a b (2 4; 2.( 2) ( 1)) (2; 3)





Lại có: M ( 3; 6), (3; 3) N 

        MN (3 ( 3); 3 6) (6; 9)



Dễ thấy: (6; 9) 3.(2; 3)     MN 3(2 a b  )

 



2. Ta có: OM  ( 3; 6)



( do M ( 3; 6)) và ON  (3; 3)



(do N (3; 3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì

3 6

3 3







).

Do đó các điểm O M N , ,

không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

3. Các điểm O M N , , không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi OM PN 

 

.

Do OM  ( 3; 6), PN    (3 x ; 3 y )

 

nên

3 3 6

6 3 9

x x

OM PN

y y

    

  

ý ý

    

þ þ

 

Vậy điểm cần tìm là P (6; 9).

Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm A (1; 3), (2; 4), ( 3; 2) B C .

1. Hãy giải thích vì sao các điểm A B C , , không thẳng hàng.

2. Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

3. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

4. Tìm điểm D x y ( ; )

để O (0; 0)

là trọng tâm của tam giác ABD

.

Lời giải

a)

Ta có:

AB    (2 1; 4 3) (1;1), AC       ( 3 1; 2 3) ( 4; 1)

 

Hai vectơ này không cùng phương (vì

1 1

4 1



 

).

Do đó các điểm A B C , , không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

2. Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là

1 2 3 4 3 7

; ;

2 2 2 2

     



   

   

3. Trọng tâm

G của tam giác

ABC có tọa độ là

1 2 ( 3) 3 4 2

; (0; 3)

3 3

      



 

 

4. Để O (0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì

(0; 0) ;

3 3

A B D A B D

 x x x y y y     



 

 

1 2 3 4

(0; 0) ;

3 3

     x y 

 

 

 

(0; 0)    (1 2 x ; 3 4 y )

(0; 0)  ( x 3; y 7)

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương  facebook/phong.baovuongTrang 19

Nhận xét

Một cách khái quát, với hai điểm

ø ù ø ù

1 2 1 2

A a a B b b ; , ; thì điểm P thoả mãn  ( 1)

 

PA k PB k có

toạ độ

1 1 2 2

;

1 1

   

 

   

a kb a kb

k k

.

Câu 53. Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

cho ba điểm

A (2; 1), (1; 4) B

và

C ( 2; 3)

.

1. Chứng minh rằng A B C , , là ba đỉnh của một tam giác.

2. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải

1. Từ giả thiết suy ra  ( 1;5),  ( 4; 4)

 

AB AC. Do

1 5

4 4







nên các vectơ



AB và



AC không

cùng phương. Suy ra A B C , , là ba đỉnh của một tam giác.

2. Gọi G x y ( ; ) là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó

2 1 ( 2) 1

3 3

( 1) 4 3

2

3

   

 





ý

  



 

 þ

x

y

Suy ra

1

; 2

3

 

 

 

G.

Câu 54. Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

cho hai điểm

A B ,

thoả mãn

  2 3

  

OA i j

,

  3 2

  

OB i j

.

1. Chứng minh rằng O A B , , không thằng hàng.

2. Tìm toạ độ của điểm C sao cho tứ giác ABCO là hình bình hành.

3. Tìm toạ độ của điểm D thuộc trục hoành sao cho DA DB .

Lời giải

1. Từ giả thiết suy ra  (2; 3)



OA và (3; 2)



OB. Vì

2 3

3 2



 nên hai vectơ



OA và



OB không

cùng phương, hay O A B , , không thẳng hàng.

2. Từ giả thiết suy ra (1;5)



AB. Giả sử tìm được điểm C sao cho tứ giác ABCO là hình bình

hành. Khi đó do 

 

OC AB nên (1; 5)



OC. Suy ra C (1; 5).

3. Xét điểm D d ( ; 0) Ox. Khi đó

2 2

DA   (2 d ) 9, DB   (3 d ) 4.

Suy ra

2 2 2 2

DA DB   DA DB         (2 d ) 9 (3 d ) 4 d 0. Vậy điểm D cần tìm trùng

với gốc toạ độ O (0; 0).

Câu 55. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A (1; 2) và B (3; 4). Tìm toạ độ của điểm C thuộc

trục tung sao cho vectơ 

 

CA CB có độ dài ngắn nhất.

Lời giải

Xét điểm C c Oy (0; ). Khi đó  (1; 2 )



CA c và   (3; 4 )



CB c.

Do đó    (4; 2 2 )

 

CA CB c , suy ra

2

|    | 16 4(1 )

 

CA CB c.

Do

2

(1   c ) 0 c

, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c   1 , nên |  | 4

 

CA CB , đẳng thức xảy ra

khi và chỉ khi c   1. Vậy với điểm C (0; 1)  Oy thì vectơ 

 

CA CB có độ dài ngắn nhất.

Nhận xét

• Với mỗi điểm C đều có   2

  

CA CB CI , với I là trung điểm AB. Suy ra vectơ 

 

CA CB có độ

dài ngắn nhất khi và chỉ khi vectơ



CI có độ dài ngắn nhất. Từ đó, do C thuộc trục tung, nên C là

hình chiếu vuông góc của I trên trục tung.

• Khái quát, ta có bài toán tìm được điểm C thuộc đường thẳng  sao cho vectơ ñ ò

 

CA CB có

độ dài ngắn nhất, với ñ ò, là hai hằng số cho trước.

Câu 56. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M (4; 0), (5; 2) N và P (2; 3). Tìm toạ độ các đỉnh của