Trần Sĩ Tùng Đại số 11 CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT A. TỔ HỢP I. Qui tắc đếm 1. Qui tắc cộng: Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện. 2. Qui tắc nhân: Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện. Baøi 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D? ĐS: có 12 đường. Baøi 2: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi có bao nhiêu trận đấu? ĐS: có 25.24 = 600 trận Baøi 3: a) Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy 1 bông hoa? b) Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau? ĐS: a) 18. b) 15. Baøi 4: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau? ĐS: 36. Baøi 5: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu: a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được? b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a) 35. b) 29. Baøi 6: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên? Baøi 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau. Trang 21 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Baøi 8: Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu không được ở gần nhau. Baøi 9: Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Từ hộ đồng quản trị đó, người ta muốn lập ra một ban thường trực gồm 3 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban thường trực sao cho trong đó phải có ít nhất một người nam. ĐS: 161. Baøi 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y) biết rằng: a) x Î A, y Î A b) {x , y} Ì A c) x Î A, y Î A vaø x + y = 6 . ĐS: a) 25. b) 20. c) 5 cặp. Baøi 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y), biết rằng: x Î A, y Î A, x > y . n(n - 1) . 2 Baøi 12: Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi). ĐS: Số cần tìm có dạng: abcba Þ có 9.10.10 = 900 (số) Baøi 13: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả: a) gồm 6 chữ số. b) gồm 6 chữ số khác nhau. c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2. ĐS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360 Baøi 14: a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số? b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số? c) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn? d) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau? e) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5? ĐS: a) 3125. b) 168. c) 20 d) 900. e) 180000. Baøi 15: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số: a) Gồm 2 chữ số? b) Gồm 2 chữ số khác nhau? c) Số lẻ gồm 2 chữ số? d) Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại? f) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? ĐS: a) 25. b) 20. c) 15 d) 8. e) 120. f) 24. Baøi 16: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số: a) Khác nhau? b) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300? c) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? d) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn? e) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ? ĐS: a) 100. b) 60. c) 36 d) 52. e) 48. Baøi 17: a) Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400? b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300 , 500). ĐS: a) 35. b) 24. ĐS: Trang 22 Trần Sĩ Tùng Đại số 11 II. Hoán vị 1. Giai thừa: n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1 n! = (n–1)!n n! = (p+1).(p+2)…n (với n>p) p! n! = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) (n - p)! 2. Hoán vị (không lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n ³ 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n! 3. Hoán vị lặp: Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak. Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử. Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử là: n! Pn(n1, n2, …, nk) = n1 ! n2 !...nk ! 4. Hoán vị vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử. Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Qn = (n – 1)! Baøi 1: Rút gọn các biểu thức sau: 7!4! æ 8! 9! ö A= ç ÷ 10! è 3!5! 2!7! ø B= 2011! 2009 . 2010!- 2009! 2011 C= n (m + 2)! E = å k .k ! F= (m 2 + m) 4!(m - 1)! k =1 é 6! 1 (m + 1)! m.(m - 1)! ù A= .ê . (m - 2)(m - 3) ë (m + 1)(m - 4) (m - 5)!5! 12.(m - 4)!3! úû D= 7! . Baøi 2: Chứng minh rằng: a) Pn – Pn –1 = (n –1)Pn –1 c) n2 1 1 = + n! (n - 1)! (n - 2)! ĐS: n! £ 10 (n - 2)! (n - 1)n a) Û £5 6 n k -1 k =2 k ! å (với m ³ 5) b) Pn = (n - 1)Pn -1 + (n - 2)Pn-2 + ... + 2 P2 + P1 + 1 d) 1 + 1 1 1 1 + + + ... + < 3 1! 2! 3! n! e) n! ³ 2 n-1 Baøi 3: Giải các bất phương trình sau: ö 1 æ 5 (n + 1)! n.(n - 1)! a) . ç ÷£5 n - 2 è n + 1 (n - 3)!4! 12(n - 3).(n - 4)!2! ø c) n3 + 5! (m + 1)! . m(m + 1) (m - 1)!3! Þ n = 4, n = 5, n = 6 Trang 23 b) 4 £ n!+ (n + 1)! < 50 b) n = 2, n = 3 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Baøi 4: Giải các phương trình sau: a) P2 .x 2 – P3 . x = 8 b) Px - Px -1 1 = Px +1 6 c) (n + 1)! = 72 (n - 1)! n! n! n! n! =3 e) = (n - 3)! f) n3 + = 10 (n - 2)! (n - 1)! 20n (n - 2)! ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3 c) n = 8 d) n = 3 e) n = 6 f) n = 2 Baøi 5: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số: a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1? c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345? ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Baøi 6: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số: a) Bắt đầu bởi chữ số 9? b) Không bắt đầu bởi chữ số 1? c) Bắt đầu bởi 19? d) Không bắt đầu bởi 135? ĐS: a) 24. b) 96. c) 6 d) 118. Baøi 7: Với mỗi hoán vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả các số tự nhiên có được từ các hoán vị của 7 phần tử trên? ĐS: Với mọi i, j Î {1,2,3, 4,5,6,7} , số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!. Þ Tổng tất cả các số là: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).106 = 6! (1+2+…+7).(1+10+…+106) Baøi 8: Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hoán vị của 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. ĐS: 279999720. Baøi 9: Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng môn? c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa? ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) Baøi 10: Có 5 học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và 3 học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi xung quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1? c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau? ĐS: a) Q8 = 7! b) Q7 = 6! c) Có 4!5.4.3 cách sắp xếp Baøi 11: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? 8! 7 ĐS: 3! 3! Baøi 12: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9. ĐS: 18. Baøi 13: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? ĐS: 480. Baøi 14: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho: a) Bạn C ngồi chính giữa? b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế? d) Trang 24 Trần Sĩ Tùng Đại số 11 ĐS: a) 24. b) 12. Baøi 15: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4 người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau? ĐS: 143327232000. Baøi 16: Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau? b) Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau? ĐS: a) 86400. b) 2903040. Baøi 17: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b) Chỉ có nữ ngồi kề nhau? ĐS: a) 34560. b) 120960. Baøi 18: Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau? ĐS: 4838400. Baøi 19: Có 2 đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 11 và 10 học sinh khối 12. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phòng thi có 5 dãy ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi nhau có cùng một đề? ĐS: 26336378880000. Baøi 20: Có 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6 viên bi xanh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? ĐS: 298598400. Baøi 21: Trên giá sách có 30 tập sách. Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để có: a) Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau? b) Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau? ĐS: a) 2.29!. b) 28.29!. Baøi 22: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần? ĐS: 3360. Baøi 23: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần. ĐS: 5880. Baøi 24: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu: a) 5 chữ số 1 được xếp kề nhau? b) Các chữ số được xếp tuỳ ý? ĐS: a) 120. b) 3024. Trang 25 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng III. Chỉnh hợp 1. Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 £ k £ n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: n! Ank = n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1) = (n - k )! · Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n. · Khi k = n thì Ann = Pn = n! 2. Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: Ank = n k Baøi 1: Rút gọn các biểu thức sau: 5 A52 A10 + A= P2 7 P5 B = P1 A21 + P2 A32 + P3 A43 + P4 A54 - P1P2 P3 P4 12 11 A49 + A49 C= 10 A49 - 10 9 A17 + A17 39A10 49 E= 11 38A10 49 + A49 æP P P P ö D = ç 5 + 4 + 3 + 2 ÷ A52 ç A 4 A3 A2 A1 ÷ è 5 5 5 5ø 8 A17 + 12!(5!- 4!) 13!4! F= 21(P3 - P2 ) æP P P P ö 20 ç 5 + 4 + 3 + 2 ÷ ç A 4 A3 A2 A1 ÷ è 5 5 5 5ø C = 1440; D = 42 ĐS: A = 46; B = 2750; Baøi 2: Chứng minh rằng: 1 1 1 n -1 a) + + ... + = , vôùi n Î N , n ³ 2. 2 2 2 n A A A b) c) 2 3 n Ann++k2 + Ann++1k = k 2 . Ann+k Ank = Ank-1 + k . Ank--11 với n, k Î N, k ³ 2 Baøi 3: Giải các phương trình sau: a) An3 = 20n d) g) k) Pn +2 = 210 Ann--14 .P3 9 A10 x + Ax = Axy++11.Px - y ĐS: Px -1 9 Ax8 . = 72. a) n = 6 e) n = 4 i) x = 5. b) An3 + 5 An2 = 2(n + 15) c) 3 An2 - A22n + 42 = 0. e) 2( An3 + 3 An2 ) = Pn+1 f) 2 Pn + 6 An2 - Pn An2 = 12 h) Px . Ax2 + 72 = 6( Ax2 + 2 Px ) i) 2 Ax2 + 50 = A22x l) Pn+3 = 720A 5n .Pn-5 m) An6 + An5 = An4 b) n = 3 c) n = 6 f) n = 2; 3 g) x = 11. k) x = 8, y £ 7, y Î N . Trang 26 d) n = 5 h) x = 3; 4. Trần Sĩ Tùng Đại số 11 Baøi 4: Giải các bất phương trình: An4+2 143 b) <0> chỉnh hợp Ngược lại, là tổ hợp. · Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k £ n): + Không thứ tự, không hoàn lại: Cnk + Có thứ tự, không hoàn lại: Ank + Có thứ tự, có hoàn lại: Ank Dạng 1: Tính giá trị biểu thức tổ hợp Baøi 1: Tính giá trị các biểu thức sau: A= D= 23 C25 13 - C15 1 + C74 + C73 - C84 A32 B= + 5 6 6 P2 1 + C10 + C10 - C11 7 - 3C10 5 6 7 C15 + 2C15 + C15 7 C17 ĐS: A = – 165 Baøi 2: Rút gọn các biểu thức sau: A = Cnn .C2nn .C3nn ; C= ĐS: C= C1n +2 Cn2 C1n A= B=4 B= + ... + k (3n)! 3 (n !) Cnk Cnk -1 + ... + n Pn+ 2 Ank .Pn -k + 8 9 10 C15 + 2C15 + C15 10 C17 ; Cnn Cnn-1 B = (n+1)(n+2) + 1 Trang 30 C= n(n + 1) 2 8 9 10 C15 + 2C15 + C15 10 C17